APOSTILA MAT FINANCEIRA 2011

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Matemática Financeira 
ALUNO(A):_______________________________ 
 
Material de Apoio para o Curso de Matemática Financeira - 
4.º Período de Administração – ESIC - PR 
 
Gilmar Bornatto 
2011 
 
 
2 
 
- Professor Gilmar Bornatto – Matemática Financeira – 
 
1.1 - O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 
A Matemática Financeira surgiu da necessidade de se levar em conta o valor do dinheiro 
no tempo. 
 
Mas o que é o "valor do dinheiro no tempo"? 
 
Intuitivamente, sabemos que R$ 4.000,00 hoje "valem" mais que esses mesmos R$ 
4.000,00 daqui a um ano, por exemplo. A princípio, isso nos parece muito simples, porém, 
poucas pessoas conseguem explicar porque isso ocorre. 
 
É aí que entram os juros. Os R$ 4.000,00, hoje, valem mais do que os R$ 4.000,00 daqui a 
um ano porque esse capital poderia ficar aplicado em um banco, por exemplo, e me render 
juros que seriam somados aos R$ 4.000,00, resultando numa quantia, obviamente, maior 
que esse capital. 
 
Por exemplo: suponha que um banco me pague R$ 400,00 de juros ao ano caso eu aplique 
esses R$ 4.000,00 hoje. Isso quer dizer que, daqui a um ano, quando esse capital for resgatado, o 
valor recebido será de R$ 4.400,00, e não somente os R$ 4.000,00 iniciais. 
Isso mostra que receber os R$ 4.000,00 hoje seria equivalente a receber R$ 4.400,00 daqui a 
um ano, e não os mesmos R$ 4.000,00, já que esses, daqui a um ano, já terão perdido parte de seu 
valor. Os juros de R$ 400,00 referentes ao prazo de um ano funcionariam como uma recompensa 
por termos de esperar todo esse tempo para ter o dinheiro em vez de tê-lo hoje. 
 
É esse o valor do dinheiro no tempo. Os juros fazem com que uma determinada quantia, hoje, 
seja equivalente a outra no futuro. Apesar de diferentes nos números, os valores R$ 4.000,00 hoje e 
R$ 4.400,00 daqui a um ano seriam equivalentes para juros de R$ 400,00. 
 Um capital de R$ 4.000,00 só será equivalente a R$ 4.000,00 daqui a um ano na 
hipótese absurda de a taxa de juros ser considerada igual a 0. 
 
 A Matemática Financeira, portanto, está diretamente ligada ao valor do dinheiro no 
tempo, que por sua vez está ligado à existência da taxa de juros. 
 
1.2. PRINCIPAIS CONCEITOS 
 
CAPITAL ou VALOR PRESENTE (VP) 
 
Capital ou Valor Presente (VP) é o Capital Inicial (Principal) em uma transação 
financeira, referenciado, geralmente, na escala horizontal do tempo, na data inicial (n=0). 
É, ainda, o valor a vista quando nos referimos, nos termos comerciais, àquele valor "com 
desconto" dado como opção às compras a prazo. 
 
3 
 
 
É considerado também como o investimento inicial feito em um projeto de 
investimento. 
 
 
 
 Na HP 12C pela tecla PV (Present Value). 
 
 JUROS (J) 
 
Os juros (J) representam a remuneração pela utilização de capitais de terceiros, ou 
por prazos concedidos. Podem ser, também, a remuneração por capital aplicado nas 
instituições financeiras. São considerados rendimento se você os recebe, e são 
considerados despesa se você os paga. 
 
 
TAXA DE JUROS (i) 
 
Taxa de juros (i) é o valor do juro em determinado tempo, expresso como porcentagem do 
capital inicial. Pode ser expresso da forma unitária ou percentual (0,15 ou 15%, respectivamente). 
Veja: 
 
Se um banco me paga R$ 400,00 de juros sobre um capital de R$ 4.000,00 aplicado 
durante um ano, a taxa de juros nada mais é do que: 
 
 
 
 
 
Isso significa que esse banco está pagando uma taxa de juros de 10% ao ano. 
 
 
 A HP 12C usa a tecla “i “ ( de “Interest” = juro). 
 
 
PRAZO ou PERÍODOS (n) 
 
As transações financeiras são feitas tendo-se como referência uma unidade de tempo 
(como um dia, um mês, um semestre e etc.) e a taxa de juros cobrada nesse determinado 
tempo. 
 
O período de uma transação é o tempo de aplicação de cada modalidade financeira. Pode 
ser unitário ou fracionário. 
R$ 400,00 = 0,1 ou 10% 
R$ 4.000,00 
 
4 
 
 
Por exemplo, uma aplicação em CDB de 33 dias. O prazo dessa aplicação é unitário se o 
banco utilizar uma taxa específica para 33 dias. Isso quer dizer que n=1 (1 período), pois 
33 dias foi o período considerado para a taxa de juros como sendo uma unidade de tempo. 
 
O banco pode, ainda, considerar para essa aplicação uma taxa que corresponda a um período 
de um ano, por exemplo. 
Já nessa situação, o prazo da aplicação (n) será de 33/360, o que significa a proporção 
de tempo em relação a um ano, que foi considerado como unidade de tempo (tendo em 
vista que a taxa de juros é anual). Daí temos um período fracionário, pois n=33/360. 
Então, o prazo ou período considerado só pode ser definido se levarmos em consideração a 
taxa de juros, que pode ser definida para qualquer período. 
 
No caso de seqüência de capitais ou série de pagamentos, o “n” expressa o número de 
pagamentos ou recebimentos efetuados do começo ao fim da operação. Todos nós, obviamente, já 
nos deparamos com uma situação como, por exemplo, comprar um televisor em 5 prestações 
mensais. Essas 5 prestações representam o "n", ou seja, o número de pagamentos que serão 
efetuados durante toda a operação. 
 Na HP 12C é indicado pela tecla “n”. 
 
MONTANTE ou VALOR FUTURO (VF) 
 
 Na HP12C como “FV” (de “Future Value”). 
 
 
1.3. – FÓRMULAS BÁSICAS 
 
Serão dadas as três principais fórmulas: do Montante (M), dos Juros (J) e da Taxa 
de Juros (i). Com estas três fórmulas é possível resolver diversos problemas que 
pareciam complicados. 
 
 
 
 Montante 
 Juros 
 Taxa de Juros 
Montante 
Juros 
Taxa de Juros 
 
5 
 
 
EXEMPLO: 
 
Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de 12 % a.m. Acompanhe como é 
realizado o cálculo dos juros e do Montante ao final do primeiro mês. 
 
 
 
Exemplo: 
 
Suponhamos que você aplicou R$ 1.500,00 a uma taxa de juros de 25% a.a. Veja como é 
calculado, no Excel, o rendimento de juros e quanto seria resgatado em 1 ano. 
 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Valor Presente (Capital) R$ 1.500,00 
3 Taxa de Juros 25% 
4 Juros R$ 375,00 J = C * i 
5 Valor Futuro (Montante) R$ 1.875,00 M = C + J 
 
 
Agora vamos verificar como é realizado este cálculo na HP 12C. 
 
Se você tem uma calculadora HP 12C, também pode utilizá-la para efetuar esse cálculo. 
 
 
6 
 
 
 
 
Valores de Entrada Tecla função Saída 
1500 ENTER 1500 :: > Valor do Capital 
25 % 375 :: > Usando a tecla indicada, a calculadora efetuará 25% dos 
 + 1875 1.500 do Capital. Depois é só somar os dois valores para 
 encontrar o Montante 
 
Exemplo: 
 
Você tem R$ 2.346,00 hoje, mas daqui a três meses terá que pagar uma dívida de R$ 
3.123,00. Para honrar a sua dívida, alguém sugere que você aplique seu dinheiro para que, 
no futuro, tenha o que precisa. A qual taxa de juros você precisaria aplicar esse capital? 
 
Nesse caso, você já tem os Valores Presente e Futuro, e precisa da taxa de juros que 
renderia os R$ 777,00 de juros para a formação do Montante de R$ 3.123,00 objetivado. 
 
 
 A B C 
1 
Dados Valores 
Memória de 
Cálculo 
2 Valor Presente 
(Capital) R$2.346,00 
3 Valor Futuro R$3.123,00 
4 Taxa de Juros 33,12% i = (M/C)-1 
5 Juros R$777,00 J = C * i 
 
 
Agora vamos ver como se faz este cálculo na HP 12C. 
 
Na HP 12C você poderia fazer esse exercício usando a tecla de variação percentual. 
 
 
 
 
Valores de Entrada Tecla função Saída 
2346 ENTER 2346 ::> Valor do Capital 
3123 % 33,12 ::> Depois é inserido o Valor Futuro, 
 acionada a função variação 
 percentual e encontrada a 
taxa de juros. 
 
 
 
7 
 
1.4 - DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA 
Mais um conceito fundamental da matemática financeira é o de fluxo decaixa. Ele é 
definido como o conjunto de entradas e saídas monetárias (pagamentos e recebimentos) 
referentes a uma transação financeira de uma empresa, projeto de investimento e etc. 
 
Nesse contexto, o diagrama de fluxo de caixa é a representação gráfica desse 
indispensável instrumento de análise de rentabilidade, custos, viabilidade econômica e 
financeira de projetos de investimento. O diagrama torna mais fácil a visualização da 
movimentação monetária, facilitando o processo de análise. 
 
O diagrama é universal e feito da seguinte forma: 
 
Vale lembrar que: 
 
 As setas não são necessariamente proporcionais ao valor das entradas e saídas. 
 O fluxo de caixa é muito útil na análise de problemas com séries de capital. 
 Os intervalos de tempo entre os períodos são todos iguais. 
 Os valores serão colocados no início e final de cada período, dependendo da convenção 
utilizada, mas nunca durante o período. 
 
Exemplo: 
 
Para exemplificar o conceito de fluxo de caixa, suponha a seguinte situação: 
 
Um investidor compra um título hoje por R$ 1.000,00. Esse título lhe dá o direito de 
receber, durante 5 anos, a quantia de 10 % a.a (ao ano) sobre o valor inicial pago 
(denominado valor nominal ou de face), mais o capital inicial de volta no final do quinto 
ano. 
O diagrama ficaria assim: 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
1.6 REGRA DE SOCIEDADE 
 
Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de 
um resultado (lucro ou prejuízo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão 
participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros 
participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação 
deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn. 
Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto: 
pk = Ck tk 
 
e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes: 
C = C1 + C2 + ... + Cn 
A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M 
diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn. 
Exemplo Resolvido: 
1) Três pessoas formaram uma sociedade, A entrou com R$ 24.000,00; B com R$ 
30.000,00 e C com R$ 36.000,00. Depois de três meses tiveram um lucro de R$ 
60.000,00. Calcule o lucro de cada sócio. 
 
