IntroMecaQuantica-parte1

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Instituto de Física 
 Universidade Federal da Bahia 
 
 
Introdução à Mecânica Quântica 
Área: 
Mecânica Quântica 
 
UFBA Introdução à Mecânica Quântica Instituto de Física 
 
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Índice 
(Plano baseado no “Quantum Mechanics” de Cohen-Tannoudji, Diu, Laloé) 
1. ONDAS E PARTÍCULAS. INTRODUÇÃO ÀS IDEIAS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA 
QUÂNTICA ........................................................................................................................................................... 3 
1.1. CARACTERÍSTICAS ONDULATÓRIAS DA RADIAÇÃO .................................................................................. 3 
1.1.1. Os fenômenos ondulatórios ............................................................................................................ 3 
1.1.1. Ondas eletromagnéticas ................................................................................................................. 3 
1.1.2. Ondas planas .................................................................................................................................. 3 
1.1.3. Ondas monocromáticas .................................................................................................................. 4 
1.1.4. Interferências de duas ondas monocromáticas ............................................................................. 6 
1.1.5. Ótica geométrica ............................................................................................................................. 6 
1.1.6. Difração de ondas ........................................................................................................................... 6 
1.2. NOÇÃO DE PACOTE DE ONDAS .................................................................................................................. 7 
1.2.1. Será que a onda progressiva monocromática tem um significado físico? .................................... 7 
1.2.2. O pacote de onda quase monocromático ....................................................................................... 7 
1.2.3. O pacote de onda representa um fenômeno de extensão limitado .............................................. 10 
1.2.4. Noção de velocidade de grupo para um fenômeno ondulatório ................................................. 11 
1.3. AS INSUFICIÊNCIAS DA TEORIA ONDULATÓRIA: O FÓTON ....................................................................... 13 
1.3.1. Estudo do efeito fotoelétrico ......................................................................................................... 13 
1.3.2. Interpretação do efeito Compton: o fóton ................................................................................... 15 
1.3.3. Como conciliar o aspecto corpuscular com o aspecto ondulatório da luz? ................................ 18 
1.4. ASPECTO ONDULATÓRIO DO MOVIMENTO DAS PARTÍCULAS MATERIAIS ................................................ 18 
1.4.1. As experiências de difração dos elétrons ..................................................................................... 19 
1.4.2. Franjas de Interferências eletrônicas .......................................................................................... 21 
1.4.3. Espectro do átomo de hidrogênio ................................................................................................. 21 
1.4.4. Hipótese de Louis de Broglie ....................................................................................................... 23 
1.4.5. Generalização: o princípio de Heisenberg .................................................................................. 25 
1.5. A MECÂNICA ONDULATÓRIA DE SCHRÖDINGER ..................................................................................... 27 
1.5.1. Identidade formal entre a mecânica clássica e a ótica geométrica ............................................. 27 
1.5.2. Ótica ondulatória e mecânica quântica ....................................................................................... 29 
1.5.3. Algumas características da função de onda ................................................................................ 31 
1.6. ESTUDO DE ALGUNS SISTEMAS QUÂNTICOS A UMA DIMENSÃO ............................................................... 33 
1.6.1. Passagem de uma descontinuidade de potencial ......................................................................... 33 
1.6.1. Os estados ligados do poço de potencial ...................................................................................... 35 
1.6.2. O oscilador harmônico linear ...................................................................................................... 37 
1.6.3. O rotator plano ............................................................................................................................. 37 
 
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1. Ondas e partículas. Introdução às ideias fundamentais da 
Mecânica Quântica 
1.1. Características ondulatórias da radiação 
1.1.1. Os fenômenos ondulatórios 
Os fenômenos ondulatórios já foram estudados. Entre eles: As ondas do mar, as ondas sonoras, as 
ondas luminosas. De fato, seria fácil multiplicar os exemplos porque todas as propriedades 
conhecidas da matéria dependem de interação ligada à propagação de ondas de velocidade finita. 
Todos os fenômenos ondulatórios, mesmo que muito diferentes, possuem propriedades comuns que 
permitem utilizar um único formalismo matemático. A onda quer seja escalar ou vetorial, é antes de 
tudo, o deslocamento com uma velocidade finita da variação de uma grandeza física. E 
essencialmente um processo de transporte de energia. 
Assim, no caso da corda vibrante, a onda é precisamente o deslocamento ao longo da corda de 
abalos sucessivos impostos na sua extremidade. Cada elemento da corda se comporta assim como 
um oscilador cuja energia instantânea é proporcional ao quadrado da amplitude vibratória. A energia 
transportada, ou fluxo de energia depende também da velocidade de propagação do abalo ao longo 
da corda: 
dtvdW ..
2
0
 
Em certos casos, a energia transportada pela onda é chamada pelo termo de energia de radiação ou 
de radiação. 
1.1.1. Ondas eletromagnéticas 
O estudo das interações entre cargas e entre correntes elétricas mostra que elas são diretamente 
ligadas à propagação de uma onda, dita eletromagnética, onde a grandeza que se propaga é a 
variação vetorial do campo elétrico ou magnético. É precisamente essa família de fenômenos 
ondulatórios que se chama radiação: as ondas luminosas pertencem a essa família. 
Os fenômenos eletromagnéticos em regime variável são descritos pelas equações de Maxwell cuja 
particularidade essencial é que elas podem ter uma solução não nula no vácuo. Isso significa que 
uma onda eletromagnética pode perfeitamente se propagar em ausência de matéria. Os campos que 
correspondem a tal onda eletromagnética são necessariamente variáveis, como o demonstra a 
estrutura das equações do campo. 
1.1.2. Ondas planas 
No caso particular de ondas eletromagnéticas para as quais o campo depende de uma única 
coordenada espacial, o eixo x, por exemplo, temos uma onda plana. Os componentes dos vetores 
caracterizando esse campo têm então a forma: 
   tvxtvx .. 21  
 
As funções 1 e 2 são a priori arbitrárias. Mas elas são soluções da equação de propagação de 
ondas: 
0.
1
2
2
2




tv


 
No caso onde 
02 
, a solução se limita a: 
 tvx .1 
 
É claro que o campo eletromagnético é o mesmo para todos os pontos do espaço x e os instantes t 
satisfazendo à relação: 
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cstetvx  .
 
Ou ainda: 
tvcstex .
 
Isso significa que, se no instante inicial t = 0, o campotinha o valor bem definida em certo ponto do 
eixo Ox, depois um lapso de tempo t, o campo terá o mesmo valor em um ponto situado à uma 
distância v.t do ponto inicial. Isso significa que todos os valores características do campo 
eletromagnético de propagam ao longo do eixo x com uma velocidade igual a v. 
Assim, 
 tvx .1 
 constitui uma onda plana progressiva que se propaga no sentido dos x 
crescentes. Vê-se facilmente que 
 t.vx2 
 representa uma onda plana progressiva se 
propagando segundo os x decrescentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
 
Figura 1: Propagação de uma onda 
1.1.3. Ondas monocromáticas 
Uma onda permanente, sendo necessariamente entretida por causa de seu caráter essencial de 
agente de transporte de energia, um caso particular muito importante de ondas eletromagnéticas é o 
de uma onda cujo campo é uma função periódica simples do tempo. As comodidades da análise 
harmônica permitem limitar o estudo ao caso onde essa dependência em relação ao tempo é 
senoidal. Fala-se de uma onda monocromática da forma: 













v
x
t.cos.0 
 
quando é plana. 
0 quando é a amplitude da grandeza física 
 é chamada pulsação da onda 
 .2/
 é a frequência 
 /.2/1 T
 é o período 
 /..2/. vvTv 
 é o comprimento de onda 
O comprimento de onda representa a distância percorrida pela onda monocromática durante um 
tempo igual a um período, ou ainda é o período no espaço da grandeza  em um instante dado. 
A expressão de , um componente qualquer dos vetores caracterizando o campo, se escreve mais 
simplesmente sob a forma complexa: 
1 
t = 0 
t > 0 
v.t 
x 
x 
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


















v
x
ti ..expRe.0 
 
Com efeito, despreza-se escrever o símbolo Re que significa “parte real de ...”. Ele fica subentendido 
em todas as expressões. É também um costume cômodo de reescrever a onda: 
 ti ..exp.0  
 
Introduzindo o termo chamado amplitude complexa: 







v
x
i ..exp.00 
 
Observa-se então que a densidade de energia de radiação é proporcional em cada ponto a: 
**
0
2
0 .. 0
 
 
Essas expressões se generalizam ao caso de uma onda monocromática, não obrigatoriamente plana, 
se propagando num meio tridimensional. 
Escolhe-se um ponto O como origem no espaço e designa-se n um vetor unitário na direção de 
propagação da onda. Seja M um ponto do espaço alcançado pela onda ao tempo t depois de sua 
passagem em O. De fato, para todos os pontos de uma superfície S0 contendo O, os vetores 
caracterizando o campo magnético tem o mesmo valor. É a mesma coisa para todos os pontos de 
uma superfície S contendo M onde a dependência da onda com o espaço fica constante. S0 e S são 
chamadas superfícies de onda. 
As distâncias significativas de propagação são então essas que são contadas segundo a direção de 
propagação, seja, por exemplo, 
rn

