ED2 P3 TX 2013

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P3 - Terceira Prova de Equac¸o˜es Diferenciais 2 - TX
Maicon Soˆnego - 04/12/2013
Nome: ............................................................ Matr´ıcula: ................... Curso: ...........
• A prova pode ser feita a la´pis.
• Coloque seu nome completo na folha de questo˜es e na folha de resoluc¸a˜o da prova.
• No final, entregue a folha de resoluc¸a˜o e a folha de questo˜es.
Questo˜es
1. Considere uma barra de 40 cm de comprimento e coeficiente de difusa˜o α = 1 com as extremi-
dades isoladas e tal que a temperatura inicial na barra e´ dada pela func¸a˜o f(x) = x.
(a) (25 pontos) Determine a temperatura na barra em qualquer instante t.
(b) (15 pontos) Determine a temperatura estado estaciona´rio.
2. (35 pontos) Encontre a soluc¸a˜o u(x, y) da equac¸a˜o de Laplace no retaˆngulo 0 < x < pi, 0 < y < 1
uxx + uyy = 0
com condic¸o˜es de contorno
u(x, 0) = 0, u(x, 1) = 0, 0 < x < pi
u(0, y) = 0, u(pi, y) = 3 sen 3piy − sen 5piy, 0 ≤ y ≤ 1.
3. (25 pontos) Considere o problema de Sturm-Liouville abaixo.{
y′′ + λy = 0
y′(0) = 0, y(1) + y′(1) = 0
Determine a forma das autofunc¸o˜es e a equac¸a˜o satisfeita pelos autovalores positivos. Determine
tambe´m se λ = 0 e´ um autovalor.
Boa prova!