Solução: Para cada sócio, a razão entre o lucro e o dinheiro investido é igual a razão entre o 
lucro total da sociedade e o total investido pela sociedade. Então: 
 
Assim, A/24000 = B/30000 = C/36000 = 2/3. 
Logo: A = R$ 24.000,00 × 2/3 = R$ 16.000,00 ; B = R$ 30.000,00 × 2/3 = R$ 20.000,00 ; 
C = R$ 36.000,00 × 2/3 = R$ 24.000,00. 
 
9 
 
2) Três sócios têm que dividir um lucro de R$60.000,00 sendo que o sócio A 
investiu R$5.000,00 , o B com R$15.000,00 e C com R$30.000,00. 
Solução: 
A / 5.000,00 = B / 15.000,00 = C / 30.000,00 e A + B + C = 60.000,00, então: 
Temos então que: 
 A
5.000 (5.000 15.000 30.000)
A B C 

 
 
A / 5.000,00 = 60.000,00 / 50.000,00 
A / 5.000,00 = 1,2 => A = 6.000,00 
B / 15.000,00 = 1,2 => B = 18.000,00 
C / 30.000,00 = 1,2 => C = 36.000,00 
 
3) Três sócios têm que dividir um lucro de R$90.000,00 sendo que o sócio A 
investiu R$15.000,00 durante 2 anos, B durante 4 anos aplicou 
R$5.000,00 e C investiu R$30.000,00 durante 1 ano e 3 meses. 
Solução: 
Primeiramente devemos colocar os dados na mesma unidade; assim 1 ano e 3 meses é 1 
ano + 3/12 a = 1 + 0,25 = 1,25 ano. 
     
A
15.000 2 5.000 4 30.000 1,25
B C
 
  
 
Se A + B + C = 90.000 => ( A / 30.000 ) = 90.000 / ( 30.000 + 20.000 + 37.500 ) => A 
= 30.857,14; 
( B / 20.000 ) = 90.000 / ( 30.000 + 20.000 + 37.500 ) => 
B = 20.571,43; 
( C / 37.500) = 90.000 / ( 30.000 + 20.000 + 37.500 ) => 
C = 38.571,43 
Exercícios Propostos: 
1) Uma sociedade teve um lucro de $117.000,00. O primeiro sócio entrou com 
$1.500,00 durante 5 meses, e o outro, com $2.000,00 durante 6 meses. Qual foi o 
lucro de cada um? 
R: $45.000,00 e $ 72.000,00 
 
 
10 
 
2) Jonas e Paulo se associaram para jogar na loteria. Jonas deu $18,00 e Paulo 
$12,00. Tendo acertado um terno, eles ganharam $1.600,00. Quanto receberá cada 
um? 
R: $960,00 e $640,00 
 
3) (BB) – Ao constituírem uma sociedade, dois sócios entraram com os capitais de 
$56.000 e $42.500, respectivamente. Na divisão do lucro, o primeiro recebeu 
$518,00 a mais que o segundo. Quanto recebeu cada sócio? 
R: $2.148,74 e $1.630,74 
 
4) (BB) – Em certa sociedade comercial, o sócio A entrou com 2/5 do capital durante 
¾ do tempo, e o sócio B entrou com o resto do capital durante 2/3 do tempo. 
Sabendo que houve um prejuízo de $49.210,00, calcule que parte desse prejuízo 
caberá a cada sócio. 
R: $21.090,00 e $28.120,00 
 
5) Em certa sociedade, os capitais de A e B estão entre si como 3 está para 5. 
Sabendo que esses capitais estiveram aplicados durante 15 e 18 meses, 
respectivamente, e que a sociedade teve o prejuízo de $311.100,00, calcule a parte 
de cada sócio nesse prejuízo? 
R: $103.700 e $207.400 
 
6) Distribua o lucro de $28.200,00 entre dois sócios de uma empresa, sabendo que o 
primeiro aplicou $80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou 
$20.000,00 durante 11 meses. 
R: $21.600 e $6.600,00 
 
7) Certa sociedade constituída por três sócios, com o capital de $180.000,00, obteve 
$25.200,00 de lucro. Sabendo que o sócio A entrou com 1/3 do capital, que o sócio 
B entrou com 2/5 e que o sócio C entrou com o restante, indique o lucro de cada 
sócio, respectivamente. 
R: $8.400,00, $10.080,00 e $ 6.720,00 
 
8) Dois amigos constituem uma sociedade, participando o primeiro com $10.000,00 e 
o segundo com $8.000,00. Após 10 meses de existência da empresa, o primeiro 
sócio aumentou seu capital em mais $5.000,00. Decorridos 2 meses dessa data, o 
segundo sócio retirou $2.000,00 de sua cota inicial. Sabendo que ao final de 2 anos 
foi apurado um lucro de $23.900,00, qual é a quantia que coube ao segundo sócio? 
R: $8.400,00 
 
9) A, B e C organizaram uma empresa comercial com capital de $2.000.000,00. C 
retirou-se ao fim de 1 ano e 2 meses, B no fim de 1 ano e 8 meses e A ao cabo de 
2 anos. O lucro apurado foi distribuído da seguinte maneira: $11.900,00 para C, 
$13.000,00 para B e $12.000,00 para A . Qual foi o capital que cada sócio entrou 
na sociedade? 
R: A = $500.000,00, B = $650.000,00 e C = $850.000,00 
 
 
11 
 
10) Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de $8.000,00 e 
$7.000,00, Respectivamente. Na divisão do lucro, a primeira recebeu $8.400,00 
mais do que a segunda. Qual foi o valor do lucro de cada uma delas? 
R: $67.200,00 e $58.800,00 
 
11) Quatro sócios empregaram, respectivamente, os capitais de $4.500,00, $2.000,00, 
$1.000,00 e $3.000,00 e obtiveram um lucro de $4.357,50. Quanto caberá a cada 
um? 
R: $1.867,50, $830,00, $415,00, $1.245,00 
 
12) Uma firma com três sócios e capital total de $196.000,00 obteve um lucro de 
$39.200,00. Qual foi o capital inicial de cada sócio, sabendo que no rateio do lucro 
coube ao primeiro $24.000,00, ao segundo , $12.000,00 e ao terceiro $3.200,00? 
R: $120.000,00, $60.000,00 e $ 16.000,00 
 
1.7 – OPERAÇÕES COM MERCADORIAS 
Vamos estudar os tipos de problemas de percentagem ligados às operações de compra e 
venda de mercadorias, isto é, vamos aprender a fazer cálculos de LUCRO ou PREJUÍZO 
sobre os preços de CUSTO e de VENDA de mercadorias. 
 
VENDAS COM LUCRO 
A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço de 
custo (preço de compra) ou sobre o preço de venda. 
 
VENDAS COM LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO 
Fórmulas para calcular essa operação: 
L = PV – PC 
L = i x PC 
PV = (1 + i).PCOnde: 
PV: Preço de venda; 
PC: Preço de compra; 
L: Lucro; 
i: taxa unitária do lucro 
Legenda: o “x” simboliza a operação de multiplicação 
 
 
 
VENDAS COM LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA 
 
L = PV – PC 
L = i x PV 
 
12 
 
PV = PC / (1 – i) 
Onde: 
PV: Preço de venda; 
PC: Preço de compra; 
L: Lucro; 
i: taxa unitária do lucro 
 
 
VENDAS COM PREJUÍZO 
 
Analogicamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vendida com 
prejuízo sobre o preço de custo (preço de compra) ou sobre o preço de venda. 
Basta Lembrar que Prejuízo é um Lucro Negativo! Isto É Trocar na Fórmula P = - L 
 
Exercícios Propostos: 
 
1. Um imóvel, cujo preço de custo é R$ 36.000,00, foi vendido com lucro de 6%. Qual foi o 
preço de venda? 
R$ 38.160,00 
 
2. Compramos certa mercadoria por R$ 200,00 e, ao vendê-la, desejamos ganhar 4% 
sobre o preço de custo. Por quanto deverá ser vendida? 
R: $208,00 
 
3. Na venda de certo bem adquirido por R$ 200,00, desejamos obter lucro de 4% sobre o 
preço de venda. Por quanto deverá ser vendido o bem? 
R: $ 208,33 
 
4. João deseja vender seu carro com lucro de 6% sobre o preço de venda. O carro custou 
R$ 20.000,00. Qual será seu lucro? 
R: $1.276,60 
 
5. Certa pessoa, tendo comprado uma calculadora por R$ 120,00, vendeu-a com prejuízo 
de 10% sobre o preço de custo. Por quanto vendeu a calculadora? 
R: $108,00 
 
6. Um eletrodoméstico que custou R$ 600,00 foi vendido com prejuízo de 6% sobre o 
preço de venda. Qual foi esse preço? 
R: $566,04 
 
7. Francisco deseja vender por R$ 70.000,00 seu apartamento, cujo preço de assim: custo 
foi R$ 76.000,00. De quanto por cento, sobre o preço de venda, vai ser seu prejuízo? 
R: 8.57% 
 
 
13 
 
 8. Vendi um objeto por R$ 2.460,00, ganhando 23% de lucro sobre o preço de custo. 
Quanto custou o objeto? 
R: $2.000,00 
 
9. Comprei um móvel por R$ 700,00 e desejo vendê-lo com lucro de 10% sobre o preço de 
venda. Por quanto deverei vender o móvel? 
R: $777,78} 
 
10. Uma casa, comprada por R$ 60.000,00, está sendo vendida por R$ 76.000,00. De 
quanto por cento é o lucro, se calculado sobre: 
a) o preço de custo; b) o preço de venda 
R: a) 26,67% b) 21,05% 
 
11. Quanto custou um computador vendido por R$ 1.565,00 com lucro de 10% sobre o 
preço de venda? 
R: $1.408,50 
 
12. Um relógio foi vendido por R$ 60,00 com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo. 
Quanto custou? 
R: $75,00 
 
13. Quanto por cento sobre o custo perdeu um comerciante ao vender por R$ 45,00 certa 
mercadoria que custou R$ 48,00? 
R: 6,25% 
 
 14. Calcular o preço de custo de um eletrodoméstico, que foi vendido por R$ 600,00, com 
perda de 12% sobre tal preço de custo. 
R: $681,82 
15. Ao vender um.anel por R$ 500,00, tive um lucro de 8% sobre o preço de venda. Qual 
foi o preço de compra ? 
R: $460,00 
 
16. Quanto por cento ganhei .sobre o preço de venda de um bem que me custou R$ 
124,00 e foi vendido por R$ 160,00? 
R: 22,5% 
 
17. Um livro foi vendido por R$ 35,00. Se tivesse sido vendido por mais R$ 4,00, o lucro 
teria sido de 20% do preço da nova venda. Qual teria sido o lucro? 
R: $7,80 
 
18. Qual foi o valor do prejuízo de quem vendeu um objeto por R$ 178,00, perdendo na 
transação o equivalente a 5% do preço de custo? 
R: $9,37 
 
19. Se dispusesse de mais 20% do que tenho, poderia comprar um carro por R$ 18.000,00 
e ainda ficaria com R$ 1.200,00. Quanto tenho? 
 