.
. Um componente qualquer dos vetores do campo no ponto M se 
escreve: 













v
rn
ti

.
..exp.0 
 
A introdução do vetor de onda: 
nn
v
k

.
.2
.



 
conduz à expressão mais geral de uma onda senoidal: 
  rkti 

...exp.0  
 
A quantidade 
rkt

.. 
 é então a fase da onda no ponto M e no instante t. 
rkt

.. 
 representa a 
defasagem da onda entre o ponto M e a origem no mesmo momento. As superfícies de onda 
aparecem como sendo o lugar instantâneo dos pontos de mesma fase. São superfícies de fases 
iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Propagação de uma onda em meio tridimensional 
r 
n 
M 
O 
O’ 
S0 S 
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1.1.4. Interferências de duas ondas monocromáticas 
Seja duas ondas monocromáticas 1 e 2 se propagando na mesma direção, com oscilações se 
efetuando na mesma direção comum e na mesma frequência. Resulta dessa superposição uma onda 
única porque a equação de onda é linear: 
21  
 
cujo quadrado da amplitude é obtido por: 
*
2121
2
0
)).((  
 
ou: 
*
12
*
21
*
2
*
1
2
0
....
21
 
 
Levando em conta que: 
  111 ...exp. rktiA

 
 
    222 ...exp. rktiA
 
Acha-se: 
    21212220 .cos...221 rrkAAAA

 
Como na realidade, as observações não são instantâneas, é necessário calcular o valor médio de 0² 
no tempo: uma variação aleatória da defasagem entre as duas ondas implica a anulação em média to 
ultimo termo que, ao contrário, oscila de maneira senoidal no espaço quando essa defasagem  é 
constante no tempo. 
Então, se as ondas são independentes (emitidas por duas fontes diferentes, por exemplo), os valores 
médios no tempo dos dois últimos termos são nulos e a intensidade da onda resultante é 
simplesmente igual à soma das intensidades das duas ondas parciais. No caso contrário, esses 
termos são responsáveis por oscilações no espaço do tipo: 
  21.cos rrk


e pela existência de 
franjas de interferência. 
1.1.5. Ótica geométrica 
A onda plana progressiva tem isso de particular que sua direção de propagação e sua amplitude são 
uniformes em todo o espaço. As ondas eletromagnéticas quaisquer não possuem essa propriedade. 
No entanto, pode-se frequentemente considerar as ondas eletromagnéticas não planas como ondas 
planas nos limites de uma pequena região do espaço. Para isso, é necessário que suas amplitudes e 
direção de propagação ficam quase constantes sobre uma distância da ordem do comprimento de 
onda. Pode-se então introduzir a noção de raios que são linhas cujas tangentes coincidem em todos 
os pontos com a direção de propagação da onda. Pode-se então fazer abstração do caráter 
ondulatório do fenômeno, estudando somente o trajeto seguido por esses raios: isso é a ótica 
geométrica cujas leis são verificadas rigorosamente somente quando o comprimento de onda pode 
ser considerado como infinitamente pequeno. 
1.1.6. Difração de ondas 
A generalização dos fenômenos de interferências é a difração, fenômeno característico da 
propagação ondulatório de uma grandeza física, desde que se afaste do caso ideal da ótica 
geométrica. O exemplo da difração de uma onda plana por uma fenda retangular é particularmente 
demonstrativo. A figura luminosa recolhida no anteparo conte, além da mancha geométrica normal, 
inúmeros satélites cujo brilho diminui à medida que se afasta da direção da onda incidente. Esse 
resultado pode ser interpretado como resultando da superposição de ondas esféricas oriundas de 
fontes defasadas distribuídas continuamente sobre a fenda de difração. 
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A difração pelas aberturas ou pelos anteparos de diversas formas (rede, cristais sólidos, etc.) constitui 
um critério experimental indiscutível do caráter ondulatório de um fenômeno. 
1.2. Noção de pacote de ondas 
1.2.1. Será que a onda progressiva monocromática tem um significado físico? 
No parágrafo anterior, foram relembradas definições e propriedades dos fenômenos ondulatórios, 
especialmente as referentes à radiação eletromagnética. Em particular, se limitando ao caso da onda 
plana (propagação unidimensional), lembrou-se que uma onda monocromática do tipo: 
  x.kt..iexp.0 
 
é solução da equação de ondas: 
0.
1
2
2
22
2






tvx
 com 
k
v


 
É então uma onda progressiva de pulsação , de amplitude 0 em todos os pontos, propagando-se 
com a velocidadev ema todo o espaço, a variável x tomando todos os valores de – até +. 
Essa onda monocromática é matematicamente aceitável porque ela satisfaz a equação de 
propagação de ondas. No entanto, essa condição necessária não é suficiente. Em particular, tem que 
se lembrar de que a onda é antes de tudo um processo de transporte de energia a que a densidade 
de energia em cada ponto é proporcional ao quadrado da amplitude da onda, seja aqui 0
2
. Assim, se 
fotografar a onda monocromática no instante t, pode dizer que ela é portadora da energia 
instantânea: 



 dxW .2
0

 
que visivelmente não é uma quantidade finita. 
Assim, a onda monocromática, de extensão ilimitada, não pode ser uma solução fisicamente aceitável 
para a equação de propagação. 
Convence-se que o raciocínio não perdeu nada de sua generalidade pelo fato de ter-se limitado ao 
caso da propagação unidimensional. 
Fica então a tarefa de construir uma solução da equação de ondas que permite ao mesmo tempo a 
existência de um regime permanente e o transporte de energia finita a cada instante. 
1.2.2. O pacote de onda quase monocromático 
Não se pode abandonar completamente a onda monocromática em razão de sua simplicidade 
matemática, do potencial de generalização que ela contém e sobre tudo da grande facilidade com 
que se consegue praticamente uma vibração senoidal. 
Na procura de uma boa solução, a ideia mais simples consiste em superpor ondas monocromáticas, 
em razão mesmo do caráter linear da equação de onda. Fica então achar uma superposição 
conveniente. 
Com efeito, mostra-se que a densidade de energia para de ser uniforme no espaço quando, por 
exemplo, duas ondas monocromáticas de frequências vizinhas se deslocam juntamente. Seja: 
  xktiA ...exp. 111  
 
  xktiA ...exp. 222  
 
A onda resultante em cada ponto é definida nesse caso por: 
21  
 
ou 
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      xktixktiA ...exp...exp. 2211  
 
Pondo: 
 01
 
kkk 01 
 
 02
 
kkk 02 
 
O calculo conduz a: 
    x.kt..iexp.x.kt.cos.A.2 00 
 
A amplitude da onda resultante varia então como o termo: 
 x.kt.cos.A.20 
 
cujo máximo se desloca com a velocidade U definida por: 
k
U



 
Quando as frequências 1 e 2 são escolhidas suficientemente próximas uma da outra, o período do 
termo de amplitude 0 é muito superior ao período do termo de propagação. Uma foto instantânea da 
onda resultante da então uma imagem similar à da figura seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Pacote de duas ondas 
A energia transportada pela onda  não é finita a cada instante porque 0 não converge no infinito, 
mas certas regiões do espaço são atravessadas por um fluxo instantâneo nulo. É lógico pensar que o 
modelo vai melhorar se superpuser três, quatro, e mais, ondas de frequência vizinha e de mesma 
amplitude. Chegam assim à definição do pacote de ondas quase monocromático, obtido superpondo 
todas as ondas monocromáticas que correspondem a vetores de onda k contidos em um pequeno 
domínio de extensão k e de valor central k0. Cada onda tem como expressão: 
  xktiA ppp ...exp.  
 
e a onda resultante: 
    xktiA pp
p
p ...exp. 
 
O índice p varia de maneira que kp seja incluído entre 
2
0
k
k


 e 
2
0
k
k


. Observa-se que essa 
condição é equivalente à superposição de ondas monocromáticas, sem restrições sobre o vetor de 
onda (ou frequência), mas impondo à amplitude A(k) de cada onda uma variação como representada 
na figura 4. 
Se aumentar ainda o número de ondas monocromáticas participando ao pacote, o vetor de onda 
acaba variando continuamente dentro do domínio e a soma que expressa a onda resultante  pode 
ser substituída por uma integral, seja: 
 
0 
x 
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  



2/
2/
0
0
....exp.
kk
kk
dkxktiA



 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Variação da amplitude em função do vetor de onda para um pacote quase 
monocromático 
que ainda é solução da equação de propagação. Para efetuar o cálculo da integral, pode-se 
desenvolver a pulsação  em função do vetor de onda k, na vizinhança de 0 correspondendo a k0, 
seja: 
 0
0
0 . kk
dk
d









 
Pondo: 
0







dk
d
U

 
Acha-se: 
    000 ...... kkxtUxktxkt  
 
E a expressão do pacote de onda se calcula a partir de: 
     



2/
2/
00 ....exp...exp.
k
k
dyxtUyixktiA



 
onde: 
0kky 
 
O calculo da integral dá finalmente: 
 
 
  xkti
xtU
k
xtU
k
kA ...exp
..
2
..
2
sin
.. 00 








 


 
O termo de propagação que consta na exponencial mostra que o essencial da onda monocromática 
foi conservado. Fica verificar que a energia da radiação fica finita a qualquer instante. Para isso, 
calcula-se: 



 dxW .*.
 
