Slides (Delfino) - Transformada de Laplace

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CÁLCULO IV 
Maj Reinaldo Teixeira DELFINO 
BIBLIOGRAFIA 
• “Equações Diferenciais Elementares e 
Problemas de Valores de Contorno”, William E. 
Boyce & Richard C. DiPrima 
 
• “Calculus”, Vol. 2, Tom M. Apostol 
ASSUNTOS 
• Transformada de Laplace (Cap. 6) 
 
• Séries de Fourier (Cap. 10) 
 
• Equações Diferenciais Parciais (Cap. 10) 
 
• Problemas de Valores de Contorno e Teoria de 
Sturm-Liouville (Cap. 11) 
• (CFG): Sistemas de Equações Diferenciais 
Ordinárias (Apostol, Vol. 2, Cap. 7) 
Transformada de Laplace 
• Uma transformada integral é uma relação que 
transforma uma função dada f em uma outra 
função F. 
 
• O objetivo desta operação é transformar um 
problema (em f) em um outro mais simples 
(em F), resolver este problema mais simples, e 
então recuperar a função f por intermédio de 
sua transformada. 
• As transformadas integrais são relações da 
forma 
 
• Diz-se que F é a transformada de f, e a função 
K é denominada núcleo da transformação. 
Diversas transformadas integrais são 
empregadas para a solução de problemas 
variados. 



dttftsKsF )().,()(
• DEFINIÇÃO: Seja f(t) uma função definida para 
t ≥ 0. A transformada de Laplace de f, 
representada por ℒ{f(t)} ou F(s), é definida 
pela equação: 
 
 
 
• para todos os valores de s que tornem a 
integral convergente. 



0
)()()}({ dttfesFtfL
st
• Exemplo: determine a transformada de 
Laplace da função f(t) = 1. 
• Resolução: 
 
 
 
• A integral imprópria converge para s > 0, e 
diverge caso contrário. Portanto: 






















0,lim
0,
1
lim
1.}1{
00 sa
s
ss
e
dtedteL
a
sa
astst
0,
1
}1{  s
s
L
• DEFINIÇÃO: Diz-se que uma função f é 
contínua por partes (ou seccionalmente 
contínua) em um intervalo [a,b] se este puder 
ser dividido em um número finito de pontos 
a = t0 < t1 < ... < tn = b, de modo que f seja 
contínua em cada subintervalo (ti-1 , ti), e que 
tenha um limite finito nas fronteiras de cada 
um destes subintervalos, quando estas forem 
aproximadas por pontos no interior do 
subintervalo. 
• Em outras palavras, f é contínua por partes no 
intervalo [a,b] se for contínua no mesmo, 
exceto em um número finito de pontos, onde 
há descontinuidades de primeira espécie. 
 
• Exemplo: 
 
 
• f(x) não é contínua por partes em 
[0,1]. 






01,/1
10,1
)(
2
xx
xx
xf

 xx
1
lim
0
• Se f é contínua por partes em [a,A], então 
demonstra-se que existe. Logo, se f é 
contínua por partes para t ≥ a, existe 
para todo A > a. Porém, a continuidade por 
partes não garante a convergência da integral 
imprópria . 
 
• Exemplo: converge se c < 0, mas diverge 
se c ≥ 0. 

A
a
dttf )(

A
a
dttf )(


a
dttf )(


0
dte
ct
• TEOREMA: Seja f uma função contínua por 
partes para t ≥ a. Se |f(t)| ≤ g(t) quando t ≥ M 
(para algum M > 0), e se converge, então 
• também converge. Por outro lado, se 
f(t) ≥ g(t) ≥ 0 para t ≥ M, e se diverge, 
então também diverge. 


M
dttg )(


a
dttf )(


M
dttg )(


a
dttf )(
• TEOREMA: seja f uma função contínua por 
partes no intervalo [0,A] para qualquer A > 0, 
tal que |f(t)| ≤ Keat quando t ≥ M, onde K, a e 
M são constantes reais (K e M positivas). 
Então, a transformada de Laplace F(s) existe 
para s > a. 
 
• OBS: diz-se que f é de ordem exponencial se 
|f(t)| ≤ Keat para t ≥ M, onde K, a e M são 
constantes reais (K e M positivas). 
• Demonstração: 
 
 
 
• Como f é contínua por partes em [0,M], 
podemos garantir que existe. 
• Portanto, para provar a existência de F(s), 
precisamos demonstrar que a integral 
imprópria converge. 




 
M
st
M
stst
dttfedttfedttfesF )()()()(
00


M
st
dttfe
0
)(
• |f(t)| ≤ K.eat  |e-st.f(t)| ≤ K.e(a – s)t 
 
• Como converge quando s > a, temos, 
pelo teorema anterior, que converge 
para s > a, o que demonstra o teorema. 
 
• OBS: o teorema fornece condições suficientes, 
mas não necessárias, para a existência da 
Transformada de Laplace. 
 