14 
 
R: $16.000,00 
 
20. Um objeto foi vendido por R$ 196,00, com prejuízo de 2% sobre o preço de compra. 
Por quanto deveria ter sido vendido para proporcionar um lucro 
de 8% sobre o preço de compra ? 
R: $216,00 
 
 
 
1.8 - REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
Capitalização é o ato de incluir os juros incorridos durante um período no capital inicial, 
resultando em um montante "capitalizado" (acrescido dos juros). 
 
Quando um capital é aplicado à determinada taxa, o montante resultante dessa aplicação 
pode "crescer" de duas formas: pela capitalização simples ou pela capitalização 
composta. 
 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
Em um regime de capitalização simples os juros são sempre iguais e incidem somente sobre o 
capital inicial durante todo o período. O montante, dessa forma, cresce de maneira linear. Nessa 
forma de capitalização, geralmente os juros são pagos no final da operação. 
 
Exemplo: 
 
Aplica-se um capital de R$ 2.000,00 no início do primeiro ano e espera-se resgatá-lo daqui a 3 
anos. Sabendo que o regime é de capitalização simples e que os juros são de 17% a.a., é fácil 
calcular o montante. Veja: 
 
 
 
 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
 
15 
 
Nesse regime de capitalização, o capital é remunerado a cada período, e os juros incidem 
sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até a referida data. Sendo assim, o 
montante, ao final da data 1(n = 1), por exemplo, é o capital inicial da data 2 (n = 2) e 
sobre ele incidirão juros novamente. 
 
O montante, neste caso, cresce em progressão geométrica, ou seja, crescimento 
exponencial. 
Exemplo: 
 
 
Representando essa aplicação no diagrama de fluxo de caixa, podemos ver mais 
facilmente. 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na HP 12C, os cálculos podem ser executados da seguinte forma: 
 
Valores de 
Entrada 
Tecla 
função Saída 
 
2000 ENTER 2000 ::> Valor do capital 
17 % 340 ::> Valor dos juros 
 + 2340 ::> Montante 1 
17 % 397,8 ::> Juros 2 
 
16 
 
 + 2737,8 ::> Montante 2 
17 % 465,43 ::> Juros 3 
 + 3203,23 ::> Montante 3 
 
 
 
1.9 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
Fórmulas: Montante, Juros e Taxas de Juros 
 
Os juros simples têm seu fundamento no regime de capitalização simples, no qual o crescimento do 
capital se dá linearmente (por isso, o cálculo dos juros simples também é chamado de cálculo 
linear). Trata-se de juros simples toda transação em que os juros incidem sempre sobre o capital 
inicial e são, então, iguais em todos os períodos. 
 
A fórmula dos juros simples é, intuitivamente: 
Como já sabemos que: 
 
M = C + J M = C + Cin Então: 
 
 
 
Exemplo: 
 
Veja como é fácil realizar operações de cálculos com juros simples. Suponhamos que você tenha 
uma aplicação de R$ 120.000,00, que rende, a juros simples, 15% a.t. Quanto esperaria ter no final 
do ano, se aplicou seu dinheiro no primeiro dia do ano? 
 
Para resolver, basta aplicar a fórmula apresentada acima. Veja: 
 
17 
 
 
 
 
 
Daí: 
 
M= C + J M= 120.000 + 72.000 = 192.000 
 
 
Ou então use a fórmula direta: 
 
 M = 120.000 (1+ 0,15 x 4) = 
192,000 
 
 
 
Na HP 12C, o cálculo poderia ser executado da seguinte forma: 
 
Valores de Entrada Tecla função Saída 
120000 ENTER 120000 ::> Valor presente 
15 % 18000 ::> Juros para 1 trimestre 
4 X 72000 ::> Juros para 4 trimestres (1 ano) 
 + 192000 ::> Montante final (C + 4J) 
 
 
1.10 - TAXAS EQUIVALENTES 
 
Normalmente temos que transformar a taxa de juros de um período para outro período, esse 
cálculo é muito usado em transações financeiras em geral e as taxas que procuramos são 
denominadas taxas equivalentes, isto é, que produzem o mesmo montante se aplicadas sobre um 
mesmo capital em um mesmo intervalo de tempo. 
 
No caso dos juros simples, o cálculo é muito fácil e simplificado pelo caráter linear desse tipo de 
capitalização. Pode sempre ser feito por meio da proporcionalidade (usando regra de três simples, 
por exemplo). 
 
18 
 
Se quisermos calcular, por exemplo, a taxa anual em juros simples, equivalente à taxa 
mensal de 2,5 % a.m., teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí tiramos que a taxa equivalente é de 30% ao ano. Veja que isso é exatamente o que 
fizemos no exemplo dado para transformar a taxa mensalde juros do cartão de crédito, de 
10 % a.m., em uma taxa diária de juros de 0,33 % a.d. (10/30). 
 
 
1.11 - JUROS EXATOS E JUROS COMERCIAIS 
O cálculo de taxas equivalentes diárias é muito comum no nosso dia-a-dia, como visto 
anteriormente. Porém, o cálculo das taxas equivalentes tem como pressuposto o cálculo dos dias 
corridos da operação. Essa conta, por sua vez, pode ser feita de duas maneiras distintas, aplicáveis 
de acordo com a operação. 
 
Quando usamos como base o ano civil, com 365 dias (ou 366) e meses com números 
variáveis de dias, os juros calculados são os juros exatos. 
 
Quando usamos como base o ano comercial de 360 dias e meses com 30 dias, os juros 
obtidos são os juros comerciais. 
 
 
1.12 - EXERCÍCIOS JUROS SIMPLES 
1. Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de $ 1.000,00 pelo prazo de 
5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 30% ao mês 
R: $1.500,00 
2. Um capital de $ 25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de $ 7.850,00. 
Determinar a taxa correspondente. 
R. 0,045 ou 4,5% ao mês 
Note que esse é um dos poucos casos nos quais 
não existe a necessidade de se transformar as 
porcentagens em número decimal,uma vez que 
tratamos com porcentagens dos dois lados da 
equação. 
 
19 
 
3. Uma aplicação de $ 50.000 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $ 
8.250,00. Indaga-se: Qual a taxa anula correspondente a essa aplicação? 
R: 0,33 ou 33% ao ano 
4. Sabendo-se que os juros de $ 6.000 foram obtidos com a aplicação de $ 7.500,00, à 
taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. 
R. 10 trimestres ou 2,5 anos 
5. Qual o capital que, à taxa de 4% ao mês, rende juros de $ 9.000,00 em um ano? 
R: $ 18.750,00 
6. Um empréstimo de $ 23.000,00 é liquidado por $ 29.200,00 no final de 152 dias. 
Calcular a taxa mensal de juros. 
R: 0,1773% x 30 = 5,32% 
7. Calcular o valor dos juros e o do montante de uma aplicação de $ 20.000,00, feita a 
uma taxa de 4,94% ao mês, pelo prazo de 76 dias. 
R: $ 22.502,93 
8. Calcular o montante da aplicação de um capital de $ 8.000,00, pelo prazo de 12 meses, 
à taxa de 3% ao mês. 
R: $ 10.800,00 
9. Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de $ 60.000,00, sabendo-
se que a taxa de juros é de 5% ao mês e que faltam quatro meses para o seu 
vencimento. 
R: $ 50.000,00 
10. Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 36% ao ano 
rende $ 72.000,00 de juros, determinar o montante. 
R: $112.000,00 
11. Um empréstimo de $ 40.000,00 deverá ser quitado por $ 80.000,00 no final de 12 
meses. Determinar as taxas mensal e anual cobradas nessa operação. 
R. 8,33% a.m. e 1,00 ou 100% a.a. 
12. Em que prazo uma aplicação de $ 3.500,00 pode gerar um montante de $ 5.337,50, 
considerando-se uma taxa de 30% ao ano? 
R. 1,75 anos ou 21 meses. 
13. Uma TV 29" é vendida nas seguintes condições: 
* preço a vista = $1.800,00 
** condições a prazo = 30% de entrada e $ 1.306,00 em 30 dias. 
Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo. 
R: i = 3,65% a.m. 
14. Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais. O primeiro 
pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são devidos em 30 e 60 dias. 
Sendo 4,4% ao mês à taxa linear de juros, pede-se calcular até que valor interessa 
adquirir o bem a vista. 
R: à vista até 95,9,% do seu valor - com um desconto de 4,1% 
15. Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco: 
(1) $18.000,00 vencíveis em 37 dias 
(2) $42.000,00 vencíveis em 83 dias 
 
20 
 
(3) $100.000,00 vencíveis em 114 dias. 
Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo 
seguinte esquema: 
(1) $ 20.000,00 em 60 dias 
(2) $50.000,00 em 100 dias 
(3) O restante em 150 dias. 
Sendo de 3,2% ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operações, 
pede-se calcular o valor do pagamento remanescente adotando como data focal o 
momento atual. 
R: $ 94.054,23 
16. Uma pessoa tem uma dívida composta dos seguintes pagamentos 
(1) $ 2.200,00 de hoje a 2 meses, 
(2) $5.700,00 de hoje a 5 meses 
(3) $9.000,00 de hoje a 7 meses 
Deseja trocar estas obrigações equivalentemente por dois pagamentos iguais, vencíveis 
o primeiro ao final do 6.º mês e o segundo no 8.º mês. Sendo de 3,7% ao mês de juros 
simples, calcular o valor destes pagamentos admitindo-se as seguintes datas de 
comparação: 
(a) Hoje 
(b) no vencimento do primeiro pagamento proposto; 
(c) no vencimento do segundo pagamento proposto. 
R: (a) $8.809,84 (b) $8.863,03 (c) $8.849,61 
 
17. Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00 pelo prazo de 18 
meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? R: R$ 1.728,00 
18. Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 
de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano? R. R$ 4.380,00 
19. Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500,00 a ser resgatado por R$ 
2.700,00 ao final de 2 anos? R. 40%a.a. 
20. A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses? R. 0,75% a.m. 
21. Um capital de R$ 30.000,00, aplicado durante 10 meses, rende juro de R$ 6.000,00. 
Determine a taxa correspondente. R. 2% a.m. 
22. Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano , 2 meses e 15 dias o juro de R$ 
7.830,00. Qual foi esse capital? R. R$ 27.000,00 
23. Uma aplicação de R$ 400.000,00 em "letras de câmbio" pelo prazo de 180 dias, obteve 
um rendimento de R$ 60.000,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? 
R. 30% a.a. 
 
