Slides (Jorge) - EDP

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Notações: 
EDP
 
EDP de ordem é uma equação:
● Envolve 
● k é a maior ordem entre as derivadas que 
aparecem na equação
Ex: Equação de Korteweg-de Vries (KdV)
onde , é uma EDP de 3a ordem 
 
EDP
 
Linear vs Não-linear: 
● Operador linear , 
● Derivada parcial é operador linear
EDP
 
EDP será linear e expressa como , 
quando L for CL de derivadas parciais de 
qualquer ordem
● Coeficientes da CL: quaisquer funções
● Derivadas parciais: não pode expoente 
Ex: KdV é não-linear 
Equação de Laplace é linear 
 
EDP
 
Homogênea vs Não-homogênea
● EDP não-homogênea possui fator não-nulo 
isolado. Caso contrário, será homogênea
Ex: Equação de Laplace é 
homogênea 
Equação de Poisson é 
não-homogênea 
EDP
 
Classificação das EDP lineares de 2a ordem
EDP
● Discriminante 
● Sinal do discriminante em uma região
determina o tipo de EDP
 
Tipos:
● Hiperbólico
● Elíptico
● Parabólico
EDP
Ex:
Equação do calor é parabólica
Equação da onda é hiperbólica
Eq de Laplace é elíptica
 
Ex: classificar a equação de Tricomi
EDP
Sol:
Se , a equação será hiperbólica
Se , a equação será parabólica
Se , a equação será elíptica
 
Resolvendo EDP de 2a ordem
● Relembrando EDO linear de 2a ordem 
EDP
● Funções específicas , , 
e constantes arbitrárias , 
 
Para EDP linear de 2a ordem a duas variáveis 
EDP
Casos específicos, solução geral da forma
ESPECÍFICAS ARBITRÁRIAS
 
Ex: a, b, c constantes 
EDP
Supondo solução da forma
f arbitrária, m determinada pela EDP.
Derivando e aplicando Regra da Cadeia:
 
Raízes m1 ≠ m2 e linearidade da EDP, solução:
Subst. na EDP e cancelando
EDP
Caso m1 = m2, solução será:
 
Caso m1≠m2, a solução 
EDP
É a mais geral, pois mudando variáveis: 
A EDP transforma-se em , que tem
solução geral
 
Ex: Equação de Laplace bidimensional 
EDP
Produz equação de restrição para m:
Portanto, solução geral
, arbitrárias duas vezes diferenciáveis
 
Tipos de problemas de EDP em função
das restrições impostas: 
EDP
● Problema de valor de contorno – PVC
Equação de Laplace
 
EDP
● Problema de valor inicial – PVI
Equação do Calor
● Problema de autovalores – resulta do
método de Separação de Variáveis
 
EDP
Equação do Calor – Separação de Variáveis
● Condução do calor em uma barra:
modelando o fenômeno físico
● Temperatura Cte na seção
 
EDP
Após dedução, partindo da Lei de Fourier
para condução do calor – EDP do CalorTDApêndice A – Boyce
difusividade térmica,
condutividade térmica,
densidade,
Lei de Fourier
postulada
Equação
deduzida
calor específico,
 
EDP
Proposição do problema e solução
via Separação de Variáveis
● Equação do Calor – PVI+PVC
Suponha
Na variável t é PVI, na variável x é PVC
 
EDP
Substituindo
Separando em duas EDO
na EDP do calor
 
EDP
Resolvendo (1), com
autovalores, autofunções
Problemas de autovalores e autofunções:
estudar seção 10.1 (Boyce) e resolver exercíciosTD
Retornando à Eq (2)
 
EDP
Substituindo e na forma produto
Observando a condição inicial
 
Suponha satisfaça
EDP
Substituindo e na forma produto
Observando a condição inicial
Convergência uniforme: podemos permutar
somatório com derivada 
 
EDP
Logo satisfaz a
EDP e substituindo a condição inicial
Donde coeficientes da expansão de
Série de Fourier em seno
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