Livro Calculo 3

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Cálculo III
Cálculo III
Rafael da Silva Valada
Organizado por Universidade Luterana do Brasil
Universidade Luterana do Brasil – ULBRA
Canoas, RS
2016
Rafael da Silva Valada
Conselho Editorial EAD
Andréa de Azevedo Eick
Astomiro Romais,
Claudiane Ramos Furtado
Dóris Cristina Gedrat
Kauana Rodrigues Amaral
Luiz Carlos Specht Filho
Mara Lúcia Salazar Machado
Maria Cleidia Klein Oliveira
Thomas Heimann
Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. 
Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores 
a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
por qualquer meio ou forma sem prévia autorização da 
ULBRA.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei 
nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.
Dados técnicos do livro
Diagramação: Marcelo Ferreira
Revisão: Ane Sefrin Arduim
Apresentação
Desde muito tempo, a humanidade desenvolvera a ideia fundamental do cálculo diferencial e integral. Arquimedes, em 300 A.C, já tra-
balhava intuitivamente com o conceito de limite ao tentar avaliar a área 
de um círculo através da construção de polígonos internos e externos ao 
círculo e calculando as médias entre as áreas dos mesmos. O limite estava 
em ir aumentando o número de lados do polígono. É interessante observar 
que um dos grandes feitos do cálculo diferencial foi a obtenção da área 
abaixo de curvas num plano cartesiano, e, assim, a área exata do círculo 
pôde ser apurada.
Issac Newton e Gotfilde Leibneiz desenvolveram o ferramental matemáti-
co para a construção do cálculo diferencial para funções de uma variável real 
e, neste livro, veremos a extensão de seus trabalhos para funções de duas ou 
mais variáveis. Para isso, começaremos por fazer uma definição apropriada 
para funções de duas ou mais variáveis e objetos que as definem, como o do-
mínio de definição, bem como gráficos de funções de duas ou mais variáveis.
Posteriormente, repetindo os passos da construção do cálculo diferen-
cial e integral para uma variável, definiremos o processo de limite para 
funções de duas variáveis e, subsequentemente, o operador da derivada 
parcial, que é uma generalização das derivadas que já aprendemos em 
cursos anteriores de cálculo. Veremos a aplicação das derivadas parciais 
à obtenção de pontos críticos de funções multivariadas, e a construção de 
um novo objeto matemático chamada derivada direcional. Mais geral que 
a derivada parcial, a derivada direcional implica na definição do chamado 
gradiente de uma função.
O gradiente é uma função vetorial que indica a direção em que ocorre 
a maior taxa de crescimento de uma função, ou a menor taxa de cresci-
mento de uma função.
Apresentação v
Por fim, estenderemos as operações de integrais anteriormente defini-
das para funções de uma variável e para funções de duas ou três variáveis, 
levando às definições de integrais duplas e triplas.
Essas novas integrais herdam as propriedades de linearidade das inte-
grais simples, quando a operação é sobre constantes e somas.
Se a integral simples representa geometricamente a área abaixo de uma 
curva contínua no plano cartesiano, a integral dupla representa geometrica-
mente o volume abaixo de superfície representado no espaço tridimensional.
Integrais duplas também são amplamente usadas na obtenção da área 
entre curvas, bem como integrais triplas são usadas para obtenção do vo-
lume de sólidos.
Neste livro, procurou-se ser o mais objetivo possível quanto a defini-
ções e provas de teoremas, e também na resolução de exemplos resolvidos. 
Tendo em vista que o aprendizado em Matemática se dá através do conhe-
cimento e do pleno exercício deste conhecimento, o livro apresenta uma 
série de exercícios resolvidos, de modo que algumas questões de exemplo 
são resolvidas no próprio corpo do livro, e outras são resolvidas através de 
vídeos, chamados Videoexemplos, que serão devidamente disponibilizados 
na plataforma virtual da disciplina.
Tenhamos um bom trabalho em nossos estudos, buscando sempre o 
prazer e a diversão ao estudar Matemática. O matemático francês Hery Poin-
caré dizia que o matemático nasce matemático e que o estudo apenas revela 
suas habilidades ocultas. Pois bem: deixemos, então, que nossas habilidades 
mais naturais sejam afloradas ao estudarmos cálculo multivariado.
 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital .........................1
 2 Integrais Impróprias ............................................................19
 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais ............................32
 4 Limites de Funções de Duas Variáveis ..................................61
 5 Derivadas Parciais ...............................................................72
 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações .....................................93
 7 Máximos e Mínimos de Funções de duas Variáveis ............115
 8 Gradiente e Derivada Direcional .......................................127
 9 Integrais Duplas e suas Aplicações ....................................146
 10 Integrais Triplas e suas Aplicações .....................................164
Sumário
Capítulo 1
Formas Indeterminadas 
e Regra de L’Hôpital
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
Rafael da Silva Valada1
2 Cálculo III
Introdução
Neste capítulo, estudaremos limites que recaem em formas in-
determinados. De certa maneira, já estudamos esses casos em 
disciplinas iniciais de cálculo diferencial e integral, mas sem 
aplicação de uma técnica robusta que funcionasse para todos 
os casos. Indeterminações do tipo zero sobre zero, ou infinito 
sobre infinito, eram resolvidas com alguns algoritmos de reso-
lução ou simplificações algébricas. Veremos que estes casos 
eram expressões de uma regra mais geral, chamada de Regra 
de L’Hôpital.
1 Formas indeterminadas
Admita o limite
 
( )
0
sin
lim
x
x
x→ 
(1)
Neste caso, as técnicas já estudadas para obtenção de 
limites, a saber, inspeção direta ou manipulações algébricas 
apropriadas, não funcionam.
O que torna o limite 1 problemático é o fato de o numera-
dor e o denominador tenderem ambos a zero, levando a uma 
indeterminação do tipo 
0
0
.
Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 3
Neste caso específico, podemos construir um raciocínio 
que levará à solução de nosso problema: sabemos que à me-
dida que 0x → , a função seno pode ser próxima de seu pró-
prio argumento, ou seja, para x pequeno sin( )x x≈ . Isso é 
equivalente a obtermos aproximações lineares locais para a 
função sin( )x .
Lembre que se uma função ( )f x for diferenciável em um 
ponto 0x , então para valores 0x x→ temos a aproximação:
 ( ) ( )( )0 0 0( ) 'f x f x f x x x≈ + − (2)
E quanto mais próximo x estiver de 0x melhor é a aproxi-
mação.
Admitindo que ( ) sin( )f x x= e que 0 0x = temos:
( ) ( )sin( ) sin 0 cos(0) 0x x x≈ + − =
E, assim, podemos fazer:
 
( )
0 0 0
sin
lim lim lim1 1
x x x
x x
x x→ → →
= = = (3)
Resolvendo o limite. Observe que se aplicarmos a aproxi-
mação linear local ao denominador do limite 1, ou seja, a x 
obtemos a própria função x .
Com intuito de obter uma regra geral que possa ser apli-
cada a qualquer caso vamos estender a ideia da aproximação 
linear local para um grupo maior de funções.
4 Cálculo III
2 Regra de L’Hôpital
Admita que o limite:
 0
( )lim
( )x x
f x
g x→
 (4)
seja uma forma indeterminada do tipo 
0
0
, ou seja:
0 0
lim ( ) 0, lim ( ) 0.
x x x x
f x g x
→ →
= =
Admita, também que as funções ( )f x e ( )g x sejam dife-
renciáveis em 0x x= e que '( )f x e '( )g x sejam contínuas em0x x= .
A diferenciabilidade de ( )f x e ( )g x em 0x x= garante a 
continuidade das funções neste ponto e a implicação:
0 0
0 0( ) lim ( ) 0, ( lim ( ) 0) .x x x xf x f x g x g x→ →== = =
Por fim, a continuidade de '( )f x e '( )g x em 0x x= im-
plica:
0 0
0 0'( ) lim '( ), '( lim '( ).)x x x xf x f x g x g x→ →==
Neste ponto, aplicaremos as aproximações lineares locais 
de ( )f x e ( )g x , ao limite 4, analogamente ao que fizemos 
com o limite 1 e, assim, obtém-se:
Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 5
 
( ) ( )( )
( ) ( )( )0 0
0 0 0
0 0 0
'( )lim lim
( ) 'x x x x
f x f x x xf x
g x g x g x x x→ →
+ −
=
+ −
 (5)
Observe que 0 0( ) 0 .), ( 0f x g x= = e podemos fazer:
 
( )( )
( )( )0 0
0 0
0 0
'( )lim lim
( ) 'x x x x
f x x xf x
g x g x x x→ →
−
=
−
 (6)
Finalmente, simplificando os termos 0x x− que aparecem 
no limite à direita da igualdade, temos:
 
( )
( )0 0
0
0
'( )lim lim
( ) 'x x x x
f xf x
g x g x→ →
= (6)
A equação 6 é conhecida como a Regra de L’Hôpital.
Observe que aplicando a regra de L’Hôpital ao limite 1, 
obtemos imediatamente:
 
( )
0 0 0
sin cos( )lim lim lim cos( ) 1
1x x x
x x x
x→ → →
= = =
 
(7)
Na prática, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, enquan-
to as indeterminações acontecerem no limite, mas não sim-
plesmente.
Resta definirmos na forma de uma proposição ou teorema 
o resultado acima para possíveis casos de indeterminação. A 
seguir veremos tais casos.
6 Cálculo III
3 Tipos de formas indeterminadas
3.1 Forma do tipo 0
0
Teorema 1: suponha que lim represente um dos limi-
tes lim, lim , lim , lim , lim ,
x a x xx a x a+ −→ →+∞ →−∞→ →
e que lim ( ) 0f x = e 
lim ( ) 0g x = . Se ( ) ( )0 0lim ' 'f x g x   tem um valor finito L , 
ou se este limite for +∞ ou −∞ , então:
 
( )
( )0 0
0
0
'( )lim lim
( ) 'x x x x
f xf x
g x g x→ →
=
 
(8)
Exemplos:
 1) Em cada questão, confirme a forma indeterminada do tipo 
0
0
 e use a regra de L’Hôpital para seu efetivo cálculo:
a) 
2
2
4lim
2x
x
x→
−
−
b) 
0
sin(2 )lim
x
x
x→
c) 
2
1 sin( )lim
cos( )x
x
xpi→
−
d) ( )
4
3
lim
1sinx
x
x
−
→+∞
Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 7
e) 
20
tan( )lim
x
x
x−→
f) 
0 2
1 cos( )lim
x
x
x→
−
Resoluções:
a) 
2 2
2 2 2 2
4 2 4 0 2lim lim lim lim 2 4
2 2 2 0 1x x x x
x x x
x→ → → →
− −
⇒ = ⇒ = =
− −
b) Videoexemplo
c) 
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
1 sin cos cos1 sin( ) 02lim lim lim lim
cos( ) 0 sin sincos
2
cos
02lim 0
1sin
2
x x x x
x
x xx
x x xpi pi pi pi
pi
pi
pi
pi
pi
→ → → →
→
 
−  
−
−  
= = ⇒ =
−   
   
= = =   
d) Videoexemplo
e) 
2 20 0 0 0
2
0
2tan( ) tan(0) 0 sec ( ) sec (0) 1lim lim lim lim lim
0 0 2 2 0 0x x x x x
x x
x x− − − − −→ → → → →
= = ⇒ = = = ∃
⋅
f) Videoexemplo
3.2 Forma do tipo ∞
∞
Teorema 2: suponha que lim represente um dos limi-
tes lim, lim , lim , lim , lim ,
x a x xx a x a+ −→ →+∞ →−∞→ →
e que lim ( )f x = ∞ e 
8 Cálculo III
lim ( )g x = ∞ . Se ( ) ( )0 0lim ' 'f x g x   tem um valor finito L , 
ou se este limite for +∞ ou −∞ , então:
 
( )
( )0 0
0
0
'( )lim lim
( ) 'x x x x
f xf x
g x g x→ →
=
 
(8)
Exemplos:
 2) Em cada questão, confirme a forma indeterminada do tipo 
∞
∞
 e use a regra de L’Hôpital para seu efetivo cálculo:
a) 
b) 
0
ln( )lim
1
sin( )
x
x
x
+→    
c) 
3 2
3
4lim
x
x x x
x→+∞
+ −
d) 
e) 
3
3lim
x
x
e
x→+∞
f) 
Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 9
Resoluções:
a) 
1 1lim lim lim 0x xx x x
x
e e e∞→+∞ →+∞ →+∞
∞
= ⇒ = =
∞
b) Videoexemplo
c) 
d) Videoexemplo
e) 
3 3 3 3
3 2
3 9 27lim lim lim lim
3 6 6
x x x x
x x x x
e e e e
x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
∞ ∞ ∞
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∞
∞ ∞ ∞
f) Videoexemplo
3.3 Forma do tipo 0 ⋅∞ e ∞ − ∞
As indeterminações do tipo 0 ⋅∞ e ∞ − ∞ podem ser resolvi-
das, às vezes, através de manipulações algébricas que levam 
às formas indeterminadas 1.3.1 e 1.3.2, e então se utiliza a 
regra de L’Hôpital para a conclusão.
Primeiro, vamos observar por qual razão 0 ⋅∞ e ∞ − ∞ são 
formas indeterminadas:
 Â Admita o limite:
10 Cálculo III
 0
lim ln( )
x
x x
+→ 
(1.9)
Aplicando propriedades de limites podemos escrever:
 
 (1.10)
E daí segue a indeterminação, pois temos limites confli-
tantes: enquanto o primeiro tende a zero o segundo tende a 
infinito.
 Â Considere o limite:
 
0
1 1lim
sin( )x x x+→
 
−   (11)
Neste caso, também temos um caso de limites conflitantes, 
pois enquanto um “puxa” para cima o outro “puxa” para baixo.
Exemplos:
 3) Calcule os limites abaixo:
a) 
0
lim ln( )
x
x x
+→
b) ( )
0
lim 1 tan( ) sec( )
x
x x
+→
−
c) 
0
1 1lim
sin( )x x x+→
 
−  
d) 2lim
x
x x x
→+∞
 + − 
Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 11
e) 
0
1lim
x
x
x+→
⋅
f) 
0
1lim
x
x
x+→
 
⋅  
Resoluções:
a) 
b) Videoexemplo
c) 
d) Videoexemplo
e) 
0 0 0 0
1 1lim 0 lim lim lim 1 1
x x x x
xx x
x x x+ + + +→ → → →
⋅ = ∞ ⋅ ⇒ ⋅ = = =
f) Videoexemplo
12 Cálculo III
3.4 Formas do tipo 00 , 0∞ , 1∞
As formas indeterminadas do tipo 00 , 0∞ , 1∞ também mos-
tram um caráter indeterminado por indicarem limites conflitan-
tes em sua essência.
Novamente, as soluções às vezes podem ser obtidas por 
manipulações algébricas que recaiam nas formas 0
0
 ou ∞
∞
.
Então, para calcularmos )()( lim xg
ax
xf
→
, faremos:
)()(lim xg
ax
xfy
→
=
Aplicando logaritmo natural nos dois membros da igual-
dade:
Reescrevendo:
Aplicando a propriedade do logaritmo da potência:
Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 13
Transformando na forma de potência:
O problema consiste em resolver o expoente 
.
Exemplos:
 4) Calcule os limites abaixo:
a) ( ) 1
0
lim 1 x
x
x
→
+
b) ( ) 1
0
lim x
x
xe x
→
+
c) 
3lim 1
x
x x→+∞
 
−  
d) 
0
1lim
x
x
x+→
⋅
e) 
0
lim x
x
x
+→
f) 
0
1lim
x
x
x+→
 
⋅  
14 Cálculo III
Resoluções:
a) 
b) Videoexemplo
c) 
d) Videoexemplo
e) 
f) Videoexemplo
Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 15
Recapitulando
Neste capítulo, estudamos operações com limites indetermina-
dos nas formas 
0
0
 e 
∞
∞
. Vimos que tais indeterminações po-
dem ser resolvidas com a chamada regra de L’Hôpital, que 
afirma que tais indeterminações são resolvidas ao calcularmos 
as derivadas de numerador e denominador que geraram essas 
indeterminações.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
______. Cálculo, um novo horizonte. Gabarito: 2, 6.ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Thomson, 2002.
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
http://phet.colorado.edu/pt_ BR/
Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx
16 Cálculo III
Atividades
Resolva os limites abaixo:
 1) 
2
7
49lim
7x
x
x→
−
−
 2) 
2
23
6 9lim
7 12x
x x
x x→
− +
− +
 3) 
0
cos( ) 2 1lim
3x
x x
x→
+ −
 4) 
0
2lim ln( )
x
x x
+→
 
5) ( )
2
lim 2 sec( )
x
x x
pi
pi
+
→
−
 
6)
 
( ) 12
0
lim 1 3 x
x
x
+→
+7)
 
[ ]sin( )
0
cossec( )lim x
x
x
+→
 
8) 1 ln( )
0
lim x
x
x
+→
 
9) sin( )
0
lim x
x
x
+→
Capítulo 1 Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 17
10) x
x
x1lim
∞→
11) 
)ln(
lim
2
x
x
x ∞→
12) 
)(
)cos(1lim
0 xsen
x
x
−
→
13) 
)/1(
)/1(lim
xarctg
xsen
x ∞→
14) )(cot
0
)1(lim xg
x
x (
→
15) ]1)/.[cos(lim −
∞→
xx
x
m
16) 
x
x x



(
∞→
31lim
17) )]1ln().1[(lim
1
−−
(→
xx
x
Gabarito
1) 14
2) 0
3) 
2
3
4) 0
5) 2−
18 Cálculo III
6) 23e
7) 1
8) e
9) 1
10) 1
11) ∞ 
12) 0
13) 1
14) – e
15) 0
16) 3e
17) 0
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 2
Integrais Impróprias
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS). 
20 Cálculo III
Introdução
Neste capítulo, veremos como podemos aplicar o teorema 
fundamental do cálculo, mesmo que os limites de integração 
sejam infinitos ou quando há pontos de descontinuidade da 
função, a qual estamos integrando. A solução prevê utilizar-
mos a operação de limite juntamente com a operação de in-
tegral.
1 Integrais Impróprias
O teorema fundamental do cálculo afirma que se f for con-
tínua em [ ],a b e F for uma antiderivada de f em a, b então
 
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −∫ (1)
Observe que, caso nossa integral possua limites no infinito, 
o teorema não se aplica, visto que o infinito não é um número, 
mas, sim, uma ideia, e não está sujeito às operações básicas 
da aritmética.
Outra questão é se a função ( )f x possui uma desconti-
nuidade infinita no intervalo fechado [ ],a b , ou seja, a função 
tende ao infinito para um ponto c pertencente a [ ],a b . Para 
esses casos, chamamos a integral de imprópria, por possuir 
uma impropriedade invalidando a aplicação do teorema fun-
damental do cálculo.
Capítulo 2 Integrais Impróprias 21
Este aparente problema será resolvido com a inserção da 
operação de limite em nossas integrais.
2 Integrais sobre intervalos infinitos
Uma integral imprópria com intervalos infinitos pode possuir as 
seguintes formas:
 
( )
a
f x dx
∞∫ (2)
 
( )
b
f x dx
−∞
∫ (3)
 
( )f x dx
∞
−∞
∫ (4)
3 Integrais com pontos de 
descontinuidades infinitas
Uma integral imprópria com intervalos descontínuos infinitos 
pode possuir as seguintes formas:
 
( )
b
a
f x dx∫ (5)
22 Cálculo III
quando ( )f c representa uma descontinuidade infinita de 
( )f x e c pertence a [ ],a b .
 