21 
 
24. Qual é o tempo em que um capital de R$ 96.480,00, a 25% ao ano, rende R$ 79.395,00 
de juros? R. 3 a. 3 m. 15 d. 
25. Sabendo que o juro de R$ 120.000,00 foi obtido com a aplicação de R$ 150.000,00 à 
taxa de 8% ao trimestre, calcule o prazo. R. 2 a. 6 m. 
26. Qual o capital que, à taxa de 2,5% a.m., rende juro de R$ 1.260,00 em 3 anos? 
R. R$ 1.400,00 
27. Uma pessoa sacou R$ 21.000,00 de um banco sob a condição de liquidar o débito ao 
fim de 3 meses e pagar ao todo R$ 22.575,00. A que taxa de juro obteve aquele 
capital? R. 30% a.a. 
28. Por quanto tempo um capital deve ser emprestado a 40% ao ano para que o juro 
obtido seja igual a 4/5 do capital? R: 2 anos 
29. Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano? R. 10 anos 
30. Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juros simples, a que taxa foi 
empregado esse capital? R. 12,5% a.a. 
31. É mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 a 24% ao ano ou R$ 3.510,00 a 22% ao ano e o 
restante a 28% ao ano? R. indiferente 
32. Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 2% ao mês, durante 
2 anos. R. R$ 7.400,00 
33. Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 meses 
e 20 dias um montante de R$ 58.643,20. R. R$ 31.360,00 
34. Duas pessoas têm juntas R$ 26.164,00 e empregam o que têm à taxa de 40% ao ano. 
Após 2 anos, a primeira recebe R$ 6.973,80 de juro a mais que a segunda. Qual é o 
capital de cada uma? R: R$ 17.440,60 e R$ 8.723,40 
35. O montante de uma aplicação por 4 meses é de R$ 42.336,00, por 9 meses, à mesma 
taxa ao mês , rende 6.264,,00 de juro. Calcule a taxa comum e a aplicação inicial. 
R: 2% a.m. e R$ 39.200 
36. O capital de R$ 7.812,00 foi dividido em duas partes. A primeira, colocada a 4% ao mês, 
rendeu durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2% ao mês. 
calcule o valor de cada parte. R. R$ R$ 3.472,00 e R$ 4.340,00 
37. Duas pessoas associam-se entrando a primeira com R$ 60.000,00 e a segunda com R$ 
40.000,00. Sabendo-se que a primeira fundou a firma e a segunda participou durante 6 
meses, qual a parte do lucro que coube a cada uma se lucraram, no fim de um ano, R$ 
 
22 
 
96.000,00? R: $72.000,00 e$ 24.000,00 
 
38. Uma pessoa abriu uma firma em 1.º de Janeiro com um capital de R$ 300.000,00. 
Desejando ampliá-la, aceitou em 1.º de Março um sócio com um capital de R$ 
400.000,00. No final do ano o lucro da firma foi de R$ 380.000,00. Quanto cada sócio 
recebeu? R: $180.000,00 e $ 200.000,00 
 
39. Três sócios realizaram um capital de $ 240.000,00. Sabendo-se que, ao fim de certo 
período de tempo, tiveram lucro, respectivamente, de $24.000,00, $ 22.000,00 e $ 
18.000,00, qual foi o maior capital aplicado? R:$90.000,00 
 
40. Certa mercadoria foi vendida por R$ 6.000,00, com lucro de 20% sobre o custo. Se o 
lucro tivesse sido sobre o preço de venda, por quanto teria sido vendida a mercadoria? 
R: 6.250,00 
 
41. Um artigo custa R$ 100,00 à vista e pode também ser comprado a prazo com uma 
entrada de R$ 52,000 e um pagamento de R$ 60,00 um mês depois. Qual a taxa mensal 
de juros na venda a prazo? R: 25% 
 
42. Um capital de $ 50.000,00 foi aplicado a 144% a.a. e, na mesma data, outro capital de $ 
60.000,00 foi aplicado a 108% a.a., ambos a juros simples. Em quantos dias os 
montantes serão iguais? R: 500 dias 
 
43. Tenho um título com valor nominal de R$ 15.000,00, com vencimento daqui a dois 
anos, taxa de juros simples corrente de 25% a.a.. Qual é o valor atual do título? 
R: R$ 10.000,00 
 
44. Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25%, durante 4 anos. O 
Segundo a 24% durante três anos e seis meses e o terceiro a 20% durante dois anos e 
quatro meses. Juntos renderam um juro de R$ 27.591,80. Sabendo-se que o segundo 
capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do segundo, qual é o valor do 
terceiro capital? R: R$ 30.210,00 
 
45. Uma empresa tomou um financiamento junto aos bancos A, B e C a uma taxa fixa de 
10% ao ano de juros simples, nas seguintes condições: $ 12.000,00 por 30 dias, $ 
20.000,00 por 45 dias e $ 18.000,00 por 60 dias. Em quanto tempo um financiamento 
equivalente deve ser pago, de um só vez? 
R: 46,8 dias 
 
 
 
 
23 
 
1.13 - DESCONTO SIMPLES 
 
Conceito 
 
A didática do desconto pode ser facilmente entendida como sendo o inverso dos juros. 
Isso porque, se os juros incidem sobre o Valor Presente de um capital, o desconto incide 
sobre o Valor Nominal desse capital. Enquanto os juros somam ao Valor Presente um valor 
porcentual (denominado taxa de juros) transformando-o em um Valor Nominal (futuro) no 
final da operação, o desconto faz o caminho inverso. Ele incide sobre o Valor Nominal, 
decrescendo deste um valor porcentual (denominado taxa de desconto), transformando-o 
em um Valor Presente na data da operação. 
 
Na prática, o desconto pode ser usado para o cálculo do Valor "Descontado" (e daí o 
nome) de um título que precisa ser resgatado antes do vencimento. O desconto, nesse 
caso, seria simplesmente a diferença entre o Valor Nominal que seria resgatado no 
vencimento e o Valor Presente conseguido pelo título liquidado antecipadamente. 
 
 
 
 
 
 
 
Se quisermos calcular o Valor de Venda de um título hoje (isto é, seu Valor Presente), 
devemos subtrair do Valor de resgate desse título (que é seu Valor Nominal) o valor 
referente ao desconto. 
 
Existem duas metodologias para o cálculo dos descontos: o Desconto Racional Simples ou "Por 
Dentro" e o Desconto Comercial Simples ou "Por Fora". 
Desconto racional ou por dentro 
 
O desconto racional pode ser entendido como a diferença entre o Valor Nominal (N) de um 
título ou transação e o seu Valor Presente, atual ou inicial. 
 
A taxa utilizada não é uma taxa de desconto e sim a própria taxa de juros. Esse tipo de 
desconto raramente tem sido utilizado pelo mercado brasileiro. 
 
Entretanto, ele consiste numa importante fonte de comparação com o Desconto Comercial. 
Desconto 
Valor nominal 
Valor 
descontado 
V = 
 1 + in 
 N . 
 
24 
 
Dito isso, temos o desconto racional como: 
 
 
 
 
5.3 Desconto comercial ou por fora 
 
Desconto Comercial ou por Fora é a modalidade de desconto freqüentemente usada no 
mercado. No Desconto Comercial há uma taxa antecipada, denominada taxa de 
desconto, que incide sobre o Valor Nominal de um título ou transação trazendo-o ao Valor 
Presente na data antecipada. Esse método difere-se do Desconto Racional pois, nesse 
último, utilizávamos a própria taxa de juros para calcular o Valor Presente. 
 
Nesse caso, o Valor Presente é o "montante" procurado, pela incidência de uma taxa de 
desconto, por tantos períodos quanto forem especificados, sobre um Valor Base, nesse 
caso, o Valor Nominal. Trata-se, literalmente, da operação inversa à da capitalização do 
Capital Inicial. Essa é uma operação de descapitalização. 
 
Veja, analogicamente, a fórmula do desconto comercial: 
 
 
 
 
 
J = C . i . n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da fórmula anterior, tem-se que o Valor Atual Comercial é: 
 
 
 
 
Dc = N . d . n 
Período de 
Antecipação 
ao 
Vencimento 
 
Taxa de 
Desconto 
Comercial 
 
Valor Nominal sobre o 
qual incide a taxa 
 
niCJ ×× .
n = número de períodos da 
transação 
i = taxa de juros no período 
(constante) 
CC DNV 
 
25 
 
 
Para entendermos melhor o cálculo do Desconto Comercial, vamos fazer o mesmo 
exercício do exemplo anterior. 
 
Dessa vez, porém, a taxa de desconto é que será igual a 7% a.m. 
 
Substituindo nas fórmulas, temos que: 
 
 
 N = R$ 7.000,00 
::> DC = R$ 1.470,00 d = 7 % a.m. DC = 7000 * 0,07 * 3 
 n = 3 meses 
::> 
 
 VC = 7000 – 1470 VC = R$ 5.530,00 
 
A diferença dos dois métodos é clara agora. 
 
No primeiro exemplo, o que incidiu sobre o Valor Nominal foi a taxa de juros. Já 
no segundo caso, foi a taxa de desconto. Note que essas taxas incidem de 
maneiras diferentes. 
 
Por isso que a taxa de juros e a taxa de desconto, apesar de iguais em valor no 
exemplo acima, não são equivalentes. 
 
 
Isso também acontece em virtude da diferença de base de incidência de cada 
uma das taxas. 
 
 
 
Os cálculos de Descontos Comerciais também podem ser realizados na HP 12C. Veja como fazê-
los: 
Entrada Tecla função SAÍDA 
7000 ENTER 7000 
0,07 (multiplica) 490 
3 (multiplica) 1470 
7000 (subtrai) -5530 
 CHS 5530 
 
Neste exemplo testamos a equivalência das duas taxas utilizadas em cada um dos 
métodos. 
 
Se, por exemplo, pegássemos o Valor Recebido pela antecipação do exercício anterior. 
Será que, se reinvestíssemos esse dinheiro a uma taxa de juros de 7 % a.m., 
conseguiríamos de novo os R$ 7.000,00 que iríamos receber? 
 
26 
 
 
 
 
Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Veja como fazê-lo. 
 
Entrada Tecla função Saída 
5530 ENTER 5530,00 
7 % 387,10 
3 x 1161,30 
 + 6691,30 
 
 
E como faríamos se quiséssemos reaplicar o dinheiro recebido na antecipação e resgatar 
R$ 7.000,00 daqui a três meses? Esse procedimento, de achar taxas equivalentes, pode ser 
feito de 2 formas: 
 
 A primeira delas é pela aplicação das fórmulas de equivalência entre a taxa de 
juros e a taxa de desconto. 
Calculando manualmente, ou inserindo as fórmulas no EXCEL, você acha taxas 
equivalentes. 
 
As fórmulas são as seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, sabendo que foi usada uma taxa de desconto de 7 % para o desconto do título, e 
que o Valor recebido pela liquidação foi de R$ 5.530,00, podemos facilmente agora achar a taxa 
correspondente e verificar a eficácia do método. 
 