Seja: 
 
 
kAdx
xtU
k
xtU
k
kAW 


 ..2
..
2
..
2
sin
.. 2
2
22 






















 


 
k 
A(k) 
k0 k0+k/2 k0-k/2 
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porque: 









1.
sin
2
du
u
u 
A onda definida assim é fisicamente aceitável se a constante A escolhida tem a ordem de grandeza 
de 
k/1
. No entanto, pode prever que o termo de amplitude, dependendo da posição e do tempo, 
vai modificar profundamente o aspecto do fenômeno ondulatório em comparação à imagem da onda 
monocromática de extensão ilimitada. 
1.2.3. O pacote de onda representa um fenômeno de extensão limitado 
A notação complexa permite de expressar imediatamente o quadrado da amplitude para o 
pacote quase monocromático: 
*2
0 . 
 
Seja: 
 
 
.
..
2
..
2
sin
.
2
2
0





















xtU
k
xtU
k
k


 
A onda de vetor k0 se desloca de fato em baixo da curva que representa 0 no espaço, a cada 
instante. É o que ilustra a figura 5, para o instante t = 0, onde a curva em traço largo representa a 
variação do termo de amplitude e a curva em traço fino, uma imagem instantânea da onda que se 
propaga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Pacote de onda quase monocromático no instante t = 0 
Praticamente, o fenômeno ondulatório descrito assim fica limitado a uma pequena região do espaço, 
em cerca do grande máximo central do termo de amplitude. Essa região, de extensão variando como 
1/k, é então mais estreita cada vez que o pacote de onda transporta um número maior de 
frequências diferentes. Inversamente, mais se tentara confinar o fenômeno ondulatório numa região 
reduzida, e menos a frequência transportada será definida com precisão. 
É usual definir a extensão x da onda quase monocromática como sendo aproximadamente igual à 
largura a metade da altura do máximo central. Seja: 
k
x



.2

 
ou : 
 .2. kx
 
 
0 
x 
 
 
 
 
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A onda progressiva monocromática aparece então como um caso limite onde a condição k = 0 
implica necessariamente uma extensão ilimitada (x  ). Outro caso limite é esse do pacote de 
onda infinitamente estreita (x  0) e quetransporta então um número infinito de frequências (k  
). 
1.2.4. Noção de velocidade de grupo para um fenômeno ondulatório 
Vê-se então que dentro do pacote de onda quase monocromático se superpõem ondas 
monocromáticas cujos vetores de onda são distribuídos em cerca do valor médio k0, com as 
amplitudes determinadas acima. Assimilando o pacote de onda a uma onda única, pode-se definir a 
fase media do pacote de onda por: 
xkt .. 00 
 
A velocidade de propagação da onda central é então: 
0
0
0
k
v


 
E as das ondas laterais participando ao pacote: 
k
v


 
A grandeza v se chama velocidade de fase. Se ela não depender da frequência, o meio de 
propagação é dito não dispersivo e todas as ondas do pacote se deslocam com a mesma velocidade. 
Nesse caso, pode observar que o máximo central do pacote se desloca de tal maneira que: 
0.  tUxM
 
Seja: 
U
dt
dx M 
 
Como por outro lado: 
0kk
dk
d
U









 
A ausência de dispersão conduz a: 
0
0
0
0
0 v
kkk
U 




 
Então, num meio não dispersivo, o pacote de onda se desloca com uma velocidade igual à 
velocidade de fase comum a todas as ondas. E o caso particular das ondas eletromagnéticas no 
vácuo onde a velocidade de fase é vizinha de c = 3.10
8
 m/s. 
Se o meio for dispersivo, quer dizer se a velocidade de propagação v de uma onda monocromática 
depender de sua frequência, a situação é diferente. O máximo central do pacote de onda se desloca 
sempre com a velocidade: 
0kk
dk
d
U









 
Mas  = v.k, variação da pulsação em função do vetor de onda, não pode ser mais representada por 
uma reta. A velocidade U do pacote, que é chamado velocidade de grupo, pode então ser muito 
diferente da velocidade de fase de cada uma das ondas. Com efeito, considerando a curva 
representando as variações de  com k,  = f(k), e chamando M o ponto de coordenada (0, k0), a 
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12/37 
velocidade de fase é igual a o declínio da reta ligando M à origem, enquanto a velocidade de grupo é 
igual ao declínio da tangente em M da curva  = f(k). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Curva de dispersão 
É usual caracterizar a dispersão de um meio estudando a variação da velocidade de fase em função 
da frequência, em vez do vetor de onda. Pode deduzir uma nova expressão da velocidade de grupo: 


 d
v
d
d
dk
U







1 porque  = v.k 
seja: 


d
dv
vvU
.
11
2

 
Como a densidade de energia transportada pela onda é sempre proporcional ao quadrado da 
amplitude, pode observar que a propagação da energia se faz sempre com uma velocidade igual à 
velocidade de grupo. Deduz-se que é essa única velocidade de grupo que é diretamente accessível à 
experiência, no caso da propagação em meios dispersivos, porque é a energia da radiação que excita 
os aparelhos de medida. 
A existência dessa velocidade de deslocamento do pacote de onda, e a extensão limitada do 
fenômeno, conduzem diretamente à noção de duração de vida t em cada ponto. Em efeito, um 
observador fixo, olhando passar o pacote de onda quase monocromático, observa algo tangível 
somente durante o lapso de tempo correspondendo à passagem do máximo central. Para um pacote 
de largura x se deslocando com a velocidade U, o tempo de passagem é da ordem de: 
U
x
t

 
 
Como a relação: 
 .2. kx
 
Deduz-se: 
kU
t



.2
.
1

 
Seja, levando em conta a definição da velocidade de grupo: 
 .2. t
 
Essa expressão completa o resultado obtido acima. Com efeito, um fenômeno ondulatório para ser 
monocromático, deve não somente ocupar todo o espaço, mas também durar eternamente, sem 
k O k0 
 = f(k) 
M 
0 
 
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13/37 
inicio nem fim. Ao contrário, mais o pacote é limitado no tempo e mais ele tem frequências diferentes. 
Assim um breve relâmpago ou uma centelha pode parasitar uma emissão radiofônica ou de televisão 
em qualquer faixa de frequência. 
Observa-se, para concluir, que o pacote de onda monocromático não constitui a única solução 
matemática e fisicamente aceitável para a equação de ondas. É mais um processo cômodo para 
chegar às relações gerais 
 .2. kx
 e 
 .2. t
, à noção de velocidade de grupo e de 
localização necessária aos fenômenos ondulatórios. Outro processo, a formação do pacote de ondas 
gaussiano é também possível. 
Muitas vezes, quando se fala de onda monocromática, sempre deve se lembrar de que é uma 
abreviação de escritura. Com efeito, geralmente será uma onda média correspondendo a pacotes de 
forma não definida. 
1.3. As insuficiências da teoria ondulatória: o fóton 
Parece que a Física clássica assegura uma boa explicação do conjunto dos fenômenos observados 
em nosso universo. Em particular, a teoria eletromagnética de Maxwell explica perfeitamente a 
propagação de ondas sobre um vasto domínio: dos raios  até, e além, das ondas de radiodifusão. 
Cada vez, é possível mostrar o caráter ondulatório do fenômeno e determinar seu comprimento de 
onda: pela difração nos cristais para comprimentos de onda de 0,01 Å até alguns Å (raios  e raios X), 
pela difração em redes planas para os comprimentos de onda indo até o milímetro (ultravioleta, 
visível, infravermelho) ou com as ondas estacionárias (radar, televisão, radiodifusão). 
No entanto, existe um conjunto de fenômenos que entram violentamente em contradição com esse 
aspecto puramente ondulatório e que conduz necessariamente a uma nova interpretação da natureza 
da radiação. Em particular o efeito fotoelétrico e o efeito Compton são totalmente inexplicáveis com a 
teoria ondulatória. 
1.3.1. Estudo do efeito fotoelétrico 
O efeito fotoelétrico consiste essencialmente na emissão de elétrons por certos metais quando eles 
estão iluminados em condições adequadas. Descoberto por Hertz em 1887, o fenômeno foi 
verdadeiramente estudado de maneira sistemática por Lenard em 1902. A figura 7 mostra o esquema 
de principio de uma montagem que permite colocar em evidência o efeito fotoelétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7: Esquema de principio de uma montagem permitindo observar o efeito 
fotoelétrico 
Numa ampola de sílica ou de quartzo transparente até o ultravioleta, realiza-se um vácuo o mais 
perfeito possível. Coloca-se um eletrodo anular A que pode ser também uma tela com malhas largas, 
e uma placa P de um metal alcalino (potássio ou césio geralmente), reduzida muitas vezes numa 
camada fina depositada no fundo da ampola. O anel A é colocado a um potencial positivo em relação 
à placa P (da ordem de algumas centenas de volts ao máximo). Na escuridão, o circuito exterior é 
atravessado por nenhuma corrente, o que é lógico porque a ampola constitui de fato um interruptor 
aberto. Ao iluminar a placa com luz violeta ou ultravioleta, o galvanômetro detecta a passagem de 
Galvanômetro 
Eletrodo 
anular 
Metal 
alcalino 
Ampola de 
sílica 
Resistência R 
Fonte de tensão 
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14/37 
uma corrente cuja intensidade é da ordem de algumas dezenas de microamperes. Isso implica que 
portadores de cargas elétricas circulam dentro a ampola, entre P e A. Experimentos de desvio por 
campos elétricos ou magnéticos aplicados exteriormente mostram que são elétrons arrancados da 
placa P e atraídos pelo anodo. É instrutivo estudar a influência dos diferentes parâmetros intervindos 
nessa experiência: 
- para uma iluminação dada permitindo a observação do efeito, a corrente é inicialmenteuma 
função crescente da diferença de potencial aplicado entre P e A, e depois alcança um valor 
de saturação : todos os elétrons emitidos por P são capturados por A, 
- para uma radiação dada, ultravioleta por exemplo, e para um metal P dado, o valor da 
corrente de saturação é proporcional à energia da radiação recebida pelo metal, qualquer 
seja a incidência e a polarização, 
- o efeito fotoelétrico é instantâneo: mesmo com flux luminosos muito fracos, ele começa 
menos de 10
-9
 s depois o inicio da iluminação, 
- para um metal dado, o efeito fotoelétrico ocorre somente para uma frequência  de radiação 
superior à um limiar 0. Determinam-se geralmente os limiares fotoelétricos de diferentes 
metais pelo comprimento de onda correspondendo, no vácuo: 
0,26 µm para o ferro e a prata 0,50 µm para o sódio 
0,37 µm para o zinco 0,54 µm para o potássio 
 0,69 µm para o césio. 
Fica a tentação de interpretar o fenômeno dizendo que a radiação absorvida pela placa transmite 
uma parte de sua energia para os elétrons livres do metal que adquirem então uma energia cinética 
suficiente para escapar do metal e ficar conduzidos até o anodo pela diferença de potencial aplicada. 
Mas os fatos observados no quadro dessa interpretação são inconciliáveis com uma teoria 
ondulatória da luz, admitindo um fluxo contínuo e constante de energia de radiação: 
- O efeito não deveria então ser instantâneo e aparecia somente dentro de um tempo 
dependendo da intensidade luminosa, aumentando com intensidades fracas. 
- Não existiria um limiar porque, segundo a teoria de Maxwell, a energia da radiação não é 
afetada por um fator de qualidade dependendo do comprimento de onda: um joule de luz azul 
é segundo a teoria clássica equivalente a um joule de luz vermelha. 
Saindo deliberadamente da teoria clássica para escapar a essas dificuldades, Einstein sugeriu, em 
1905, que uma radiação de frequência  era constituída de grãos de energia transportando cada um a 
energia E: 
 .hE 
 
