Dimensionamento de lajes e pilares em concreto armado

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Sumário 
1. Projeto arquitonico e estrutural ..................................................................................................... 2 
2. Pré-dimensionamento das lajes ...................................................................................................... 3 
2.1. Definição dos tipos de apoio das lajes ........................................................................................ 3 
2.2. Espessura da laje ......................................................................................................................... 7 
2.3. Verificação das cargas nas lajes .................................................................................................. 9 
2.4. Verificação dos momentos nas lajes ......................................................................................... 10 
2.5. Cálculo das reações de apoio. ................................................................................................... 18 
2.6. Verificação da flecha. ................................................................................................................ 23 
2.7. Dimensionamento da armadura das lajes ................................................................................ 31 
2.8. Momentos fletores nas vigas .................................................................................................... 42 
2.9. Dimensionamento dos pilares: ................................................................................................. 45 
 
 
Figura 1: Projeto arquitetônico. 
1. Projeto arquitetônico e estrutural 
A planta acima é de um edifício residencial, que possui um pé direito de 2,65 
metros, além de um acabamento em granito para a sala e está localizado em 
ambiente urbano, o prédio possui 3 pavimentos mais o térreo, sendo construído 
em duas torres, cada uma com as mesmas características, ocupando uma área de 
projeto similar a 200 m². 
Tendo em vista que tudo o que será calculado em um pavimento servirá para 
dimensionar o pavimento ao lado, irá ser trabalhado apenas parte da planta, 
evitando confusões durante o projeto. 
A seguir está apresentado a planta baixa e o projeto estrutural das lajes, vigas 
e pilares que adotaremos para este trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Projeto estrutural. 
 
 
2. Pré-dimensionamento das lajes 
2.1. Definição dos tipos de apoio das lajes 
 
Figura 3: Laje 1. 
A laje 1 está engastada na laje 2, pois não houve marcação de desnível entre 
os cômodos da varanda e do quarto 2. 
Logo, afim de verificar sobre a armação da laje, calcula-se: 
ʎ =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
350
80
= 4,38 𝑚 
Como o resultado encontrado é ʎ > 2, temos que essa laje é armada em 
apenas uma direção e seu caso não pode ser resolvido pela tabela de Marcus. 
 
Figura 4: Laje 2. 
 A laje 2 encontra-se simplesmente apoiada em relação a laje 1, engastada em 
relação a laje 5 e simplesmente apoiada em relação a laje 6 visto que seu contato é 
inferior a 2/3 do comprimento da laje 2. 
Logo, afim de verificar sobre a armação da laje, calcula-se: 
ʎ =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
5,00
3,30
= 1,52 𝑚 
 Como o resultado encontrado é ʎ ≤ 2, temos que essa laje é armada em duas 
direções e é o segundo caso na tabela de Marcus, a qual será analisada 
posteriormente. 
 
Figura 5: Laje 3. 
A laje 3 encontra-se engastada à direita pela laje 4, e engastada na região 
inferior pela laje 6, e à esquerda ela possui a borda livre pela escada. 
Logo, afim de verificar sobre a armação da laje, calcula-se: 
ʎ =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
2,25
1,60
= 1,41 𝑚 
Como o resultado encontrado é ʎ ≤ 2, temos que essa laje é armada em duas 
direções e é o terceiro caso na tabela de Marcus. 
 
Figura 6: Laje 4. 
A laje 4 encontra-se engastada na laje 6, mas não está engastada na laje 3 pois 
a superfície que está em contato não supera 2/3 do comprimento total. 
Logo, afim de verificar sobre a armação da laje, calcula-se: 
ʎ =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
6,80
3,00
= 2,27 𝑚 
Como o resultado encontrado é ʎ > 2, temos que essa laje é armada em 
apenas uma direção e seu caso não pode ser resolvido pela tabela de Marcus. 
 
Figura 7: Laje 5. 
 A laje 5 encontra-se engastada na região superior pela laje 2, e engastada à 
direita pela laje 6, sendo que as outras bordas estão apoiadas nos pilares. 
 Logo, afim de verificar sobre a armação da laje, calcula-se: 
ʎ =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
4,00
3,50
= 1,14 𝑚 
Como o resultado encontrado é ʎ ≤ 2, temos que essa laje é armada em duas 
direções e é o terceiro caso na tabela de Marcus. 
 
Figura 8: Laje 6. 
A laje 6 encontra-se engastada à esquerda pela laje 5 e engastada à direita 
pela laje 4, e simplesmente apoiada nas demais bordas. 
Logo, afim de verificar sobre a armação da laje, calcula-se: 
 
ʎ =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
4,55
4,50
= 1,01 𝑚 
Como o resultado encontrado é ʎ ≤ 2, temos que essa laje é armada em duas 
direções e é o quarto caso na tabela de Marcus. 
 
Figura 9: Laje 7. 
A laje 7 está engastada na laje 4, pois não houve marcação de desnível entre 
oscômodos da varanda e a cozinha. 
Logo, afim de verificar sobre a armação da laje, calcula-se: 
ʎ =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
350
80
= 4,38 𝑚 
Como o resultado encontrado é ʎ > 2, temos que essa laje é armada em 
apenas uma direção e seu caso não pode ser resolvido pela tabela de Marcus. 
2.2. Espessura da laje 
Consoante MACHADO, pode-se aproximar a altura útil (d) da laje pela 
expressão empírica: 
𝑑 =
(2,5−0,1.𝑛).𝑙∗
100
 
Sendo: 
𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠; 
𝑙 ∗= 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣ã𝑜 𝑒 0,7 𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟. 
 Ou ainda pela equação: 
 ℎ =
𝐿𝑥
40
 
 Sendo: 
𝐿𝑥 = 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑣ã𝑜𝑠, 𝑐𝑜𝑚 𝐿𝑥 ≤ 𝐿𝑦. 
 Sendo assim, será avaliado a espessura de cada laje para as duas fórmulas: 
 Laje 1 
𝑑1 =
(2,5 − 0,1.1). 80
100
= 1,92 𝑐𝑚 𝑙 ∗ {
0,7.345 = 241.5 𝑐𝑚
80 𝑐𝑚 𝑒 𝑛 = 1
 
ℎ1 =
𝐿𝑥
40
 = 
80
40
= 2 𝑐𝑚 
 Laje 2 
𝑑2 =
(2,5 − 0,1.1). 330
100
= 7,92 𝑐𝑚 𝑙 ∗ {
0,7.500 = 350 𝑐𝑚
330 𝑐𝑚 𝑒 𝑛 = 1
 
ℎ2 =
𝐿𝑥
40
 = 
330
40
= 8,25 𝑐𝑚 
 Laje 3 
𝑑3 =
(2,5 − 0,1.2). 160
100
= 3,68 𝑐𝑚 𝑙 ∗ {
0,7.225 = 158 𝑐𝑚
160 𝑐𝑚 𝑒 𝑛 = 2
 
ℎ3 =
𝐿𝑥
40
 = 
160
40
= 4 𝑐𝑚 
 Laje 4 
𝑑4 =
(2,5 − 0,1.1). 300
100
= 7,20 𝑐𝑚 𝑙 ∗ {
0,7.680 = 476 𝑐𝑚
300 𝑐𝑚 𝑒 𝑛 = 1
 
ℎ4 =
𝐿𝑥
40
 = 
300
40
= 7,5 𝑐𝑚 
 Laje 5 
𝑑5 =
(2,5 − 0,1.2). 280
100
= 6,44 𝑐𝑚 𝑙 ∗ {
0,7.400 = 280 𝑐𝑚
350 𝑐𝑚 𝑒 𝑛 = 2
 
ℎ5 =
𝐿𝑥
40
 = 
350
40
= 8,75 𝑐𝑚 
 Laje 6 
𝑑6 =
(2,5 − 0,1.2). 318,50
100
= 7,33 𝑐𝑚 𝑙 ∗ {
0,7.455 = 318,50 𝑐𝑚
450 𝑐𝑚 𝑒 𝑛 = 2
 
ℎ6 =
𝐿𝑥
40
 = 
450
40
= 11,25 𝑐𝑚 
 Laje 7 
𝑑7 =
(2,5 − 0,1.1). 80
100
= 1,92 𝑐𝑚 𝑙 ∗ {
0,7.315 = 220,50 𝑐𝑚
80 𝑐𝑚 𝑒 𝑛 = 1
 
ℎ7 =
𝐿𝑥
40
 = 
80
40
= 2 𝑐𝑚 
A NBR 6118/2014 não especifica como realizar o pré-dimensionamento das 
espessuras das lajes, mas indica valores mínimos para a adoção em alguns casos, 
como representado na figura: 
 
Figura 10: Recomendações NBR 6118. 
 Através da avaliação dos resultados obtidos nas fórmulas em comparação com 
a tabela da NBR 6118/2014 e pensando na utilização das armaduras de aço e área 
das lajes, resolveu-seoptar por uma altura útil (d) de 8 cm em concreto, visto que 
através da equação 03, encontraremos a espessura (h) indicada por MACHADO. 
ℎ = 𝑑 +
∅
2
+ 𝑐 
Sendo: 
∅ = 𝑑𝑖𝑎𝑚ê𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 (𝑐𝑚) 
𝑐 = 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑚 𝑙𝑎𝑗𝑒𝑠(𝑐𝑚) 
Logo, para a descoberta da espessura da laje (h), usaremos um cobrimento de 
25 mm e armaduras com diâmetro de 5 mm: 
ℎ = 𝑑 +
∅
2
+ 𝑐 = 8 +
0,5
2
+ 2,5 = 10,75 𝑐𝑚 = 11 𝑐𝑚 
A utilização de 11 cm pode ser justificada pelos resultados obtidos através da 
equação 02, onde a espessura chegou a ultrapassar 11 cm, mas por se tratar de uma 
residência familiar com baixo movimento usaremos o valor mais aproximado abaixo, 
visualizando também a questão econômica. 
 