 
 
Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Veja como fazê-lo. 
Entrada Tecla função Saída 
0,07 ENTER 0,07 
3 x 0,21 
 CHS -0,21 
nd
d
i
×

1
ni
i
d
×

1
e 
 
27 
 
1 + 0,79 
0,07 X Y 0,0886 
3 x 0,27 
5530 x 1470,00 
5530 +7000,00 
 
Desta forma, qualquer que fosse o método utilizado para o cálculo da taxa de juros simples da 
operação, sua visualização seria a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
2.0 - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Conceito 
 
Os juros compostos têm seu fundamento no regime de capitalização composta, vista no 
primeiro módulo, no qual o crescimento do capital se dá exponencialmente (por isso, o 
cálculo dos juros compostos também é chamado de cálculo exponencial). Trata-se de juros 
compostos toda transação na qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial e os juros 
acumulados até a referida data são, então, diferentes em todos os períodos. Lembre-se do 
diagrama para o regime de juros compostos: 
 
VP = Valor presente ou inicial 
VF = Valor futuro (Final) 
C = Capital inicial 
Mn = Montante na data "n" 
 
 
2.1 – A FÓRMULA DO MONTANTE 
Como já foi dito, os juros compostos incidem sobre o capital de maneira exponencial. 
Demonstrando, simplificadamente, o caminho para a fórmula do montante, esse fato fica 
evidente. Partindo do que já sabemos a respeito de capitalização composta, temos: 
 
28 
 
 
M1 = C + C * i ::> M1 = C(1 + i ) 
M2 = M1 + M1 *i ::> M2 = M1 (1+ i ) ::> 
M2 = C(1+i)
2 ::> M3 = M2 + M2 *i 
M3 = M2 (1 + i) ::> M3 = C(1+ i )
3 
 
...e assim sucessivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa fórmula, que só é válida para operações com taxas de juros constantes durante todo 
o período de aplicação e pagamento único, é a mais importante fórmula para a 
matemática financeira, já que é dela que se derivam as fórmulas de Valor Presente, 
Valor Futuro, Taxa de Juros e Prazo, que serão todas vistas adiante. A seguir, 
veremos, em um exemplo, como fazemos o cálculo do montante. 
 
Por motivo de comparação, pegaremos o primeiro exemplo do módulo de juros simples. 
Suponhamos que você tenha uma aplicação de R$ 120.000,00, que rende, a juros 
compostos, 15% a.t. Quanto esperaria ter no final do ano, se aplicou seu dinheiro no 
primeiro dia do ano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
As calculadoras financeiras geralmente usadas, enfatizando aqui a HP 12C, fazem os 
cálculos de qualquer uma das quatro variáveis presentes na fórmula do montante. Apesar 
de ainda não termos falado sobre as outras fórmulas, é importante saber que o cálculo 
pode ser feito apenas inserindo, na calculadora, três das quatro variáveis dessa fórmula. 
 
Importante: é sempre necessário respeitar a convenção de fluxo de caixa presente nas 
calculadoras financeiras, onde o VP e VF devem ser inseridos com sinais opostos, 
indicando as saídas e entradas de caixa. Lembre-se disso sempre! 
 
Montante na 
data "n" 
Fator de 
Acumulação de 
Capital 
  nn iCM × 1
4 
 nn iCM × 1 75,880.209nM
120.000,00 
15% 
 
29 
 
 
 
 Assim, o cálculo do valor futuro, ou montante, dessa operação é feito da seguinte 
forma: 
 
Entrada Tecla função Saída 
120.000 CHS -120.000 
-120.000 PV -120.000 ::> 
PV – do inglês "Present Value" ou Valor Presente 
(Capital Inicial) 
15 I 15 
4 N 4 
 FV 209.880,75 
::> 
 
FV – do inglês "Future Value" ou Valor Futuro ( 
Montante Final) 
 
2.1 – FÓRMULA DO VALOR PRESENTE (CAPITAL) 
 
A fórmula de valor presente é deduzida, como dito, da fórmula do montante. 
Facilmente, podemos ver que: 
 
 
 
 
 
 
 
Um empréstimo deve ser pago em 60 dias. O valor a ser pago é de R$ 15.000,00. Os juros 
(compostos) do empréstimo são de 12% a.m. Qual o valor desse empréstimo se ele fosse pago 
hoje? 
 
 Na HP 12C, o cálculo é feito assim: 
 
Entrada Tecla função Saída 
15000 FV 15.000,00 ::> FV - do inglês "Future Value" ou Valor Futuro 
( Montante Final) 12 i 12 
2 N 2 
 
PV -11.957,91 
 ::> 
 
PV - do inglês "Present Value" ou Valor 
Presente (Capital Inicial) 
 
 
Capital ou 
Valor Presente 
 
n 
 i n 
 
M 
VP 
 1 
 
30 
 
2.2 – TAXA DE JUROS COMPOSTOS 
A fórmula da taxa de juros de uma operação financeira também é deduzida da fórmula do 
montante. Isolando o "i" da fórmula inicial, temos o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
Qual a taxa de juros compostos que está embutida em um produto que tem preço à vista 
de R$ 1.500,00 e a prazo, para pagamento daqui a 90 dias, de R$ 1.900,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na HP 12C, o cálculo é feito assim: 
 
Entrada Tecla função Saída 
1.900 FV 1.900,00 
1.500 CHS -1.500,00 
 PV -1.500,00 
3 n 3 
 i 8,20 
 
 
2.3 – PRAZO 
A fórmula do prazo, também proveniente da fórmula do montante, nos permite calcular o 
prazo de aplicação entre dois valores para determinada taxa. 
 
Isolando-se o "n", teremos: o isolamento do "n", como é fator de radiciação, traz a necessidade de 
uso de logaritmo neperiano, porém, como os cálculos são feitos todos ou no EXCEL ou nas 
calculadoras financeiras, não nos traz problema algum. Você nem precisa se preocupar com a 
resolução de logaritmos, caso você não se lembre. 
 
 
 
 
 
Taxa de Juros Compostos 1
1







n
C
M
i
1500 
3 
1900 
1
1







n
C
M
i %2,8i
 iLn
LnCLnM
n
×


1
logaritmo neperiano do VF 
logaritmo neperiano do VP 
logaritmo neperiano da taxa de juros 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
Veja o que você precisaria para duplicar um capital de R$ 3.500,00 à taxa de juros 
compostos de 12% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na HP 12C, o cálculo é feito assim: 
 
Entrada Tecla função Saída 
 f 0,0000 
 X Y 0,0000 
 f 0,0000 
 CLX 0,0000 
30 ENTER 30,0000 
 1/x 0,0333 
 STO 0 0,0333 
0,12 ENTER 0,1200 
1 + 1,1200 
 RCL 0 0,0333 
 Yx 1,0038 
1 - 0,0038 
100 X 0,3785 ::> Cálculo da Taxa Equivalente diária de 12% a.m. 
 i 0,3785 ::> Taxa Equivalente diária em (i) 
7000 FV 7.000,00 ::> Valor Futuro (FV) 
3500 CHS PV -3.500,00 ::> Inverte o sinal e colocar em Valor Presente (PV) 
 n 184,00 ::> Prazo da aplicação em dias 
 
 
2.4 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS - CÁLCULO DO VALOR FUTURO - VALOR PRESENTE - 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
(*) na resolução dos exercícios considerar ano comercial de 360 dias. 
 
1. Calcular o montante de uma aplicação de $3.500, pelos prazos e taxas efetivas a seguir: 
12% 
3.500,00 
7.000,00 
 iLn
LnCLnM
n
×


1
mesesn 12,6
 
32 
 
 a) 4% a.m. - 6 meses; b) 8% a.t. -18 meses; c) 12% a.a. -18 meses 
 
2. Em quantos meses uma aplicação de $18.000 acumula um montante de $83.743 a juros 
efetivos de 15 % a.m.? 
 
3. Um investimento resultou num montante de $43.000 no prazo de 3 meses. Se a taxa de juros 
efetiva ganha foi de 10% a.m., calcular o valor do investimento. 
 
4. Uma empresa pretende comprar um equipamento de $100.000 daqui a 4 anos com o 
montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se os juros 
efetivos ganhos são de: 
 a) 13% a.t. (ao trimestre); 
b) 18% a.a. (ao ano); 
c) 14% a.s. (ao semestre); 
d) 12% a.m. (ao mês). 
 
5. Um capital de $51.879,31 aplicado pelo prazo de 6 meses transformou-se em $120.000. 
Determinar a taxa de juros efetiva ganha. 
 
6. Uma pessoa deve pagar 3 prestações iguais de $3.500 a vencer daqui a 1 mês, 2 meses e 3 
meses, respectivamente. Se resolvesse pagar a dívida por meio de um pagamento único 
daqui a 3 meses, qual seria o valor desse pagamento considerando uma taxa de juros efetiva 
de 5% a.m.? 
 
7. Um cliente dispõe de duas formas de pagamento: pagamento à vista de $1.400, ou dois 
cheques pré -datados de $763,61 cada um, para 30 e 60 dias, respectivamente. Calcular a 
taxa de juros efetiva cobrada. Se o cliente ganha 5% a.m. em suas aplicaçõesfinanceiras, 
qual será a melhor opção de compra: à vista ou a prazo? 
 
8. Por um eletrodoméstico com valor à vista de $140, uma pessoa deve pagar uma entrada no 
ato da compra e duas prestações de $80 no final dos próximos 2 meses. A juros efetivos de 
20% a.m., determinar o valor da entrada. 
 
9. Uma casa é vendida por $261.324,40 à vista. Se o comprador propõe pagar $638.000 daqui a 
4 meses, calcular a taxa de juros efetiva ao mês embutida na proposta. 
 
10. Em quanto tempo triplica uma população que cresce 3% a.a.? 
 
11. A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10% a.a. Se os juros ganhos foram de 
$27.473 sobre um capital investido de $83.000, quanto tempo o capital ficou aplicado? 
 
12. Nas vendas a crédito, uma loja aumenta em 40% o valor à vista. Desse valor majorado, 20% 
é exigido como entrada, e o saldo pago em 2 prestações mensais de $1.058 cada uma. Se o 
valor da compra for de $2.000, determinar a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. 
 
13. Um produto cujo preço à vista é de $450 será pago em 2 prestações mensais consecutivas de 
$280 e $300, respectivamente. Se a taxa de juros embutida na primeira prestação for de 10% 
a.m., determinar a taxa embutida na segunda. 
 
14. Um apartamento pode ser comprado por $320.000 à vista ou pagando 20% de entrada e 2 
prestações de $170.000, a primeira para 3 meses e a segunda para 7 meses. Calcular o custo 
efetivo do financiamento. Se a taxa de juros vigente é de 2% a.m., qual será a melhor opção 
 
33 
 
de compra: à vista ou a prazo? 
 
15. Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 20% do valor à vista como entrada, e o 
restante a ser liquidado em 3 prestações mensais iguais. Se a taxa de juros efetiva cobrada for 
de 15% a.m., determinar a porcentagem do valor à vista que será pago como prestação cada 
mês. 
 
16. Uma loja permite pagamento em 3 prestações iguais. Se cada prestação é igual a um terço do 
valor à vista, sendo a primeira paga no ato da compra (antecipada), calcular a taxa de juros 
cobrada. 
 
17. O valor à vista de um bem é $6.000. A prazo paga-se uma entrada no ato da compra, mais 3 
parcelas mensais e consecutivas de $2.000 cada uma. Se a taxa de juros efetiva cobrada for 
de 7% a.m., calcular o valor da entrada. 
 
18. Por um equipamento de $360.000 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos 
mensais consecutivos. Se o primeiro pagamento é de $180.000, e a taxa de juros efetiva 
aplicada 10% a.m., calcular o valor do segundo pagamento. 
 