( )
b
a
f x dx∫ (6)
quando ( )f a representa uma descontinuidade infinita de 
( )f x .
 
( )
b
a
f x dx∫
 
(7)
quando ( )f b representa uma descontinuidade infinita de 
( )f x .
4 Resolução de integrais impróprias
Para uma integral imprópria temos duas possibilidades:
 Â A integral converge: dizemos que a integral converge 
quando suas partes constituintes convergirem para um 
valor real.
 Â A integral diverge: dizemos que a integral diverge 
quando suas partes constituintes divergirem, ou seja, re-
sultarem em um valor infinito.
Para a devida resolução, ou seja, para transformarmos as 
impropriedades apresentadas nas equações 2 a 7, devemos 
introduzir a operação de limites nas integrais:
Capítulo 2 Integrais Impróprias 23
 Â Integrais sobre intervalos infinitos
 
( ) lim ( )
a a
f x dx f x dx
β
β
∞
→+∞
=∫ ∫ (8)
 
( ) lim ( )
b b
f x dx f x dxβ β→−∞−∞
=∫ ∫ (9)
 
( ) lim ( ) lim ( )
c
c
f x dx f x dx f x dx
β
β ββ
∞
→−∞ →∞
−∞
= +∫ ∫ ∫ (10)
onde c representa qualquer número real.
 Â Integrais sobre descontinuidades infinitas
se ( )f a representa uma descontinuidade infinita de ( )f x .
se ( )f b representa uma descontinuidade infinita de ( )f x .
 
( ) lim ( ) lim ( )
b b
c x c
a a
f x dx f x dx f x dx
β
β β
− +→ →
= +∫ ∫ ∫
 
(10)
se ( )f c representa uma descontinuidade infinita de ( )f x .
24 Cálculo III
Exemplos:
 1) Calcule as integrais abaixo:
a) ( )22
1
1
dx
x
∞
−
∫
b) 
0
xe dx
−∞
−∫
c) 3
1
dx
x
∞∫
d) 
0
sin( )xe x dx−
∞∫
e) ( )22 1
x dx
x
∞
−∞ +
∫
f) xdx
∞
−∞
∫
g) 
1
0
1 dx
x∫
h) ( )
7
2
32
1
1
dx
x− +
∫
Capítulo 2 Integrais Impróprias 25
i) 
3
0
1
3
dx
x−∫
j) ( )2
4
0
1
3
dx
x −∫
k) dx∫
l) 
1
0
1
1
dx
x−∫
Resoluções:
a) 
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
1
2
2
2
2
2
2
22
1 1lim
1 1
____________________________________
1 1 1
1
1 1 1 1
1 11
____________________________________
1 1lim lim
11
dx dx
x x
dudx u x du dx
dxx
udx du u du
u u xx
dx
xx
β
β
β
β β
∞
→∞
→∞
−
−
→∞
⇒
− −
⇒ = − ⇒ = ⇒ =
−
− −
∴ = = = = =
− −
−
− 
=  
− −
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
a integral con
1 1lim
1 2 1
1 verge10
2 2
β
β β→∞
  − − 
= −   
− −   
= + = ⇒1 = 1
26 Cálculo III
b) Vídeoexemplo
c) 
2
3
3 3
1 1
3
3
11
2
2 2 2
lim
____________________________________
1
2 2
____________________________________
1
a integral co
1 1 1 1lim lim 0
2 2 2 1 2
nve
2
dx dx
x x
dx xx dx
x x
dx
x x
β
β
β β β
∞ ∞
→∞
−
−
∞
→∞ →∞
⇒
−
= = =
−
 − − −   
= = − = + =    
⋅    
⇒
∫ ∫
∫ ∫
∫
rge
d) Videoexemplo
e) 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
2 2 22 2 2
1
22
2 2
1
2
22
2
lim lim
1 1 1
____________________________________
1 2
21
1 1 1 1
2 2 2 1 2 2 11
__________________________________
x x xdx dx dx
x x x
x du dudx u x x dx
dx xx
x x du udx u du
x u xux
β
β ββ
−
−
∞
→−∞ →∞
−∞
= +
+ + +
⇒ = + ⇒ = ⇒ =
+
− −
∴ = = = = =
− ++
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
__
Capítulo 2 Integrais Impróprias 27
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 22 2
1
1
2 2
1
2 2 2 2
lim lim
1 1
1 1lim lim
2 1 2 1
1 1 1 1lim lim
2 1 1 2 1 2 1 2 1 1
1 a integr1
4 4
a0
x xdx dx
x x
x x
β
β ββ
β
β β
β
β ββ β
→−∞ →∞
→−∞ →∞
→−∞ →∞
+
+ +
   
− −   = +   + +   
          
− − − −          − + −          + + + +             
−
= + = ⇒
∫ ∫
l converge
f) Videoexemplo
g) 
( ) ( ) ( )
1 1
1
0 0 0
0
1 1lim lim ln( ) lim ln(1) l
a integral div
n( ) 0
erge
dx dx x
x x ββ β ββ
β
+ + +→ → →
= = = − = + ∞ = ∞
⇒
∫ ∫
h) Videoexemplo
i) 
28 Cálculo III
j) Videoexemplo
k) 
( )
( ) ( ){ }
2 2
2
1 1
1
1
1 1lim lim ln 1
1 1
li
a integral diverge
m ln 1 2 ln(1 1)
dx dx x
x x ββ ββ
β
+ +
+
→ →
→
= = − −
− −
− − − − − = ∞
⇒
∫ ∫
l) Videoexemplo
Recapitulando
Neste capítulo, estendemos a ideia fundamental de funções de 
uma variável para funções de duas ou mais variáveis. Vimos 
a descrição genérica do domínio de funções através de exem-
plos do domínio expressos em termos analíticos, bem como 
gráficos. Por fim, vimos alguns exemplos de gráficos de fun-
ções de duas variáveis e tais gráficos representam superfícies 
tridimensionais.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
______. Cálculo, um novo horizonte. v.2, 6.ed. Porto Ale-
gre: Bookman, 2000.
Capítulo 2 Integrais Impróprias 29
STEWART, J. Cálculo. v. 1 SãoPaulo: Thomson, 2002.
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
http://phet.colorado.edu/pt_ BR/
Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx
Atividades
 1) Resolva as integrais abaixo:
a) 
4
31
1 dx
x
∞∫
b) 
3
41
1 dx
x
∞
−
∫
c) 
2 1
5 2
dx
x
−∞
−
∫
d) xdx
∞
−∞
∫
e) 2
0
xe dx−
∞∫
f) 
1
3
1 dx
x
−
−∞
∫
g) ( )
7
2
32
1
1
dx
x− +
∫
30 Cálculo III
h) ( )
10
2
0
1
3
dx
x −∫
i) 
1
0
1
1
dx
x −∫
j) ( )( )0 1 2
dx
x x
∞
+ +∫
Gabarito
a) Converge para 3
b) ∞ ⇒ diverge
c) ∞ ⇒ diverge
Capítulo 2 Integrais Impróprias 31
d) ∞ ⇒ diverge
e) Converge para 1/2
f) Converge para – 1/2
g) Converge para 9 
h) ∞ ⇒ diverge
i) ∞ ⇒ diverge
j) Converge para )2ln(
k) Converge para e1
l) ∞ ⇒ diverge
m) Converge para – 1/4
n) Converge para – 3/2
o) ∞ ⇒ diverge
p) Converge para 1/2
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 3
Funções de duas ou 
mais Variáveis Reais
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 33
Introdução
Neste capítulo, o objetivo principal é estender a ideia fun-
damental que temos de funções, uma variável real para fun-
ções de duas ou mais variáveis reais. Analisando aspectos 
básicos de nossa compreensão de funções de uma variável, 
obtemos domínios análogos para o domínio de funções de 
duas variáveis, bem como representações gráficas destes 
domínios.
Também estudaremos gráficos de funções de duas variá-
veis.
1 Funções de duas variáveis 2 ou mais 
variáveis
Admita uma placa fina e delgada, ou seja, a espessura da 
chapa é muito menor que as dimensões x e y. Admita ain-
da que localmente houve a transferência de energia (calor) 
para a placa. Neste caso, a temperatura de qualquer pon-
to da placa para cada intervalo de tempo t será dada por 
duas coordenadas espaciais, a saber (x,y) e uma coordenada 
temporal t. A função que descreve a temperatura da chapa 
necessariamente será uma função de três variáveis u(x,y,t). 
Dessa maneira, para cada entrada x, y, t haverá um único 
valor de temperatura u.
34 Cálculo III
Figura 1 Distribuição de Temperaturas em uma chapa fina (FONTE, 
2014).
Em nossos estudos, iremos nos deter nas funções de duas 
ou três variáveis. Em cursos mais avançados de matemática há 
o surgimento de funções n-dimensionais em espaços n-dimen-
sionais, e as propriedades estudadas serão casos mais gerais 
do que estudaremos em nossa disciplina.
A seguir, temos as definições de funções de duas e três 
variáveis:
 Â Função de duas variáveis: uma função f de duas 
variáveis, x e y , é uma regra que associa um número 
real ( , )f x y para cada ponto ( , )x y de algum conjunto 
D no plano xy .
 ( , )z f x y= (1)
Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 35
 Â Função de três variáveis: uma função f de três vari-
áveis , ,x y z é uma regra que associa um número real 
( , , )f x y z para cada ponto ( , , )x y z de algum conjunto 
D no espaço xyz .
 ( , , )w f x y z= (2)
2 Domínio de funções de duas variáveis 
reais
Para o caso de uma função de duas variáveis ( , )z f x y= , a 
ideia de domínio de funções de uma variável é estendida natu-
ralmente. Vamos pensar um pouco: para uma função de uma 
variável, ( )y f x= , o domínio representa o conjunto de valores 
de x que “podem” ser utilizados na função, ou seja, o domínio 
é constituído por pontos na reta dos reais que implica que tere-
mos a construção de retas sobre a reta dos reais. O conjunto 
de todos estes pontos representa o domínio de ( )f x .
De forma resumida, o domínio de uma função ( )y f x= 
será um conjunto de pontos dispostos em uma reta.
Quando temos uma função de duas variáveis, ( , )z f x y= , 
é natural pensar que o domínio será o conjunto de pares ,x y 
que “podem” ser usados na função. Ora, como a disposição 
destes pontos está no plano ( , )x y , podemos dizer que o domí-
nio de funções de duas variáveis são regiões do plano ( , )x y . 
De forma resumida, o domínio de uma função ( , )z f x y= será 
um conjunto de pontos dispostos em um plano.
36 Cálculo III
De forma análoga, o domínio de uma função de três variá-
veis será um conjunto de pontos dispostos no espaço.
3.2.1 Problemas associados ao domínio de 
z=f(x,y)
Podemos identificar alguns “problemas” associadas ao domí-
nio de funções conhecidas, como as funções racionais, funções 
logarítmicas, funções trigonométricas e funções irracionais, ou 
combinações das mesmas. Quando falamos em problemas 
nos referimos a possíveis restrições que aparecem no domínio 
Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 37
de z=f(x,y) a própria estrutura da função. Abaixo citamos al-
guns desses casos:
 
1 ( , ) 0
( , )
z h x y
h x y
= ⇒ ≠ (3)
 ( , ) ( , ) 0z h x y h x y= ⇒ ≥ (4)
 ( )ln ( , ) ( , ) 0z h x y h x y= ⇒ > (5)
A definição do domínio de uma função de duas variáveis 
pode ser expressa de forma analítica ou de forma gráfica. Em 
cada caso, as restrições do domínio devem ficar claras.
Exemplos:
 1) Obtenha o domínio das funções abaixo, expressando sua 
resposta de forma analítica e forma gráfica:
a) ( )2 2( , ) 25f x y x y= − +
b) 
2 24
( , )
x y
f x y
y
− −
=
c) 2 2( , ) 25
yf x y
x y
=
+ −
d) 2( , )f x y y x= −
e) ( )2 2( , ) ln 1f x y x y= − −
38 Cálculo III
f) 2
5( , )
2
xyf x y
y x
−
=
−
Resoluções:
a) 
b) Videoexemplo
Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 39
c) 
d) Videoexemplo
e) 
40 Cálculo III
f) Videoexemplo
3 Gráficos de funções de duas variáveis
Analogamente ao gráfico de f(x), que é definido como o grá-
fico da função ( )y f x= no plano xy , definimos o gráfico 
de ( , )z f x y= no espaço ( , , )x y z como sendo o gráfico da 
equação ( , )z f x y= .
Abaixo, temos alguns exemplos de gráficos de funções de 
duas variáveis:
 Â 
11
2
z x y= − −
Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 41
Figura 2 Gráfico 1. Gráfico de um plano.
Fonte: autor, (2014).
 Â 2 21z x y= − −
Figura 3 Gráfico 2 Fonte: autor (2014).
42 Cálculo III
 Â 2 2z x y= +
Figura 4 Gráfico 3.
Fonte: autor (2014).
4 Curvas de nível de funções de duas 
variáveis
Seja uma função ( , )z f x y= cortada por um plano 
horizontal=k. Todos os pontos da intersecção ( , )f x y k= pro-
jetados sobre o plano xy formam curvas que recebem o nome 
de curvas de nível de altura k. Um conjunto de curvas de nível 
é chamado de Mapa de Contorno da função ( , )z f x y= .
Considere, por exemplo, o gráfico da função que plotamos 
2 2z x y= + acima, dada pela Figura 4:
Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 43
Figura 5 Gráfico 3.
Fonte: autor (2014).
A representação da vista superior deste gráfico é dada na 
Figura 6:
Figura 6 Vista superior do Gráfico 3.
Fonte: autor (2014).
44 Cálculo III
Agora, vamos plotar a função 2 2z x y= + um plano pa-
ralelo ao plano xy em alguma altura específica, por exemplo 
1z = , neste caso temos as Figuras 7 e 8:
Figura 7 Gráfico 3 cortado por um plano de altura 1.
Fonte: autor (2014).
Figura 8 Vista superior da intersecção da função com o plano.
Fonte: autor (2014).
Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 45
Observe a curva que aparece da intersecção da função 
com o plano. Neste caso, temos a curva de nível de altura 1:
Figura 8 Curva de Nível k=1.
Fonte: autor (2014).
Caso incluamos vários planos de diferentesalturas, tere-
mos o mapa de contorno da função 2 2z x y= + dado na 
Figura 9.
46 Cálculo III
Figura 9 Curvas de Nível da função 2 2z x y= + .
Fonte: autor (2014).
Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 47
Exemplos:
 2) Esboce o mapa de contorno das funções abaixo:
a) ( )2 2( , ) 25 , 0,1,2,3,4,5f x y x y k= − + =
b) 
2 2( , ) 4 , 0,1,3f x y x y k= + =
c) 2 2( , ) , 4,0,9f x y y x k= − = −
d) ( ) ( )2 2( , ) 2 3 , 1,4,9f x y x y k= − + − =
e) 3( , ) , 1,0,1, 2f x y x y k= − = −
f) 2( , ) , 1, 2,3f x y y x k= − =
Resoluções:
a) 
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
2
2
2
2
2
( , ) 25 , 0,1,2,3,4,5
25 25
25
f x y x y k
x y k x y k
x y k
= − + =
∴ − + = ⇒ − + =
⇒ + = −
48 Cálculo III
b) Videoexemplo
c) 
2 2( , ) , 4,0,9f x y y x k= − = −
Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 49
d) Videoexemplo
e) 3( , ) , 1,0,1, 2f x y x y k= − = −
50 Cálculo III
f) Videoexemplo
Recapitulando
Neste capítulo, estendemos a ideia fundamental de funções de 
uma variável para funções de duas ou mais variáveis. Vimos 
a descrição genérica do domínio de funções de tais funções 
através de exemplos do domínio expressos em termos analí-
ticos, bem como gráficos. Por fim, vimos alguns exemplos de 
gráficos de funções de duas variáveis e tais gráficos represen-
tam superfícies tridimensionais.
Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 51
Referências
KREYSZIG, E. Matemática Superior para Engenharia v.1, 
9.ed., LTC, 2009.
ZIll, D. G, Cullen, M. R. Equações Diferenciais. v.1, 3.ed, 
Makron Books, 2001.
______. Matemática Avançada para Engenharia. v.1, 3.ed 
Bookman, 2009.
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
http://phet.colorado.edu/pt_ BR/
Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx
Atividades
 1) Obtenha o domínio das funções abaixo, expressando sua 
resposta de forma analítica e forma gráfica:
a) ( )2 2( , ) 36f x y x y= − +
b) 
2 24
( , )
x y
f x y
y
− −
=
52 Cálculo III
c) 
2
2
( , )
5
2
xyf x y
x y
=
+ −
d) 3( , )f x y y x= −
e) ( )2 2( , ) ln 1f x y x y= + −
f) 
2 3
( , ) x yf x y
y x
+
=
−
g)
 