2.3. Verificação das cargas nas lajes 
 Cargas permanentes: 
 Peso próprio da laje = 25.0,11 = 2,75 KN/m² 
 Revestimento simples = 1 KN/m² 
 Acabamento simples inferior do teto = 19.0,02 = 0,38 KN/m² 
 Acabamento em granito = 1,5 KN/m² 
 Cargas variáveis: 
 Sobrecarga = 1,5 KN/m² (edifícios residenciais), sugerido pela NBR 
6120/1980. 
 Carga total: 
Somatório das cargas permanentes e variáveis, logo: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2,75 + 1 + 0,38 + 1,5 = 5,63 KN/m² 
 No caso da sala, temos: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2,75 + 0,38 + 1,5 + 1,5 = 6,13 KN/m² 
Entretanto, no caso das lajes 2 e 6 há a presença de paredes atuando sobre as 
lajes, sendo assim, este peso deve ser calculado para que possa ser suportado pela 
laje, visto que, as paredes que estão no sentido das extremidades das lajes possuem 
seus pesos suportados diretamente pelas vigas. 
 
 Peso da alvenaria na laje 2: 
 Pé direito = 2,90 m 
 Espessura da parede de 15 cm, com peso próprio de 2,3 KN/m2 
 Comprimento total das paredes (L) = 0,9 + 1,05 = 1,95 m. 
𝑃𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 =
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒
=
2,90.2,3.1,95
(3,30.5,00)
= 0,79 𝐾𝑁/𝑚² 
 Peso da alvenaria na laje 6: 
 Pé direito = 2,90 m 
 Espessura da parede de 15 cm, com peso próprio de 2,3 KN/m2 
 Comprimento total das paredes (L) = 4,35 + 2,35 + 1,2 = 7,9 m. 
𝑃𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 =
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒
=
2,90.2,3.7,90
(4,40.4,35)
= 2,75 𝐾𝑁/𝑚² 
 Sendo assim, possuímos como valores para os pesos próprios das lajes de: 
 𝑃1 = 5,63 𝐾𝑁/𝑚² 
 𝑃2 = 5,63 + 0,79 = 6,42 𝐾𝑁/𝑚² 
 𝑃3 = 5,63 𝐾𝑁/𝑚² 
 𝑃4 = 6,13 𝐾𝑁/𝑚² 
 𝑃5 = 5,63 𝐾𝑁/𝑚² 
 𝑃6 = 5,63 + 2,75 = 8,38 𝐾𝑁/𝑚² 
 𝑃7 = 5,63 𝐾𝑁/𝑚² 
2.4. Verificação dos momentos nas lajes 
 Laje 1 
Segundo a NBR 6120/1980, para parapeitos e balcões deve-se considerar a 
atuação de uma carga horizontal de 0,8 KN e outra vertical de 2 KN, por metro 
linear, logo: 
ℎ = 1 𝑚 
𝑃𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 2,30 
𝐾𝑁
𝑚2
 (𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 15 𝑐𝑚) 
𝑃1 = 5,63 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑙 = 0,80 𝑚 Figura 11:Momento laje 1. 
Figura 12: Momento laje 2. 
Figura 13: Momento laje 3 
𝑀 = −(
𝑝. 𝑙2
2
+ 𝑃. 𝑙 + 0,8. ℎ) 
𝑀 = − (
5,63. 0,8002
2
+ (2 + 2,3). 0,80 + 0,8.1) 
𝑀 = −6,04 𝐾𝑁. 𝑚 
 Laje 2 (Laje em cruz) 
Para o cálculo do momento das lajes em cruz, será considerada a relação de 
vãos, para entrada na tabela de Marcus. 
ʎ =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
5,00
3,30
= 1,52 (𝑐𝑎𝑠𝑜 2 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑐𝑢𝑠) 
𝑃2 = 6,42 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑚𝑥 = 18,80 
𝑚𝑦 = 57,4 
𝑛𝑥 = 8,60 
𝑀𝑥 =
𝑃. 𝑙𝑥
2
𝑚𝑥
=
6,42. 3,302
18,8
= 3,72 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑥 = −
𝑃. 𝑙𝑥
2
𝑛𝑥
= −
6,42. 3,302
8,60
= −8,13 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑦 =
𝑃. 𝑙𝑥
2
𝑚𝑦
=
6,42. 3,302
57,4
= 1,22 𝐾𝑁. 𝑚 
 Laje 3 (Laje em cruz) 
ʎ =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
2,25
1,60
= 1,41 (𝑐𝑎𝑠𝑜 3 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑐𝑢𝑠) 
𝑃3 = 5,63 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑚𝑥 = 22,00 
𝑚𝑦 = 43,60 
Figura 15: Momento laje 5. 
Figura 16: Momento laje 4. 
𝑛𝑥 = 10,00 
𝑛𝑦 = 19,90 
𝑀𝑥 =
𝑃. 𝑙𝑥
2
𝑚𝑥
=
5,63. 1,602
22,00
= 0,66 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑥 = −
𝑃. 𝑙𝑥
2
𝑛𝑥
= −
5,63. 1,602
10,00
= −1,44 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑦 =
𝑃. 𝑙𝑥
2
𝑚𝑦
=
5,63. 1,602
43,60
= 0,33 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑦 = −
𝑃. 𝑙𝑥
2
𝑛𝑥
= −
5,63. 1,602
19,90
= −0,72 𝐾𝑁. 𝑚 
 Laje 4 
Como a L4, será armada em uma direção o cálculo do momento será pelas 
formulações. 
𝑀𝑥 =
𝑃. 𝑙2
14,2
=
6,13. 3,002
14,2
= 3,89 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑥 = −
𝑃. 𝑙2
8
= −
6,13. 32
8
= −6,90 𝐾𝑁. 𝑚 
 
 Laje 5 (Laje em cruz) 
ʎ =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
4,00
3,50
= 1,14 
𝑃5 = 5,63 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑚𝑥 = 29,30 
𝑚𝑦 = 38,00 
𝑛𝑥 = 12,70 
𝑛𝑦 = 16,60 
Figura 17: Momento laje 6. 
𝑀𝑥 =
𝑃. 𝑙𝑥
2
𝑚𝑥
=
5,63. 3,502
29,30
= 2,35 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑥 = −
𝑃. 𝑙𝑥
2
𝑛𝑥
= −
5,63. 3,502
12,70
= −5,43 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑦 =
𝑃. 𝑙𝑥
2
𝑚𝑦
=
5,63. 3,502
38,00
= 1,81 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑦 = −
𝑃. 𝑙𝑥
2
𝑛𝑥
= −
5,63. 3,502
16,60
= −4,15 𝐾𝑁. 𝑚 
 Laje 6 (Laje em cruz) 
ʎ =
𝑙𝑦
𝑙𝑥
=
4,55
4,50
= 1,01 
𝑃6 = 8,38 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑚𝑥 = 37,50 
𝑚𝑦 = 55,70 
𝑛𝑥 = 14,40 
𝑀𝑥 =
𝑃. 𝑙𝑥
2
𝑚𝑥
=
8,38. 4,502
37,50
= 4,53 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑥 = −
𝑃. 𝑙𝑥
2
𝑚𝑥
= −
8,38. 4,502
14,40
= −11,78 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑦 =
𝑃. 𝑙𝑥
2
𝑚𝑦
=
8,38. 4,502
55,70
= 3,05 𝐾𝑁. 𝑚 
 Laje 7 
Para o cálculo do momento da L7, será feita a mesma consideração da L1. 
ℎ = 1 𝑚 
𝑙 = 0,80 𝑚 
𝑃𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 2,30 𝐾𝑁/𝑚
2(𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 15 𝑐𝑚) 
Figura 19: Momento laje 3 e 4. 
𝑃7 = 5,63 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑀 = −(
𝑝. 𝑙2
2
+ 𝑃. 𝑙 + 0,8. ℎ) 
𝑀 = − (
5,63. 0,802
2
+ (2 + 2,3). 0,80 + 0,8.1) = −6,04 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑉 = (𝑝. 𝑙 + 𝑃) = 5,63.0,800 + (2 + 2,3) = 8,80 𝐾𝑁 
 
 
 
2.5 COMPATIBILIZAÇÃO DOS MOMENTOS NAS LAJES. 
 Laje 3 e Laje 4 
 
 
{
0,8.6,90 = 5,52 
(6,90 + 1,44) 
2
= 4,17 
 
𝑋𝐶 = 5,52 
∆𝑀𝐿1 =
(6,90 − 5,52)
2
= 1,18 
∆𝑀𝐿7 =
(5,52 − 1,44)
2
= 2,04 
𝑀 𝑙𝑎𝑗𝑒 1 = 3,89 + 0,69 = 4,58 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀 𝑙𝑎𝑗𝑒 7 = 0,66 − 2,04 = −1,38 𝐾𝑁. 𝑚 
 
 
 
Figura 21: Momentos laje 6 e 4. 
 