onde h é uma constante que será explicitada mais adiante. 
Desse transporte por grãos ou quanta, deve resultar evidentemente efeitos inteiramente diferentes 
daqueles que resultariam de uma repartição suposta contínua de energia de radiação: sabe-se que 
não é indiferente receber na cabeça um bloco de pedra de uma tonelada ou uma tonelada de areia 
escoando lentamente. 
A partir daí, as diferentes características do efeito fotoelétrico interpretam-se facilmente: 
- Um quantum de energia de frequência  arranca um elétron se h. for superior ao trabalho de 
saída do elétron (a pedra deve ser suficientemente grossa!). O excedente em relação a esse 
trabalho de saída fornece ao elétron de massa m certa energia cinética: 
2..
2
1
. vmWh s 
 
- O efeito pode ser instantâneo mesmo com intensidades luminosas muito fracas (uma pedra 
só basta para arrancar um elétron!). 
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15/37 
Experimentalmente, é possível verificar que a energia do quantum é bem proporcional à frequência, 
determinar a constante h, como também a frequência limiar para um metal dado. Para isso, ilumina-
se a célula fotoelétrica com uma luz monocromática oriunda de um tubo espectral com que é possível 
variar o comprimento de onda de modo continuo e, para cada frequência, determina-se a velocidade 
v adquirida pelos elétrons, anulando a corrente elétrica com uma DDP de oposição V: 
Vevm ...
2
1 2 
 
Desenha-se então a curva: 
 fvm 2..
2
1
 
Constata-se que: 
  0f
 enquanto a frequência fica inferior a 0 que está 
sendo determinado 
   0.   hf
 para  > 0 
O declínio da reta obtida na segunda fase do experimento fornece um valor da constante h ou 
constante de Planck: 
h = 6,625.10
-34
 J.s 
Introduz-se também a constante h tal que: E = h. 
.2
h
h 
 
A figura 8 representa os resultados que foram discutidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8: Tensão de anulação da corrente fotoelétrica em função da frequência da 
radiação 
1.3.2. Interpretação do efeito Compton: o fóton 
O efeito fotoelétrico como foi descrito e interpretado, mostra somente que a troca de energia entre a 
luz e a matéria se faz por quantum de valor h.: a ideia de um corpúsculo transportado pela luz não 
se impõe ainda. É bem diferente quando se estuda o fenômeno de espalhamento dos raios X com 
mudança do comprimento de onda, descoberto por Compton em 1923. 
A interpretação em Física clássica encontra dificuldades insuperáveis, enquanto a noção de fóton, 
partícula de luz, fornece uma explicação simples. 
Experimentalmente, realiza-se o espalhamento Compton dirigindo um feixe de raios X numa 
substância contendo certo número de elétrons livres (calcita, alumínio). Se o alvo for suficientemente 
e.V = 1/2.mv² 
Reta de declínio h 
0 0  
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16/37 
fino, observam-se, por transmissão, os raios X espalhados fora da direção de incidência, com um 
comprimento de onda ligeiramente maior, quer dizer uma frequência menor. 
Explica-se então que o fóton entra em colisão no seio do alvo com um elétron e cedeu a ele uma 
parte de sua energia, explicando a diminuição de frequência. A teoria elementar das colisões 
elásticas fornece até uma interpretação quantitativa. As noções relativistas são, no entanto, 
necessárias porque o fóton se desloca com a velocidade da luz. 
O fóton é assim introduzido na forma de uma partícula possuindo a energia de um grão que nasceu 
com o efeito fotoelétrico, seja: 
 .hE  
Por outro lado, sabe–se que a energia E de uma partícula e a quantidade de movimento (momento) p 
são ligados pelas relações: 
 2
.
c
v
Ep 
 
  220222 .. cmpcE  
Onde v é a velocidade da partícula, m0 sua massa de repouso: 
Com: 2.cmE  
E: 
22
0
1 cv
m
m


 
Deduz-se imediatamente para o fóton que: 
c
h
c
E
p
.

 
seja 
khp .
 
 
00 m
 
O fato que a massa no repouso do fóton seja nula lhe confere um caráter particular, que não se 
encontra com as partículas clássicas. 
Determina-se a variação de comprimento de onda resultando do efeito Compton considerando o 
fenômeno como um choque entre partículas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9: Espalhamento por efeito Compton 
O fóton incidente possui a quantidade de movimento ou o momento 
1P
 seguindo a direção Ox. Ele 
encontra um elétron livre em O cuja velocidade é tão fraca que pode ser considerado no repouso. 
 
 
fóton espalhado na 
direção  
x 
elétron depois o 
choque 
fóton incidente 
O P1 
Pe 
P2 
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17/37 
Depois do choque, o elétron se afasta numa direção fazendo um ângulo  com Ox, levando o 
momento 
eP
 , enquanto o fóton é espalhado na direção , e que ele possui o momento 
2P
 . 
Escreve-se a conservação dos momentos durante o choque: 
ePPP

 21
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10: Conservação do momento no efeito Compton 
A relação trigonométrica no triangulo permite obter uma equação entre os módulos dos momentos: 
cos...2 21
2
2
2
1
2
PPPPPe 
 
O choque sendo suposto perfeitamente elástico é necessário escrever que a energia relativista total é 
conservada, seja: 
  2/122
0
2
2
2
01 ..... cmPchcmh e  
 
Energia 
do fóton 
incidente 
Energia do 
elétron no 
repouso 
Energia do 
fóton 
espalhado 
Energia do 
elétron 
deslocado 
m0 representa a massa do elétron no repouso. Mas como: 
c
h
P 11
.

 e 
c
h
P 22
.