2sin( )( , ) xf x y
y x
=
−
 2) Esboce o mapa de contorno das funções abaixo:
a) ( , ) , 2, 1,0,1, 2,3f x y y x k= − = − −
b) ( , ) , 0,1, 2,3, 4,5f x y y x k= − =
c) 2 2( , ) , 4,9,16,25f x y x y k= + =
d) 
2 2
( , ) , 1, 2,3, 4
2 3
x yf x y k= + =
e) 
( ) ( )2 22 1( , ) , 1, 2,3, 4
2 3
x y
f x y k
− −
= + =
f) 2 2( , ) , 4,0, 4f x y y x k= − = −
g) 2( , ) , 0,1, 4,9f x y y k= =
Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 53
Gabarito
 1) 
a) 
b) 
54 Cálculo III
c) 
Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 55
d) 
e) 
56 Cálculo III
f) 
Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 57
g) 
2)
a) Imagem abaixo
58 Cálculo III
b) Imagem abaixo
c) Imagem abaixo
Capítulo 3 Funções de duas ou mais Variáveis Reais 59
d) Imagem abaixo
e) Imagem abaixo
60 Cálculo III
f) Imagem abaixo
g) Imagem abaixo
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 4
Limites de Funções de 
Duas Variáveis
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
62 Cálculo III
Introdução
O processo de limite utilizado para funções de uma variável 
real pode ser generalizado para funções de duas ou mais vari-
áveis. A ideia fundamental de limite se mantém invariante, po-
rém, os caminhos para os quais podemos chegar a um ponto 
do qual queremos avaliar o limite, que para funções de uma 
variável eram dois, se mostrará infinito para funções de duas 
ou mais variáveis.
1 Limites de funções de duas ou mais 
variáveis
Quando procuramos o limite de uma função de uma variável, 
temos as seguintes operações:
 0
lim ( ).
x x
f x
→ 
(1)
Que implica em calcularmos os limites laterais
 0
lim ( )
x x
f x
+→
 (2)
e
 0
lim ( )
x x
f x
−→
 (3)
Dessa maneira, temos apenas dois sentidos nos quais x 
pode se aproximar de 0x .
Capítulo 4 Limites de Funções de Duas Variáveis 63
Quando calculamos o limite de funções de duas ou mais 
variáveis é um pouco mais complexo, tendo e vista que pode-
mos chegar até o ponto ( )0 0,x y , por infinitos caminhos.
Neste contexto, temos dois casos possíveis:
1.1 Limites ao longo de curvas
Neste caso, chegamos até o ponto ( )0 0,x y por uma curva 
parametrizada por função da variável t. Esses limites ao lon-
go de curvas paramétricas podem ser obtidos substituindo as 
equações paramétricas dentro da equação para a função f e 
computando o limite apropriado da função resultante que será 
de uma variável. Assim temos, para limites de funções de duas 
e três variáveis, respectivamente:
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0 0
, ,
, , , ,
lim ( , ) lim ( ), ( )
lim ( , , ) lim ( ), ( ), ( )
x y x y t t
x y z x y z t t
f x y f x t y t
f x y z f x t y t z t
→ →
→ →
=
=
 
(4)
Exemplos:
 1) Calcule o limite da função 2 2( , )
xyf x y
x y
= −
+
 através das 
seguintes curvas:
a) 0y =
b) 0x =
c) y x=
d) y x= −
e) 
2y x=
64 Cálculo III
Resolução:
a) 
( ) ( ) ( )0 0, , 0 0 02 2 2
0
0lim lim ( ,0) lim lim 0 0
ao longo do eixo x
x y x y t t t
y
xy f t
x y t→ → → →
= ⇒
   
− = = − = =   +   
b) 
( ) ( ) ( )0 0, , 0 0 02 2 2
0
0lim lim (0, ) lim lim 0 0
ao longo do eixo y
x y x y t t t
x
xy f t
x y t→ → → →
= ⇒
   
− = = − = =   +   
c) ( ) ( )0 0
2 2
2 2 2 2, , 0 0
0
20
lim lim ( , ) lim lim
2
1 1lim
ao longo da r
2
eta
2
 
x y x y t t t
t
y x
xy t tf t t
y x
x y t t t→ → → →
→
= ⇒
    
− = = − = −    + +     
 
= − = −  
=
d) 
e) ( ) ( ) ( )0 0
2 2
3 3
2
22 2 2 4, , 0 20 0
20
2
lim lim ( , )
ao lo
lim lim
l
ngo da curva 
im 0
1
x y x y t t t
t
y x
xy t tf t t
x y t tt t
y
t
t
x
→ → → →
→
= ⇒
      
− = = − = −    + +   + 
 
= − = + 
=
Capítulo 4 Limites de Funções de Duas Variáveis 65
1.2 Limites gerais
O limite de uma função de duas variáveis pode ser definido da 
seguinte forma:
Seja f uma função de duas variáveis, então
 ( ) ( )0 0, ,
lim ( , )
x y x y
f x y L
→
=
 
(5)
se dado qualquer 0ε > , podemos encontrar um número 
0δ > de modo que ( , )f x y satisfaça
 
( , )f x y L ε− < (6)
sempre que ( ),x y estiver no domínio de f e a distância entre 
( ),x y e ( )0 0,x y satisfizer
 
( ) ( )2 20 00 x x y y δ< − + − < (7)
O seguinte teorema relaciona a obtenção de limites de 
duas variáveis através da definição geral e sua obtenção atra-
vés de curvas paramétricas:
Teorema: 
(i) Se f(x,y) tende a L quando (x, y) tende a (xo, yo), então 
f(x, y) tende a L quando (x, y) tende a (xo, yo) ao longo 
de qualquer curva suave do domínio de f(x, y).
(ii) Se o limite de f(x, y) deixa de existir quando (x, y) tender 
a (xo, yo) ao longo de alguma curva suave, ou se f(x, y) 
tiver limites diferentes quando (x, y) tender a (xo, yo) ao 
66 Cálculo III
longo de duas curvas suaves diferentes do domínio de 
f(x, y), então o limite de f(x, y) não existe quando (x, y) 
tender a (xo, yo).
Exemplos:
 2) Calcule o limite das funções abaixo:
a) ( ) ( ) ( )3 2, 2, 3lim 4 5 7x y x xy y→ − − + −
b) ( ) ( )
2 2
2 2, 3,4
lim
x y
x y
x y→−
+
c) ( ) ( )
4 4
2 2, 0,0
lim
x y
x y
x y→
−
+
d) ( ) ( )1,2 3, lim 2 2x y
xy y
x x xy y→
−
− + −
e) Mostre que o limite não existe ( ) ( )
2 2
2 2, 0,0
2lim
x y
x y
x y→
−
+
f) 
( ) ( ), 1, 1
2 2
2 2
lim
x y
x y
x y→ − −
−
+
Resoluções:
a) ( ) ( )
( ) ( ) ( )23 2 3
, 2, 3
lim 4 5 7 2 4 2 3 5 3 7
8 72 15 7 86
x y
x xy y
→ −
− + − = − ⋅ ⋅ − + − −
= − − − = −
Capítulo 4 Limites de Funções de Duas Variáveis 67
b) Videoexemplo
c) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 24 4
2 2
2 2 2 2, 0,0 , 0,0 , 0,
2
0
2
0lim lim lim 0
0x y x y x y
x y x yx y x y
x y x y→ → →
− +
−
= ⇒ = − =
+ +
d) Videoexemplo
e) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2, 0,0 , 0,0 , 0,0
2 2 2 2
2 2 2 2, 0,0 , 0,0 , 0,0
2 0 2 0lim 0 lim lim 2 2
0 0
2 0 20 lim lim 1 1 lim
0
x y x y x y
x y x y x y
x y xy
x y x
y x yx
y x y
→ → →
→ → →
− −
= ⇒ = ⇒ = =
+ +
⋅ − −
⇒ = ⇒ = − = − ⇒ = ∃
+ +
f) Videoexemplo
2 Continuidade
Lembramos que definimos uma função de uma variável conti-
nua pela assertiva
 0
0lim ( ) ( )x x f x f x→ = (8)
Estando o conceito de continuidade para funções de duas 
e três variáveis temos
 ( ) ( )0 0,
0, 0
lim ( , ) ( , )
x y x y
f x y f x y
→
=
 
(9)
 ( ) ( )0 0 0, ,
0 0 0, ,
lim ( , , ) ( , , )
x y z x y z
f x y z f x y z
→
= (10)
68 Cálculo III
Exemplos:
 3) Determine se ( , )f x y é contínua no ponto especificado:
a) ( )2( , ) 3 2 em 1,3f x y x xy= + −
b) 2 2( , )
xf
y
y
x
x y =
−
c) ( , ) 4f x y xy= −
d) 
e) ( )2( , ) 5 3 em 1,0f x y x xy= +
f) 
2
( , ) xf x y e=
Resoluções:
a) 
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 , 1,3
, 1,3
( , ) 3 2 em 1,3
( 1,3) 3 1 21)
2)
1 3 3
lim ( , ) ( 1,3)
lim 3 2 3 x y
x y
f x y x xy
f
f x y f
x xy → −
→ −
= + −

− = − + − = − 
⇒ = −
+ = − 
b) Videoexemplo
c) 
A função é cont
( , ) 4 4
ínua 4p a
0 4
 ar
f x y xy xy xy
xy
= − ⇒ − ≥ ⇒ ≥
⇒ ≥
d) Videoexemplo
Capítulo 4 Limites de Funções de Duas Variáveis 69
e) 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 , 1,0
, 1,0
( , ) 5 3 em 1,0
1,0 5 1 3 1 0 5
lim ( , ) (1,0)
li
1)
2 m 3 5) 5 x y
x y
f x y x xy
f
f x y f
x xy →
→
= +
= ⋅ + ⋅ ⋅ = 
⇒ =+ = 
f) Videoexemplo
Recapitulando
Repetindo os passos para a construção da derivada, estuda-
mos neste capítulo a generalização da operação de limite para 
funções de duas ou mais variáveis. Vimos que a principal di-
ferença entre esses limites e os limites de funções de uma va-
riável são os caminhos pelos quais podemos chegar ao ponto 
do qual pretendemos avaliar o limite. Também generalizamos 
o conceito de continuidade de funções de uma variável para 
funções de duas variáveis.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
______. Cálculo, um novo horizonte. v.2, 6.ed. Porto Ale-
gre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v. 1 São Paulo: Thomson, 2002.
70 Cálculo III
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
http://phet.colorado.edu/pt_ BR/
Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx
Atividades
 1) Resolva os limites abaixo:
d) ( ) ( ) ( ), 0,0
6
23 2
lim
x y
x
x y→ +
e) ( ) ( ), 0,0
2 3
5 5
3lim
2 2x y
x y
y x→ −
Gabarito
 1) 
a) 5
Capítulo 4 Limites de Funções de Duas Variáveis 71
b) 119
13
c) 0
d) ∃
e) ∃
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 5
Derivadas Parciais
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
Capítulo 5 Derivadas Parciais 73
Introdução
A derivada de uma função de duas ou mais variáveis será in-
troduzida neste capítulo. Veremos as definições, bem como 
devemos proceder para computar tais derivadas. As regras an-
teriormente estudadas de derivação permanecem as mesmas, 
porém, como estamos calculando derivadas de funções de no 
mínimo duas variáveis, devemos também calcular a derivada 
com respeito a cada variável.
1 Derivadas parciais de funções de duas 
variáveis
Analogamente ao limite que define a derivada de uma função 
de uma variável, ( )y f x=
 0
('( ) lim ( ) ,)
x
f x x ff x x
x∆ →
∆ −
=
∆
+
 (1)
podemos estender a mesma ideia para uma função de duas 
variáveis. Porém, quando derivamos uma função de duas va-
riáveis ( , )z f x y= , temos duas opções; calcular a derivada 
com respeito a variável x ou a variável y .
1.1 Derivada com respeito a x
Se ( , )z f x y= , então a derivada parcial de f em relação a 
x é a derivada com respeito a x da função que resulta quan-
74 Cálculo III
do y é mantido fixo e fazemos x variar. O limite 1 pode ser 
estendido:
 0
(( , ) lim , ) ( , )
xx
f f xf x y
x
x y f x y
x∆ →
∂ ∆ −+
= =
∆∂ (2)
onde denota a derivada parcial de ( , )f x y com res-
peito a variável x .
1.2 Derivada com respeito a y
Se ( , )z f x y= , então a derivada parcial de f em relação a 
y é a derivada com respeito a y da função que resulta quan-
do x é mantido fixo e fazemos y variar. O limite 1 pode ser 
estendido:
 
0
(( , ) lim , ) ( , )
yy
f f xf x y
y
y y f x y
y∆ →
∂ + ∆ −
= =
∆∂
 (3)
onde denota a derivada parcial de ( , )f x y com res-
peito a variável y .
Exemplos:
 1) Calcule as primeiras derivadas parciais (com respeito a x e 
a y) das funções abaixo:
a) 
3 2( , ) 2 2 4f x y x y y x= + +
b) f (x,y) = x3 y + 5y3
Capítulo 5 Derivadas Parciais 75
c) 
2 2( , ) 3 2f x y x xy y= − +
d) 
e) ( , ) sin( ) cos(7 )f x y x y=
f) 
2 21( , ) 24 2
2
f x y x y= − −
g) 
2 3
4 x yz e=
h) 
2sin(4 )xyz e y=
i) 
y
xz ye=
j) 
2 ln( )xz y e xy= +
k) ln( 2)z xy= +
l) 
4 3 22 3 1z x y xy y= − + +
Resoluções:
a) 
3 2
3 3
2 2 2 2
( , ) 2 2 4
6 0 4 6 4
4 2 0 4 2
x x
y y
f x y x y y x
f x y f x y
f x y f x y
= + +
= + + ⇒ = +
= + + ⇒ = +
b) Videoexemplo
76 Cálculo III
c) 
d) Videoexemplo
e) 
( )
( , ) sin( ) cos(7 )
cos( ) cos(7 ) cos( ) cos(7 )
sin( ) 7sin(7 ) 7sin( )sin(7 )y y
x x
f x y x y
f x y f x y
f x y f x y
=
= ⇒ =
= − ⇒ = −
f) Videoexemplo
g) 
2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
3 3
2 2 2 2
( , ) 4
4 2 8
4 3 12
x y
x y x y
x y x y
y y
x x
f x y e
f xy e f xy e
f x y e f x y e
=
= ⋅ ⇒ =
= ⋅ ⇒ =
h) Videoexemplo
i) 
2
2 2
1
y
x
y y
x x
y y y y
x x x
y
x
x
x
y
z ye
y yz y e z e
x x
yz e y e z e e
x x
=
− 
= ⇒ = −  
= + ⇒ = +
j) Videoexemplo
Capítulo 5 Derivadas Parciais 77
k) 
ln( 2)
1
2 2
1
2 2
x
y
x
y
z xy
yz y z
xy xy
xz x z
xy xy
= +
= ⇒ =
+ +
= ⇒ =
+ +
l) Videoexemplo
2 Taxas de variação e inclinações
Dada uma função de duas variáveis ( , )f x y e suas respec-
tivas derivadas parciais ( , )xf x y e ( , )yf x y , a interpretação 
geométrica das derivadas no ponto ( )0 0,x y , ( )0 0,xf x y e ( )0 0,yf x y , mais uma vez, estende a interpretação geométrica 
da deriva de uma função de uma variável:
( )0 0,xf x y representa a inclinação da reta tangente no 
ponto ( )0 0,x y da curva ( , )f x y interceptada pela plano 
0y y=
Figura 1 Derivada parcial com respeito a x.
Fonte: Wikipédia (2014).
78 Cálculo III
 Â ( )0 0,yf x y representa a inclinação da reta tangente no 
ponto ( )0 0,x y da curva ( , )f x y interceptada pela pla-
no 0x x= .Figura 2 Derivada parcial com respeito a y.
Fonte: Wikipédia (2014).
3 Notação
Como vimos nas definições de derivada parcial 2 e 3, temos 
duas formas de representar as derivas parciais de uma função 
( , )z f x y= .
Notação Compacta Notação Diferencial
Derivada com 
respeito a x
( , )x xz f x y= z f
x x
∂ ∂
=
∂ ∂
Derivada com 
respeito a y
( , )y yz f x y= z f
y y
∂ ∂
=
∂ ∂
Capítulo 5 Derivadas Parciais 79
4 Derivadas parciais de ordens superiores
Lembre-se que podemos calcular as derivadas sucessivas de 
uma função de uma variável y=f(x), obtendo assim derivadas de 
qualquer ordem, onde a ordem representa o número de deriva-
das calculadas. Assim, para uma função de uma variável temos:
 Â Primeira ordem: '
dyy
dx
=
 Â Segunda ordem: 
2
2''
d yy
dx
=
 Â Terceira ordem: 
3
3'''
d yy
dx
=
e assim sucessivamente.
No caso das derivadas parciais, a cada derivada obtida 
podemos calcular o resultado em função de x ou em função 
de y, dessa maneira temos a seguinte árvore:
Figura 3 Derivada parcial até segunda ordem.
Fonte: autor (2014).
80 Cálculo III
Observe que a sequência das variáveis a serem derivadas 
muda conforme a notação.
Exemplos:
 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das fun-
ções abaixo:
a) 
2 3 4( , )f x y x y x y= +
b) ( )2 2( , ) lnf x y x y= +
c) 3 5( , ) 2 yf x y x e=
d) ( , ) cos( )xf x y e y=
e) ( , ) cos( )sinh( ) sin( ) cosh( )f x y x y x y= +
f) 2 3 4( , )f x y x y x y= +
g) ( )( , ) lnf x y xy=
h) 4 2 3 2( , ) 2 4 3f x y xy x y x y= − + −
i) 2 2( , )f r s r s= +
j) ( , ) cos xf x y x
y
 