 
 
 
 
Como a L3 ficou com o momento negativo, será necessário colocar armadura 
na parte superior da laje. 
 Laje 4 e Laje 6 
 
 
 
 
{
0,8.11,78 = 9,42 
(5,52 + 11,78) 
2
= 8,65 
 
𝑋𝐶 = 9,42 
∆𝑀𝐿1 =
(11,78 − 9,42)
2
= 1,18 
∆𝑀𝐿2 =
(9,42 − 5,52)
2
= 1,95 
𝑀𝑙𝑎𝑗𝑒 1 = 4,58 − 1,95 = 2,63 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀 𝑙𝑎𝑗𝑒 2 = 4,53 + 1,18 = 5,71 𝐾𝑁. 𝑚 
 
 
 
Figura 23: Momento laje 5 e 6. 
 
 
 
 
 
 
 Laje 5 e Laje 6 
 
 
 
 
 
{
0,8.11,78 = 9,42 
(4,15 + 11,78) 
2
= 7,97 
 
𝑋𝐶 = 9,42 
∆𝑀𝐿1 =
(11,78 − 9,42)
2
= 1,18 
∆𝑀𝐿2 =
(9,42 − 4,15)
2
= 2,64 
𝑀 𝑙𝑎𝑗𝑒 2 = 5,71 + 1,18 = 6,89 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀 𝑙𝑎𝑗𝑒 5 = 1,81 − 2,64 = −0,83 𝐾𝑁. 𝑚 
 
 
 
Figura 25: Momento laje 2 e 5. 
Figura 26: Momento laje 2 e 5. 
 
 
 
Como na L5, o momento tornou-se negativo após a compatibilização, será 
replicado a armadura positiva para a parte superior. 
 
 Laje 2 e Laje 5 
 
 
 
 
 
{
0,8.8,13 = 6,50
(8,13 + 5,43) 
2
= 6,78 
 
𝑋𝐶 = 6,78 
∆𝑀𝐿1 =
(8,13 − 6,78)
2
= 0,68 
 
 
 
 
 
 
Figura 27: Compatibilização dos momentos. 
∆𝑀𝐿2 =
(6,78 − 5,43)
2
= 0,68 
𝑀 𝑙𝑎𝑗𝑒 2 = 3,72 + 0,68 = 4,40 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀 𝑙𝑎𝑗𝑒 5 = 2,35 − 0,68 = 1,97 𝐾𝑁. 𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5. Cálculo das reações de apoio. 
 Cálculo do cortante da L1 e L7: 
𝑃1 = 5,63 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑟𝑒 =(𝑝. 𝑙 + 𝑃) = 5,63.0,80 + (2 + 2,3) = 8,80 𝐾𝑁 
𝑟𝑎 = 0,732. (
𝑝. 𝑙
4
) = 0,732. (
5,63.0,80
4
) = 0,82 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑎 = 0,3 . 5,63 = 1,69 𝐾𝑁/𝑚 
𝑉𝐾 = 8,80 𝐾𝑁 
𝑉𝑠𝑑 = 8,80.1,4 = 12,32 𝐾𝑁 
 Cálculo do cortante da L2 (tipo 2b): 
𝑃2 = 6,42 𝐾𝑁/𝑚² 
𝐾𝑥 = 0,93 
𝐿𝑥 = 3,3 𝑚 
𝐿𝑌 = 5 𝑚 
𝑞𝑥 = 𝐾𝑥 . 𝑃2 
𝑞𝑥 = 0,93 . 6,42 
𝑞𝑥 = 5,97 𝐾𝑁/𝑚 
𝑞𝑦 = 𝑞 − 𝑞𝑥 
𝑞𝑦 = 6,42 − 5,97 
𝑞𝑦 = 0,45 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑒𝑥 =
5 . 𝑞𝑥 . 𝑙𝑥
8
=
5 . 5,97 . 3,3 
8
= 12,31 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑎𝑥 =
3 . 𝑞𝑥 . 𝑙𝑥
8
=
3 . 5,97 . 3,3 
8
= 7,39 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑦 =
 𝑞𝑦 . 𝑙𝑦
2
=
0,45 . 5 
2
= 1,13 𝐾𝑁/𝑚 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4. 𝑉𝑘 = 1,4 . 12,31 = 17,23 𝐾𝑁/𝑚 
 Cálculo do cortante da L3 (tipo 3): 
𝑃3 = 5,63 𝐾𝑁/𝑚² 
𝐾𝑥 = 0,793 
𝐿𝑥 = 1,6 𝑚 
𝐿𝑌 = 2,25 𝑚 
𝑞𝑥 = 𝐾𝑥 . 𝑃3 
𝑞𝑥 = 0,793 . 5,63 
𝑞𝑥 = 4,47 𝐾𝑁/𝑚 
𝑞𝑦 = 𝑞 − 𝑞𝑥 
𝑞𝑦 = 5,63 − 4,47 
𝑞𝑦 = 1,16 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑒𝑥 =
5 . 𝑞𝑥 . 𝑙𝑥
8
=
5 . 4,47 . 1,6 
8
= 4,47 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑎𝑥 =
3 . 𝑞𝑥 . 𝑙𝑥
8
=
3 . 4,47 . 1,6 
8
= 2,68 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑒𝑦 =
5 . 𝑞𝑦 . 𝑙𝑦
8
=
5 . 1,16 . 2,25 
8
= 1,64 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑎𝑦 =
3 . 𝑞𝑦 . 𝑙𝑦
8
=
3 . 1,16 . 2,25 
8
= 0,98 𝐾𝑁/𝑚 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4. 𝑉𝑘 = 1,4 . 4,47 = 6,26 𝐾𝑁/𝑚 
 Cálculo do cortante da L4: 
𝑃4 = 6,13 𝐾𝑁/𝑚² 
𝐾𝑥 = 0,793 
𝐿𝑥 = 3 𝑚 
𝐿𝑌 = 6,8 𝑚 
𝑅𝑒𝑥 =
5 . 𝑞 . 𝑙
8
=
5 . 6,13 . 3 
8
= 11,49 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑎𝑥 =
3 . 𝑞 . 𝑙
8
=
3 . 6,13 . 3 
8
= 6,9 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑒𝑦 = 0,3 . 6,13 = 1,84 𝐾𝑁/𝑚 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4. 𝑉𝑘 = 1,4 . 11,49 = 16,09 𝐾𝑁/𝑚 
 Cálculo do cortante da L5 (tipo 3): 
𝑃5 = 5,63 𝐾𝑁/𝑚² 
𝐾𝑥 = 0,628 
𝐿𝑥 = 3,5 𝑚 
𝐿𝑌 = 4 𝑚 
𝑞𝑥 = 𝐾𝑥 . 𝑃5 
𝑞𝑥 = 0,628 . 5,63 
𝑞𝑥 = 3,54 𝐾𝑁/𝑚 
𝑞𝑦 = 𝑞 − 𝑞𝑥 
𝑞𝑦 = 5,63 − 3,54 
𝑞𝑦 = 2,09 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑒𝑥 =
5 . 𝑞𝑥 . 𝑙𝑥
8
=
5 . 3,54 . 3,5 
8
= 7,74 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑎𝑥 =
3 . 𝑞𝑥 . 𝑙𝑥
8
=
3 . 3,54 . 3,5 
8
= 4,65 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑒𝑦 =
5 . 𝑞𝑦 . 𝑙𝑦
8
=
5 . 2,09 . 4 
8
= 5,23 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑎𝑦 =
3 . 𝑞𝑦 . 𝑙𝑦
8
=
3 . 2,09 . 4 
8
= 3,14 𝐾𝑁/𝑚 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4. 𝑉𝑘 = 1,4 . 7,74 = 10,84 𝐾𝑁/𝑚 
 Cálculo do cortante da L6 (tipo 4b): 
𝑃6 = 8,38 𝐾𝑁/𝑚² 
𝐾𝑥 = 0,833 
𝐿𝑥 = 4,5 𝑚 
𝐿𝑌 = 4,55 𝑚 
𝑞𝑥 = 𝐾𝑥 . 𝑃5 
𝑞𝑥 = 0,833 . 8,38 
𝑞𝑥 = 6,98 𝐾𝑁/𝑚 
𝑞𝑦 = 𝑞 − 𝑞𝑥 
𝑞𝑦 = 8,38 − 6,98 
𝑞𝑦 = 1,4 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑥 =
𝑞𝑥 . 𝑙𝑥
2
=
6,98 . 4,5 
2
= 15,71 𝐾𝑁/𝑚 
𝑅𝑦 =
𝑞𝑦 . 𝑙𝑦
2
=
1,4 . 4,55 
2
= 3,19 𝐾𝑁/𝑚 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4. 𝑉𝑘 = 1,4 . 15,71 = 21,99 𝐾𝑁/𝑚 
 Cálculo da resistência de projeto ao cisalhamento para as lajes (L1, L4 e 
L7): 
𝑉𝑅𝑑1 = [𝜏𝑅𝑑. 𝐾(1,2 + 40. 𝜌1)0,15. 𝜎𝐶𝑃]. 𝑏𝑤. 𝑑 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25. 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,25.1,29 = 0,32 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑐𝑡𝑑 =
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
=
1,8
1,4
= 1,29 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,21. √𝑓𝑐𝑘
23 = 0,21. √252
3
= 1,80 𝑀𝑃𝑎 
𝑑 = 8,5 𝑐𝑚 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚𝑖𝑛. 𝑏𝑤. ℎ 
𝜌𝑚𝑖𝑛 = 0,15% 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,0015.100.11 = 1,65 𝑐𝑚² 
𝜌1 =
𝐴𝑠
𝑏𝑤. 𝑑
=
1,65
100.8,5
= 0,0019 
𝑘 = 1,6 − 𝑑 = 1,6 − 0,085 = 1,52 
𝑉𝑅𝑑1 = [0,32.1,52(1,2 + 40.0,0019)]. 1.0,085 = 0,05275 𝑀𝑁 = 52,75 𝐾𝑁 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 → 𝑂𝑘! 
 O valor da resistência de projeto atendeu a todos os cortantes das lajes (L1, L4 
E L7). 
 Cálculo da resistência de projeto ao cisalhamento para as lajes (L2, L3, L5 
E L6): 
𝑉𝑅𝑑1 = [𝜏𝑅𝑑. 𝐾(1,2 + 40. 𝜌1)0,15. 𝜎𝐶𝑃]. 𝑏𝑤. 𝑑 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25. 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,25.1,29 = 0,32 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑐𝑡𝑑 =
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
=
1,8
1,4
= 1,29 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,21. √𝑓𝑐𝑘
23 = 0,21. √252
3
= 1,80 𝑀𝑃𝑎 
𝑑 = 8,5 𝑐𝑚 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚𝑖𝑛. 𝑏𝑤. ℎ 
𝜌𝑚𝑖𝑛 = 0,1% (𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑐𝑟𝑢𝑧) 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,001.100.11 = 1,10 𝑐𝑚² 
𝜌1 =
𝐴𝑠
𝑏𝑤. 𝑑
=
1,10
100.8,5
= 0,00129 
𝑘 = 1,6 − 𝑑 = 1,6 − 0,085 = 1,52 
𝑉𝑅𝑑1 = [0,32.1,52(1,2 + 40.0,00129)]. 1.0,085 = 0,05175 𝑀𝑁 = 51,75 𝐾𝑁 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 → 𝑂𝐾! 
O valor da resistência de projeto atendeu a todas as lajes analisadas (L2, L3, 
L5 e L6). 
2.6. Verificação da flecha. 
Para o cálculo da flecha, considerou-se a retirada do escoramento com 15 dias 
(0,5 mês) e aplicação do revestimento e paredes após 1 mês contado da concretagem 
da laje. 
𝐸𝑐𝑠 = 4760. √𝑓𝑐𝑘 = 4760. √25 = 23800 𝑀𝑃𝑎 
𝑀𝑟 =
𝛼. 𝑓𝑐𝑡. 𝐼𝑐
𝛾𝑇
=
1,5.1,80. 106 .110,9157. 10−6
0,055
= 5445 𝑁. 𝑚 = 5,45 𝐾𝑁. 𝑚 
𝛼 = 1,5 (𝑠𝑒çã𝑜 2) 
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,30. √𝑓𝑐𝑘
23 = 0,30. √252
3
= 2,56 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,70. 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,70.2,56 = 1,80 𝑀𝑃𝑎 = 1,80. 10
6 𝑁/𝑚² 
𝐼𝑐 =
𝑏. ℎ3
12
=
1. 0,113
12
= 110,9157. 10−6 𝑚4 
𝛾𝑇 =
ℎ
2
=
0,11
2
= 0,055 𝑚 
 Cálculo da flecha das L1 e L7: 
𝑀 = 6,04 𝐾𝑁. 𝑚 
𝛼 =
1
4
∙
𝑀𝑙2
𝐸𝐼
=
1
4
∙
6,04.0,82
23800.110,9157. 106
= 366,09. 10−9 𝑚 = 36,601. 10−6𝑐𝑚 
Aceitabilidade Sensorial: 
 Visual: 
𝑙
250
=
80
250
= 0,32 𝑐𝑚 
 Outro: 
𝑙
350
=
80
350
= 0,23 𝑐𝑚 
 Cálculo da flecha da L2 
𝑃2 = 6,42 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑀𝑎 = 4,09 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑎 < 𝑀𝑟 ( 𝑝𝑜𝑑𝑒 − 𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜, 𝐼𝑐) 
 