19. Pretende-se daqui a 6 meses comprar um automóvel de $25.000. Calcular a aplicação 
necessária em um investimento que rende juros efetivos de 13% a.m., de modo que o veículo 
possa ser comprado com os juros ganhos na aplicação. 
 
 
20. Um capital de $50.000 rendeu $1.000 em um determinado prazo. Se o prazo fosse 2 meses 
maior, o rendimento aumentaria em $2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha 
pela aplicação e o prazo em meses. 
 
21. Dois capitais foram aplicados durante 2 anos, o primeiro a juros efetivos de 2% a.m. e, o 
segundo, a 1,5% a.m. O primeiro capital é $10.000 maior que o segundo e seu rendimento 
excedeu em $6.700 o rendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um dos 
capitais. 
 
22. Dois capitais, o primeiro de $2.400, e o segundo de$ 1.800), foram aplicados pelos prazos de 
40 e 32 dias, respectivamente. Se a taxa efetiva ganha pelo primeiro capital foi de 5% a.m., e 
sabendo-se que esse capital rendeu $100 a mais do que o segundo, determinar a taxa de 
juros mensal ganha pelo segundo capital. 
 
23. Um capital foi aplicado a juros efetivos de 15% a.a pelo prazo de 6 meses. Calcular o capital 
inicial sabendo-se que, se o montante ao término do prazo, diminuído da metade dos juros 
ganhos, fosse reaplicado à mesma taxa efetiva, renderia em 3 meses juros de $18,42. 
 
24. Um capital acrescido de seus juros de 20 meses soma $1.857,31. Esse capital, diminuído dos 
mesmos juros, reduz-se a $ 80,05. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês. 
 
25. Uma pessoa aplicou um capital em uma conta remunerada a juros efetivos de 30% a.a. 
 Depois de 3 anos resgatou metade dos juros ganhos e reaplicou o resto do montante a juros 
efetivos de 32% a.a., obtendo uma remuneração de $102,30 em um ano. Calcular o valor do 
capital inicialmente aplicado. 
 
26. Um capital foi aplicado por 50 dias a juros efetivos de 3% a.m .. Se a diferença entre o capital 
inicial e os juros ganhos fosse aplicada à mesma taxa, renderia em 3 meses juros de $44,02. 
 
34 
 
Determinar o valor do capital. 
 
27. Um capital foi aplicado durante 10 meses à taxa efetiva de 2% a.m. Ao término desse prazo 
seu montante foi reaplicado durante 11 meses a 3% a.m. A que taxa mensal única poderia ser 
colocado o capital durante todo esse tempo de modo que resultasse no mesmo montante? 
 
28. Um capital aplicado durante um ano à taxa efetiva de 4% a.m. rendeu $480,83 de juros. Do 
montante obtido, foram retirados $600 e o saldo restante reaplicado à mesma taxa, resultando 
em um montante de $1.226,15 após um certo prazo. Determinar o valor do capital inicial e o 
prazo da reaplicação. 
 
29. Dois capitais, o primeiro igual ao dobro do segundo, foram aplicados pelo mesmo prazo e à 
mesma taxa efetiva de 4% a.m. Sabendo-se que o primeiro capital ganhou $400 de juros e 
que a soma do primeiro capital mais os juros ganhos pelo segundo é igual a $1.032,91, 
calcular os capitais e o prazo. 
 
30. Dois capitais, o primeiro de $1.000, e o segundo de $227,27, foram aplicados ambos a juros 
efetivos de 20% a.a. O primeiro capital, na metade do tempo do segundo, obteve um 
rendimento de $100,00 a mais. Se o segundo capital resultou em um montante de $327,27, 
calcular os prazos das duas aplicações. 
 
31. Um pessoa aplicou um capital por dois anos a juros efetivos 20% a.a. Ao término desse prazo 
resgatou o montante e reaplicou um terço dos juros ganhos à taxa efetiva de 25% a.a., 
obtendo uma remuneração semestral de $34,62. Calcular o valor do capital inicialmente 
aplicado. 
 
32. Certo capital foi aplicado a juros efetivos de 3% a.m. durante 50 dias. Se a diferença entre o 
capital e os juros ganhos acrescida de $10.000,00 fosse aplicada à mesma taxa, renderia, de 
juros, $12.342,82 ao ano. Calcular o capital. 
 
33. Uma pessoa tomou dois empréstimos. O primeiro por 3 meses a juros efetivos de 5% a.m., e 
o segundo por 10 meses a juros de 4% a.m. Sabendo-se que pagou ao todo $11.181,14 de 
juros, e que o primeiro empréstimo é igual à metade do segundo, calcular o valor do primeiro 
empréstimo. 
 
34. Dois capitais, o primeiro igual ao triplo do segundo, foram aplicados às taxas efetivas de 5% 
a.m. e 10% a.m., respectivamente. Determinar o prazo em que os montantes dos dois capitais 
se igualam. 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
1) $4.428,62; $5.554,06; $4.148,54 2) 11 meses 3) $32.306,54 4) $14.149,62; $51.578,89; $35.055,91; $ 
434,05 5) 15% a.m. 6) $11.033,75 7) 6% a.m.; à vista 8) $17,78 9) 25% a.m. 10) 37,17 anos 11) 3 anos 12) 
30% a.m. 13) 23,89% a.m. 14) 5,9822% a.m.; à vista 15) 35,05% 16) 0% 17) $751,37 18) $150.480 19) 
$23.106,43 20) 2% a.m.; 1 mês 21) $13.440,52; $3.440,52 22) 3,19% a.m. 23) $50024) $968,91; 3,3071 % 
a.m. 25) $20026) $500 27) 2,5225927% a.m. 28) $800; 15 meses 29) $832,91; $416,46; 10 meses 30) 1 ano; 
2 anos 31) $2.000 32) $20.00033) $10.00034) 23,61591 meses(aproximadamente 23 meses e 18 dias) 
 
 
2.5 – TAXAS EQUIVALENTES 
 
 
35 
 
O conceito de taxas equivalentes a juros compostos é igual ao módulo de juros simples: duas taxas 
são consideradas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, por um período equivalente 
de tempo, paraproduzirem o mesmo montante. 
 
Como os montantes são iguais, podemos simplesmente igualar as fórmulas de cálculo do 
montante. Visualmente, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual seria a taxa mensal de juros compostos de uma aplicação que remunera o capital à 
taxa de 42 % a.a.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na HP 12C, este cálculo é feito da seguinte forma: 
 
Entrada Tecla função Saída 
 f 0,0000 
 X Y 0,0000 
 f 0,0000 
 CLX 0,0000 
1 ENTER 1,0000 ::> Prazo dado 
12 0,0833 ::> Prazo requerido 
 STO 0 0,0833 ::> Armazenado na memória zero 
1 ENTER 1,0000 ::> Para transformar em número índice 
0,42 + 1,4200 ::> Adiciona-se a taxa do período 
Como na fórmula de cálculo 
do montante as taxas são 
aplicadas sobre um mesmo 
capital, podemos eliminar o 
capital (C) da fórmula. 
Esta, portanto, é a 
fórmula de 
cálculo de taxas 
equivalentes. 
 
    21 21 11
nn
iCiC ××     21 21 11
nn
ii 
  11 2
1
21 
n
n
ii
0,42 As taxas têm que estar 
na mesma escala de 
tempo 
12 (meses) 
1 (mês) 
  11 2
1
21 
n
n
ii
%97,21 i
 
36 
 
 RCL 0 YX 1,0297 ::> Tira a raiz 12 
1 - 0,0297 
100 x 2,9653 ::> Finaliza o cálculo da Taxa Equivalente Mensal 
 
2.6 - TAXAS NOMINAL E EFETIVA 
As taxas nominais são as taxas aparentes de juros em uma transação, e a taxa efetiva é a 
taxa que realmente onera o tomador e remunera o aplicador. 
 
Existe diferença entre essas duas taxas sempre que houver na transação alguma condição 
de cobrança ou despesas que modificam a taxa que realmente incide na operação. 
 
É o caso, por exemplo, das taxas de IOF e taxas de administração cobradas nas operações 
de desconto, como visto no módulo de desconto simples. 
 
Lembre-se que, naqueles casos, as taxas cobradas reduziam o valor a ser resgatado, 
aumentando a taxa de desconto efetiva, enquanto a taxa de desconto nominal permanecia 
inalterada. 
 
2.7 - TAXA NOMINAL E EFETIVA QUANDO O PERÍODO DA TAXA NÃO 
COINCIDE COM O PERÍODO DA CAPITALIZAÇÃO 
Já vimos no primeiro módulo deste curso que "capitalização é o ato de incluir os juros incorridos 
durante um período no capital inicial, resultando em um montante "capitalizado". 
Entretanto, o que ocorre quando possuímos, por exemplo, uma taxa de juros ao ano 
capitalizada semestralmente? 
 
O primeiro passo é transformar essa taxa ao ano, em uma taxa semestral, pelo 
regime de juros simples. Esse valor encontrado representa a taxa efetiva da operação 
e a primeiro taxa, dada ao ano, representa a taxa nominal da operação. A taxa efetiva 
é a que realmente incide sobre o capital aplicado e não a taxa nominal. 
 
O que acabamos de fazer foi calcular a taxa efetiva por proporção à taxa comum, prática 
muito comum no mercado. 
 
Veja um exemplo disso: considere uma taxa de 24 % a.a., capitalizada mensalmente. A 
taxa de 24 % é considerada a taxa nominal. Para calcularmos a taxa efetiva (que deve ser 
mensal, uma vez que os juros serão capitalizados mensalmente) devemos efetuar os 
seguintes cálculos: 
 
 
 
 
 
Taxa mensal = 24 % = 2 % a.m. 
 12 
Essa taxa efetiva será utilizada para os 
cálculos em regime de juros 
compostos!!! 
 
37 
 
 
Como conseqüência do que foi apresentado acima, a taxa que realmente incide sobre o 
capital geralmente é maior do que a taxa nominal dada, porque a capitalização, à taxa 
proporcional, é exponencial. 
 
Exemplo disso pode ser visto na caderneta de poupança. Embora seja dito que o 
rendimento anual é de, digamos, 19 % a.a, sabemos que com a capitalização mensal ela 
rende 20,74 % a.a. Neste caso a primeira taxa é a nominal e a segunda é a efetiva. 
O cálculo dessa taxa efetiva pode ser feito achando-se a taxa proporcional à nominal no 
período de capitalização. 
 
 
Os caminhos são os seguintes: 
 
 
Taxa Efetiva para Taxa Nominal (com taxa nominal anual e capitalizações mensais) 
 
 
 
 
1º) 
 
 
2º) 
 
Taxa Nominal para Taxa Efetiva 
 
 
 
 
2.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS: TAXA DE JUROS: TAXA NOMINAL – TAXA EFETIVA – 
TAXA EQUIVALENTE – TAXA REAL E APARENTE 
 
 
1. Dada a taxa efetiva de 48% a.a., determinar a taxa equivalente ao mês, ao trimestre , e ao 
semestre. 
 
2. Calcular as taxas de juros efetivos mensal, trimestral e semestral, equivalentes à taxa nominal 
de 60% a.a. capitalizada mensalmente. 
 