• OBS: F(s) irá existir ao menos para s > a. 



M
tsa
dte
)(



M
st
dttfe )(
• EXERCÍCIOS: 
• 1) Determine as transformadas de Laplace das 
funções eat e sen at, ambas definidas para t≥0. 
 
• 2) Mostre que a transformada de Laplace é 
um operador linear. 
Resolução de P.V.I. envolvendo E.D.O. 
Lineares com Coeficientes Constantes 
• TEOREMA: Sejam f uma função contínua e f’ 
uma função contínua por partes em qualquer 
intervalo 0 ≤ t ≤ A. Suponha que existam 
constantes K, a e M (K e M positivas) tais que 
|f(t)| ≤ Keat para t ≥ M. Então, ℒ{f’(t)} existe 
para s > a, e L{f’(t)} = s. ℒ{f(t)} – f(0). 
• DEMONSTRAÇÃO: Sejam t1, t2, ... , tn os pontos 
do intervalo 0 ≤ t ≤ A onde f’ é descontínua. 
Então: 
 
 
 
• Integrando-se os termos do segundo membro 
por partes, obtém-se: 

 
A
t
st
t
t
st
t
st
A
st
n
dttfedttfedttfedttfe )(')(')(')('
2
1
1
00









 

A
t
st
t
t
st
t
st
A
t
st
t
t
st
t
st
A
st
n
n
dttfedttfedttfestfetfetfedttfe )()()()()()()('
2
1
1
2
1
1
0
0
0

• Como f é contínua, os termos integrados em 
t1, t2, ... ,tn se cancelam. Logo: 
 
 
 
• Quando A → ∞, e-sA.f(A) → 0 sempre que 
s > a. Então, para s > a: 
 
• ℒ{f’(t)} = s. ℒ{f(t)} – f(0) 

 
A
stsA
A
st
dttfesfAfedttfe
00
)()0()()('
• TEOREMA: sejam f, f’, f”, ... , f(n – 1) funções 
contínuas e f(n) uma função contínua por 
partes em qualquer intervalo [0,A]. Suponha 
que existam constantes K, a e M tais que 
|f(t)| ≤ Keat, |f’(t)| ≤ Keat, ... , |f(n – 1)(t)| ≤ Keat, 
para t ≥ M. Então, L{f(n)(t)} existe para s > a e é 
dada por: 
 
• ℒ{f(n)(t)} = sn. ℒ{f(t)} – sn – 1.f(0) – ... – s.f(n – 2)(0) – f(n – 1)(0) 
 
• Exemplo: y’’ – y’ – 2y = 0, y(0) = 1, y’(0) = 0 
 ℒ{y’’ – y’ – 2y} = L{0} 
 ℒ{y’’} – ℒ{y’} – 2 ℒ{y} = 0 
 s2.ℒ{y} – s.y(0) – y’(0) – s.ℒ{y} + y(0) – 2ℒ{y} =0 
 {s2 – s – 2}.Y(s) – s + 1 = 0 
 
 
 
 
 y(t) = e2t/3 + 2e-t/3 
1
1
3
2
2
1
3
1
)1)(2(
1
2
1
)(
2 









ssss
s
ss
s
sY
 















 
1
1
3
2
2
1
3
1
)()( 111
s
L
s
LsYLty
• Principal dificuldade na resolução de P.V.I. por 
transformadas de Laplace: inversão da 
transformada de Laplace 
 
• Tabelas de Transformadas de Laplace 
Funções Degrau 
• Define-se a função degrau unitário (ou função 
de Heaviside) como: 
 
 
 
• Exercício: Determine ℒ{uc(t)}. 
 
0,
,1
,0
)( 





 c
ct
ct
tuc
  0,)()(
0







 ss
e
s
e
dtedttuetuL
cs
c
st
c
st
c
st
c
• A função g(t) = uc(t).f(t – c) representa uma 
translação da função f, definida para t  0, de 
uma distância c no sentido do eixo t positivo. 
 
• TEOREMA: Se F(s) = ℒ{f(t)} existe para s > a  0 
e se c é uma constante positiva, então: 
L{uc(t).f(t – c)} = e
-cs.F(s), s > a 
 
 Reciprocamente,se f(t) = ℒ-1{F(s)}, então 
uc(t).f(t – c) = ℒ
-1{e-cs.F(s)}. 
 
• DEMONSTRAÇÃO: 
 
 
 
• TEOREMA: Se F(s) = L{f(t)} existe para s > a  0, 
e se c é uma constante, então: 
ℒ{ect.f(t)} = F(s – c), s > a + c. 
 
 Reciprocamente, se f(t) = ℒ-1{F(s)}, então: 
ectf(t) = ℒ-1{F(s – c)} 
  )()()()()()()().(
00
)(
0
sFedfeedfedtctfedtctftuectftuL
csscssc
c
st
c
st
c








    
• OBS: embora não esteja escrito no Boyce, o 
teorema pressupõe que f é de ordem 
exponencial. 
 