𝐼 = 𝐼𝑐 = 110,9167. 10
−6 𝑚4 
𝐿
𝑙
=
5,00
3,30
= 1,52 
 
{
𝛽3 = 5,09 (𝑡𝑖𝑝𝑜 3)
𝛽1 = 9,39 (𝑡𝑖𝑝𝑜 1)
 
𝛽 =
𝛽1 + 𝛽3
2
=
5,09 + 9,39
2
= 7,24 
 
𝛹2 = 0,3 (𝑒𝑑𝑖𝑓í𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠) 
 
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗ = 𝛹2. 𝑞 + ∑ 𝑞. (1 + 𝛼𝑓) 
 
𝛼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝛽
1200
.
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗
𝐸𝑐𝑠
.
𝐿4
𝐼
 
𝜉0,5 = 0,54 
 
𝜉1 = 0,68 
𝛼𝑓 = ∆𝜉 
 
𝑔1 𝑒𝑚 𝑡0𝑔1 = 0,5 → 𝛼𝑓1 = ∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(0) = 𝜉(∝) − 𝜉(0,54) = 2 − 0,54 = 1,46 
𝑔2 𝑒𝑚 𝑡0𝑔2 = 0,68 → 𝛼𝑓1 = ∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(0) = 𝜉(∝) − 𝜉(0,54) = 2 − 0,68 = 1,32 
 
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗ = 2,75. (1 + 1,46) + 3,68. (1 + 1,32) + (0,3.1,5) = 15,75 𝐾𝑁/𝑚 
𝛼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
7,24
12000
.
15,75
23800
.
3,304
110,9167. 10−6
= 0,43 𝑐𝑚 
𝛼𝑞 =
𝛽
1200
.
𝑃𝑞
∗
𝐸𝑐𝑠
.
𝐿4
𝐼
 
𝛼𝑞 =
7,24
12000
.
(0,3.1,5)
23800
.
3,304
110,9157. 10−6
= 0,010 𝑐𝑚 
Aceitabilidade Sensorial: 
 Visual: 
𝑙
250
=
 330 
250
= 1,32 𝑐𝑚 
 
 Outro: 
𝑙
350
=
330
350
= 0,94 𝑐𝑚 
 Cálculo da flecha da L3 
𝑃3 = 5,63 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑀𝑎 = 0,33 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑎 < 𝑀𝑟 ( 𝑝𝑜𝑑𝑒 − 𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜, 𝐼𝑐) 
 
𝐼 = 𝐼𝑐 = 110,9167. 10
−6 𝑚4 
 
𝐿
𝑙
=
2,25
1,74
= 1,29 
{
𝛽3 = 3,80 (𝑡𝑖𝑝𝑜 3)
𝛽1 = 7,49 (𝑡𝑖𝑝𝑜 1)
 
𝛽 =
𝛽1 + 𝛽3
2
=
3,80 + 7,49
2
= 5,65 
𝛹2 = 0,3 (𝑒𝑑𝑖𝑓í𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠) 
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗ = 𝛹2. 𝑞 + ∑ 𝑞. (1 + 𝛼𝑓) 
𝛼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝛽
1200
.
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗
𝐸𝑐𝑠
.
𝐿4
𝐼
 
𝜉0,5 = 0,54 
 
𝜉1 = 0,68 
𝛼𝑓 = ∆𝜉 
 
𝑔1 𝑒𝑚 𝑡0𝑔1 = 0,5 → 𝛼𝑓1 = ∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(0) = 𝜉(∝) − 𝜉(0,54) = 2 − 0,54 = 1,46 
𝑔2 𝑒𝑚 𝑡0𝑔2 = 0,68 → 𝛼𝑓1 = ∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(0) = 𝜉(∝) − 𝜉(0,54) = 2 − 0,68 = 1,32 
 