=   
k) 
2 2( , , ) 3f x y z x z xy= +
Capítulo 5 Derivadas Parciais 81
l) ( , , )
t x yf x y z xe ye ze−= − +
Resoluções:
a) 
2 3 4
3 2
3 3
2 3
2
2 2 4
2 3
( , )
2 12
2 4
6 4
6
3
6 4
y
xx
x
xy
y
y
yx
f x y x y x y
f y x y
f xy x y
f xy x
f x y
f x y x
f xy x
= +
 = +
= + ⇒ 
= +
 =
= + ⇒ 
= +
b) Videoexemplo
c) 
3 5
5
2 5
2 5
3 5
3 5
2 5
( , ) 2
12
6
30
50
10
30
y
y
y
y
y
yy
xx
y y
x
y
x
x
y
y
f x y x e
f xe
f x e
f x e
f x e
f x e
f x e
=
 =
= ⇒ 
=
 =
= ⇒ 
=
d) Videoexemplo
82 Cálculo III
e) 
( , ) cos( )sinh( ) sin( ) cosh( )
sin( )sinh( ) cos( ) cosh( )
cos( )sinh( ) sin( ) cosh( )
sin( ) cosh( ) cos( )sinh( )
cos( ) cosh( ) sin( )sinh( )
cos( )sinh( ) sin( ) cosh( )
x
xx
xy
y
yy
yx
f x y x y x y
f x y x y
f x y x y
f x y x y
f x y x y
f x y x y
f
= +
= − +
= − −
⇒ 
= − +
= +
= +
⇒
= −sin( ) cosh( ) cos( )sinh( )x y x y
 +
f) Videoexemplo
g) 
( )
2
2
( , ) ln
1
1
0
1
1
0
xx
x
x
yy
y
yx
y
f x y xy
f
f x
x f
f
yf
y f
=

= −
= ⇒  =

= −
= ⇒ 
=
h) Videoexemplo
Capítulo 5 Derivadas Parciais 83
i) 
 
84 Cálculo III
j) Videoexemplo
k) 
l) Videoexemplo
5 Derivadas parciais de funções com mais 
de duas variáveis
Quando calculamos a derivada de funções de mais de duas 
variáveis, termos mais opções conforme o número de variáveis 
que define as funções. No entanto, a ideia fundamental da 
derivada parcial é a mesma, ou seja, quando derivamos a 
função com respeito a uma variável, fixamos as demais.
Capítulo 5 Derivadas Parciais 85
Exemplos:
 3) Calcule as derivadas parciais indicadas das funções abaixo:
a) 
b) 
c) ( )
2
2 ln( )xyx y
 ∂ ∂ ∂ ∂ 
d) 
e) ( )3 23 cos(xyx
∂
∂
f) ( )2 22 x yx y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ 
Resoluções:
a) 
( ) ( )
( )
( )
3 3
3
2 3 4 2 3 4
3
3
3
3 4
2
2
3
2 4 2 12 24
24
x y x y x y x y
x x x x
xy x y y x y xy
x x x
x y x y xy
x
∂ ∂  ∂ ∂  
+ = +  ∂ ∂ ∂ ∂  
∂ ∂ ∂   + = + =  ∂ ∂ ∂ 
∂
⇒ + =
∂
86 Cálculo III
b) Videoexemplo
c) 
( ) ( )
2
2
2
ln( ) ln( )
1 1 0
xy xy
x y x y y
x y y x y
    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
=     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
    ∂ ∂ ∂
= = − =    ∂ ∂ ∂    
d) Videoexemplo
e) 
( ) ( )
( )
( )
3
2 2
3
4 6
3
2 3 4
2 2
2
3
2
6
2
cos( ) cos( )
sin( ) cos( ) sin( )
sin( )
xy xy
x x x x
y xy y xy y xy
x x x
x y x y y xy
x
∂ ∂  ∂ ∂  
=   ∂ ∂ ∂ ∂  
∂ ∂ ∂   − = − =  ∂ ∂ ∂ 
∂
⇒ + =
∂
f) Videoexemplo
Recapitulando
Neste capítulo, vimos a definição de derivada parcial de fun-
ções de duas ou mais variáveis. Percebemos que a derivada 
simples, ou ordinária é um caso particular deste novo objeto.
Estudamos derivadas parciais de primeira ordem, segun-
da ordem e de ordens superiores. Interessantemente o cálculo 
das derivadas é efetivamente o mesmo para a derivada com 
respeito a determinada variável, ou seja, vimos que calcular 
Capítulo 5 Derivadas Parciais 87
a derivada parcial se resume a calcular derivadas ordinárias 
conforme o número de variáveis que define a função.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
______. Cálculo, um novo horizonte. v.2, 6.ed. Porto Ale-
gre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v. 1 São Paulo: Thomson. 2002.
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
http://phet.colorado.edu/pt_ BR/
Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx
Atividades
 1) Calcule as derivadas de primeira ordem das funções abaixo:
a) 2 2( , )f r t r t= +s) s2
b) ( , ) sin( )yf x y xe y x= +
c) ( , ) ln
x yf x y
x y
 +
=  
− 
88 Cálculo III
d) ( , ) cos
xf x y x
y
 
=   
e) , ) sin( ) co( s( )s φ θ φ θ=
f) ( , ) Ax Byg x y
Cx Dy
+
=
+
g) 2( , ) sec( )f x y x y xy=
h) 2 3 3 23 5z x y x y= −
i) 
x
yz e=
j) 3 2cos( )z x xy=
 2) Calcule as derivadas de segunda ordem das funções abaixo:
a) cos( )z x y=
b) ( , ) 3 2f x y x y= +
c) ( , ) xyf x y e=
d) 2 3 2( , ) 5 cos( )f x y x y xy= +
e) 
1( , )f x y
xy
=
Capítulo 5 Derivadas Parciais 89
f) ( , ) tan
xf x y
y
 
=   
 3) Calcule as derivadas indicadas abaixo:
a) ( )44 44 x y y xy
∂
+
∂
b) de ( , )xx
x yf f x y e +=
c) ( )2 22 sin(2 7 )x yx y
 ∂ ∂
+ ∂ ∂ 
d) ( )2 22 x yx y ∂ ∂ + ∂ ∂ 
e) de ( , ) cos( )xxy f x y x yf = +
f) de ( , , ) sin( )xyz f x y zf x y z= + +
Gabarito
 1) 
a) 
2 2 2 2
; sr
r sf f
r s r s
= =
+ +
b) cos( ); sin( )x y
y yf e y x f xe x= + = +
90 Cálculo III
c) 
2 2 2 2;x y
y xf f
x y x y
−
= =
− −
2x–2y
d) 
e) cos( )cos( ); sin( )sin( )s sφ θφ θ φ θ= = −
f) 
( )
( )
( )
( )2 2; yx
AD BC BC AD
f y f x
Cx Dy Cx Dy
− −
= =
+ +
g) 
2 2
2 3
2 sec( ) sec( ) tan( );
sec( ) sec( ) tan( )y
xf xy xy x y xy xy
f x xy x y xy xy
= +
= +
h) 3 2 2 2 2 36 15 ; 9 10z zxy x y x y x y
x y
∂ ∂
= − = −
∂ ∂
i) 
2
1 ;
x x
y yz z xe e
x y y y
∂ ∂ −
= =
∂ ∂
j) 3 242 2 2 23 cos( ) sin( ); 2 sin( )z zx xy x y xy x y xy
x y
∂ ∂
= − = −
∂ ∂
 2) 
a) ( ) ( ) ( )3/2cos sin1 1; cos ;4 2xx yy xy yx
y y
f f x y f f
x x
= − = − = = −
b) ( ) ( ) ( )3/2 3/2 3/2
9 1 3; ;
4 3 2 3 2 2 3 2xx yy xy yx
f f f f
x y x y x y
= − = − = = −
+ + +
Capítulo 5 Derivadas Parciais 91
c) 
2 2e ; e ; e exy xy xy xyxx yy xy yxf y f x f f xy= = = = +
d) 
3 2 210 ; 30 ; 30xx yy xy yxf y f x y f f xy= = = =
e) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
5/2 5/2 5/2 3/2
3 3 3 1; ;
4 4 4 2xx yy xy yx
y x xyf f f f
xy xy xy xy
= = = = −
f) 
 3) 
a) 24x
b) 
( )
( )3/2
1e1
4
x yx y
x y
++ −
+
c) ( )2196 cos 2 7x x y− +
d) ( )5/22
3
4
y
y x+
92 Cálculo III
e) ( )sin x y+
f) ( )cos x y z− + +
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 6
Regra da Cadeia e suas 
Aplicações
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
94 Cálculo III
Introdução
Neste capítulo, iremos perceber que a derivada parcial de uma 
função de duas variáveis é um caso particular de um obje-
to matemático mais geral chamado Derivada Direcional. Tais 
derivadas indicam a taxa de variação de nossa função com 
respeito a qualquer direção arbitrária. Também neste capítulo, 
aparecerá o gradiente de uma função de duas variáveis como 
o indicativo das direções de maiores e menores taxas de cres-
cimento da função.
1 Funções Diferenciáveis de duas variáveis
Primeiramente, vamos recordar a definição mais intuitiva de 
diferenciabilidade de funções de uma variável:
Uma função ( )y f x= , diferenciável em um ponto 0x x= é 
aquela que satisfaz as seguintes propriedades:
 Â ( )f x é contínua em 0x x= .
 Â O gráfico de ( )f x possui uma reta tangente não vertical 
em 0x x= .
Podemos definir uma função diferenciável de uma maneira 
mais formal: uma função f de uma variável é diferenciável em 
0x se existe um número 0'( )f x tal que f∆ pode ser escrita na 
forma
 0'( )f f x x xε∆ = ∆ + ∆ (1)
Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 95
onde ε é uma função de x∆ tal que ε vai para zero se x∆ vai 
para zero e 0ε = se 0x∆ = .
Para o caso de funções de duas variáveis, podemos esten-
der as definições acima, fazendo as devidas adequações:
(i) Uma função ( , )z f x y= , diferenciável em um ponto 
( )0 0,x y é aquela que satisfaz as seguintes proprieda-
des:
 Â ( , )f x y é contínua em ( )0 0,x y .
 Â A superfície ( , )z f x y= tem um plano tangente não ver-
tical em ( )0 0,x y .
Uma função f de duas variáveis é diferenciável em ( )0 0,x y 
se ( )0 0,xf x y e ( )0 0,yf x y existirem e f∆ puder ser escrita 
como
 
0 0 0 0 1 2( ) ( ), ,yxf f x x f xy y yy xε ε∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ (2)
onde 1ε e 2ε são funções de x∆ e y∆ tendendo a zero, se 
cada quantidade respectiva tende a zero e são nulos se os 
deltas são nulos.
2 Diferenciais
Quando estudamos a diferencial para funções de uma variável 
)(xfy = , definimos a diferencial como uma variável inde-
pendente, podendo valer qualquer número real. A diferencial 
de y foi definida como: 
96 Cálculo III
 (3)
Para uma função de duas variáveis, ),( yxfz = , definimos 
as diferenciais e como variáveis independentes, podendo 
valer qualquer valor. Logo, a diferencial , também chamada 
de diferencial total, é definida como:
Exemplos:
 1) Dada a função , se x varia de 3 
para 3,02 e y varia de 2 para 1,95, determine:
a) A variação exata da função ),( yxfz = para as varia-
ções indicadas.
b) A variação aproximada, usando diferenciais.
 2) O comprimento e a largura de um retângulo foram me-
didos com uma régua, encontrando-se 50 cm e 40 cm, 
respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, 
0,1. Utilize diferenciais para estimar o erro máximo come-
tido no cálculo da área do retângulo e compare com o 
erro exato.
 3) Uma lata cilíndrica possui diâmetro da base medindo 10 
cm e altura medindo 12 cm. Usando diferenciais, calcule 
Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 97
a variação no volume da lata quando o diâmetro aumenta 
para 10,04 cm e a altura aumenta para 12,01 cm.
 4) Um cone circular reto possui raio da base igual a 8 cm e 
altura 20 cm. Utilize diferenciais para calcular a variação 
no volume do cone, quando o raio aumenta 0,01 cm e a 
altura diminui 0,01 cm.
Resoluções
 1) a) 
 A variação exata é dada por ozzz −=∆ (final menos 
inicial).
 O valor inicial da função é calculado quando 3=x e 
2=y :
 
 O valor final da função é calculado quando e 
 Então a variação exata será: 
 
b) Usando diferencial, aplicamos 
98 Cálculo III
 Se x varia de 3 para 3,02, então 
 Se y varia de 2 para 1,95, então 
 Então:
 
 Veja que , isto é, usando diferencial o valor 
da variação, é próxima da variação exata. Quanto 
menores as variações das variáveis independentes, 
mais o valor da diferencial se aproxima do valor exato. 
Normalmente, utilizamos a diferencial para calcular a 
variação de funções ou de grandezas, pois o cálculo 
se torna mais fácil.
 2) 
Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 99
 Área: yxA .= erro: 
 Usando diferencial: ou 
 
 Erro exato: 
 Veja que a diferença nos cálculo é de 0,01 cm².
 3) 
100 Cálculo III
 4) 
Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 101
 
2.1 Igualdade das derivadas mistas
No capítulo 5, percebemos nos exemplos que as derivadas 
mistas são idênticas para as questões-exemplo resolvidas. 
Neste ponto, podemos enunciar o seguinte teorema: Seja f 
uma função diferenciável de duas variáveis. Se xf , yf , xxf e 
yyf são contínuas em um conjunto aberto, então
 xy yxf f= (3)
102 Cálculo III
ou
 
2 2f f
y x y x
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂ (4)
3 Regra da cadeia
Quando estudamos as regras de derivação, aparece a chama-
da regra da cadeia, que possibilita que calculemos a derivada 
de uma função mesmo quando ela não está escrita em termos 
da variável a qual estamos derivando. Dito de outra forma, se 
( )y f x= e x , por sua vez, é uma função de t , ( )x x t= , po-
demos calcular a derivada com respeito de t diretamente da 
função y , usando a regra da cadeia que afirma:
 
dy dy dx
dt dx dt
=
 
(5)
Desejamos, neste momento, desenvolver regras análogas 
para funções de duas variáveis, e para tal enunciaremos dois 
teoremas:
3.1 Teorema 1
Se ( )x t e ( )y t são diferenciáveis em t e se ( , )z f x y= for 
diferenciável no ponto ( )( ), ( )x t y t , então ( )( ), ( )z f x t y t= é 
diferenciável em t e
 
dz z dx z dy
dt x dt y dt
∂ ∂
= +
∂ ∂ 
(6)
Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 103
Exemplos:
 1) Dado a função e ( )x t , ( )y t , determine dz
dt
:
a) ; cos( ), sin( )z xy y x t y t= + = =
b) 2 2 3; ,z x y x t y t= = =
c) 2 3 4 23 ; ,z x y x t y t= = =
d) 2sin( ); ,z x y x t y t= = =
Resoluções:
a) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
; cos( ), sin( )
, sin( )
2 1sin( ) cos( )
1 2 2, cos( )
2
1
2 2 2
cos( ) cos( ) sin( )
2 cos
z xy y x t y t
dz z dx z dy
dt x dt y dt
z y dx t
x dtxy y dz y xt t
z x dy dt xy y xy yt
y dtxy y
dz y x x x yy x
dt xy y xy y xy y
t t t
= + = =
∂ ∂
= +
∂ ∂
∂ 
= = − ∂ + +
⇒ = − +∂ + + +
= = ∂ + 
+ + −
⇒ = − + =
+ + +
+ −
= ( )( ) ( )( )
2 2cos ( ) cos( ) sin ( )
2 cos( )sin( ) sin( )( ) sin( ) sin
dz t t t
dt t t tt t t
+ −
⇒ =
++
b) Videoexemplo
104 Cálculo III
c) 
d) Videoexemplo
3.2 Teorema 2
Se ( , )x u v e ( , )y u v são tiverem derivadas de primeira ordem 
no ponto ( , )u v e se ( , )z f x y= for diferenciável no ponto 
( )( , ), ( , )x u v y u v , então ( )( , ), ( , )z f x u v y u v= tem derivadas de 
primeira ordem no ponto ( ),u v dadas por:
 
z z x z y
u x u y u
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
(7)
e
 
z z x z y
v x v y v
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
(8)
Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 105
Exemplos:
 2) Dada a função ( , )z f x y= e ( , )x x u v= , ( , )y y u v= , de-
termine 
z
u
∂
∂ e 
z
v
∂
∂
a) , 2 ,
xy uz e x u v y
v
= = + =
b) ( )2 2 2tan ; ,uz x y x x y u vv= − = =
c) 
23 2 ; ln , lnz x y x u v u y u v v= − = + = −
d) 
22cos( )sin( ) ,z x y x u y u v= = = +
106 Cálculo III
Resoluções:
a) 
( )
2
2
, 2 ,
;
12
1
12 2
2 2
xy
xy
xy xy
x
uv
y
y
u
v
x
uz e x u v y
v
z z x z y z z x z y
u x u y u v x v y v
z ye
x
z xe
y
x y
u u v
x y u
v v v
z z x z y z xye xe e y
u x u y u u v v
u ue
v
 