 
é possível substituir 
1P
 , 
2P
 e 
eP
 na equaçãode conservação da energia: 
2/1
22
02
21
22
2
2
12
0
1 .cos.
...2...
.
.




















 cm
c
h
c
h
c
h
c
h
cm
c
h

 
Isolando a raiz quadrada de um lado, e elevando cada membro da equação ao quadrado, acha-se 
apos simplificar: 
  cos1...
.
21221

cm
h
o
 
Introduzindo os comprimentos de onda, acha-se finalmente: 
2
sin.
.
2
0
12


cm
h

 
A variação máxima é observada com os fótons retro espalhados, seja  = . Verifica-se que a 
quantidade 
cm
h
.0
 = 0,002426 Å é homogênea a um comprimento de onda: é o comprimento de onda 
Compton. A ordem de grandeza dessa quantidade mostra que o efeito será relativamente sensível 
 
P1 
Pe 
P2 
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18/37 
somente no domínio dos comprimentos de onda curtos ( 1 Å). É por isso que se fala do 
espalhamento Compton essencialmente para os raios X. É notável que todos os resultados 
experimentais sejam perfeitamente interpretados com a relação acima, justificando assim a existência 
do caráter corpuscular da radiação. 
Foi tratado unicamente o efeito Compton da primeira ordem. Com efeito, o fóton espalhado pode 
encontrar mais um elétron e sofrer um novo espalhamento, e assim por diante, dando nascimento a 
efeitos Compton de ordens superiores. 
Observa-se que, na pratica, não existem elétrons livres parados, mas basta escolher um material 
onde os elétrons são quase livres e animados de uma velocidade baixa. É o caso dos elétrons 
periféricos de átomos leves (Li, Al, C) porque a sua energia cinética e sua energia de ligação são 
desprezíveis diante o quantum h.v de raios-X suficientemente duro (linha K do Mo, por exemplo,  = 
0,71 Å). 
1.3.3. Como conciliar o aspecto corpuscular com o aspecto ondulatório da 
luz? 
Se os efeitos fotoelétricos e Compton são inexplicáveis dentro de uma teoria puramente ondulatória 
da luz, as experiências de difração e de interferências são totalmente incompreensíveis numa teoria 
unicamente corpuscular. 
Para explicar o conjunto dos fenômenos luminosos, é então necessário associar ondas 
eletromagnéticas e fótons, o aspecto ondulatório e o aspecto corpuscular. É necessário também 
admitir que, se esses dois aspectos complementares coexistem sempre, eles não se manifestam 
nunca simultaneamente: a teoria ondulatória se aplica às interferências, à difração, e de maneira 
geral cada vez que a energia luminosa se conserva. A teoria corpuscular, ou quântica, intervém 
quando há troca de energia entre a matéria e a radiação. A conciliação entre essas duas concepções 
se faz somente em primeira aproximação, no caso da ótica geométrica: os raios luminosos se 
confundem então com a trajetória dos fótons. 
No entanto, é possível estabelecer passarelas entre os dois formalismos. No aspecto ondulatório, a 
energia transportada pela onda é proporcional em cada ponto ao quadrado da amplitude da onda: 
  x.kt..iexp.0 
 
Completamente determinada por 0,  e k. 
No aspecto corpuscular, a energia é proporcional ao numero de fótons em cada ponto, cada fóton 
sendo completamente determinado por sua energia E e por seu momento P. 
Uma primeira passarela já existe, considerando as relações: 
.hE 
 
khp .
 
Pode e deve ser estabelecida uma segunda ligação para conciliar as duas definições da energia 
transportada pela luz. É suficiente para isso admitir que a probabilidade de presença do fóton em um 
ponto, ou a densidade de fótons nesse ponto, é proporcional ao quadrado da amplitude da onda 
nesse mesmo ponto. Tudo acontece então como se a onda servia de guia para os fótons. Nota-se 
que isso confirme a ausência de sentido físico de uma onda monocromática para a qual a amplitude é 
constante em todo o espaço, o que induz a impossibilidade de localizar o fóton. 
1.4. Aspecto ondulatório do movimento das partículas materiais 
Enquanto as experiências ligadas à luz conduziriam os físicos a atribuir à luz um caráter dual, 
ondulatório e corpuscular, outras experiências iam impor às partículas materiais uma natureza 
ondulatória absolutamente incompatível com as leis da mecânica clássica. 
Após uma descrição rápida dos principais fatos experimentais que abalaram a antiga Física, será 
dado o significado das ondas de Louis de Broglie, e apresentada a equação de Schrödinger, 
verdadeiro princípio fundamental de uma nova mecânica. A exploração desta equação a alguns 
problemas unidimensionais será feita. 
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19/37 
1.4.1. As experiências de difração dos elétrons 
Em 1927, Davisson e Germer mostraram que um feixe de elétrons se difrata sobre um monocristal 
como um feixe de raios X. 
É bom descrever brevemente o fenômeno de difração de uma onda eletromagnética por um cristal. 
Os cristais que constituem a matéria são compostos de átomos (ou de moléculas) dispostos nos 
extremos de poliedros (cubos, por exemplo) que se reproduzem sempre por translação. Esse 
empilhamento de átomos pode igualmente ser realizado superpondo uma família de planos paralelos 
ditos planos reticulares. Sobre cada um desses planos, os átomos desenham uma rede regular. 
Imagina-se um feixe de raios paralelos de uma onda eletromagnética batendo no cristal e penetrando 
nele suficientemente para encontrar vários planos reticulares de uma mesma família, com a 
inclinação . Grosso modo, cada plano vai se comportar como um espelho plano para a onda 
incidente. A figura 1 indica a situação para dois planos reticulares adjacentes, separados pela 
distância d. A onda que encontra o plano reticular n°2 percorre a distância KJK’ a mais. Essa 
distância é igual a 2.d.sen, como mostra a figura. Então, se contar as fases das ondas difratadas a 
partir do plano de onda IK, pode-se escrever para a onda n°1: 
  x.kt..iexp.01 
 
E para a onda n°2: 
   sin.d.k.2x.kt..iexp.02
 
onde x designa a distância do plano de onda no ponto I escolhido como origem. Na saída do cristal, 
acontecera o máximo de intensidade na direção  quando todas as ondas 1, 2, ..., serão todas em 
fase, seja : 
ndk n ..2sin...2  
 
ou 
nd n ..2sin..2.
.2




 (n inteiro) 
ou 
 .sin..2 nd n 
 (relação de Bragg) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11: Difração de uma onda sobre os planos reticulares de um cristal 
Do ponto de vista experimental, é necessário utilizar um feixe de raios X porque as distâncias d entre 
os planos reticulares são da ordem de alguns angströms e tem necessariamente  < 2.d. Dirige-se o 
feixe sobre a amostra que é composta de uma multidão de pequenos cristais orientados em todas as 
direções. Certas dessas direções correspondem a um ângulo n que satisfaz a relação de Bragg para 
uma ordem n determinada. Os raios difratados correspondentes formam uma superfície cônica tendo 
como eixo à direção de incidência e como semiângulo igual a 2.n. Observa-se então no anteparo ou 
Feixe incidente Feixe difratado 
Plano reticular n°1 
Plano reticular n°2 
I 
J 
K K’ 
 
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20/37 
na placa fotográfica colocada perpendicularmente à direção de incidência, anéis concêntricos cujos 
raios são dados pela relação de Bragg. As direções privilegiadas então definidas são ditas direções 
de reflexão seletiva ou direções de Bragg. 
Davisson e Germer repetiram a mesma experiência, substituindo o feixe de raios X por um feixe de 
elétrons acelerados por uma tensão inferior a 100 V. Os elétrons espalhados são recolhidos por um 
cilindro de Faraday que realiza a sua contagem. 
Essa contagem fica importantesomente para certas direções privilegiadas e acha-se de novo o 
diagrama com anéis próprios à difração das ondas eletromagnéticas, mesmo se o feixe incidente de 
elétrons é pouco denso. Esse resultado, verificado em várias vezes, só pode ser explicado 
associando um comprimento de onda e ao elétron, tal que: 
en nd  .sin..2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12: Esquema de princípio da experiência de Davisson e Germer 
A noção de trajetória perfeitamente definida, como se aprende em dinâmica clássica, não se aplica 
mais aqui ao elétron como partícula, após sua passagem na rede do cristal. 
Ao procurar uma interpretação quantitativa das experiências do tipo Davisson e Germer, constata-se 
que a relação de Bragg continua sendo verificada quando se varia a velocidade dos elétrons 
incidentes, a condição de escolher como comprimento de onda associada uma quantidade 
inversamente proporcional à quantidade de movimento ou momento do elétron: 
p
h
vm
h
e 
.

 
A constante de proporcionalidade h é de novo a constante de Planck, o que não fortuito. 
Se designar por |e| o valor absoluto da carga do elétron e por Va a tensão de aceleração, a energia 
cinética adquirida pelos elétrons é: 
mVep a ...2
 
Deduz-se um valor teórico (e)teo do comprimento de onda associada dado pela relação: 
 
mVe
h
a
teoe
...2

 
Valor teórico que deve ser comparado à relação obtida a partir dos anéis de difração: 
 