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗ = 2,75. (1 + 1,46) + 1,38. (1 + 1,32) + (0,3.1,5) = 10,42 𝐾𝑁/𝑚 
𝛼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
5,65
12000
.
10,42
23800
.
1,744
110,9157. 10−6
= 0,17 𝑐𝑚 
𝛼𝑞 =
𝛽
1200
.
𝑃𝑞
∗
𝐸𝑐𝑠
.
𝐿4
𝐼
 
𝛼𝑞 =
5,65
12000
.
(0,3.1,5)
23800
.
1,744
110,9157. 10−6
= 0,0007 𝑐𝑚Aceitabilidade Sensorial: 
 Visual: 
𝑙
250
=
 174 
250
= 0,70 𝑐𝑚 
 Outro: 
𝑙
350
=
174
350
= 0,50𝑐𝑚 
 Cálculo da flecha da L4 
 
Figura 28: Flecha na laje 4. 
𝑃4 = 6,13
𝐾𝑁
𝑚2
= 6,13.1 = 6,13𝐾𝑁/𝑚 
𝛼 =
1
13
∙
𝑀𝑙2
𝐸𝐼
=
1
13
∙
2,63.32
23800.110,9157. 106
= 6,89. 10−13 𝑚 = 6,89. 10−11𝑐𝑚 
Aceitabilidade Sensorial: 
 Visual: 
𝑙
250
=
 300 
250
= 1,2 𝑐𝑚 
 
 Outro: 
𝑙
350
=
300
350
= 0,86 𝑐𝑚 
 
 Cálculo da flecha da L5 
𝑃5 = 5,63 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑀𝑎 = 1,78 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑟 = 5,45 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑎 < 𝑀𝑟 ( 𝑝𝑜𝑑𝑒 − 𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜, 𝐼𝑐) 
 
𝐼 = 𝐼𝑐 = 110,9167. 10
−6 𝑚4 
 
𝐿
𝑙
=
4,00
3,50
= 1,14 
{
𝛽3 = 3,18 (𝑡𝑖𝑝𝑜 3)
𝛽1 = 6,20 (𝑡𝑖𝑝𝑜 1)
 
𝛽 =
𝛽1 + 𝛽3
2
=
6,20 + 3,18
2
= 4,69 
𝛹2 = 0,3 (𝑒𝑑𝑖𝑓í𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠) 
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗ = 𝛹2. 𝑞 + ∑ 𝑞. (1 + 𝛼𝑓) 
𝛼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝛽
12000
.
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗
𝐸𝑐𝑠
.
𝐿4
𝐼
 
𝜉0,5 = 0,54 
𝜉1 = 0,68 
𝛼𝑓 = ∆𝜉 
 
𝑔1 𝑒𝑚 𝑡0𝑔1 = 0,5 → 𝛼𝑓1 = ∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(0) = 𝜉(∝) − 𝜉(0,54) = 2 − 0,54 = 1,46 
𝑔2 𝑒𝑚 𝑡0𝑔2 = 0,68 → 𝛼𝑓1 = ∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(0) = 𝜉(∝) − 𝜉(0,54) = 2 − 0,68 = 1,32 
 
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗ = 2,75. (1 + 1,46) + 1,38. (1 + 1,32) + (0,3.1,5) = 10,42 𝐾𝑁/𝑚 
𝛼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
4,69
12000
.
10,42
23800
.
3,504
110,9157. 10−6
= 0,23 𝑐𝑚 
𝛼𝑞 =
𝛽
12000
.
𝑃𝑞
∗
𝐸𝑐𝑠
.
𝐿4
𝐼
 
𝛼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
4,69
12000
.
(0,3.1,5)
23800
.
3,504
110,9157. 10−6
= 0,010 𝑐𝑚 
Aceitabilidade Sensorial: 
 Visual: 
𝑙
250
=
350
250
= 1,4 𝑐𝑚 
 Outro: 
𝑙
350
=
350
350
= 1 𝑐𝑚 
 Cálculo da flecha da L6 
𝑃6 = 8,38 𝐾𝑁/𝑚² 
𝑀𝑎 = 5,71 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑟 = 5,45 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑎 > 𝑀𝑟 
𝐿
𝑙
=
4,55
4,50
= 1,01 → 𝛽4𝑏 = 2,35 (𝑡𝑖𝑝𝑜 4𝑏) 
𝐼 = 𝐼𝑒𝑞 
𝐼𝑒𝑞 = (
𝑀𝑟
𝑀𝑎
) . 𝐼𝑐 + [1 − (
𝑀𝑟
𝑀𝑎
)
3
] . 𝐼𝐼𝐼 
𝐼𝑒𝑞 = (
5,45
6,89 
) . 110,92. 10−6 + [1 − (
5,45
6,89 
)
3
] . 13,70. 10−6 = 94,66. 10−6 𝑚4 
𝐼𝐼𝐼 =
𝑏𝑤. 𝑥
3
3
+ 𝛼𝑒 . 𝐴𝑠. (𝑑 − 𝑥)
2 =
100. 1,803
3
+ 8,82.2,97. (8,50 − 1,80)2 = 1370,31 𝑐𝑚4 
𝐼𝐼𝐼 = 13,70. 10
−6 𝑚4 
𝑥 =
𝛼𝑒 . 𝐴𝑠
𝑏𝑤
. (−1 + √
2. 𝑏𝑤. 𝑑
𝛼𝑒 . 𝐴𝑠
) =
8,82.2,78 
100
. (−1 + √
2.100.8,50
8,82.2,78 
) = 1,80 𝑐𝑚 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑠𝑑
𝐾𝑧 . 𝑑. 𝑓𝑦𝑑
=
1,4. 6,89. 106
0,940.85.434,78
= 277,61 𝑚𝑚2 = 2,78 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚𝑖𝑛. 𝑏𝑤. ℎ = 0,001.100.11 = 1,10 𝑐𝑚² 
𝐾𝑚𝑑 =
𝑀𝑠𝑑
𝑑2. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤
=
1,4. 6,89. 106
852. 17,86. 103
= 0,075 → 𝐾𝑧 = 0,940 
𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
=
25
1,4
= 17,86 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑑
𝛾𝑠
=
500
1,15
= 434,78 𝑀𝑃𝑎 
𝐸𝑐𝑠 = 4760. √𝑓𝑐𝑘 = 4760. √25 = 23800 𝑀𝑃𝑎 
𝐸𝑠 = 2,1. 10
5 𝑀𝑃𝑎 
𝛼𝑒 =
𝐸𝑠
𝐸𝑐𝑠
=
2,1. 105
23800
= 8,82 
𝛹2 = 0,3 (𝑒𝑑𝑖𝑓í𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠) 
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗ = 𝛹2. 𝑞 + ∑ 𝑞. (1 + 𝛼𝑓) 
𝛼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝛽
12000
.
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗
𝐸𝑐𝑠
.
𝐿4
𝐼𝑒𝑞
 
𝛼𝑞 =
𝛽
12000
.
𝑃𝑞
∗
𝐸𝑐𝑠
.
𝐿4
𝐼𝑒𝑞
 
𝜉0,5 = 0,54 
𝜉1 = 0,68 
𝛼𝑓 = ∆𝜀 
𝑔1 𝑒𝑚 𝑡0𝑔1 = 0,5 → 𝛼𝑓1 = ∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(0) = 𝜉(∝) − 𝜉(0,54) = 2 − 0,54 = 1,46 
𝑔2 𝑒𝑚 𝑡0𝑔2 = 0,68 → 𝛼𝑓1 = ∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(0) = 𝜉(∝) − 𝜉(0,54) = 2 − 0,68 = 1,32 
 
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∗ = 2,75. (1 + 1,46) + 3,68. (1 + 1,32) + (0,3.1,5) = 15,75 𝐾𝑁/𝑚 
𝛼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
2,35
12000
.
15,75
23800
.
4,504
94,66. 10−6
= 0,56 𝑐𝑚 
𝛼𝑞 =
2,35
12000
.
(0,3.1,5)
23800
.
4,504
94,65. 10−6
= 0,016 𝑐𝑚 
Aceitabilidade Sensorial: 
 Visual: 
𝑙
250
=
450
250
= 1,80 𝑐𝑚 
 Outro: 
𝑙
350
=
450
350
= 1,29 𝑐𝑚 
2.7. Dimensionamento da armadura das lajes 
Para o cálculo, usaremos as fórmulas: 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤 . 𝑑2
𝑀𝑑
 
Onde: 
𝑏𝑤 = 100 𝑐𝑚, 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎 𝑑𝑒 1 𝑚. 
𝑑 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 (𝑐𝑚) 
𝑀𝑑 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 1,4 (𝐾𝑁. 𝑐𝑚) 
A partir deste resultado, encontra-se na tabela A-1, disponível em anexo, o 
valor correspondente de Ks para o tipo de aço que será utilizado. E a partir dele 
resolver a fórmula para a área de aço necessário: 
𝐴𝑠 =
𝐾𝑠 . 𝑀𝑑
𝑑
 