• DEMONSTRAÇÃO: 
 
 
 Como f é de ordem exponencial: 
 |f(t)| ≤ Keat  |ectf(t)| ≤ Ke(a+c)t  s > a + c 
 
  )()()()(.
0
)(
0
csFdttfedttfeetfeL
tcsctstct  




• Método do Completamento dos Quadrados 
 Exemplo: 
 
 
 
• Método da Decomposição em Frações 
Parciais 
 Exemplo: 
 
 
te
s
s
L
ss
s
L
t
2cos
43
3
136
3 3
2
1
2
1 
















 
221
1
2
1
3
1
2
1
34
1 311
2
1
tt ee
s
L
s
L
ss
L 
























• Exercício: determine a transformada de 
Laplace inversa de 1/(s2 – 4s +5). 
 
 Resolução: 
 
tsene
s
L
ss
L
t2
2
1
2
1
12
1
54
1

















Equações Diferenciais com Funções de 
Entrada Descontínuas 
• Exercício: Determine a solução do problema 
de valor inicial 2y” + y’ + 2y = g(t), onde 
g(t) = u5(t) – u20(t) e y(0) = y’(0) = 0 
 
 Resolução: ver Exemplo 1 da Seção 6.4 do 
Boyce. 
Funções Impulso 
• Relacionadas a fenômenos de natureza 
impulsiva (de grande valor, que atuam durante 
curtos intervalos de tempo). 
 
• Ideia intuitiva: Seja g(t) uma função de grande 
valor em um intervalo (t0 – τ, t0 +τ) e nula em 
todos os outros pontos. Considere a integral: 
 





 dttgdttgI
t
t
)()()(
0
0



 Se g(t) é uma força, então I(τ) é o impulso 
desta força no intervalo (t0 – τ, t0 +τ). 
 Em particular, suponha que t0 = 0 e que: 
 
 
 
 Observe que I(τ) = 1, ∀ 𝜏 ∈ |𝑅 (exceto 0). 
 Observe também que . 
 Assim, estas equações podem ser usadas 
para “definir” a função impulso. 









t
t
tg
,0
,)2/(1
)(
1)(lim
0




I
• Função impulso unitário (ou função delta de 
Dirac): 
 
 
 
 
• OBS: estritamente falando, 𝛿(t) não é uma 
função! 
• A função acima corresponde a um impulso 
unitário em t = 0. Para um impulso em t = t0: 
1)(
;0,0)(





dtt
tt


 
 
 
 
• Embora a função delta não satisfaça as 
condições do teorema que garante a 
existência da transformada de Laplace, é 
possível definir uma transformada para ela 
(ver Boyce): 
ℒ{𝛿(t – t0)} = 𝑒
−𝑠𝑡0 
1)(
;,0)(
0
00





dttt
tttt


• Também é possível definir a integral do 
produto da função delta por qualquer função 
contínua f: 
 
 
• Exercício: Determine a solução do problema 
de valor inicial 2y” + y’ + 2y = 𝛿(𝑡 − 5), y(0) = 
= y’(0) = 0 
 Resolução: ver Exemplo 1 da Seção 6.5 do 
Boyce. 
 
)()()( 00 tfdttftt 



Integral de Convolução 
• A transformada de Laplace não pode ser 
comutada com a operação de multiplicação 
ordinária, isto é, H(s) = F(s).G(s) ≠ ℒ{f(t).g(t)}. 
Porém, a transformada de Laplace comuta 
com uma operação conhecida como 
convolução. 
• TEOREMA: Se F(s) = ℒ{f(t)} e G(s) = ℒ{g(t)} 
existem para s > a ≥ 0, então H(s) = F(s).G(s) = 
L{h(t)}, s > a, onde h(t) = . 
A função h é conhecida como a convolução de 
f e g, e as integrais são denominadas integrais 
de convolução. 
 
• Assim, a transformada da convolução de duas 
funções é o produto das transformadas de 
cada função. 
 
tt
dtgfdgtf
00
)()()()( 
• Indica-se que h(t) é a convolução de f e g com 
a simbologia h(t) = (f*g)(t). 
 
• É fácil demonstrar que: 
– f*g = g*f; 
– f*(g1 + g2) = f*g1 + f*g2; 
– (f*g)*h = f*(g*h); e 
– f*0 = 0*f = 0. 
• Ache a solução do problema de valor inicial 
y” + 4y = g(t), y(0) = 3, y’(0) = – 1 
• Resolução: 
 ℒ{y’’} + 4ℒ{y} = ℒ{g(t)} 
 s2.Y(s) – sy(0) – y’(0) + 4Y(s) = G(s) 
 (s2 + 4).Y(s) = G(s) + 3s – 1 
 Y(s) = (3s – 1)/(s2 + 4) + G(s)/(s2 + 4) 
 y(t) = 
 
 
0
2).(
2
1
2
2
1
2cos3 dsentgtsent