+   
= = + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
=∂ ∂ =
∂
∂ ∂
= =∂ ∂ ∂ ∂
= = − ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  
∴ = + ⇔ = ⋅ + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  
+
= +
( ) ( )
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
4 4
1
2 2
x
u uv u
y x
uv
v v
u uvuu v
y x
v
y
v
v u v z u ve e
v v u v
z z x z y z u xuye xe e y
v x v y v v v v
u v uu uv u uve e
v v v
   + +         
 +   +       
+ ∂ +     
= ⇒ =     ∂     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
∴ = + ⇔ = ⋅ + − = −   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
+   − −
= − =     
=
2 2
22 2 2
2 2
2 2
u uv u uv
v vu z ue e
v v v
   + +            − ∂ −⇒ =   ∂   
b) Videoexemplo
Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 107
c) 
23 2 ; ln , ln
;
3
2
1 2
ln ln 1
3 1 2 2
3 3 3 34
z x y x u v u y u v v
z z x z y z z x z y
u x u y u v x v y v
z
x
z
y
x v y u
u u u
x yu v
v v
z z x z y z v u
u x u y u u u
u v uu
u
= − = + = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
= ∂∂ = −
∂
∂ ∂
= + =∂ ∂ ∂ ∂
= = − − ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  
∴ = + ⇔ = ⋅ + − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  
+ + 
= − =  
( ) ( )
( )
( )
2 2
3 2 3 2
3 2
4 3 3 4
3 ln 2 ln 1
3ln 2ln 2 ln ln 2 ln 2
ln 2
v u z u v u
u u u
z z x z y z u v
v x v y v v
u v u v u v
z u v
v
− ∂ + −
⇒ =
∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∴ = + ⇔ = ⋅ − ⋅ − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + = + + = +
∂
⇒ = +
∂
d) Videoexemplo
108 Cálculo III
4 Taxas relacionadas em duas direções
Umas das mais importantes aplicações da regra da cadeia é a 
determinação de taxas que se relacionam em duas direções. A 
seguir, teremos alguns exemplos que contemplam tal aspecto.
Exemplos:
 3) Resolva os problemas abaixo:
a) A que taxa está variando a área de um retângulo se 
seu comprimento é de 8 metros e está crescendo a 3 
m/s, enquanto que sua largura é de 6 metros e está 
crescendo a 2 m/s?
b) Dois lados de triângulo têm comprimento a=5 cm e 
b= 10 cm e o ângulo entre eles é π/3. Se a estiver 
crescendo a uma taxa de 2 cm/s, e b estiver crescen-
do a uma taxa de 1 cm/s e θ mantendo-se constante, 
a que taxa está crescendo ou decrescendo o terceiro 
lado?
Resoluções:
a) A que taxa está variando a área de um retângulo se 
seu comprimento é de 8 metros e está crescendo a 3 
m/s, enquanto que sua largura é de 6 metros e está 
crescendo a 2 m/s?
Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 109
8, 6
8, 6
3
3 2 3 6 2 8 34
m3
m
s
s
2
4
x y
x y
dA A dx A dyA xy
dt x dt y dt
A dxy
dA dAx dt y xA dy dt dtx
y dt
dA
dt
= =
= =
∂ ∂
= ⇒ = +
∂ ∂
∂
= = ∂
⇒ = + ⇒ = ⋅ + ⋅ =∂ = =
∂
⇒ =
b) Videoexemplo
Recapitulando
Neste capítulo, vimos a extensão da definição de diferencia-
bilidade de funções de uma variável para funções de duas 
variáveis. Obtemos regras equivalentes à regra da cadeia para 
funções de duas variáveis através de dois teoremas fundamen-
tais. Por fim, aplicamos essa nova relação para o estudo de 
problemas de variação bidimensional.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
______. Cálculo, um novo horizonte. v.2, 6.ed. Porto Ale-
gre: Bookman, 2000.
110 Cálculo III
STEWART, J. Cálculo. V.1. São Paulo: Thomson, 2002.
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
http://phet.colorado.edu/pt_ BR/
Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx
Atividades
 1) Dada a função ( , )z f x y= e ( )x t , ( )y t , determine dz
dt
:
a) ( ) 22 3ln 2 ; ,z x y x t y t= + = =
b) 
13cos( ) sin( ); , 3z x xy x y t
t
= − = =
c) 41 2 ; ln( ),z x xy x t y t= + − = =
d) 
1
1 33; ,xyz e x t y t−= = =
e) ( )2cos ; ,
2
ttz xy x y e= = =
 2) Dada a função ( , )z f x y= e ( , )x x u v= , ( , )y y u v= , de-
termine 
z
u
∂
∂
 e 
z
v
∂
∂
a) 28 2 3 ; ,z x y x y x uv y u v= − + = = −
b) ; 2cos( ), 3sin( )
xz x u y v
y
= = =
Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 111
c) 
2 1; ,x yz e x uv y
v
= = =
d) 2 3; cos( ), sin( )z x y xy x u v y u v= − = =
e) 2 2 3; , 4
xz x u v y uv
y
= = − =
 3) Dois lados de triangulo têm comprimentos a=4 cm e b=3 
cm, mas estão crescendo a uma taxa de 1 cm/s. Se a área 
do triângulo permanece constante, a que taxa está varian-
do o ângulo θ entre a e b quando θ=π/6
 4) Suponhamos que as dimensões de uma caixa retangular 
variam de 9 cm, 6 cm e 4 cm, para 9,02 cm, 5,97 cm e 
4,01 cm, respectivamente. Usando diferenciais, podemos 
dizer que uma aproximação da variação do volume desta 
caixa é:
a) 0,06 cm³ d) 2,10 cm³ 
b) – 0,06 cm³ e) 1,80 cm³
c) – 2,10 cm³ 
 5) Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e 
uma força eletromotriz V. Em certo instante, V é 80 volts 
e aumenta à taxa de 5 volts/min, enquanto R é 40 ohms 
e decresce à razão de 2 ohms/min. Usando a lei de Ohm, 
R
VI = , e a regra da cadeia, a taxa de variação à qual a 
corrente I (em ampères) varia é:
a) – 0,225 ampères/min d) 0,025 ampères/min 
112 Cálculo III
b) – 0,025 ampères/min e) 0,125 ampères/min
c) 0,225 ampères/min
 6) A altura de um cone circular reto é 15 cm e está aumen-
tando a 0,2 cm/min. O raio da base é 10 cm e está de-
crescendo a 0,3 cm/min. Com que rapidez o volume está 
variando?
 7) O comprimento, a largura e a altura de uma caixa retan-
gular crescem a uma taxa de 1 pol/s, 2 pol/s e 3 pol/s, res-
pectivamente. A que taxa o volume está crescendo quando 
o comprimento é 2 pol, a largura 3 pol e a altura 6 pol?
 8) As dimensões de um bloco de madeira retangular foram 
medidas como 10 cm, 12 cm e 20 cm, com um possível 
erro de 0,05 cm em cada uma das medições. Usando di-
ferencial, calcule o erro aproximado na área superficial do 
bloco.
 9) A potência consumida numa residência elétrica é dada por 
P = E²/R (em watts). Se E = 200 volts e R = 8 ohms, em 
quanto a potência vai variar se E é decrescida de 5 volts e 
R é decrescida de 0,2 ohm?
Gabarito
 1) 
a) 
Capítulo 6 Regra da Cadeia e suas Aplicações 113
b) 
c) 
d) 
e) 
 2) 
a) 2 2 3 3 2 224 16 2 3, 16 24 2 3u v uv v u v u v u− − + − − −
b) 3
sin 2cos cos,
3sin 3sin
u u v
v v
− −
c) , 0ue
d) 
2 2 3 3
3 2 4 4 3 3 4 2 2
3 sin cos 4 sin cos ,
2 sin cos sin cos 3 sin cos
u v v u v v
u v v u u v u v v
−
− + + −
e) 
2 2 2 2
2 3 4
3,
4 4
u v v u
u v uv
+ −
 
3) r s7 3
36
ad/−
 4) b
 5) c
114 Cálculo III
 6) 
 7) 60 pol³/s
 8) 8,4 cm²
 9) 125 watts
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 7
Máximos e Mínimos 
de Funções de duas 
Variáveis
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
116 Cálculo III
Introdução
Neste capítulo, estenderemos a ideia fundamental de obtermos 
pontos críticos para funções de duas variáveis. Tais conceitos 
já haviam sido desenvolvidos para funções de uma variável e 
desempenhavam um papel central nas aplicações do cálculo 
diferencial e integral, tendo em vista a grande quantidade de 
problemas e a vastidão de suas aplicações na ciência, enge-
nharia,economia e outras áreas. Para tal, começaremos de-
finindo máximo e mínimo local de funções de duas variáveis.
1 Máximos e mínimos locais de funções 
de duas variáveis
 Â Máximo Local e Absoluto: uma função de duas variáveis 
( , )f x y possui um máximo local ou relativo em um pon-
to ( )0 0,x y se ao definirmos um círculo com centro em 
( )0 0,x y todos os pontos dentro desse círculo satisfazem 
a condição ( ) ( )0 0, ,f x y f x y≥ . Um máximo global ou 
absoluto estende o círculo de modo a cobrir todo o es-
paço bidimensional que definem o domínio de f .
 Â Mínimo Local e Absoluto: uma função de duas variáveis 
( , )f x y , possui um mínimo local ou relativo em um pon-
to ( )0 0,x y se ao definirmos um círculo com centro em 
( )0 0,x y todos os pontos dentro desse círculo satisfazem 
a condição ( ) ( )0 0, ,f x y f x y≤ . Um mínimo global ou 
absoluto estende o círculo de modo a cobrir todo o es-
paço bidimensional que definem o domínio de f .
Capítulo 7 Máximos e Mínimos de Funções de duas Variáveis 117
2 Extremo relativo
Tendo em vista a construção de máximos e mínimos relativos 
de funções de uma variável, onde a derivada se anula em tais 
pontos, implicando em retas tangentes horizontais no ponto 
estudado, parece razoável supor que máximos ou mínimos re-
lativos em um ponto ( )0 0,x y aparecerão quando as derivadas 
parciais naquele ponto forem nulas, implicando em planos 
tangentes horizontais avaliados em ( )0 0,x y .
Dests maneira ,podemos enunciar o seguinte teorema:
Teorema: se f possuir um extremo relativo (máximo ou mí-
nimo relativo) em ( )0 0,x y e suas derivadas de primeira ordem 
existirem neste ponto, então
 ( )0 0, 0x xf y = (1)
e
 ( )0 0, 0y xf y = (2)
3 Pontos críticos e teste da segunda 
derivada
Novamente estendendo a definição feita para funções de uma 
variável, um ponto crítico de uma função de duas variáveis é 
aquele onde as derivadas parciais de primeira ordem se anu-
118 Cálculo III
lam, ou a função não é diferenciável naquele ponto implican-
do que uma ou outra derivada parcial não exista no ponto 
supracitado.
Tal definição indica um método para a obtenção de pontos 
críticos, mas não demonstra como se pode avaliar se estamos 
diante de um ponto de máximo ou mínimo relativo. Para fazer 
a devida classificação devemos fazer o teste da segunda de-
rivada. A classificação pode ser em mínimo relativo, máximo 
relativo ou ponto de sela.
Teorema: seja f uma função de duas variáveis tal que 
suas segundas derivadas são contínuas em um círculo centra-
do em ( )0 0,x y , ponto crítico de f , e seja D o determinante 
expresso por
 
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
, ,
, ,
xx xy
x yy y
f x y f x y
D
f x y f x y
=
 
(3)
Então, temos quatro possibilidades:
 Â Se 0D > e ( )0 0, 0xxf x y > então ( )0 0,x y é um mínimo 
relativos de f .
 Â Se 0D > e ( )0 0, 0xxf x y < então ( )0 0,x y é um máximo 
relativos de f .
 Â Se 0D < então ( )0 0,x y é um ponto de sela de f .
 Â Se 0D = nada pode ser afirmado.
Capítulo 7 Máximos e Mínimos de Funções de duas Variáveis 119
4 Algoritmo de determinação de pontos 
críticos de uma função de duas variáveis
A seguir, enumeramos uma sequência de passos para a deter-
minação de pontos críticos de uma função de duas variáveis:
 1) Calcule ( ),xf x y e ( ),yf x y .
 2) Faça ( ), 0xf x y = e ( ), 0yf x y = .
 3) Observe que (2) leva a um sistema de duas incógnitas para 
x e y ; resolva o sistema obtendo os pontos críticos de f .
 4) Calcule ( )0 0,xxf x y , ( )0 0,yyf x y e ( )0 0,xyf x y onde ( )0 0,x y
representa um ponto crítico de f .
 5) Repita (4) para todos os pontos obtidos em (2).
 6) Monte o determinante
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
, ,
, ,
xx xy
x yy y
f x y f x y
D
f x y f x y
=
 7) Classifique os pontos conforme:
 Â Se 0D > e ( )0 0, 0xxf x y > então ( )0 0,x y é um mínimo 
relativos de f .
 Â Se 0D > e ( )0 0, 0xxf x y < então ( )0 0,x y é um máximo 
relativos de f .
 Â Se 0D < então ( )0 0,x y é um ponto de sela de f .
 Â Se 0D = nada pode ser afirmado.
120 Cálculo III
Exemplos:
 1) Localize todos os pontos críticos e pontos de sela das fun-
ções abaixo:
a) 
2 2( , ) 3 2 8f x y x xy y y= − + −
b) 
4 4( , ) 4f x y xy x y= − −
c) 
2( , ) 2 2 1f x y x xy y x= + − − +
d) 
2 4( , )f x y xy
x y
= + +
e) 
2( , ) yf x y x y e= + −
Resoluções:
a) 
( )
( )
( )
2 2
2,6
( , ) 3 2 8
6 2 0 6 2 0
2 2 8 0 2 2 8 0
6 2 06 2 0 6 2 0
4 24 6
2 2 8 32 2 8 0 6 6
Mas 6 2 3 3 6 2
Ponto Crítico: :
2
6 6
2,6
4
x x
xx x
y
x
y
yy
f x y x xy y y
f x y f x y
f x y f x y
x yx y x y
y y
x yx y x y
x y x y x
f f
x
P
f
= ⇔ = ⇒ = ⇒ =
= − + −
= − ∴ = ⇒ − =
= − + − ∴ = ⇒ − + − =
− =− = − = 
⇔ ⇒ ⇒ = ⇒ =  
− + = ×− + − = − + = 
= ∴ =
= ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
2,6
0 0 0 0
2,6
2,6
e : 2,6 é ponto de mínimo re
, , 6 2
2 2 8
, , 2 2
2 2
8 0 6 0 lativo
yy
y
xx xy
xy
xy
y
xy yx
xx
f x y f x y
f D
f x y f x y
f f
P
f
D f

−
∴ = ⇒ = = =
− = = − ∴ ⇒ −
= > = > ⇒
b) Videoexemplo
Capítulo 7 Máximos e Mínimos de Funções de duas Variáveis 121
c) 
{
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2, 2
0 0 0 0
2, 2
0 0 0 0
2, 2
( , ) 2 2 1
2 2 0 2 2 0
Ponto Crítico: : 2
2 0 2 0
2 2
2
2
2 2
, , 2 1
0 0 1
, , 1 0
, 2
1 1
x x
xx
y y
yy yy
yy
xy yx
xx
xx xy
xy
xy
f x y x xy y x
f x y f x y
f x f x
x y
y
x
f f
f x y f x y
f f D
f x y f x y
D
P
f f f
−
−
−
= + − − +
= + − ∴ = ⇒ + − =
= − ∴ = ⇒ − =
+ =
⇒ = −
=