3. Determinar a taxa efetiva ao ano equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a., nas seguintes 
hipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal diária, mensal, trimestral e semestral. 
 
AnoporçõesCapitaliza
AnualNomTx
PeríodoporEfetivaTx
..
. 
  ÇÕESCAPITALIZANPeríodoporEfetivaTxAnualEfetivaTx º.. 
   12... º1  çõesCapitalizanAnualEfetivaTxAnualNOMTx
 
38 
 
4. Dada Calcular a taxa nominal ao ano equivalente à taxa efetiva de 40% a.a., nas seguintes 
hipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal: mensal, trimestral e semestral. 
 
5. A que taxa nominal ao ano capitalizada mensalmente, uma aplicação de $13.000 resulta em 
um montante de $23.000 em 7 meses? 
 
6. Em quantos meses um investimento de $18.000 produz um montante de $36.204,48 aplicado 
à taxa nominal de 180% a.a. capitalizada mensalmente? 
 
7. Determinar: 
a) A taxa efetiva para 2 meses, equivalente à taxa nominal de 120% a.a. capitalizada 
mensalmente; 
b) A taxa efetiva para 18 meses, equivalente à taxa nominal de 120% a.a. capitalizada 
semestralmente; 
c) A taxa nominal ao ano capitalizada mensalmente, equivalente à taxa efetiva de 10% em 60 
dias; 
d) A taxa nominal anual capitalizada trimestralmente, equivalente à taxa efetiva de 15% em 6 
meses; 
e) A taxa efetiva para 41 dias, equivalente à taxa nominal de 24% ao ano capitalizada 
diariamente; 
f) A taxa efetiva para 41 dias, equivalente à taxa nominal de 24% ao semestre capitalizada 
diariamente. 
 
8. Um capital foi aplicado à taxa nominal de 90% a.a. capitalizada mensalmente. Calcular a taxa 
efetiva equivalente para os seguintes prazos: 180 dias, 3 meses, 5 trimestres e 7 semestres. 
 
9. Uma aplicação de $18.000 rendeu juros efetivos de $4.200 em 4 meses. Qual seria o 
rendimento em 11 meses? 
 
10. Quanto devemos aplicar em um CDB que paga uma taxa nominal de 84% a.a. capitalizada 
mensalmente, de modo a obtermos um montante de $76.000 após 4 meses? 
 
11. Calcular o montante para um capital de $2.000 aplicado conforme as hipóteses abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. A juros nominais de 48% a.a. capitalizados mensalmente, determinar em quantos meses um 
capital de $10.000 rende juros de $3.685,69. 
 
13. Para os seguintes prazos, calcular as taxas efetivas equivalentes à taxa efetiva de 48% a.a.: 
a) 8 meses; b) 11 meses; c) 18 dias; d) 3 meses; e) 420 dias f)222 dias 
 
 
14. Qual é a melhor alternativa: investir à taxa nominal de 240% a.a. capitalizada mensalmente, 
ou a 264% a.a. capitalizada bimestralmente? 
 Prazo Taxa nominal Capitalização 
a 3 meses 48% a.s. mensal 
b 2 anos 18% a.a. mensal 
c 17 dias 35% a.m. diária 
 
 
 
39 
 
 
15. Qual deve ser a freqüência da capitalização dos juros de uma taxa nominal de 565,98% a.a., 
de modo que seja equivalente à taxa nominal de 480% a.a. capitalizada bimestralmente? 
 
16. Em quanto tempo dobrará um capital aplicado à taxa nominal de 227,05% a.a. capitalizada 
mensalmente? 
 
17. Uma aplicação de $12.000 rendeu, de juros, um bruto de $2.300 em 14 meses. Se for 
cobrado um imposto de 2% sobre os rendimentos, calcular a taxa efetiva mensal ganha pela 
aplicação. 
 
18. Calcular o rendimento de um capital de $17.800aplicado por 7 meses à taxa efetiva de 45% 
a.a. 
 
19. Um capital de $24.000 aplicado a juros nominais de 120% a.a. capitalizados mensalmente, 
rendeu, de juros, $5.040. Determinar o prazo da operação. 
 
20. Um investimento de $15.000 teve um rendimento bruto de $4.000 em 7 meses. Se o 
investidor pagou um imposto de 3% sobre o rendimento e uma comissão de 1,5% sobre o 
valor aplicado, calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha na aplicação. 
 
21. As cadernetas de poupança rendem juros de 6% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular a 
taxa efetiva ao ano. 
 
22. Em operações de crédito, o banco A cobra uma taxa efetiva de 30% a.a., e o banco B cobra 
juros nominais de 27% a.a. com capitalização mensal. Qual é a melhor taxa para o cliente? 
 
23. Uma aplicação a juros nominais de 24% a.a. capitalizados semestralmente, resultou em um 
montante de $10.000. Se a taxa fosse de 48% a.a. capitalizada trimestralmente, o montante 
seria de $15.735,19. Calcular o capital e o prazo da aplicação em anos. 
 
24. Em que prazo um capital de $75.000 aplicado à taxa nominal de 22% a.a. capitalizada 
semestralmente resulta em um montante de $155.712? 
 
25. Em quantos anos dois capitais, o primeiro de $8.000,00 aplicado à taxa nominal de 20% a.a. 
capitalizada trimestralmente, e o segundo de $33.800,80 aplicado à taxa nominal de 10% a.a. 
capitalizada semestralmente, produzirão juros iguais? 
 
26. Um capital de $12.600,00 foi aplicado por 3 anos à taxa nominal de 22% a.a. Calcular o 
montante se no primeiro ano os juros são capitalizados semestralmente, no segundo 
trimestralmente e, no terceiro, bimestralmente. 
 
27. Um capital de $12.500,00 aplicado à taxa nominal de 24% a.a. capitalizada semestralmente 
rendeu juros de $12.172,78. Calcular o prazo da aplicação. 
 
28. Três quartos de um capital foram aplicados à taxa nominal de 20% ao ano capitalizada 
semestralmente e, o restante, a 12% ao semestre capitalizada trimestralmente. Se o prazo da 
aplicação é de 4 anos e, sabendo-se que o rendimento de juros da primeira parcela é 
$4.726,04 maior que o rendimento da segunda, calcular 0 capital. 
 
 
40 
 
29. Um capital aplicado a juros nominais de 24% a.a. capitalizados semestralmente rendeu, de 
juros, $9.738,23. Se a taxa fosse de 48% a.a. capitalizada trimestralmente, o rendimento seria 
de $28.959,76. Calcular o capital e o prazo da aplicação em anos. 
 
30. Um capital aplicado durante 4 anos à taxa nominal de 12% a.a. capitalizada mensalmente, 
rendeu, de juros, $12.252,00 a mais do que teria rendido se a capitalização fosse semestral. 
Calcular o valor do capital. 
 
31. Dividir a importância de $2.832.774 em três partes de tal modo que, colocadas à taxa nominal 
de 20% a.a. capitalizada semestralmente, produzam montantes iguais em 2, 3 e 5 anos, 
respectivamente? 
 
32. Dois capitais foram aplicados pelo prazo de 2 anos. O primeiro à taxa nominal de 20% a.a. 
capitalizada semestralmente e, o segundo, a 18% a.a. capitalizada trimestralmente. Sabendo-
se que os juros do primeiro excederam de $6.741,00 os juros do segundo, e o primeiro capital 
é $10.000,00 maior que o segundo, calcular os dois capitais. 
 
33. Um capital foi aplicado durante 5 anos à taxa nominal de 5.5% a.a. capitalizada 
semestralmente e, a seguir, seu montante foi colocado a juros efetivos de 4% a.a. durante 10 
anos. A que taxa anual efetiva única poderia ser aplicado durante todo esse tempo, de modo 
que resulte no mesmo montante? 
 
34. Uma pessoa precisa de $10.000,00 por 2 anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintes 
condições: a) a juros nominais de 5% a.a. capitalizados trimestralmente; b) à taxa nominal de 
5,375% a.a. capitalizada semestralmente; c) a juros simples de 5,5% a.a. Qual é a melhor 
oferta? 
 
35. Uma pessoa aplicou um capital de $20.000,00 durante 4 anos à taxa nominal de 18% a.a. 
capitalizada semestralmente. Ao término desse período, o capital e os juros ganhos foram 
resgatados e, a seguir, somente os juros foram reaplicados por 15 meses à taxa nominal de 
12% a.a. capitalizada trimestralmente. Calcular o rendimento dessa última aplicação. 
 
36. Um banco oferece uma rentabilidade efetiva de 40% a.a. Se o investidor tem condições de 
ganhar juros efetivos de 9% a.t. em outro banco, qual deve ser a alternativa escolhida? 
 
37. Um investidor aplicou $25.000,00 na Bolsa de Valores esperando ganhar uma rentabilidade 
efetiva de 100% a.a .. Caso tal rentabilidade ocorresse, calcular os juros ganhos ao fim de 20 
meses. 
 
38. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a. capitalizada semestralmente rendeu 
$2.294,08. Se a taxa fosse de 48% a.a. capitalizada trimestralmente, o montante seria de 
$9.903,85. Calcular o capital e o prazo da aplicação. 
 
39. O PIB (Produto Interno Bruto) de um país cresceu 200% em 10 anos. Qual foi a taxa de 
crescimento anual média? 
 
40. Em 12/10/97 um capital de $2.300 foi aplicado à taxa nominal de 36% a.a capitalizada 
diariamente. Calcular os juros acumulados em 24/11 / 99. (Usar ano civil para cálculo dos dias. 
Pode ser usada máquina financeira para determinar o número de dias). 
 
 
41 
 
41. Em 31/12/90 uma pessoa aplicou $10.000 à taxa nominal de 24% a.a. capitalizada 
diariamente. Se a partir de 01/01/96 a taxa nominal passou a ser de 20% a.a., calcular o 
valor de resgate da aplicação no dia 30/06/99. 
 
42. Um capital foi aplicado dividido em 2 parcelas. A primeira por 4 anos à taxa nominal de 28% 
ao ano com capitalização trimestral e, a segunda, por 2 anos à taxa nominal de 12% ao 
semestre com capitalização mensal. Se a primeira parcela excede em $100 a segunda e a 
diferença dos juros ganhos pelas duas é de $1.404,57, calcular o valor do capital. 
 
43. Um capital de $4.000 foi aplicado por 11 meses. Nos primeiros 3 meses à taxa de 24% a.a. 
capitalizada mensalmente e, nos 8 últimos meses, à taxa de 36% a.s. capitalizada 
trimestralmente. Calcular o rendimento da aplicação. 
 