n
d n
e


sin..2
exp 
 
Para tensões variando entre 104 e 2.104 volts, correspondendo a comprimentos de onda de 0,1 Å até 
0,07 Å, a verificação se faz com uma precisão de 10
-3
. 
Canhão a elétrons 
Catodo 
Anodo 
Cristal de níquel 
Cilindro de 
Faraday 
Eixo dos anéis de 
difração 
Feixe 
incidente 
Corrente 
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21/37 
O cálculo indicado aqui fica ainda simples porque a velocidade dos elétrons nesses 
experimentos pode necessitar a utilização da mecânica relativista. 
1.4.2. Franjas de Interferências eletrônicas 
é igualmente possível realizar com elétrons uma experiência análoga ao bi-prisma de Fresnel, 
evidenciando assim por uma experiência de interferências, o aspecto ondulatório do comportamento 
das partículas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13: Experiência de interferências eletrônicas 
1.4.3. Espectro do átomo de hidrogênio 
Os resultados obtidos, quando tenta utilizar a mecânica e a eletrodinâmica clássica para explicar os 
fenômenos atômicos são em contradição fragrante com os dados experimentais. 
Isso aparece claramente quando tenta aplicar a eletrodinâmica usual ao modelo do átomo onde os 
elétrons gravitam em cerca do núcleo segundo as órbitas clássicas (Rutherford, 1911). A priori, esse 
sistema é análogo ao sistema de um planeta gravitando em cerca do sol, a interação de gravitação 
sendo substituída pela interação eletromagnética que é, aqui, perto de 10
42
 vezes maior. 
Mas o elétron em movimento numa órbita em cerca do núcleo é uma carga elétrica fortemente 
acelerada normalmente à sua trajetória. Segundo a teoria de Maxwell, ele se comporta como uma 
fonte de radiação eletromagnética. Essa energia irradiada continuamente no espaço aparece ao 
custo da energia do sistema que evolui então de maneira contínua para uma situação onde essa 
energia é mínima: é a queda do elétron no núcleo com uma emissão de uma radiação cuja frequência 
é continuamente variável, e cada vez mais elevada (avalanche ultravioleta). O cálculo clássico 
permite de prever que toda a energia coulombiana do casal núcleo-elétron seria assim emitida em um 
tempo da ordem de 10
-10
 segundo. Se tivesse que admitir tal modelo clássico, chegariam as 
características seguintes: 
- o átomo seria instável, 
- ele irradiaria, em um tempo breve, energia no domínio contínuo de frequência 
Em frente a essas previsões da mecânica e da eletrodinâmica clássica, o que traz a experiência? 
- o átomo é um sistema muito estável e pode ser destruído unicamente por ionização 
(separação do elétron do núcleo), o que é tudo ao contrário de uma queda de um elétron, 
- desde as experiências de Balmer, em 1885, é conhecido que a luz emitida por um tubo cheio 
de hidrogênio e submetido a uma descarga elétrica, constitui um espectro de linhas. As 
frequências observadas correspondentes são muitas bem representadas por uma formula do 
tipo: 







²
1
²
1
.
qp
N
 
Zona de 
interferências 
Placas metálicas 
Fio carregado positivamente 
Fonte de elétrons 
x 
y 
+U 
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22/37 
onde p e q (com q > p) designam números inteiros. Ainda aqui, é possível de achar um acordo entre a 
teoria e a experiência, a condição de esquecer deliberadamente que o elétron é um ponto material 
submetido a uma força central ao qual se tentaria aplicar as leis da dinâmica clássica. 
Sem chegar a uma explicação profunda, Bohr obteve um modelo atômico aceitável, supondo a priori 
que o momento angular do elétron é obrigatoriamente um múltiplo inteiro de h. Nesse modelo, a 
energia pode evidentemente tomar unicamente valores discretos correspondendo às únicas órbitas 
possíveis. 
O átomo de Bohr é artificialmente estável porque o modelo não permite a priori ao elétron de irradiar 
enquanto ele fica numa órbita de Bohr e a distância mínima de aproximação do elétron e do núcleo 
não pode ficar menor de um valor mínio a0. Em contrasto, se o elétron saltar de uma órbita para outra, 
sua energia varia bruscamente de uma quantidade 
.hE 
, e há emissão ou absorção de uma 
radiação de frequência  ou de comprimento de onda 
 c
. Cada salto possível corresponde 
então a uma linha no espectro de emissão, como indicado na figura 14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14: Linhas do espectro de emissão do átomo de Bohr 
A abordagem de Bohr pode ser melhorada. Supondo que, a um momento dado, o movimento do 
elétron seja circular, de velocidade linear v, segundo uma órbita de raio r. A energia total do elétron 
(cinética e potencial) é então: 
r
e
vmE
²
.
..4
1
²..
2
1
0

 
Nessa situação, o elétron sofre uma força centrípeta devida à atração coulombiana do núcleo: 
²
²
.
..4
1².
0 r
e
r
vm


 
Seja : 
².
²
.
..4
1
0
vm
r
e


 
Donde se tira uma expressão de E e de r em função de m.v² : 
²..
2
1
vmE 
 
².
²
.
..4
1
0 vm
e
r


 
Se admitir que o movimento do elétron é estacionário, a onda associada ao elétron devera, 
logicamente, ser igualmente estacionária. Isso significa que o comprimento da órbita devera ser igual 
a n vezes o comprimento da onda eletrônica: 
1
a
 órbita 
4
a
 órbita 
3
a
 órbita 
2
a
 órbita 
Linhas de 
emissão 
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23/37 
enr  ...2 
 onde n = 1, 2, 3, ... 
seja : 
p
h
n
vm
h
nr .
.
. 
 
Finalmente, é possível determinar as três quantidades r, v e E em função de n: 
sm
nh
e
n
v /
10.2,2²
.
..4
1
.
1 6
0


 
².
²
...4². 0
em
h
nr 
 
²².²..32
.
²
1
0
4
h
em
n
E


 
Isso pode ser reescrito introduzindo o raio da menor órbita, chamada de primeira órbita de Bohr: 
².
²
...4 00
em
h
a 
 
cujo valor numérico é vizinho de 0,529 Å. Obtém-se então: 
0².anr 
 e 
00 ...8
²
.
²
1
a
e
n
E


 
².53,0 nr 
 Å e 
²
5,13
n
E 
 eV 
E tem valores negativos porque o elétron é ligado ao núcleoe é necessário fornecer a ele energia 
para ele ficar livre (ionização). 
O raio e a energia, que só podem assim pegar uma série descontinuada de valores, são grandezas 
ditas quantizadas e n constitui um número quântico. No átomo de hidrogênio, o elétron se coloca 
normalmente no estado mais estável, correspondendo ao mínimo de energia, seja n = 1. Se o átomo 
é excitado, num tubo de descarga, por exemplo, o elétron salta para uma órbita mais afastada. A 
desexcitação ou retorno para o estado normal pode então acontecer com a emissão de radiação cuja 
frequência é tal que: 







²
1
²
1
.5,13.
qp
Eh 
 eV 
p e q sendo os números quânticos caracterizando respectivamente o estado inicial e o estado final. 
Observa-se a identidade entre o espectro assim obtido e o das experiências de Balmer. Por outro 
lado, esse modelo proíbe igualmente a avalanche do elétron no núcleo porque n não pode ser inferior 
a 1, e a destruição do átomo acontece eventualmente pela ionização se fornecer ao sistema uma 
energia superior a 13,5 eV. Esse valor é conforme com os dados experimentais. Observa-se 
finalmente que a velocidade prevista para o elétron autoriza a utilização de um modelo não relativista. 
1.4.4. Hipótese de Louis de Broglie 
Assim, as experiências de difração eletrônica e de interferências eletrônicas, e o comportamento dos 
objetos atômicos, se explicam bem pelo aspecto ondulatório dos corpúsculos materiais, como, de 
uma maneira análoga, se explicam bem os efeitos fotoelétricos e Compton, atribuindo um aspecto 
corpuscular à luz. 
A mais, a interpretação quantitativa fica perfeita a partir do momento que o comprimento de onda 
associada ao elétron satisfaz a relação: 
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24/37 
p
h
vm
h
e 
.

 
Por isso, em 1925, Louis de Broglie sugeriu que as relações que existem entre os aspectos 
corpuscular e ondulatório da radiação se apliquem também aos elétrons, e as outras partículas 
materiais: 
A luz é uma onda definida por: 
  x.kt..iexp.0 
 
de vetor de onda 

.2
k
que guia um corpúsculo, o fóton, de energia 
.E
 e de momento 
kp .
. 
A partícula material, elétron e outras, de energia E e de momento p é acompanhada por uma onda de 
pulsação 

E

 e de vetor de onda 

p
k 
, que pode ser escrita na forma : 












 x.
h
p
t.
h
E
.iexp.0
 
Nos dois casos, a onda não é monocromática e 0 representa a amplitude de um pacote de onda 
variando e se deformando no espaço durante a sua propagação. Nos dois casos, a probabilidade de 
presença do corpúsculo, ou densidade de corpúsculo, em cada ponto do espaço num instante dado, 
é proporcional ao quadrado da amplitude do pacote de onda. 
A velocidade de grupo do pacote de onda: 
dp
dE
dk
d
U 

 
Que é a velocidade de propagação da energia, deve se identificar com a velocidade do corpúsculo. 
Isso se verifica facilmente. A energia da partícula, no sentido clássico, é a soma de um termo cinético 
e um termo potencial: 
)(²..
2
1
xVvmE 
 
ou 
)(
.2
²
xV
m
p
E 
 
Deduz-se: 

m
p
dp
dE
velocidade da partícula 
Admitindo uma representação das partículas por um pacote de onda, aplicam-se as relações de 
incerteza demonstradas no caso da luz, seja: 
1. xk 
 
1. t
 
Essas relações podem se escritas utilizando os parâmetros corpusculares. Seja: 
xp  .
 
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25/37 
tE .
 