𝐾𝑠 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 
𝑀𝑑 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 1,4 (𝐾𝑁. 𝑐𝑚) 
𝑑 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 (𝑐𝑚) 
Em caso de uma armadura muito baixa, ou com espaçamento acima de 20cm, 
mesmo com baixo valor de momento, deve-se adotar o valor da armadura mínima, 
calculado por: 
𝐴𝑠𝑚í𝑛: 
0,15
100
 . 𝑏𝑤 . ℎ 
Onde: 
𝑏𝑤 = 100 𝑐𝑚, 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎 𝑑𝑒 1 𝑚. 
ℎ = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒 (𝑐𝑚) 
Sendo assim, teremos como mínimo: 
𝐴𝑠𝑚í𝑛: 
0,15
100
 . 100 . 11 = 1,65 𝑐𝑚² 
 Laje 1 
 
Figura 29: Laje 01 
 Armadura positiva: 
Md = 604 KN.cm; bw = 100 cm; d = 8 cm; 
Logo: 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤 . 𝑑2
𝑀𝑑
= 
100 . 82
1,4 . 604
= 7,57 𝑒 𝐾𝑠 = 0,024 
𝐴𝑠 =
𝐾𝑠 . 𝑀𝑑
𝑑
=
0,024 . 1,4 . 604
8
= 2,54 𝑐𝑚² 
Tendo assim, uma armadura de ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 12,4 𝑐𝑚. 
 Laje 2 
 
Figura 30: Laje 02. 
 Armaduras em X: 
Negativa: 
Xx = 813 KN.cm; bw = 100 cm; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 7,87 e Ks = 0,024, encontrando um As = 3,41 cm². 
Tendo assim uma armadura de ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 9,23 𝑐𝑚. 
Positiva: 
Mx = 372 KN.cm; bw = 100; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 12,28 e Ks = 0,024; encontrando um As = 1,56 cm². 
O valor é menor que a armadura mínima exigida de 1,65 cm², sendo assim a 
armadura deve corresponder à armadura mínima, resultando em uma armadura de 
∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 19,08 𝑐𝑚. 
 Armaduras em Y: 
Positiva: 
Md = 122 KN.cm; bw = 100 cm; d = 8 cm; 
 Logo: 
Kc = 37,47 e Ks = 0,023, encontrando um As = 0,49 cm². 
O valor é menor que a armadura mínima exigida de 1,65 cm², sendo assim a 
armadura deve corresponder à armadura mínima, resultando em uma armadura de 
∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 19,08 𝑐𝑚. 
 Laje 3 
 
Figura 31: Laje 03. 
 Armaduras em X: 
Negativa: 
Xx = 144 KN.cm; bw = 100 cm; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 31,75 e Ks = 0,023, encontrando um As = 0,58 cm². 
O valor é menor que a armadura mínima exigida de 1,65 cm², sendo assim a 
armadura deve corresponder à armadura mínima, resultando em uma armadura de 
∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 19,08 𝑐𝑚. 
Positiva: 
Mx = 66 KN.cm; bw = 100; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 69,26 e Ks = 0,023; encontrando um As = 0,27 cm². 
 O valor é menor que a armadura mínima exigida de 1,65 cm², sendo 
assim a armadura deve corresponder à armadura mínima, resultando em uma 
armadura de ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 19,08 𝑐𝑚. 
 Armaduras em Y: 
Negativa: 
Xy = 72 KN.cm; bw = 100 cm; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 63,49 e Ks = 0,023, encontrando um As = 0,29 cm². 
O valor é menor que a armadura mínima exigida de 1,65 cm², sendo assim a 
armadura deve corresponder à armadura mínima, resultando em uma armadura de 
∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 19,08 𝑐𝑚. 
Positiva: 
My = 33 KN.cm; bw = 100; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 138,53 e Ks = 0,023; encontrando um As = 0,13 cm². 
 O valor é menor que a armadura mínima exigida de 1,65 cm², sendo 
assim a armadura deve corresponder à armadura mínima, resultando em uma 
armadura de ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎𝑐𝑎𝑑𝑎 19,08 𝑐𝑚. 
 Laje 4 
 
Figura 32: Laje 04. 
 Armaduras em X: 
Negativa: 
Xx = 690 KN.cm; bw = 100 cm; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 6,62 e Ks = 0,024, encontrando um As = 2,90 cm². 
Tendo assim uma armadura de ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 10,86 𝑐𝑚. 
Positiva: 
Mx = 389 KN.cm; bw = 100; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 11,75 e Ks = 0,024; encontrando um As = 1,63 cm². 
O valor é menor que a armadura mínima exigida de 1,65 cm², sendo assim a 
armadura deve corresponder à armadura mínima, resultando em uma armadura de 
∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 19,08 𝑐𝑚. 
 Laje 5 
 
Figura 33: Laje 05. 
 Armaduras em X: 
Negativa: 
Xx = 543 KN.cm; bw = 100 cm; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 8,42 e Ks = 0,024, encontrando um As = 2,28 cm². 
Tendo assim uma armadura de ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 13,81 𝑐𝑚. 
Positiva: 
Mx = 235 KN.cm; bw = 100; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 19,45 e Ks = 0,023; encontrando um As = 0,94 cm². 
O valor é menor que a armadura mínima exigida de 1,65 cm², sendo assim a 
armadura deve corresponder à armadura mínima, resultando em uma armadura de 
∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 19,08 𝑐𝑚. 
 Armaduras em Y: 
Negativa: 
Xy = 181 KN.cm; bw = 100 cm; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 25,25 e Ks = 0,023, encontrando um As = 0,73 cm². 
O valor é menor que a armadura mínima exigida de 1,65 cm², sendo assim a 
armadura deve corresponder à armadura mínima, resultando em uma armadura de 
∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 19,08 𝑐𝑚. 
Positiva: 
My = 415 KN.cm; bw = 100; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 11,02 e Ks = 0,024; encontrando um As = 1,74 cm². 
Tendo assim uma armadura de ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 18,12 𝑐𝑚. 
 Laje 6 
 
Figura 34: Laje 06. 
 Armaduras em X: 
Negativa: 
Xx = 1178 KN.cm; bw = 100 cm; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 3,88 e Ks = 0,025, encontrando um As = 5,15 cm². 
Tendo assim uma armadura de ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 6,12 𝑐𝑚. 
Positiva: 
Mx = 453 KN.cm; bw = 100; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 10,09 e Ks = 0,024; encontrando um As = 4,95 cm². 
Tendo assim uma armadura de ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 6,36 𝑐𝑚. 
 Armaduras em Y: 
Positiva: 
Md = 305 KN.cm; bw = 100; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 14,99 e Ks = 0,023; encontrando um As = 1,23 cm². 
O valor é menor que a armadura mínima exigida de 1,65 cm², sendo assim a 
armadura deve corresponder à armadura mínima, resultando em uma armadura de 
∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 19,08 𝑐𝑚. 
 Laje 7 
 
Figura 35: Laje 07. 
 Armadura positiva: 
Md = 604 KN.cm; bw = 100 cm; d = 8 cm; 
Logo: 
Kc = 7,57 e Ks = 0,024; encontrando um As = 2,54 cm². 
Tendo assim uma armadura de ∅ 6,3 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 12,4 𝑐𝑚. 
Cargas nas vigas 
Para calcular a altura aproximada das vigas, usaremos a expressão: 
ℎ = 
𝑙
12,5
= 
485
12,5
= 38,8 𝑐𝑚 
Onde: 
𝑙 = 𝑣ã𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 (𝑐𝑚) 
Para a largura das vigas, considerou-se blocos com 12 cm de largura nas 
paredes internas e revestimento com 1,5 cm de espessura em cada face, e blocos 
com 19 cm de largura nas paredes externas com 3 cm de espessura em cada face, 
logo as vigas seguiram o tamanho das paredes com o revestimento de 15 cm e 19 
cm, respectivamente. 
 Cargas permanentes: 
 Peso próprio da viga (Parede de 19 cm): 
𝑃𝑃 = ℎ . 𝑙 . ɣ𝑐 
Onde: 
ℎ = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 (𝑚) 
𝑙 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 (𝑚) 
ɣ𝑐 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 (𝐾𝑁/𝑚3) 
Logo: 
𝑃𝑃 = 0,19 . 0,4 . 25 
𝑃𝑃 = 1,9 𝐾𝑁/𝑚 
 Peso próprio da viga (Parede de 15 cm): 
𝑃𝑃 = ℎ . 𝑙 . ɣ𝑐 
Onde: 
ℎ = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 (𝑚) 
𝑙 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 (𝑚) 
ɣ𝑐 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 (𝐾𝑁/𝑚3) 
Logo: 
𝑃𝑃 = 0,15 . 0,4 . 25 
𝑃𝑃 = 1,5 𝐾𝑁/𝑚 
 
 Peso próprio da alvenaria: 
𝑃𝑃𝐴 = ℎ𝑝 . 𝑃𝑝 
ℎ𝑝 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 (𝑚) 
ℎ𝑝 = 𝑃é 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑜 − 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 
ℎ𝑝 = 2,65 − 0,4 
ℎ𝑝 = 2,25 𝑚 
𝑃𝑝 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠 (
𝐾𝑁
𝑚2
) 
 