44. Um capital de $6.000 foi aplicado por 27 meses. Nos primeiros 11 meses à taxa de 48% a.a. 
capitalizada mensalmente, nos seguintes 13 meses à taxa de 40% a.s. capitalizada 
trimestralmente e, nos últimos 3 meses, à taxa de 36% a.a. capitalizada bimestralmente. 
Calcular o montante ao término do prazo de 27 meses. 
 
45. Dois terços de um capital foram aplicados por 2 anos à taxa de 18% ao semestre capitalizada 
bimestralmente e, o restante do capital, foi aplicado por um determinado prazo à taxa de 
18% ao trimestre capitalizada mensalmente. Se o valor do capital é de $12.000,00 e, 
sabendo-se que o rendimento da primeira parcela é $4.048,79 maior que o rendimento da 
segunda, calcular o prazo em anos da segunda parcela. 
 
46. Um capital foi aplicado por 18 meses a juros nominais de 24% a.a. capitalizados 
mensalmente. Calcular o valor do capital, sabendo-se que, se a capitalização da taxa nominal 
for semestral em vez de mensal, o rendimento diminui $1.000. 
 
47. Calcular o prazo em que um capital dobra se aplicado a juros nominais de 120,17% a.a 
capitalizados diariamente. 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) 3,32% a.m.; 10,30% a.t.; 21,66% a.s. 2) 5% a.m.; 15,76% a.t.; 34,01 % a.s. 3) 82,12% a.a.; 79,59% a.a.; 74,90% a.a.; 
69% a.a. 4) 34,12% a.a.; 35,10% a.a.; 36,64% a.a. 5) 101,90% a.a. 6) 5 meses 7) a) 21%; b) 309,60%; c) 58,57%; d) 
28,95%; e) 2,77%; f) 5,6150% 8) 54,33%; 24,23%; 195,89%; 1985,24% 9) $14.034,60 10) $57.980,0411) a) $2.519,42; b) 
$2.859,01; c) $2.435,9412) 8 meses 13) a) 29,87%; b) 43,24%; c) 1,9796%; d) 10,30%; e) 57,99%; f) 27,35% 14) As duas 
são equivalentes 15) trimestral 16) 4 meses 17) 1,2371 % a.m. 18) $4.308,1019) 2 meses 20) 3,1642% a.m. 21) 6,1678% 
a.a. 22) A 23) $6.355,18; 2anos 24) 42 meses 25) 12 anos 26) $23.870,48 27) 3 anos 28) $10.000,00 29) $10.000; 3 anos 
30) $666.666,56 31) $1.184.804,91; $979.177,61; $668.791,48 32) $60.000,73; $50.000,73 33) 4,5226% a.a. 34) oferta A 
35) $3.161,79 36) 9% a.t. 37) $54.370,05 38) $4.000,00 e 2 anos 39) 11,6123% a.a. 40) $2.628,0541) $66.852,67 42) 
$1.900,0043) $1.910,50 44) $20.302,4745) 1 ano 46) 42.884,8747) 208 dias 
 
 
2.9 - VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL 
Os conceitos de valor atual ou presente e valor nominal, futuro ou final são os mesmos que os 
vistos em juros simples, só que o cálculo é diferenciado, pelo regime de capitalização composta. 
Nesse caso, o diagrama seria: 
 
 
42 
 
 
 
neste caso, temos: 
 
 
 
 
 
O cálculo para esse tipo de problema pode ser encontrado de diversas maneiras. Nesse momento, 
no entanto, nos interessa saber somente alguns. 
 
Vejamos um exemplo: 
Um título tem valor nominal de R$ 3.000,00. Sabe-se que a taxa de juros ao mês é de 5%. 
Qual seria o valor atual se fosse liquidado dois meses antes do vencimento? 
 
Pela fórmula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na HP 12C veja como seria o cálculo: 
 
Entrada Tecla função Saída 
3000 FV 3000,00 
5 i 5,00 
2 n 2,00 
 PV -2721,09 
 
2.10 - DESCONTO COMPOSTO 
O Desconto Composto pode ser entendido da mesma forma que o Desconto Simples. 
Entretanto, a taxa de desconto é composta, e o processo é o inverso da capitalização com 
taxa de juros compostos. Aqui também a taxa incide sobre o Valor Nominal, do qual é 
retirada a parcela correspondente à taxa de desconto, resultando no Valor Atual, Presente 
ou Capital, dependendo de cada caso. 
ou 
  NiV n × 1
 ni
N
V


1
2 
0,05 
R$ 3.000,00 
 ni
N
V


1
09,721.2V
 
43 
 
 
Esse tipo de desconto também é muito utilizado no mercado, principalmente nas áreas 
comercial e de análise de investimentos, onde os fluxos são descontados e trazidos ao seu 
Valor Presente para ver quanto de caixa esse fluxo futuro "vale" hoje. 
 
A visualização é a mesma de Descontos Compostos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analogamente ao Desconto Simples, existem o Desconto Racional (Por Dentro) e Comercial 
(Por Fora) Compostos. 
 
 
2.11 - DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) E DESCONTO COMERCIAL 
(POR FORA) 
A principal diferença entre os dois métodos de desconto acima citados está na metodologia 
de cálculo. 
No cálculo por dentro, adotado no desconto racional, não se trabalha com a taxa de desconto, e 
sim com a taxa de juros objetivada na operação do desconto. Desta maneira, o desconto pode ser 
calculado descontando-se o valor final pela taxa de juros, da maneira convencional. Veja fórmula 
abaixo: 
 
 
 
 
 
Essa é a maneira mais convencional de desconto utilizada para análise de investimentos e fluxos de 
caixa futuros, pois se trata exatamente da fórmula do Valor Presente e Valor Futuro. 
 
No cálculo por fora, utiliza-se a taxa de desconto para o cálculo do desconto comercial. Nessa 
metodologia a taxa de desconto incide sobre o valor final. 
Veja a diferença na metodologia: 
 
 
 
Valor Nominal 
Desconto Composto 
Valor Descontado 
ou 
 ni
N
V


1
  NiV n × 1 VNDR 
 nd
V
N


1  
n
dNV × 1  
n
C dNND × 1
ou 
 
44 
 
Em uma linguagem comercial, diríamos que o cálculo por fora é semelhante ao cálculo da 
margem bruta por meio da relação lucro bruto e preço de custo, enquanto que o cálculo por dentro 
é semelhante ao cálculo da margem bruta pela relação de lucro bruto e preço de venda. 
 
Para exemplificar ainda melhor essa diferença, veja os exemplos a seguir. 
 
Exemplo: 
 
Um título tem Valor Nominal de R$ 5.000,00 e será resgatado com três meses de 
antecedência. Calcule o seu Valor Atual ou Presente, pelo método de Desconto Racional 
(i = 2,5 % a.m.) e pelo método do Desconto Comercial (d = 2,44 %). Verifique também a 
taxa de juros do processo do desconto comercial e comparando com a taxa do Desconto 
Racional (inclusive os resultados obtidos). 
 
Na HP 12C, o cálculo é feito assim: 
 
Entrada Tecla função Saída 
 f 0,0000 
 X Y 0,0000 
 f 0,0000 
 CLX 0,0000 
 
5.000 CHS FV 5.000,0000 
2,5 i 2,50000 
3 n 3,0000 
 PV 4.642,9971 ::> Valor Atual pelo Desconto Racional 
 
0,0244 CHS ENTER -0,0244 
1 + 0,9756 
3 Yx 0,9286 
5.000 x 4.642,8578 ::> Valor Atual pelo Desconto Comercial 
 
5.000 X Y  1,0769 
1 - 0,0769 
 STO 1 0,0769 
100 x 7,6923 ::> Taxa de Juros do Período Equivalente 
 
 RCL 1 0,0769 
1 + 1,0769 
3 1/x Yx 1,0250 
1 - 0,0250 
100 x 2,5010 ::> Taxa de Juros Equivalente Comercial 
 
 
Repare que os dois métodos, cada um com a sua metodologia de cálculo, obtêm os mesmos 
resultados no Valor Presente. Isso pode ser evidenciado pela igualdade entre a taxa de juros usada 
no Desconto Racional e a taxa de juros equivalente encontrada no Desconto Comercial. 
 
45 
 
 
É importante notar que as taxas utilizadas são diferentes, e equivalentes. As duas metodologias 
dariam resultados diferentes se a mesma taxa fosse usada para ambas. Por isso convém saber bem 
qual a metodologia utilizada antes de fazer o cálculo. 
 
 
2.12 – TAXA DE DESCONTO E TAXA DE JUROS EQUIVALÊNCIA 
As taxas de Juros cobradas pelos bancos são calculadas com base em uma taxa de juros 
efetiva objetivada. Sabendo disso e como visto no exercício anterior, as taxas de desconto 
são equivalentes à determinada taxa de juros quando o "Valor Descontado" obtido com o 
desconto for reaplicado a uma taxa de juros que recupere o valor original ou Nominal da 
operação. 
 
Desta forma, como incidem sobre bases diferentes, essas taxas nunca serão iguais (em 
termos absolutos). Isso é, você nunca irá reaver um Valor Nominal reaplicando o Valor 
Descontado a uma taxa de juros igual à taxa de desconto. 
 
Assim: 
 
 
 
 
As fórmulas para a conversão das taxas equivalentes podem ser vistas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Compra a vista e Compra a prazo 
 
Passando na rua, você vê uma faixa na frente de uma loja que diz: 
 
 
 
 
 ni
d


1
1
1 1
1
1








n
d
d
iou 
 
46 
 
 
 
 
Você então entra na loja querendo comprar um computador. O preço na etiqueta é de R$ 
1.500,00. No momento, porém, você só tem R$ 1.300,00. 
 
 
Conversando com o vendedor, você descobre que os juros cobrados no crediário são de 
7,3% a.m. Aplicando os conceitos da Matemática Financeira, qual o desconto que você 
pode pedir ao vendedor para pagar a vista? 
 
 
Entrada Tecla função Saída 
 f 0,000 
 X Y 0,000 
 f 0,000 
 CLX 0,000 
 
0,073 ENTER 0,0730 
1 + 1,0730 
2 Yx 1/x CHS -0,8686 
1 + 0,1314 
 STO 1 0,1314 
100 x 13,1439 Taxa de Desconto Equivalente (2 meses) 
 
 RCL 1 0,1314 
1 - 0,8686 
1.500 x CHS 1.302,8422 Valor Líquido Descontado 
 
1.500 - CHS 197,1578 Valor do Desconto 
 
 
Como a loja coloca juros implícitos no prazo concedido para o cliente pagar (lembre-se, em todo 
adiamento de pagamentos, juros são cobrados sobre capital) esses juros podem ser retirados se o 
cliente pagar a vista. Por esse motivo, o desconto a ser pedido ao vendedor é de 13,14%, para que 
você consiga comprar o computador com R$ 1.302,84. 
 
 
2.13 – TAXA DE JUROS E TAXA DE DESCONTO 
Nesse tipo de problema, quando a opção a ser escolhida envolve séries de pagamentos em 
prazos concedidos, o cálculo da equivalência das taxas não poderá ser feito da maneira usual. Neste 
caso, como ainda não vimos séries uniformes,