As partículas materiais seriam então na situação tal que posição e velocidade de um lado, e energia e 
duração de vida, do outro, não podem ser determinados simultaneamente com uma precisão infinita. 
1.4.5. Generalização: o princípio de Heisenberg 
Se o duplo aspecto ondulatório e corpuscular parece se impor, as relações de incerteza parecem 
mostrar uma certa deficiência da descrição ondulatória em comparação com as ideias adquiridas em 
mecânica e eletrodinâmica clássica. De fato, alguns exemplos numéricos podem convencer 
rapidamente que esse novo ponto de vista só afeta os corpos materiais de dimensões muito 
pequenas, e não contradiz o bom senso que se associa à experiência de todos os dias. 
Considera-se, por exemplo, o movimento de uma partícula material cujo diâmetro é da ordem de 1 
µm , seja 10
-6
 m. Já é um corpo muito pequeno à escala humana, mas também ainda é enorme em 
relação ao elétron. Se a densidade é da ordem de 1 kg/dm3, a massa da partícula será vizinha de 10
-
16
 kg e a primeira relação que impõe uma incerteza sobre a posição e a velocidade dará: 
1810. 
m
h
vx 
 
e o comprimento da onda associada seria: 
vvm
h
p
1810.6
.


 m 
Pegando para x o valor x = 0,1 µm = 10
-7
 m, correspondendo ao poder separador dos melhores 
microscópios óticos, a velocidade não poderia ser definida melhor que v = 10
-11
 m/s. Supondo o 
movimento uniforme, precisaria então de 10
4
 segundos, seja 2h1/2 para constatar um dobramento da 
incerteza sobre x. Os erros experimentais nesse caso são muitos maiores que a incerteza da teoria 
ondulatória, e pode considerar que a posição e a velocidade dessa partícula são perfeitamente 
determinadas a cada instante, no senso da mecânica clássica. 
Da mesma maneira, tais partículas nunca serão difratadas, porque mesmo com uma velocidade 
supersônica, o comprimento de onda associada é somente da ordem de 10
-15
 m, seja 10
-5
 Å. A 
relação de Bragg nesse caso mostra que não é possível observar anéis de difração com ângulos tão 
pequenos. Enfim, se considerar um rotator coulombiano similar ao átomo de hidrogênio com essa 
partícula, a aplicação numérica com m = 5.10
-16
 kg conduz a: 
a0 = 0,5.10
-15
 Å 
r = 0,5.10
-15
.n² Å 
eV
n
E
1510.
²
5,13

 
Praticamente, o raio da órbita pode variar de modo continuo parque a experiência não pode alcançar 
uma descontinuidade de alguns 10
-15
 Å e pode ter a união das duas cargas (com uma precisão de 
0,5.10
-15
 Å). Enfim, o sistema ficaria nesse estado, como o demonstram os valores de energia, fora do 
alcanço da experiência. 
É muito diferente quando efetuar os cálculos para um elétron. Nesse caso, os raios orbitais e a 
energia são quantizados e o comprimento da onda associada permite observar a difração. 
Similarmente, com uma massa vizinha de 10
-30
 kg, a primeira relação de incerteza conduz a: 
410. vx
 
Supondo que é um elétron descrevendo a primeira órbita de Bohr cujo diâmetro é vizinho de 1 Å, 
impondo a incerteza sobre a posição x = 0,1 Å, a incerteza ondulatória impõe que a velocidade não 
é definida com uma precisão melhor que v = 10
7
 m/s, seja 10 vezes a velocidade prevista para essa 
órbita ! Isso mostra que, no caso do elétron, não é mais possível raciocinar como em mecânica 
clássica. Falar de órbita eletrônica é uma imagem que não corresponde à realidade. No mais, fala-se 
dos pontos onde a amplitude da onda apresenta um máximo. Então, a posição do elétron sendo de 
fato vaga, é possível definir melhor a sua velocidade. 
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26/37 
O aspecto ondulatório do comportamento das partículas não abala então os hábitos enquanto 
considerar móbiles ordinários: carros, chumbo de fuzil, micróbio, etc. para os quais a massa enorme 
confere aos aspectos clássicos uma predominância absoluta. Ao contrário, o dualismo onda-
corpúsculo fica essencial para os objetos de dimensão atômica, e conduz a comportamentos que 
parece abalar o senso comum. 
De fato, nenhuma experiência realizou a medida simultânea da velocidade e da posição de um 
elétron, comose pratica correntemente com um automóvel. É muito provável que, na escala de um 
elétron, a operação de medida interfira diretamente no resultado da medida porque, observar um 
elétron, significa ilumina-lo, quer dizer bombardeá-lo com fótons. A mais, o exame da posição deve 
certamente perturbar sua velocidade, e reciprocamente, de tal maneira que a ordem das medidas 
deve também interferir nos resultados, para certas grandezas físicas. 
Aparece ai uma ideia totalmente nova que conduz a distinguir entre objetos clássicos e objetos 
quânticos. Chama-se clássico um objeto observável onde pode se desprezar a perturbação ligada a 
observação e utilizar a mecânica clássica. Se, ao contrário, a observação implica uma perturbação da 
grandeza tal que a medida seja manchada por uma incerteza de princípio e irredutível, ligada à 
constante de Planck, o objeto correspondente será dito objeto quântico, e ficara de elaborar uma 
nova teoria para descrevê-lo. O que será feito mais adiante. 
Doravante, à luz das observações feitas e dos exemplos estudados, é possível generalizar as 
relações de incerteza sob a forma do princípio de incerteza de Heisenberg. 
As consequências do principio de incerteza são ilustradas na figura 15. 
 
 
 
 
 
 
a) A e B são duas grandezas compatíveis 
 
 
 
 
 
 
 
b) A e B são duas grandezas incompatíveis 
Figura 15: Ilustração do princípio de Heisenberg 
Se considerar duas grandezas físicas A e B cujas medidas conduzem aos valores a e b, dois casos 
podem se apresentar: 
a) a observação de uma não perturba o valor da outra. A ordem de observação não tem então 
importância; e o conhecimento exato e instantâneo das duas grandezas é possível (com possíveis 
erros experimentais). Diz que as duas grandezas são compatíveis 
Exemplo: a energia e a velocidade para uma partícula livre, porque E=1/2.m.v² permite a 
determinação das duas em uma medida única. 
b) A observação de uma perturba a outra: se medir A, e depois B, não se acha a priori o mesmo 
resultado que se medir B, e depois A. O exame da onda associada não permite de conhecer as duas 
exatamente e no mesmo tempo. Diz que as grandezas não são compatíveis, e elas obedecem ao 
princípio de incerteza: a e b não podem ser conhecidas com uma precisão melhor que a e b, duas 
b 
a 
b 
a 
b 
a 
b 
a 
b 
a 
a 
b 
a 
b 
a 
b 
a 
b 
a 
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27/37 
incertezas de princípio que existem independentemente das incertezas de medida, e que obedece a 
relação de incerteza: 
hba  .
 
Exemplo: posição e velocidade 
1.5. A mecânica ondulatória de Schrödinger 
Na hipótese de Louis de Broglie, associa-se então uma onda com uma partícula, cujo comprimento 
de onda é fornecido pela relação: 
vm
h
p
.

. No entanto resta muito a fazer, nesse nível, para obter 
uma teoria completa susceptível de ser utilizada no lugar da mecânica clássica. Um primeiro passo 
importante seria feito se dispusesse de uma equação aplicável a todos os sistemas para obter a 
amplitude da onda associada, substituindo assim o princípio fundamental da dinâmica. É Schrödinger 
que estabeleceu essa equação a partir das observações seguintes: a ótica geométrica é a primeira 
aproximação da ótica ondulatória e os raios luminosos aparecem como sendo as trajetórias dos 
fótons. Porque não procurar uma nova mecânica, dita mecânica ondulatória ou mecânica quântica, 
cuja primeira aproximação seria a mecânica clássica? O fato de utilizar as mesmas relações formais 
entre as duas teorias gerais e suas primeiras aproximações poderia, na verdade, achar sua 
justificação por suas consequências positivas, a posteriori. 
1.5.1. Identidade formal entre a mecânica clássica e a ótica geométrica 
Seja um ponto material de massa m, de velocidade v suficiente mente baixa para ser não relativista, 
em movimento dentro de um campo de forças onde a energia potencial é uma função V(r). Se o 
sistema ponto material + campo de força é isolado, a energia total E é uma constante durante o 
movimento e tem simplesmente troca entre a energia potencial e a energia cinética, segundo o 
teorema das forças vivas: 
Variação da energia cinética = trabalho das forças aplicadas = - variação da energia potencial. 
Seja : 
)(²..
2
1
rVvmE


 
Donde se tira uma expressão da velocidade que será constante para trajetórias de energia invariável 
(ausência de fenômenos dissipativos ou dependendo do tempo). 
 ).
2
VE
m
v 
 
Considera-se um movimento tal que a partícula percorre uma primeira região onde a energia 
potencial V1 fica constante entre dois planos paralelos (P), e depois uma segunda região análoga 
onde V(r) = V2. Entre as duas regiões, a energia potencial varia de V1 a V2 numa faixa estreita, como 
representado na figura 16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16: Passagem de uma região de potencial V1 a uma região de potencial V2 
Região 1 
Região 2 
i1 
i2 
v1 
v2 
F 
P 
energia 
distância 
Região 1 Região 2 
E 
V(x) 
V1 
V2 
T1 T2 
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28/37 
Nas regiões 1 e 2, o ponto material não é submetido a nenhuma força porque 
0

V
. As trajetórias 
são retilíneas e percorridas com as velocidades respectivas: 
 ).
2
11 VE
m
v 
 
 ).
2
22 VE
m
v 
 
Como se vê na figura 16, existe uma força, então uma aceleração, perpendicular aos planos (P), 
entre as duas regiões. Consequentemente, somente a projeção da velocidade nesses planos fica 
constante, seja: 
   ).
2
.sin).
2
.sin 2211 VE
m
iVE
m
i 
 
onde i1 e i2 são respectivamente os ângulos das trajetórias com a normal aos planos (P), na primeira 
e na segunda região. Observa-se a identidade formal com as leis de Descartes em ótica geométrica, 
ao observar que o ponto material se desloca num meio de índice n tal que: 
)(. rVEAn


 
A é uma quantidade que fica de determinar, independente das coordenadas, mas podendo depender 
da energia total E; Observa-se que essa correspondência é generalizável a uma distribuição qualquer 
de potencial. Basta dividir o espaço em regiões suficientemente estreitas para que a variação de V(r) 
seja pequena dentro de cada uma delas. 
Para perfazer esse modelo ótico da mecânica clássica, deve-se determinar A. Se considerar a 
imagem de Louis de Broglie, com a onda associada à partícula, a velocidade de fase correspondendo 
é dada por: 
VEA
c
n
c
v


.