Logo: 
𝑃𝑃𝐴 = 2,25 . 2,3 
𝑃𝑃𝐴 = 5,18 𝐾𝑁/𝑚 
 Carga Variável 
Pode-se considerar as cargas de reação de cada laje na viga a qual está 
apoiada. 
 Cargas em cada trecho da planta: 
 
Figura 36: Trechos na planta. 
 Trecho 1: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇1 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,9 + 5,18 + 7,39 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 14,47 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 2: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇2 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,9 + 5,18 + 0 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 7,08 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 3: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇3 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,9 + 5,18 + 0,98 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 8,06 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 4: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇4 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,9 + 5,18 + 1,84 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 8,92 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 5: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇5 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,5 + 5,18 + 3,19 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 9,87 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 6: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇5 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,5 + 5,18 + 1,64 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 8,32 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 7: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇7 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,5 + 5,18 + 1,64 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 8,32 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 8: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇8 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,9 + 5,18 + 12,31 + 7,74 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 27,13 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 9: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇9 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,9 + 5,18 + 4,65 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 11,73 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 10: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇10 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,9 + 5,18 + 3,19 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 8,92 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 11: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇11 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,9 + 5,18 + 1,84 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 8,92 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 12: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇12 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,9 + 5,18 + 8,88 + 1,13 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 17,01 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 13: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇13 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,9 + 5,18 + 3,14 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 10,22 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 14: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇14 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,5 + 5,18 + 5,24 + 15,71 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 27,63 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 15: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇15 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,9 + 5,18 + 1,13 + 15,71 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 23,52 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 16: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇16 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,5 + 5,18 + 1,13 + 20,12 (𝐸𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎) 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 27,93 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 17: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇17 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,5 + 5,18 + 2,68 + 20,12 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 9,36 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 18: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇18 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,5 + 5,18 + 4,65 + 15,71 + 11,49 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 33,88 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 19: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇19 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,5 + 5,18 + 4,47 + 15,71 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 26,86 𝐾𝑁/𝑚 
 Trecho 20: 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 𝑃𝑃𝑉 + 𝑃𝑃𝐴 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇20 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 1,9 + 5,18 + 6,9 
Σ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 = 13,98 𝐾𝑁/𝑚 
 
2.8. Momentos fletores nas vigas 
Afim de descobrir as cargas de reação em cada pilar, para o posterior 
dimensionamento, atribuiu-se cada valor encontrado nos trechos em suas respectivas 
vigas e foi encontrado através do programa FTOOL: 
 Viga 01: 
 
 
Figura 37: Momento viga 01. 
 
 Viga 02: 
 
 
Figura 38: Momento viga 02. 
 
 Viga 03 
 
 
Figura 39: Momento viga 03. 
 Viga 04 
 
 
Figura 40: Momento viga 04. 
 
 Viga 05 
 
 
Figura 41: Momento viga 05. 
 
 Viga06 
 
 
Figura 42: Momento viga 06. 
 
 Viga 07 
 
 
Figura 43: Momento viga 07. 
 
 Viga 08 
 
Figura 44: Momento viga 08. 
 
 Viga 09 
 
 
Figura 45: Momento viga 09. 
 Viga 10 
 
 
Figura 46: Momento viga 10. 
 Logo, ao analisarmos graficamente os valores das reações em cada apoio 
podemos montar a tabela de solicitação dos pilares para permitir o dimensionamento. 
2.9. Dimensionamento dos pilares: 
Os pilares devem ser predispostos de maneira a resistir às cargas verticais da 
edificação, para o seu pré-dimensionamento deve-se aplicar a carga total no nível 
considerado como na fórmula: 
𝑃𝑑,
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
= ɣ𝑓. [(𝑁𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 . 𝑃𝑖𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠) + 𝑃𝑐𝑜𝑏𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑎 
 A partir dos diagramas de cortante e momento fletor, obtemos a tabela com as 
cargas verticais nos pilares, como se observa na tabela: 
Pilar Cargas Verticais (KN) 
P1 56,37 
P2 75,17 
P3 69,94 
P4 54,03 
P5 103,24 
P6 236,13 
P7 193,03 
P8 36,02 
P9 113,39 
P10 102,02 
P11 56,5 
Figura 47:Tabela de solicitações nos pilares. 
 
Para o edifício em questão utilizou-se 3 pavimentos e o térreo, logo, para o 
cálculo das armaduras do pilar consideraremos dois tipos de pilares, de borda ou 
extremidade e de canto, sempre buscando os mais solicitados em cada caso e após 
isso igualar aos outros pilares, sempre em busca da segurança, para tal seguiremos 
as prescrições da NBR 6118/2001. 
 Esforços solicitantes do pilar de borda 
Dados do pilar 6, o mais solicitado, e considerado pilar de borda: 
Nk: 708, 4 KN; le: 265 cm; hy: 15 cm; hx: 50 cm; Ac: 750 cm²; ɣn: 1; ɣc: 1,4; fck: 2,5 
kN/cm²; fyk: 50 kN/cm²; d’x: 4 cm; ɣsteel: 1,15; ab: 0,6; fyd: 43,48 kN/cm²; Mk: 5873 
kN.cm 
 Esforço solicitante do pilar: 
𝑁𝑑 = 𝛾𝑛 ∙ 𝛾𝑐 ∙ 𝑁𝑘 
𝑁𝑑 = 1 ∙ 1,4 ∙ 708,4 
𝑁𝑑 ∶ 991,76 𝑘𝑁 
 Momento solicitante do pilar: 
𝑀𝑑 = 𝛾𝑛 ∙ 𝛾𝑐 ∙ 𝑀𝑘 
𝑀𝑑 = 1 ∙ 1,4 ∙ 5873 
𝑀𝑑: 8222 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 
 Índice de esbeltez 
𝜆𝑒𝑥 =
(3,46 ∙ 𝑙𝑒)
ℎ𝑥
 
𝜆𝑒𝑥 =
(3,46 ∙ 265)
50
 
𝜆𝑒𝑥 = 18,34 
𝜆𝑒𝑦 =
(3,46 ∙ 𝑙𝑒)
ℎ𝑦
 
𝜆𝑒𝑦 =
(3,46 ∙ 265)
15
 
𝜆𝑒𝑦 = 61,13 (Aplicar efeitos de segunda ordem) 
 
 Momentos mínimos 
𝑀1𝑑. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥 = 𝑁𝑑 ∙ (1,5 + 0,03 ∙ ℎ𝑥) 𝑒𝑙𝑥. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥 =
𝑀1𝑑∙𝑚𝑖𝑛𝑥
𝑁𝑑
 
𝑀1𝑑. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥 = 991,76 ∙ (1,5 + 0,03 ∙ 50) 𝑒𝑙𝑥. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥 =
2975,28
991,76
 
𝑀1𝑑. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥: 2975,28 𝑘𝑁 ∙ 𝑐𝑚 𝑒𝑙𝑥. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥: 3 𝑐𝑚 
 
𝑀1𝑑. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥 = 𝑁𝑑 ∙ (1,5 + 0,03 ∙ ℎ𝑦) 𝑒𝑙𝑥. 𝑚𝑖𝑛. 𝑦 =
𝑀1𝑑∙𝑚𝑖𝑛𝑦
𝑁𝑑
 
𝑀1𝑑. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥 = 991,76 ∙ (1,5 + 0,03 ∙ 15) 𝑒𝑙𝑥. 𝑚𝑖𝑛. 𝑦 =
1933,93
991,76
 
𝑀1𝑑. 𝑚𝑖𝑛. 𝑦: 1933,93 𝑘𝑁 ∙ 𝑐𝑚 𝑒𝑙𝑥. 𝑚𝑖𝑛. 𝑦: 1,95 𝑐𝑚 
 
𝑒1𝑥. 𝑖𝑛 =
𝑀𝑑
𝑁𝑑
 
𝑒1𝑥. 𝑖𝑛 =
8222
991,76
 
𝑒1𝑥. 𝑖𝑛 = 8,29 𝑐𝑚 
 Momento de segunda ordem: 
𝑣 =
𝑁𝑑
(𝐴𝑐∙𝑓𝑐𝑑)
 
1
𝑟
=
0,005
ℎ𝑦∙(𝑣+0,5)
 𝑒2𝑦 = (
𝑙𝑒2
10
) ∙ 𝑟 
𝑣 =
991,76
(750∙1,79)
 
1
𝑟
=
0,005
15 ∙ (0,74+0,5)
 𝑒2𝑦 = (
2652
10
) ∙ 0,000269 
 𝑣 = 0,74 
1
𝑟
: 0,000269 𝑐𝑚 𝑒2𝑦: 1,89 𝑐𝑚 
 Esbeltez limite 
𝜆1𝑥 =
(25 + 12,5 ∙ (
𝑒𝑙𝑥. 𝑚𝑖𝑛
ℎ𝑥 ))
𝛼𝑏
 