= ∴ =
= ∴ = ⇒ = = = − = = ∴ ⇒
⇒ −
= − ( ) ( )2, 1e : 2, 2 é ponto de s1 0 2 la0 exx Pf − −< = > ⇒
{
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2, 2
0 0 0 0
2, 2
0 0 0 0
2, 2
( , ) 2 2 1
2 2 0 2 2 0
Ponto Crítico: : 2
2 0 2 0
2 2
2
2
2 2
, , 2 1
0 0 1
, , 1 0
, 2
1 1
x x
xx
y y
yy yy
yy
xy yx
xx
xx xy
xy
xy
f x y x xy y x
f x y f x y
f x f x
x y
y
x
f f
f x y f x y
f f D
f x y f x y
D
P
f f f
−
−
−
= + − − +
= + − ∴ = ⇒ + − =
= − ∴ = ⇒ − =
+ =
⇒ = −
=

= ∴ =
= ∴ = ⇒ = = = − = = ∴ ⇒
⇒ −
= − ( ) ( )2, 1e : 2, 2 é ponto de s1 0 2 la0 exx Pf − −< = > ⇒
d) Videoexemplo
e) 
{
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
0,0
0 0 0 0
0,0
0 0 0 0
0,0
0,0
( , )
2 0 2 0
1 0 1 0
0
0
1
2 2
, , 2 0
1 2
, , 0 1
0 0
2 0 2 0
Ponto Crítico: : 0,0
e
y
x x
y y
y
xx xx
xx xyy
xy
x
y y
yy yy
yy
xy y
xx
yx
f x y x y e
f x f x
f e f e
x
y
e
f f
f x y f x y
f e f D
f x y f x y
f f f
D f
P
= + −
= ∴ = ⇒ =
= − ∴ = ⇒ − =
=
⇒ =
=

= ∴ =
= − ∴ = − ⇒ = = = −
− = = ∴ ⇒
= − < = >
⇒
⇒ ( ): 0,0 é ponto de máximo relativoP
{
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
0,0
0 0 0 0
0,0
0 0 0 0
0,0
0,0
( , )
2 0 2 0
1 0 1 0
0
0
1
2 2
, , 2 0
1 2
, , 0 1
0 0
2 0 2 0
Ponto Crítico: : 0,0
e
y
x x
y y
y
xx xx
xx xyy
xy
x
y y
yy yy
yy
xy y
xx
yx
f x y x y e
f x f x
f e f e
x
y
e
f f
f x y f x y
f e f D
f x y f x y
f f f
D f
P
= + −
= ∴ = ⇒ =
= − ∴ = ⇒ − =
=
⇒ =
=

= ∴ =
= − ∴ = − ⇒ = = = −
− = = ∴ ⇒
= − < = >
⇒
⇒ ( ): 0,0 é ponto de máximo relativoP sela
 2) Resolva os problemas abaixo:
a) Ache três números positivos cuja somaé 36, de modo 
que o produto seja máximo.
b) Determine as dimensões de uma caixa retangular 
aberta no topo com um volume de 64 m3, e que re-
quer uma quantidade mínima de material para a sua 
confecção.
122 Cálculo III
Resoluções:
a) Ache três números positivos cuja soma é 36, de modo 
que o produto seja máximo.
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
2
2
36
36 36 36
( , ) 36
36 2 0 36 2 0
36 2 0 36 2 0
36 2 0
36 2 0
0
36 2 0 36 2 0
36 2 0 2
e
3
y
x
y
x
x y z x y z P
x y z z x y x y x y P
P x y xy x y xy
P y xy y P y xy y
P x x xy P x x xy
x x xy
y xy y
x
x x xy x x y
x y x y
+ + = ⋅ ⋅ =
+ + = ⇒ = − − ⇒ ⋅ ⋅ − − =
∴ = − −
= − − ∴ = ⇒ − − =
= − − ∴ = ⇒ − − =
 − − =
− − =
=
− − = ⇒ − − = ⇒
− − = ⇒ + =
( )
{
( ) ( )
( )
( )
( )
2
1 1
0,0
1 0,0
0,0
6
0
36 2 0 36 2 0
36 2 0 2 36
2 36 2 4 72
3 36 1
Pontos Críticos: : 0,0 e : 12
2 12
2 36 2 36
2 0
: 2 0
36 6
1
3
,
2 2
2
yy yy
xy y
xx xx
yx x
P P
y
y xy y y x y
x y x y
x y x y
y y x
x y x y
P y f
P P x f
P P x y P
 
⇒ ⇒ 

=
− − = ⇒ − − = ⇒ 
− − = ⇒ + =
+ = − − = −
− = − ⇒ = ⇒ =
+ = + =
= − ∴ =
= − ∴ =
= =

− − ∴ ⇒

⇒
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
0,0
12,12
0 0 0 0
12,12
0
12,12
2
, , 0 36
1296
, , 36 0
1296 0 0
2 24
, ,
: 2 24
,
36 2 2
e : 0,0 é ponto de 
1
sela
2
xx xy
xy
xx
xx
yy
yy yy
xy
xx
xx x
y
y
xy
xyx
P x y P x y
D
P x y P x y
D P
P y f
P x y P x y
P P x f D
P x y
P P x
P
y P

⇒ = = = −
= − < = ⇒

= − ∴ = −
= − ∴ = − ⇒ = = = − − ∴ ⇒ −
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
12,12
e : 12,12 é ponto de máximo r
24 12
432
, 12 24
432 0 0
36 12 : (12,1
elat
2,
ivo
s 12)Ma
yy
xx
P x y
D P P
z x y z P
− −
= =
− −
= > < ⇒
= − − ⇒ = ⇒
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
2
2
36
36 36 36
( , ) 36
36 2 0 36 2 0
36 2 0 36 2 0
36 2 0
36 2 0
0
36 2 0 36 2 0
36 2 0 2
e
3
y
x
y
x
x y z x y z P
x y z z x y x y x y P
P x y xy x y xy
P y xy y P y xy y
P x x xy P x x xy
x x xy
y xy y
x
x x xy x x y
x y x y
+ + = ⋅ ⋅ =
+ + = ⇒ = − − ⇒ ⋅ ⋅ − − =
∴ = − −
= − − ∴ = ⇒ − − =
= − − ∴ = ⇒ − − =
 − − =
− − =
=
− − = ⇒ − − = ⇒
− − = ⇒ + =
( )
{
( ) ( )
( )
( )
( )
2
1 1
0,0
1 0,0
0,0
6
0
36 2 0 36 2 0
36 2 0 2 36
2 36 2 4 72
3 36 1
Pontos Críticos: : 0,0 e : 12
2 12
2 36 2 36
2 0
: 2 0
36 6
1
3
,
2 2
2
yy yy
xy y
xx xx
yx x
P P
y
y xy y y x y
x y x y
x y x y
y y x
x y x y
P y f
P P x f
P P x y P
 
⇒ ⇒ 

=
− − = ⇒ − − = ⇒ 
− − = ⇒ + =
+ = − − = −
− = − ⇒ = ⇒ =
+ = + =
= − ∴ =
= − ∴ =
= =

− − ∴ ⇒

⇒
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
0,0
12,12
0 0 0 0
12,12
0
12,12
2
, , 0 36
1296
, , 36 0
1296 0 0
2 24
, ,
: 2 24
,
36 2 2
e : 0,0 é ponto de 
1
sela
2
xx xy
xy
xx
xx
yy
yy yy
xy
xx
xx x
y
y
xy
xyx
P x y P x y
D
P x y P x y
D P
P y f
P x y P x y
P P x f D
P x y
P P x
P
y P

⇒ = = = −
= − < = ⇒

= − ∴ = −
= − ∴ = − ⇒ = = = − − ∴ ⇒ −
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
12,12
e : 12,12 é ponto de máximo r
24 12
432
, 12 24
432 0 0
36 12 : (12,1
elat
2,
ivo
s 12)Ma
yy
xx
P x y
D P P
z x y z P
− −
= =
− −
= > < ⇒
= − − ⇒ = ⇒
2
b) Videoexemplo
Capítulo 7 Máximos e Mínimos de Funções de duas Variáveis 123
Recapitulando
Neste capítulo, estudamos como obter pontos críticos de uma 
função de duas variáveis através das primeiras derivadas par-
ciais da função, e subsequente identidade zero. Vimos como 
classificar esses pontos em máximos relativos, mínimos relati-
vos e pontos de sela. Por fim, aplicamos essa nova técnica na 
resolução de problemas sobre pontos críticos com funções de 
duas variáveis.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
______. Cálculo, um novo horizonte. v.2. 6.ed. Porto Ale-
gre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v. I. São Paulo: Thomson, 2002.
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
http://phet.colorado.edu/pt_ BR/
Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx
Atividades
 1) Localize todos os pontos críticos e pontos de sela das fun-
ções abaixo:
124 Cálculo III
a) 2( , ) 3 2 3f x y y xy y x= + + + +
b) 2 2( , ) 3f x y x xy y x= + + −
c) 2 2
2( , )f x y x y
xy
= + +
d) ( )( , ) sinxf x y e y=
e) 4 4( , ) 4f x y xy x y= − −
f) 2 2( , ) 4 2 1f x y x x y y= − − − + −
g) 2 2( , ) 2f x y x x y= − −
h) 2 2( , ) 4 2f x y x y x y= + − +
i) 3 3( , ) 3f x y x xy y= + −
j) ( )( , ) cosxf x y e y=
 2) Ache três números positivos cuja soma é 24 de modo que 
o produto seja máximo.
 3) Determine as dimensões de uma caixa retangular aberta 
no topo, com um volume de 32 m3 e que requer uma 
quantidade mínima de material para a sua confecção.
 4) Um tanque retangular deve ter 3 m³ de capacidade. O 
custo do material das faces laterais é de R$ 20,00 o metro 
quadrado, do fundo é de R$ 30,00 o metro quadrado e a 
Capítulo 7 Máximos e Mínimos de Funções de duas Variáveis 125
tampa sozinha custa R$ 40,00. Calcule as dimensões mais 
econômicas para este tanque.
 5) (ENADE-2005) Considere em R³ uma bola de centro na 
origem e raio 4. Em cada ponto ),,( zyx dessa bola, a 
temperatura T é uma função do ponto, expressa por 
 Nessa situação, partindo-se de 
um ponto ),,( 000 zyx da fronteira da bola e caminhando-
-se em linha reta na direção do ponto ),,( 000 zyx −−− , ob-
serva-se que a temperatura:
a) Será máxima nos pontos da fronteira da bola.
b) Estará sempre aumentando durante todo o percurso.
c) Estará sempre diminuindo durante todo o percurso.
d) Atingirá o seu maior valor no centro da bola.
e) Assumirá o seu maior valor em 4 pontos distintos.
Gabarito
 1) 
a) Ponto de sela ( )1, 2P − ;
b) Ponto de mínimo ( )2, 1P − ;
c) Ponto de mínimo ( )1, 1P − − ; Ponto de mínimo ( )1,1P
d) Não existem pontos críticos.
126 Cálculo III
e) Ponto de sela ( )0,0P ; Ponto de máximo ( )1, 1P − − ; 
Ponto de máximo ( )1,1P
f) Ponto de máximo ( )2,1P −
g) Ponto de máximo ( )1,0P
h) Ponto de mínimo 
1 1,
2 4
P  −  
i) Ponto de sela ( )0,0P ; Ponto de mínimo ( )1, 1P −
j) Não existem pontos críticos.
 2) x=y=z=8.
 3) x=y=4, z=2
 4) 1,587 m X 1,587 m X 1,191 m
 5) d
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 8
Gradiente e Derivada 
Direcional
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
128 Cálculo III
Introdução
As derivadas parciais de primeira ordem de uma função 
( , )f x y definem as taxas de variação de f nas direções pa-
ralelas aos eixos x e . Neste capítulo, estudaremos objetos 
mais gerais que as derivadas parciais que resultarão em taxas 
de variação de ( , )f x y em qualquer direção arbitrária. Tais 
quantidades são chamadas Derivadas Direcionais.
1 Derivada direcional com respeito a uma 
direção arbitrária
A derivada direcional de uma função de duas variáveis ( , )f x y 
será um caso geral das definições de primeiras derivadas de f .
Admita um vetor definido no espaço bidimensional
 12
ˆ ˆV v i v j= +

 (1)
onde 1v e 2v representam as componentes do vetor nas dire-
ções x e y , respectivamente.
Existem uma infinidade de vetores que possuem a mesma 
direção de V

 e tal direção pode ser obtida por um objeto de-
nominado versor
 
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
V
v i v j v vi j
V V V
µ == ++   
 
(2)
Capítulo 8 Gradiente e Derivada Direcional 129
onde V

 representa o módulo do vetor V

 e obtido por 
2 2
1 2vV v= +

.
O versor indica informação apenas da direção de V

e, por 
isso, seu módulo é a unidade, ou seja, é um vetor unitário. 
Desta maneira, podemos escrever
 1 2
ˆ ˆu u i u j= + (3)
fazendo as atribuições 11 ˆ
vu i
V
=  e 22u
v
V
=  .
A questão a ser respondida aqui é qual a taxa de variação 
de uma função de duas variáveis ( , )f x y na direção do vetor 
V

 e representado por 1 2ˆ ˆu u i u j= +
 ?
Estamos em posição de definirmos a derivada direcional 
( , )f x y de na direção de 1 2ˆ ˆu u i u j= +
 :
Se f for uma função diferenciável de x e y e se u for um 
vetor unitário, então a derivada direcional de f na direção de 
u será
 ( ) ( )1 2, ,u x yf f x y u f x uD y= + (4)
ou
 ( ) ( ) ( ) ( ), cos , sinu x yf fD x y f x yφ φ= + (5)
onde é o φ ângulo formado entre o vetor u e a direção x .
Observe que fazendo ˆ 0u i φ= ⇒ = e temos
130 Cálculo III
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), cos , sin 0 ,0xx y xf f x y f x y f yD x= + = (6)
e fazendo ˆ
2
u j piφ= ⇒ = que implica
 
( ) ( ) ( ), cos , sin ,
2 2y x y y
f f x y f x y yD f xpi pi   = + =       (7)
Em outras palavras as derivas parciais de primeira ordem 
são casos particulares da derivada direcional quando impo-
mos direções paralelas aos eixos x e y .
Exemplos:
 1) Determine as derivadas direcionais de ( , )f x y na direção 
do vetor a e no ponto P solicitado:
a) ( )2 ˆ ˆ3 4 ; : 1,( , ) 3 ; 2f x y ix a jy P= += 
b) ( )2 ˆ ˆ2 ; : 2) ,, 3 0( ; a i jf x y x xy P= − = + −
c) ( ) ˆ( , ) cos ˆ5 2 ; : ,; 0
4
x a if x y e jy P pi = −  = 

d) ( )ˆ ˆ5 2 ;( , 0 0) ; : ,y xf x y xe y a i j Pe− −= =
Capítulo 8 Gradiente e Derivada Direcional 131
Resoluções: 
132 Cálculo III
2 O gradiente
A definição de derivada direcional desenvolvida e expressa 
pela equação (4) motiva uma outra construção em termos do 
produto escalar entre dois vetores, a saber
 
(8)
O segundo vetor do produto escalar (8) é nosso vetor uni-
tário e o primeiro vetor é definido como o gradiente da função 
( , )f x y e denotado por
 ( ) ( )ˆ ˆ.( , ) , ,x yf x y f x y f jxi y+∇ = (9)
Dessa maneira, a derivada direcional pode ser expressa 
por
 (10)
 1) Determine o gradiente de ( , )f x y das funções abaixo:
a) 2( , ) 3f x y x y=
b) 2( , ) 3f x y x xy= −
c) ( )( , ) cosxf x y e y=
d) ( , ) y xf x y xe ye= −
Capítulo 8 Gradiente e Derivada Direcional 133
Resoluções: 
a) 
( ) ( )
2
2
2
( , ) 3
( , ) , ,
6
( ,
ˆ ˆ
ˆ6
3
ˆ) 3
x
x
y
y
f x y x y
f x y f x y f x y
xy
f x y xy x
f x
i j
f
i j
=
∇ =
=
⇒ ∇ =
=
+
+
b) Videoexemplo
c) 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( , ) cos
( , ) , ,
cos
( , ) c
ˆ ˆ
os sinˆ ˆ
sin
x
x
x
x x x
x
y
y
f x y e y
f x y f x y f x y
e y
f x y e y e y
f e
j
y
i
f
i j
=
∇ =
 =
⇒ ∇ = −
+