 
Levando em conta a relação 
.E
, a relação: 

 

d
dv
vvU
.
11
2

 
permite o cálculo da velocidade de grupo que é também a velocidade da partícula : 
 VE
m
dE
dv
v
E
vU 

2
.
11
2


 
A substituição de v por seu valor permite a determinação do coeficiente A: 
  VE
E
c
A
VE
dE
dA
c
E
VE
c
A
VE
m



..
2
1
...
.2
 
ou : 
 
2
.
..
2
.
EA
dE
dA
EAVE
m
c 






 
Verifica-se que essa equação diferencial tem como solução: 
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29/37 
E
mc
A
.2.

 
É então possível de tratar um problema de trajetória de um ponto material em Mecânica clássica 
pelas leis da ótica geométrica, atribuindo ao espaço um índice mecânico tal que: 
 
E que é uma função da energia da partícula. 
Assim, é possível evidenciar uma identidade formal entre a ótica geométrica e a mecânica clássica. 
1.5.2. Ótica ondulatória e mecânica quântica 
Essa expressão do índice estabelece uma correspondência entre um parâmetro queintervém 
usualmente nas leis da ótica geométrica e as grandezas que se encontram na mecânica clássica 
(energia e massa da partícula). A ideia de Schrödinger é que basta partir da equação de onda de 
base da ótica ondulatória, e de substituir o índice n do meio pela expressão achada para uma 
partícula, a fim de obter a equação de base da mecânica quântica. O esquema das diferentes 
correspondências então invocadas, é o seguinte: 
 
Ótica ondulatória 
1
a
 aproximação 
Ótica geométrica 
Louis de Broglie 
 
Equivalência formal 
Mecânica quântica 
1
a
 aproximação 
Mecânica clássica 
 
A equação de base da ótica ondulatória é a equação de propagação de onda: 
0.
1
2
2
2




tv


 
Que para cada das ondas monocromáticas do pacote de onda se transforma em: 
0.
2
2
 


v
 
Porque: 
  x.kt..iexp.0 
 
Implica que: 


.2
2
2



t
 
Como, por outro lado, a definição do índice é n = c/v, obtém-se: 
0.
.
2
22
 


c
n 
Seguindo Schrödinger, obtém-se a relação de base da mecânica quântica substituindo na equação 
de onda todas as grandezas do domínio ótico por suas correspondentes no domínio da mecânica, 
seja: 
 VEm
E
c
n  ..2.
 VEm
E
c
n  ..2.
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30/37 
.E
 
 
Chega-se assim a equação de propagação de uma partícula submetida ao potencial V(r): 
       rErrVr
m

 ...
.2
2

 
Isso é a equação de Schrödinger da primeira espécie, utilizável para achar as ondas associadas à 
partículas de energia estacionária. Em outras palavras, resolver a equação de Schrödinger de 
primeira espécie para um sistema dado, quer dizer para uma energia potencial dada V(r), é achar 
todos os estados do sistema para os quais a energia fica constante durante a evolução desse 
sistema. A descrição completa de tal estado estacionário comporta então a determinação da energia 
e da onda associada correspondendo. 
Por substituição direta, constata-se facilmente que uma onda monocromática é bem uma solução 
dessa equação, a condição que o vetor de onda tenha por valor 

p
k 
, o que é justamente a fórmula 
de Louis de Broglie: o formalismo de Schrödinger contém e generaliza as hipóteses de Louis de 
Broglie. 
Essa equação, muito geral, contém evidentemente o caso do problema a uma dimensão para o qual 
basta escrever: 
 
     xExxV
x
x
m


...
.2 2
22




 
Observação: 
As equações deduzidas da analogia ótica são utilizáveis para um sistema onde a energia fica 
constante (estados estacionários). É possível obter uma generalização para o estudo dos regimes 
dependendo do tempo de maneira qualquer. Sempre raciocinando sobre um componente 
monocromático, a operação de derivação parcial em relação ao tempo é: 
.i
t



 
Como: 
.E
 
Deduz-se: 
ti
E


 .

 
O que é a escritura simbólica do operador de energia total da partícula. Acha-se assim a equação de 
Schrödinger dita de segunda espécie: 
       tr
t
itrrVtr
m
,..,.,.
.2
2 






 
A função , que descreve a onda associada ao movimento de uma partícula, solução da equação de 
Schrödinger, é chamada função de onda ou função de estado da partícula. Todas as consequências 
tiradas da equação de Schrödinger que verifica admiravelmente a experiência constituem tantas 
provas fragrantes de sua generalidade, mais do que a demonstração que foi dada aqui. 
Pode, no entanto, observar que a teoria quântica ocupa certamente um lugar muito particular entre as 
teorias físicas. Normalmente, pode-se formular uma teoria mais larga seguindo um sistema lógico 
fechado, independentemente da teoria mais estreita que constitui seu caso limite. É assim que foi 
 VEm
E
c
n  ..2.
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construída a mecânica relativista a partir de princípios básicos, sem necessitar as bases da mecânica 
de Newton. A o contrário, a elaboração da mecânica quântica não pode se passar da mecânica 
clássica: de um lado a mecânica quântica contém a mecânica clássica como seu caso limite, mas por 
outro lado existe uma impossibilidade de elabora-la sem utilizar esse caso limite. 
1.5.3. Algumas características da função de onda 
Como já foi dito, é impossível observar um sistema quântico sem ele sofrer serias perturbações e, 
consequentemente, não se pode esperar existir uma ligação unívoca entre os resultados das 
experiências. Se repetir a mesma experiência em condições absolutamente idênticas, ela pode 
conduzir a resultados diferentes, mesmo que as medidas sejam perfeitas. Se, no entanto, repetir a 
experiência um grande número de vezes, cada resultado obtido cairá segundo certa proporção do 
total dos casos. Dito diferentemente existe uma probabilidade determinada para que se obtenha tal 
resultado. 
Sabe-se que é possível utilizar a função de onda para calcular as probabilidades de diversos 
resultados, porque a probabilidade de presença da partícula, ou a densidade de partícula em um 
ponto e a uma instante dado são justamente proporcionais ao quadrado da amplitude da onda 
associada, seja (para um problema a uma dimensão): 
  dxdxtxP ..., *
 
.*.dx expressa a probabilidade de achar a partícula a uma abscissa incluída entre x e x + dx. .* 
é a densidade de probabilidade. É então possível calcular grandezas médias, por exemplo, a posição 
média: 



 dxxx .*.. 
 
ou a posição quadrática média: 



 dxxx .*²..² 
 
Isso implica certo número de propriedades da função de onda, solução da equação de Schrödinger: 
 Ela deve ser normalizável para que a probabilidade de achar a partícula em todo o espaço 
seja igual a 1: 



1.*. dx
 
 Correlativamente, a função de onda é determinada a um fator de fase perto, da forma .i
e
 (
 sendo um número real arbitrário) cujo modulo é igual a 1. Isso representa uma não 
univocidade de princípio que nenhum artifício matemático pode afastar. É, no entanto, sem 
importância porque esse termo não afeta os resultados físicos, e porque é ||² que tem uma 
realidade física. 
 Como a equação de Schödinger é linear, as funções de onda obedecem necessariamente ao 
principio de superposição. Assim, considera-se um estado correspondendo à função de onda 
1 que, para certa medida, conduz com certeza ao resultado 1, e um estado correspondendo 
a função de onda 2 que conduz ao resultado 2. Para todo estado correspondendo a uma 
função  combinação linear de 1 e 2 :  = c1.1 + c2.2, onde c1 e c2 são coeficientes 
complexos, a mesma medida conduz quer seja ao resultado 1 ou ao resultado 2. Deduz-se, 
do princípio de superposição que, em mecânica quântica, em vez de uma simples adição das 
probabilidades, obtém-se a interferência: 
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2
*
12
*
1
*
21
*
212211 ......²².²².²  cccccc 
 
 Em um sistema complexo, compreendo um grande numero de partículas, a função de onda 
não depende somente das três coordenadas, mas de todas as coordenadas do sistema. É 
uma função de pontos em um espaço de configuração multidimensional, e não do espaço 
físico real. Essas propriedades da função de onda não permitem interpreta-la como uma certa 
distribuição no espaço de um campo se aparentando ao campo eletromagnético, ou outro. 
Para concluir, mostra-se que a equação de Schrödinger tem efetivamente soluções sempre 
normalizáveis. Considerando a quantidade: 



 dxI .. *
 
Uma primeira condição é que I não dependa do tempo, porque