𝜆1𝑥 =
(25 + 12,5 ∙ (
3
50))
0,6
 
𝜆1𝑥 = 45,83 
 
𝜆1𝑦 =
(25 + 12,5 ∙ (
𝑒𝑙𝑦. 𝑚𝑖𝑛
ℎ𝑦 ))
𝛼𝑏
 
𝜆1𝑦 =
(25 + 12,5 ∙ (
1,95
15 ))
𝛼𝑏
 
𝜆1𝑦 = 42,48 
 Excentricidade inicial da seção 
𝑒𝑙𝑐 = 0,4 ∙ 𝑒𝑙𝑥. 𝑖𝑛 
𝑒𝑙𝑐 = 0,4 ∙ 8,29 
𝑒𝑙𝑐 ∶ 3,32 𝑐𝑚 
 Momento total 
𝑀𝑑. 𝑡𝑜𝑡. 𝑦 = 𝛼𝑏 ∙ 𝑀𝑑 + 𝑁𝑑 ∙ 𝑒2𝑦 
𝑑′𝑥
ℎ𝑥
= 0,08 
𝑀𝑑. 𝑡𝑜𝑡. 𝑦 = 0,6 ∙ 8222 + 991,76 ∙ 1,89 
 
𝜆 1𝑀𝑑. 𝑡𝑜𝑡. 𝑦: 6804,77 𝑘𝑁 ∙ 𝑐𝑚 
𝑑′𝑦
ℎ𝑦
 = 0,27 
 Curvatura da seção critica 
𝜇𝑥 =
𝑀1𝑑.𝑚𝑖𝑛.𝑥
(ℎ𝑥∙𝐴𝑐∙𝑓𝑐𝑑)
 𝜇𝑦 =
𝑀1𝑑.𝑡𝑜𝑡.𝑦
(ℎ𝑥∙𝐴𝑐∙𝑓𝑐𝑑)
 
𝜇𝑥 =
2975,28
50 .750.1,79
 𝜇𝑦 =
6804,77
(ℎ𝑥∙𝐴𝑐∙𝑓𝑐𝑑)
 
𝜇𝑥 = 0,045 𝜇𝑥 = 0,34 
 Área de aço 
Sendo w: 1 
𝐴𝑠 =
(𝑤 ∙ 𝐴𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑)
(𝑓𝑦𝑑)
 
𝐴𝑠 =
(1,4 ∙ 750 ∙ 1,79)
43,48
 
𝐴𝑠: 30,8 𝑐𝑚2 
 Quantidade de barras 
𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 10𝛷32 𝑚𝑚 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 
 Quantidade de estribos 
𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝛷8 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 15 𝑐𝑚 
 Esforços solicitantes do pilar de canto 
Dados do pilar 5, o mais solicitado, e considerado pilar de canto: 
Nk: 309,72 KN; le: 265 cm; hy: 19 cm; hx: 50 cm; Ac: 950 cm²; ɣn: 1; ɣc: 1,4; fck: 2,5 
kN/cm²; fyk: 50 kN/cm²; d’x: 4 cm; ɣsteel: 1,15; ab: 0,7; fyd: 43,48 kN/cm²; Max: 10936 
kN.cm; Mby: 2753 kN.cm; 
 Esforço solicitante do pilar: 
𝑁𝑑 = 𝛾𝑛 ∙ 𝛾𝑐 ∙ 𝑁𝑘 
𝑁𝑑 = 1 ∙ 1,4 ∙ 309,72 
𝑁𝑑 ∶ 433,61 𝑘𝑁 
 Índice de esbeltez 
𝜆𝑒𝑥 =
(3,46 ∙ 𝑙𝑒)
ℎ𝑥
 
𝜆𝑒𝑥 =
(3,46 ∙ 265)
50
 
𝜆𝑒𝑥 = 18,34 
𝜆𝑒𝑦 =
(3,46 ∙ 𝑙𝑒)
ℎ𝑦
 
𝜆𝑒𝑦 =
(3,46 ∙ 265)
19
 
𝜆𝑒𝑦 = 48,26 (Aplicar efeitos de segunda ordem) 
 
 Momentos mínimos 
𝑀1𝑑. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥 = 𝑁𝑑 ∙ (1,5 + 0,03 ∙ ℎ𝑥) 𝑒𝑙𝑥. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥 =
𝑀1𝑑∙𝑚𝑖𝑛𝑥
𝑁𝑑
 
𝑀1𝑑. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥 = 433,61 ∙ (1,5 + 0,03 ∙ 50) 𝑒𝑙𝑥. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥 =
1300,824
433,61
 
𝑀1𝑑. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥: 1300,824 𝑘𝑁 ∙ 𝑐𝑚 𝑒𝑙𝑥. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥: 3 𝑐𝑚 
 
𝑀1𝑑. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥 = 𝑁𝑑 ∙ (1,5 + 0,03 ∙ ℎ𝑦) 𝑒𝑙𝑥. 𝑚𝑖𝑛. 𝑦 =
𝑀1𝑑∙𝑚𝑖𝑛𝑦
𝑁𝑑
 
𝑀1𝑑. 𝑚𝑖𝑛. 𝑥 = 433,61 ∙ (1,5 + 0,03 ∙ 19) 𝑒𝑙𝑥. 𝑚𝑖𝑛. 𝑦 =
897,57
433,61
 
𝑀1𝑑. 𝑚𝑖𝑛. 𝑦: 897,57 𝑘𝑁 ∙ 𝑐𝑚 𝑒𝑙𝑥. 𝑚𝑖𝑛. 𝑦: 2,07 𝑐𝑚 
 
 Momento de segunda ordem: 
𝑣 =
𝑁𝑑
(𝐴𝑐∙𝑓𝑐𝑑)
 
1
𝑟
=
0,005
ℎ𝑦∙(𝑣+0,5)
 𝑒2𝑦 = (
𝑙𝑒2
10
) ∙ 𝑟 
𝑣 =
433,61
(950∙1,79)
 
1
𝑟
=
0,005
19 ∙ (0,26+0,5)
 𝑒2𝑦 = (
2652
10
) ∙ 0,000348 
 𝑣 = 0,26 
1
𝑟
: 0,000348 𝑐𝑚 𝑒2𝑦: 11,94 𝑐𝑚 
 Esbeltez limite 
𝜆1𝑥 =
(25 + 12,5 ∙ (
𝑒𝑙𝑥. 𝑚𝑖𝑛
ℎ𝑥 ))
𝛼𝑏
 
𝜆1𝑥 =
(25 + 12,5 ∙ (
3
50))
0,7
 
𝜆1𝑥 = 36,75 
 
𝜆1𝑦 =
(25 + 12,5 ∙ (
𝑒𝑙𝑦. 𝑚𝑖𝑛
ℎ𝑦 ))
𝛼𝑏
 
𝜆1𝑦 =
(25 + 12,5 ∙ (
2,07
15 ))
0,7
 
𝜆1𝑦 = 37,62 
 Momento total 
𝑀𝑑. 𝑡𝑜𝑡. 𝑦 = 𝛼𝑏 ∙ 𝑀𝑑 + 𝑁𝑑 ∙ 𝑒2𝑦 
𝑑′𝑥
ℎ𝑥
= 0,08 
𝑀𝑑. 𝑡𝑜𝑡. 𝑦 = 0,7 ∙ 897,57 + 433,61 ∙ 2,45 
𝜆 1𝑀𝑑. 𝑡𝑜𝑡. 𝑦: 1689,43 𝑘𝑁 ∙ 𝑐𝑚 
𝑑′𝑦
ℎ𝑦
 = 0,21 
𝑀𝑑. 𝑡𝑜𝑡. 𝑦 = 𝛼𝑏 ∙ 𝑀𝑑 + 𝑁𝑑 ∙ 𝑒2𝑦 
𝑀𝑑. 𝑡𝑜𝑡. 𝑦 = 0,7 ∙ 10936 + 433,61 ∙ 11,94 
𝜆 1𝑀𝑑. 𝑡𝑜𝑡. 𝑦: 12841,88 𝑘𝑁 ∙ 𝑐𝑚 
 Curvatura da seção critica 
𝜇𝑥 =
𝑀1𝑑.𝑚𝑖𝑛.𝑥
(ℎ𝑥∙𝐴𝑐∙𝑓𝑐𝑑)
 𝜇𝑦 =
𝑀1𝑑.𝑡𝑜𝑡.𝑦
(ℎ𝑥∙𝐴𝑐∙𝑓𝑐𝑑)
 
𝜇𝑥 =
12841,88
50 .950.1,79
 𝜇𝑦 =
1689,43
(19∙950∙1,79)
 
𝜇𝑥 = 0,1514 𝜇𝑥 = 0,0524 
 Área de aço 
Sendo w: 0,2 
𝐴𝑠 =
(𝑤 ∙ 𝐴𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑)
(𝑓𝑦𝑑)
 
𝐴𝑠 =
(0,2 ∙ 950 ∙ 1,79)43,48
 
𝐴𝑠: 7,8 𝑐𝑚2 
 Quantidade de barras 
𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 8𝛷10 𝑚𝑚 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 
 Quantidade de estribos 
𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝛷5 𝑚𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 12 𝑐𝑚