= −
d) Videoexemplo
3 Propriedades do gradiente
O gradiente de ( , )f x y não é meramente uma ferramenta 
operacional para o cálculo da derivada direcional, mas um 
objeto matemático capaz de dar informações sobre as dire-
ções de maior crescimento de f . Abaixo, listamos algumas 
propriedades do gradiente:
 Â Se ( , ) 0f x y∇ =

 então todas as derivadas direcionais se-
rão nulas.
134 Cálculo III
 Â Se ( , ) 0f x y∇ ≠

 então dentre todas as derivadas direcio-
nais de f a derivada na direção e sentido de ( , )f x y∇ 
possui o maior valor e é dada por
 ( , )uD f f x y= ∇ (11)
 Â Se ( , ) 0f x y∇ ≠

 então dentre todas as derivadas direcio-
nais de f a derivada na direção e com sentido contrá-
rio de ( , )f x y∇ possui o menor valor e é dada por
 ( , )uD f f x y= − ∇ (12)
 Â Se f for diferenciável em ( )0 0,x y e se ( , ) 0f x y∇ ≠  , 
então 0 0( , )f x y∇ é normal à curva de nível de f que 
passa pelo ponto ( )0 0,x y .
 1) Determine o vetor unitário na direção na f cresce mais 
rapidamente no ponto P e obtenha a taxa de variação de 
f em P nesta direção:
a) ( )2( , ) ; : 2,0yf x y x e P= −
b) ( )( , ) 3 ln( ); : 2, 4f x y x y P= −
c) ( )( , ) ; : 0, 2xf x y P
x y
=
+
Capítulo 8 Gradiente e Derivada Direcional 135
Resoluções:
a) 
136 Cálculo III
 2) Determine o vetor unitário na direção em que f decresce 
mais rapidamente no ponto P e obtenha a taxa de varia-
ção de f em P nesta direção:
a) ( )2( , ) ; : 2,0yf x y x e P= −
b) ( )( , ) ; : 2,3xyf x y e P=
c) ( )( , ) ; : 3,1x yf x y P
x y
−
=
+
Capítulo 8 Gradiente e Derivada Direcional 137
Resoluções: 
a) 
b) Videoexemplo
138 Cálculo III
c) 
 3) Esboce a curva de nível de f que passa pelo ponto P e 
represente graficamente o vetor gradiente em P :
Capítulo 8 Gradiente e Derivada Direcional 139
a) ( )2 2( , ) ; : 3, 4f x y x y P= +
b) ( )2( , ) ; : 2, 2yf x y Px= −
c) ( )2 2( , ) ; : 2, 1f x y x y P= − −
Resoluções:
a) 
( )
( ) ( )
2 2
2 2
( , ) ; : 3, 4
( , ) , ,
2
( , ) 2 (3,4
ˆ ˆ
ˆ ) 6ˆ ˆ ˆ2 8
2
ˆ ˆ(3,4) 6
2
8
5
x
x
y
yi j
f
i y j
f x y x y P
f x y f x y f x y
x
f x y x f
f
i j
i
y
jf
x y
= +
∇ =
=
⇒ ∇ = ∇ =
=
∇ =
+
+
+ ⇒
=
+
+
b) Videoexemplo
c) 
jif 24)1,2( +=−∇
 4) Uma partícula que procura o calor está localizada no pon-
to de uma placa de metal, cuja temperatura é 
140 Cálculo III
dada pela função Determine uma 
equação para a trajetória da partícula:
a) Se ela se mover na direção do aumento máximo da 
temperatura;
b) Se ela se mover na direção do decréscimo máximo da 
temperatura.
Resoluções:
a) Se ela se mover na direção do aumento máximo da 
temperatura;
( ) ( ) ( )
{
2 2 ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) cons
( , ) 10 8 2 ; : 2,3 , ( , ) , ,
16 , 4 ( , ) 16 4
( , ), 16 4
4
16
t ( )
e 4
1
,
46
yx
x y
i T j
i j
dx
T x y x y P T x y T x y x y
T x T y f x y x y
f x y k xkdy dx dyv t k v t i j i j i j
dt dt dt dt
dy
dx dy dy ydt
dxdt
yk
y
dt dx x
dt
k
xk yk
xk
+
= ⇒ = + ⇒ + =
=
⇒ = = ⇔ =
=
= − − ∇ =
= − = − ⇒ ∇ = − −
∇ = − −
−
− − ∴
−
1 1
4 4
1
4
1
1 4
4
1
4
3,
com (2) 3
1 1ln ln (2) 3 3 2
4 4 4 2
3
22
3
y
dy dx dy dx y x C y Cx y C
y x y x
xy x
C
y
=
⇒ = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = = ⇒ = ⋅
 
= =  
⇒ =
⇒ ⇒
∫ ∫
b) Videoexemplo
Recapitulando
Neste capítulo, definimos a chamada derivada direcional de 
uma função de duas variáveis. Vimos que tal objeto possibilita 
Capítulo 8 Gradiente e Derivada Direcional 141
determinar a taxa de variação de uma função de duas variá-
veis em qualquer direção arbitrária. Neste contexto, a derivada 
parcial é um caso particular da derivada direcional. Por fim, 
definimos o gradiente de uma função de duas variáveis. Ob-
jeto matemático que aparece naturalmente em cursos de cál-
culo vetorial, o gradiente se mostrou como ferramenta para a 
determinação da direção de maior crescimento de uma função 
de duas variáveis.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
______. Cálculo, um novo horizonte. v.2.6.ed. Porto Ale-
gre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v 1. São Paulo: Thomson, 2002.
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
http://phet.colorado.edu/pt_ BR/
Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx
Atividades
 1) Determine as derivadas direcionais de ( , )f x y na direção 
do vetor a e no ponto P solicitado. Caso o vetor a seja 
unitário, será representado por u :
142 Cálculo III
a) ( ) ( )32( , ) 1 ; : 3 1 1ˆ
2 2
; ˆ,1f x y x u i jy P = += + 
b) ( ) ( )2( , ) ; : 0,0 ; 3 4ˆ ˆln 1 5 5x uf y P i jx y+ = − += +

c) ( )3 2( , ) ; : 2,1 ; ˆ ˆ4 4 3x af i jx y y P == −
d) ( ) ( )2( , ) ln ; : 1 4 ˆ3; ˆ3,f x y y x P a i j= − += 
e) ( ) ˆ ˆarctan( , ) ; : 2, 2 ;y if a
x
P jx y   = − −  = −

 2) Determine o vetor unitário na direção na f cresce mais 
rapidamente no ponto P e obtenha a taxa de variação de 
f em P nesta direção:
a) ( )3 24( , ) ; : 1,1f x y yx P= −
b) ( )2 2( , ) ; : 4, 3f x y x y P= + −
 3) Determine o vetor unitário na direção na f decresce mais 
rapidamente no ponto P e obtenha a taxa de variação de 
f em P nesta direção:
a) ( )2 2( , ) 20 ; : 1, 3f x y x y P= − − − −
b) ( )( , ) cos 3 ; : ,
6 4
f x y x y P pi pi = −   
 4) Esboce a curva de nível de f que passa pelo ponto P e 
represente graficamente o vetor gradiente em P :
Capítulo 8 Gradiente e Derivada Direcional 143
a) ( )( , ) 4 2 3; : 1, 2f x y x y P= − +
b) ( )2 2( , ) 4 ; : 2,0f x y x y P= + −
 5) (ENADE-2003) Considere uma piscina e, em cada ponto 
do água, a pressão hidrostática no ponto. Em cada ponto, 
o gradiente de pressão:
a) É horizontal.
b) É vertical e aponta para cima. 
c) É vertical e aponta par baixo.
d) É inclinado e aponta para cima.
e) É inclinado e aponta para baixo.
Gabarito
 1) 
a) 6 2
b) 
c) 0
d) 8 2−
e) 2
4
144 Cálculo III
 2) 
a) ( )ˆ ˆ3 2 ; 1,1 4 13
13
i ju f−= ∇ − =
b) ( )ˆ ˆ4 3 ; 4, 3 1
5
i ju f−= ∇ − =
 3)
a) ( )ˆ ˆ3 ; 1,3 2 10
10
i ju f− −= − ∇ − = −
b) 
ˆ ˆ3 ; , 5
6 410
i ju f pi pi−  = − ∇ = −  

 4) 
a) 
Capítulo 8 Gradiente e Derivada Direcional 145
b) 
 5)
c) 
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 9
Integrais Duplas e suas 
Aplicações
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
Capítulo 9 Integrais Duplas e suas Aplicações 147
Introdução
Neste capítulo, analogamente ao que foi desenvolvido em 
todo o livro, faremos a extensão do processo de integração 
para funções de duas variáveis. Neste caso, voltamos à defi-
nição principal de integral de Riemann, implicada na soma de 
Riemann, e obteremos um caso mais geral, onde há possibili-
dade de integrarmos funções de duas variáveis.
1 Definição de integral dupla
A integral de Riemann, estudada em disciplinas iniciais de cál-
culo, tem origem na chamada Soma de Riemann que expressa 
uma integral definida da seguinte forma
 1
( ) lim ( *)
b n
n kka
xf x dx f x
→∞
=
= ∆∑∫
 
(1)
Para estender essa ideia para funções de duas variáveis, 
definimos uma região R tal que seja a projeção ortogonal de 
nossa superfície ( , )z f x y= sobre o plano ( , )x y e fazendo a 
devida generalização da equação 1 obtemos
 1
lim ( *, *) .
n
k
kn
f x y A
→∞
=
∆∑
 
(2)
Observe que nesse caso estamos admitindo incrementos 
de área ao invés de incrementos de comprimento como foi 
148 Cálculo III
feito em 1. O limite 2 define o que chamaremos de integral 
dupla. Analogamente, a área sob a curva obtida pela integral 
simples 1 a integral dupla representará o volume abaixo da 
superfície ( , )z f x y= e expresso por
 1
( , ) lim ( *, *) .
n
n k
k
R
f x y dA f x y A
→∞
=
= ∆∑∫∫ (3)
Ou em termos do volume, temos
 
( , )
R
V f x y dA= ∫∫ (3)
A
Y
Z
X
Z = f(x,y)
Figura 1 volume abaixo de uma superfície.
Fonte: Wikipédia, (2014).
A seguir definiremos uma série de propriedades para esse 
novo objeto matemático.
Capítulo 9 Integrais Duplas e suas Aplicações 149
2 Propriedades
Analogamente às propriedades de integração definidas para 
funções de uma variável, temos as seguintes propriedades 
para integrais duplas, que são uma expressão de que a line-
aridade das integrais simples se estendem naturalmente para 
integrais duplas.
 
( ) ( ), ,
R R
c f x y dA c f x y dA=∫∫ ∫∫ (4)
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,
R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA+ = +  ∫∫ ∫∫ ∫∫ (5)
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,
R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA− = −  ∫∫ ∫∫ ∫∫
 
(6)
 
( ) ( ) ( )
1 2
, , ,
R R R
f x y dA f x y dA f x y dA= +∫∫ ∫∫ ∫∫ (7)
Comentários sobre as propriedades:
 Â A equação 4 expressa que a operação de integral dupla 
não opera sobre constantes, e assim podemos retirá-la 
de “dentro da integral”.
 Â As equações 5 e 6 afirmam que a integral de uma soma 
de funções é idêntica à integral de parcela da soma, 
independentemente das demais.
 Â Por fim, a equação 7 implica que temos liberdade, con-
forme a conveniência de dividirmos a região R em sub-
150 Cálculo III
-regiões menores e calcular a integral em cada região. 
No final, somamos todas as contribuições de cada uma 
dessas regiões e obtemos a integral completa.
3 Cálculo de integrais duplas
O cálculo efetivo de integrais duplas vai depender da região R 
ao qual estamos trabalhando. De forma geral, podemos divi-
dir a forma da região R em duas categorias:
 Â Regiões retangulares: nesse caso, por mais que nossa 
superfície ( , )z f x y= seja irregular no interior de R sua 
projeção sobre o plano será um retângulo.
 Â Regiões não retangulares: essas regiões normalmente 
são definidas por funções de x ou y implicando em regi-
ões de qualquer formato.
A seguir, estudaremos cada caso com maior atenção.
4 Cálculo de integrais duplas em regiões 
retangulares
Seja R um retângulo definido pelas desigualdades a x b≤ ≤ e 
c y d≤ ≤ . Se ( , )z f x y= for contínua nesse retângulo, temos
 
( ), ( , ) ( , )
d b b d
R c a a c
f x y dA f x y dx dy f x y dy dx= =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
(1.7)
Capítulo 9 Integrais Duplas e suas Aplicações 151
É importante observar que a ordem dos incrementos está 
associada às desigualdades supracitadas, ou seja, se inver-
temos a ordem das integrais devemos inverter a ordem dos 
infinitésimos.
Outra observação importante é que devemos calcular as 
integrais de “dentro para fora”, ou seja, primeiro calculamos 
a integral mais interna admitindo como variável o infinitésimo 
mais interno e, subsequentemente, calcula-se a segunda inte-
gral. Em outras palavras, calculamos duas integrais simples, 
uma de cada vez.
Exemplos:
 1) Calcule as integrais duplas abaixo:
a) ( )
3 2
0 1
1 8xy dy dx+∫ ∫
b) ( )
2 3
1 0
1 8xy dy dx+∫ ∫
c) ( )
1
2
3 1
1
4x y dy dx
−
−∫ ∫
d) ( )
1
2
0
2
2
2
x y dx dy
− −
+∫ ∫
e) ( )
2 1
0 0
sin( )y x dy dx∫ ∫
152 Cálculo III
f) 
6 7
4 3
dx dy
−
∫ ∫
g) 
( )
2
12
cos( )x xy dy dx
pi
pi
∫ ∫
Resoluções:
a) 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ] ( ) ( )
2
2 2
23 2 3 2 2
0 1 0 1 1 1
2
1
3 2 3
3
0
0 1 0
2
2 2
1 8 1 8 1 8 8
2
4 2 4 2 1 4 1 2 16 1 4 1 12
1 8 1 12 6 3 6 3 0 57
yxy dy dx xy dy dx xy dy y x
y xy x x x x x
xy dy dx x dx x x
 
+ = + ∴ + = +  
= + = + ⋅ − + ⋅ = + − − = +
 
∴ + = + = + = + ⋅ − =  
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
b) Videoexemplo
c) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
3 1 3 1 1
1
22 2 2 2 2 2
2 2 3 3
1
1 1 1 1 1
33 1 3
01 11
4 4 4 2
1 2 1 1 2 1 2 2 2
2 24 2 3 0 18
3 3
x y dy dx x y dy dx x y dy x y y
x x x x x
x y dy dx x dx x
−
− − −
−
 
− = − ∴ − = −  
= ⋅ − ⋅ − − − − = − + + =
    ∴ − = = = − =       
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
3 1 3 1 1
1
22 2 2 2 2 2
2 2 3 3
1
1 1 1 1 1
33 1 3
01 1 1
4 4 4 2
1 2 1 1 2 1 2 2 2
2 24 2 3 0 18
3 3
x y dy dx x y dy dx x y dy x y y
x x x x x
x y dy dx x dx x
−
− − −
−
 
− = − ∴ − = −  
= ⋅ − ⋅ − − − − = − + + =
    ∴ − = = = − =       
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ 523
d) Videoexemplo
Capítulo 9 Integrais Duplas e suas Aplicações 153
e) 
( ) ( ) ( )
( )
12 1 2 1 1
0
2
2 2
0 0 0 0 0
22 1 2
00 0 0
sin( )
2
sin( ) sin( ) sin( )
2 2 2
sin
sin( ) sin( ) sin( )
1 0 1
1 1sin( ) cos( )
2
1 1 1 1cos(2) cos(0
2
)
2 2
(
2
)
yy x dy dx y x
x x
x dy dx y x dy
y x dy d xxx dx
x
 
= ∴ =  
   
= − =      
   
∴ = = −     
   
= − − − = −      
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
cos(2)
2
f) Videoexemplo
g) 
 2) Calcule as integrais duplas na região R definida pelas de-
sigualdades indicadas:
a) { }
2 2
; ( , ) : 0 1, 0 1
1R
xy dA R x y x y
x y
= ≤ ≤ ≤ ≤
+ +
∫∫
b) 
c) 
154 Cálculo III
Resoluções:
a) 
b) Videoexemplo
c) 
{ }
12 1 2 1 1
3 0 3 0 0 0
12 1 2
3 0 3
2
3
2 2
0
2
2 2
; ( , ) : 3 2, 0 1
1
3 3
1 1 1
3 6 6
R
y x dA R x y x y
yy x dy dx y x dy dx y x dy x x
y x dy dx x dx x
− −
− −
= − ≤ ≤ ≤ ≤
 
⇒ = =∴ = =  
     
∴ = = =        
∫∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
5 Integrais duplas em regiões não 
retangulares
Regiões não retangulares são casos gerais das regiões retan-
gulares. Por simplicidade, faremos a classificação de regiões 
não retangulares em duas categorias:
 1) Tipo I: limitada à direita e à esquerda por retas verticais x a= 
e x b= e é limitada abaixo e acima por curvas contínuas 
Capítulo 9 Integrais Duplas e suas Aplicações 155
e expressas em termos da variável x , ou seja, 1 1( )y g x= e 
2 2 ( )y g x= para a x b≤ ≤ e com 21( ) ( )g x g x≤ .
 2) Tipo II: limitada abaixo e acima por retas horizontais y c= 
e y d= e é limitada à direita e à esquerda por curvas 
contínuas e expressas em termos da variável y , ou seja, 
1 1( )x h y= e 2 2 ( )x g y= para c y d≤ ≤ .
Observe que para o caso particular de uma região defini-
da por duas retas horizontais e por duas retas verticais, temos 
uma região retangular.
Tendo em vista cada tipo de região não retangular, pode-
mos definir duas classes de integrais duplas:
Para regiões do tipo I: Para ( , )z f x y= continua, temos
 
( )
2
1
( )
( )
, ( , )
g xb
R a g x
f x y dA f x y dydx=∫∫ ∫ ∫ (8)
Para regiões do tipo II: Para ( , )z f x y= continua, temos
 
( )
2
1
( )
( )
, ( , )
h yd
R c h y
f x y dA f x y dxdy=∫∫ ∫ ∫ (9)
Exemplos:
 3) Calcule as integrais duplas abaixo:
a) ( )
2
2
2
0
x
x
y x dy dx∫ ∫
156 Cálculo III
b) ( )
( )cos
0 0
sin( )
y
x y dx dy
pi∫ ∫
c) ( )22
R
x y dA−∫∫ , na região triangular definida pelas 
retas 1y x= − + , 1y x= + e 3y = .
d) 
3 32
1
y
y
y dx dy
−
∫ ∫
e) 
2
1
1
4
x
x
x dy dx
y∫ ∫
f) 
2
2 1
0
2
x
y
e dx dy∫ ∫
g) ( )
2
2
2
1
1
x
x
x y dy dx
−
−
−∫ ∫
Capítulo 9 Integrais Duplas e suas Aplicações 157
Resoluções:
a) 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2
0 0
2 2 2
0 0 0
2
3
2 2 2
323
4 7
2 4 7 4 7
5
0
8 5 8
3
1 1
3 3 3 3
1 1 1 1
3 3 3 3
1 1 1 1 32 2562 2 0
15 24 15 24 15 24
xx x x
x x x x
x
x
xyy x dy dx y x dy dx y x dy
x xx x x x
y x dy dx x x dx x x dx
x x
 
= ∴ =   
  ⋅  
− = −      
     
⇒ = − ∴ −          
 
= − = − − = −  
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
3072 128
360 15
−
= = −
–1024
120
b) Videoexemplo
c) ( )22
R
x y dA−∫∫ , na região triangular definida pelas 
retas 1y x= − + , 1y x= + e 3y = .
( )
( ) ( ){ }
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
1 1 13 3
1
1
1
2
2 2 2 2
1 1 1
2
2 22
1
2 3
2
2
e
2 , 1, 1, 3
1 1 1 1 1 1 1
( , ) : 1 1 , 1 3
2 2 2
1 1 1 1
2 1
R
y y y
y
y
y y y
x y dA y x y x y
y x x y y x x y y y y
R x y y x y y
x y dx dy x y dx dy x y dx x y x
y y y y y y
y y y y
− − −
−
−
− − −
− = − + = + =
∴ = − + ⇒ = − = + ⇒ = − ⇒ − = − ⇒ =
⇒ = − ≤ ≤ − ≤ ≤
 
⇒ − = − ∴ − = −   
= − − − − − − −
= − + − +
∫∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
3
313 3
2 2 3
2 3 2 3
2 2 3
11
3 4
1 1
1 2
2 2 1 1 2 2 2
2 1 682 2 2
3 2 3
y
y
y y y y
y y y y y y y
x y dx dy y y dy y y
−
−
− − + − +
= − + − − + − = −
   ⇒ − = − = − = −     ∫ ∫ ∫
d) Videoexemplo
158 Cálculo III
e) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2
2 3
2
1 1
1
2
1 1
4 4
3
2
11 1
3 5
2 2
11 1 44 4
2 2 2 2 2 2
4 92 2
5 80
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
x x xdy dx dy dx dy x y dy
y y y
x y xy x x x x
x dy dx x x dx x x
y
−
 
= ∴ =   
= = = − = −
   ⇒ = − = − =      
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ 13
f) Videoexemplo
g) 
6 Cálculo de área com uso de integrais 
duplas
A operação de integral dupla pode ser utilizada como ferra-
menta para a obtenção da área da região R, que trabalhamos 
neste capítulo. Para tal, o que fazemos é usar como superfície 
a função constante ( , ) 1f x y = na integral dupla que define 
um volume qualquer V. Nesse caso, a integral resultante repre-
sentará a área da região R e será dada por
Capítulo 9 Integrais Duplas e suas Aplicações 159
 R
A dA= ∫∫ (9.10)
Exemplos:
 4) Utilize a integral dupla para obter a área entre as curvas 
solicitadas:
a) 
21 ; 2
2
y x y x= =
b) 
2 ; 3 4y x y x= − − =
c) cosh( ); sinh( ); 0, 1y x y x x x= = = =
Resoluções:
a) 
2
2
44 2 4 4
2
1
21 00 0 0
2 2 2 2
2
2 2 3
2
1 1 1; 2 2 2 0 4 0
2 2 2
10, 4 ( , ) : 0 4, 2
2
1 1 162
2 6 3
R
x
x
x
x
y x y x x x x x x x
x x A dA R x y x x y x
A dy dx y dx x x dx x x
= = ⇒ = ⇒ − = ⇒ − =
 
⇒ = = ⇒ = ⇒ = ≤ ≤ ≤ ≤  
  ⇒ = = = − = − =      
∫∫
∫ ∫ ∫ ∫
b) Videoexemplo
c) 
{ }
( ) ( )cosh( )1 1 1cosh( )sinh( )
0 sinh( ) 0 0
1
0
cosh( ); sinh( ); 0, 1
( , ) : 0 1, sinh( ) cosh( )
cosh( ) sinh( )
sinh( ) cosh( ) sinh(1) cosh(1) 1
R
x
x
x
x
y x y x x x
A dA R x y x x y x
A dy dx y dx x x dx
x x
= = = =
⇒ = ⇒ = ≤ ≤ ≤ ≤
⇒ = = = −
= − = − +
∫∫
∫ ∫ ∫ ∫
160 Cálculo III
Recapitulando
Neste capítulo, vimos a definição de uma integral dupla, bem 
como as propriedades que asseguram a linearidade desse 
novo objeto matemático. Vimos o cálculo efetivo de integrais 
duplas em regiões retangulares, bem como em regiões mais 
gerais. Por fim, obtivemos um novo processo para a obtenção 
da intensidade da área definida entre funções contínuas.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
______. Cálculo, um novo horizonte. v.2, 6.ed. Porto Ale-
gre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v 1. São Paulo: Thomson, 2002.
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
http://phet.colorado.edu/pt_ BR/
Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx
Atividades
 1) Calcule as integrais duplas abaixo:
Capítulo9 Integrais Duplas e suas Aplicações 161
a) ( )
2
2
1
0
x
x
x y dy dx∫ ∫
b) 
293
0 0
y
y dx dy
−
∫ ∫
c) ∫ ∫20 ³²xx dydx
d) 
2
02
1 cos
x y dy dx
x x
pi
pi
      ∫ ∫
e) 
2 2
1
0 0
x
y x y dy dx−∫ ∫
 2) Calcule a integral dupla nas regiões limitadas pelas cur-
vas:
a) 2
16; , , 8
R
x dA y y x x
x
= = =∫∫
b) ( ) 122 21 ; , 4, 0
R
x y dA y x y x
−
+ = = =∫∫
c) ( ) 2 23 2 ; 1
R
x y dA x y− + =∫∫
d) ; , 6 , 0
R
xy dA y x y x y= = − =∫∫
162 Cálculo III
e) ( ) 31 ; ,
R
x dA y x y x− = =∫∫
 3) Use a integral dupla para obter a área entre as curvas:
a) sin( ); cos( ); 0
4
y x y x x pi= = ≤ ≤
b) 2 29 ; 9 9y x y x= − = −
Gabarito
 1)
a) 1
35
b) 9
c) 
4
3
d) 1
e) 
1
12
 2)
a) 576
b) 17 1
2
−
c) 0
Capítulo 9 Integrais Duplas e suas Aplicações 163
d) 50
3
e) 7
60
−
 3)
a) 2 1−
b) 32
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 10
Integrais Triplas e suas 
Aplicações
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
Capítulo 10 Integrais Triplas e suas Aplicações 165
Introdução
Neste capítulo, estudaremos a definição e a aplicação de inte-
gral tripla que nada mais é do que um passo além das integrais 
duplas. Tal procedimento mostra que podemos generalizar o 
conceito de integral ao de infinito para espaços N dimensio-
nais. Os passos principais para a construção da integral tripla 
repetem os mesmos passos que já vimos na construção das 
integrais duplas.
1 Definição de integrais triplas
Começamos nossa construção da integral tripla pela visua-
lização de uma caixa subdividida em pequenos incrementos 
de volume com intensidades kV∆ . Admita também uma curva 
definida pela função de três variáveis ( , , )w f x y z= . Obser-
ve que o volume no interior da curva define uma região G 
onde o volume pode ser computado pelo soma dos incremen-
tos kV∆ . No entanto, como a região G é arbitrária e definida 
pela função, os incrementos não caberão completamente den-
tro da região; seria necessário montar elementos de volume 
cada vez menores até que tenhamos infinitésimos de volume.
É interessante lembrar a diferença entre incrementos e in-
crementos infinitesimais. Os incrementos são quantidades que 
pertencem ao mundo real e podem ser medidos através de al-
gum instrumento real que, por sua vez, utiliza algum princípio 
físico. Um incremento infinitesimal é um objeto abstrato que só 
166 Cálculo III
pode ser visto em nossa mente levando à máxima que pode-
mos ter incrementos tão pequenos quanto queiramos.
Para avaliar o volume no interior da região G definido pela 
curva ( , , )w f x y z= devemos somar todos os incrementos infini-
tesimais de volume, ou seja, tornar as divisões tão pequenas 
que obteremos a igualdade
 
( , , ) lim ( , , )k k k kn
G
f x y z dV f x y z V
→∞
= ∆∫∫∫ nlim (1)
A integral que aparece à esquerda da equação (1) é cha-
mada integral tripla.
2 Propriedades
Analogamente às propriedades de integração definidas para 
funções de duas variáveis temos as seguintes propriedades 
para integrais triplas:
 
( ) ( ), , , ,
G G
c f x y z dV c f x y z dV=∫∫∫ ∫∫∫ (1)
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,
G G G
f x y z g x y z dV f x y z dV g x y z dV+ = +  ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ (2)
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,
G G G
f x y z g x y z dV f x y z dV g x y z dV− = −  ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ (3)
 
( ) ( ) ( )
1 2
, , , , , ,
G G G
f x y z dV f x y z dV f x y z dV= +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ (4)
Capítulo 10 Integrais Triplas e suas Aplicações 167
3 Cálculo de integrais triplas em caixas 
retangulares
Seja R uma caixa retangular definida pelas desigualdades 
a x b≤ ≤ , c y d≤ ≤ e k y l≤ ≤( , , )w f x y z= . Se ( , , )w f x y z= for contínua 
nessa caixa, temos
 
( ), , ( , , )
b d l
G a c k
f x y z dV f x y z dzdydx=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ (5)
É importante observar que a ordem dos incrementos estão 
associados às desigualdades supracitadas, ou seja, se inver-
temos a ordem das integrais, devemos inverter a ordem dos 
infinitésimos.
Exemplos:
 1) Calcule as integrais triplas abaixo:
a) 
b) 
c) 
1 54
0 0 0
cosx y dzdydx
pi
∫ ∫ ∫
d) 
2 3 9
3
1 1
3
3
xy z dzdydx∫ ∫ ∫
168 Cálculo III
e) 
5 5 5
0 0 0
dzdydx∫ ∫ ∫
f) 
4 5 6
3 4 5
xyz dzdydx∫ ∫ ∫
g) 
3 4 2
1 1 0
xzxe dzdydx
−
∫ ∫ ∫
Resoluções:
a) ( ) ( )
2 3 2 3 2 3 2 4
2 3 2 2 3 2 2
2
0
1 0 0 1 0 0 0
2 3 3
33
0
1 0
2 4 2 2 2
3
1
2
0
2
2
1
12 12 12 3
3 2 0 48 48 48 16
16 3 432 432 216 648
xy z dzdydx xy z dz dydx xy z dz xy z
xy xy xy dydx xy dy xy
x x x dx x
− −
−
−
−
 
= =∴ =  
   = ⋅ − = ⇒ ∴ =   
= ⋅ = ⇒ = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
b) Videoexemplo
c) 
( )
( )
1 5 1 14 4 4
5
0
0 0 0 0 0 0 0
4 4 41
0
0
2
0
2
0
cos cos 5 cos
5sin1 5 sin15 sin 5 sin1
2 32
x y dzdydx zx y dydx x y dydx
x y dx x dx x
pi pi pi
pi pi pi
pi
= =
= = = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
d) Videoexemplo
Capítulo 10 Integrais Triplas e suas Aplicações 169
e) 
( )
( )
5 5 5 5 5 5 5
5
0
0 0 0 0 0 0 0
5 5
5 5
0 0
0 0
5
5 25 25 125
dzdydx z dydx dydx
y dx dx x
= =
= = = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
f) Videoexemplo
g) 
( )
( ) ( )
( )
3 4 2 3 4 3 4
2
0
1 1 0 1 1 1 1
33 34
1
11 1
6
2
2 2 2
2 6 2
1
51 5 1 5
2
5 5 515 5 10
2 2 2
xz xz x
x x x
xe dzdydx e dydx e dydx
e y dx e dx e x
e e e e
− − −
−
= = −
= − = − = −
   
= − − − = − −      
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
4 Cálculo de integrais triplas em regiões 
gerais
Seja G um volume definido com superfície superior dada pela 
função 2 ( , )z g x y= e pela superfície inferior dada pela função 
1( , )z g x y= , e seja R a projeção de G no plano xy. Se a fun-
ção ( , , )w f x y z= for contínua em G, então
 
( )
2
1
( , )
( , )
, , ( , , )
g x y
G R g x y
f x y z dV f x y z dz dA
 
=    ∫∫∫ ∫∫ ∫ (6)
170 Cálculo III
Observe que a equação (6) indica uma ordem para inte-
gração de modo a primeiro integrarmos com respeito a z e 
subsequentemente com respeito as variáveis do plano xy.
Para o caso particular de 1( , )g x y l= e 2 ( , )g x y k= temos 
uma caixa retangular e recaímos na técnica dada na Seção 
1.4.
Exemplos:
 2) Calcule as integrais triplas abaixo:
a) 
214
0 0 0
cos
x
x y dzdxdy
pi
∫ ∫ ∫
b) 
23 ln
1 0
x z
x
yxe dydzdx∫ ∫ ∫
Resoluções:
a) 
2
2
1 1 14 4 4
0
0 0 0 0 0 0 0
144 4 4
00
3
00
cos cos cos
cos 1 1 1 2 2cos sin
4 4 4 4 2 8
x
xx y dzdxdy xz y dxdy x y dxdy
x y dy y dy y
pi pi pi
pi pi pi
= =
= = = = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
b) Videoexemplo
Capítulo 10 Integrais Triplas e suas Aplicações 171
5 Cálculo de volume com uso de integrais 
triplas
A operação de integral tripla pode ser utilizada como ferra-
menta para a obtenção do volume de um sólido G ao qual 
trabalhamos neste capítulo. Para tal, o que fazemos é usarmos 
como superfície a função constante ( , , ) 1f x y z = na integral 
tripla. Neste caso, a integral resultante representará o volume 
do sólido G e será dado por
 G
V dV= ∫∫∫ (7)
Exemplos:
 3) Utilize a integral tripla para obter o volume entre as curvas 
solicitadas:
a) 2 21; 5 ; 9z z x x y= = − + =
b) 
2 2
1; 6; 1
4 9
x yz z= = + =
c) 
2 2 2 25 5 ; 6 7z x y z x y= + = − −
172 Cálculo III
Resoluções:
a) 
b) Videoexemploc) 
( ) ( )
2 22
2 22
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
1
6 71 22
1 5 51 2
2
1
2
2
3
2 2 2
1
1 22 2
1 11 2
2 2
2
5 5 ; 6 7
5 5 6 7 ; 5 5 6 7
1 2 1 12 1
2 21 2
36 12 6 1 2
2
x yx
G x yx
x
x
z x y z x y
x y z x y x y x y
y x
x y x
y x
V dV dzdydx
x y dydx x dx pi
− −
−
+
− −
−
−
− −
− −
= + = − −
⇒ + < < − − + = − −

= −
⇒ + = ⇒ ⇒ − < <
= − −
= =
= − − = − =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Capítulo 10 Integrais Triplas e suas Aplicações 173
Recapitulando
Neste capítulo, vimos a definição de uma integral tripla, bem 
como as propriedades que asseguram a linearidade desse 
novo objeto matemático. Vimos o cálculo efetivo de integrais 
triplas em caixas retangulares, bem como em regiões mais ge-
rais. Por fim, obtemos uma novo processo para a obtenção da 
intensidade do volume de sólidos definidos por funções con-
tínuas.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v.1, 6.ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
______. Cálculo, um novo horizonte. v. 2. 6.ed. Porto Ale-
gre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v. I. São Paulo: Thomson, 2002.
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
http://phet.colorado.edu/pt_ BR/
Plataforma Maplesoft: http://www.maplesoft.com/index.aspx
Atividades
 1) Calcule as integrais triplas abaixo:
174 Cálculo III
a) ( )1 2 1
1
2
0
2 2
0
x y z dxdydz
−
+ +∫ ∫ ∫
b) 
22
0 1 1
y z
yz dxdzdy
− −
∫ ∫ ∫
c) 
23 9
0 0 0
z x
xy dydxdz
−∫ ∫ ∫
d) 
2 22
2 2
32 4
0 0 5
x yx
x y
x dzdydx
− −
−
− + +
∫ ∫ ∫
e) ( )sin
G
xy yz dV∫∫∫ , onde G é a caixa retangular definida 
pelas desigualdades 0 0 1 0; ; .
6
x y z pipi≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
f) 
G
xyz dV∫∫∫ , onde G é o sólido do primeiro octante li-
mitado pelo cilindro parabólico 22z x= − e os planos 
0; ; 0.z y x y= = =
 2) Calcule o volume sólido utilizando integrais triplas:
a) O sólido do primeiro octante limitado pelos planos 
coordenados e o plano 3 6 4 12.x y z+ + =
b) O sólido limitado pela superfície 2y x= e os planos 
4; 0.y z z+ = =
Capítulo 10 Integrais Triplas e suas Aplicações 175
Gabarito
 1)
a) 8
b) 47
3
c) 81
5
d) 128
15
e) 
2 3
2
pi pi−
f) 1
6
 2)
a) 4
b) 256
15