Limites e Fatoração em Matemática

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LISTA 6: LIMITES 
 
CARACTERIZAÇÃO GERAL 
 
A noção natural de limites tem a ver com a busca da tendência da variável 
dependente de uma função, quando a variável independente tende a um 
determinado ponto. 
 
Portanto, chama-se limite de uma função quando x tende ao número y, que 
indica a tendência da função. É expresso da seguinte forma: 
 
 lim x = y 
x → b 
 
 
PROPRIEDADES 
 
As propriedades são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em outras palavras, isso significa dizer que: 
 
 o limite de uma função constante é a própria constante; 
 o limite da soma é a soma dos limites, caso esses limites existam; 
 o limite da diferença é a diferença dos limites, caso esses limites 
existam; 
 o limite do produto é o produto dos limites, caso esses limites existam; 
 o limite de constante vezes uma função é a constante vezes o limite da 
função, caso esse limite exista; 
 o limite do quociente é o quociente dos limites, caso esses limites 
existam e o limite do denominador seja diferente de zero; 
 o limite da raiz de uma função é a raiz do limite da função se o limite 
existe e é maior ou igual a zero. 
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REGRAS DE FATORAÇÃO 
a) Fator comum em evidência 
ax + ay = a.(x+y) 
b) Função quadrática 
Ache as raízes e use a fórmula: a(x–x')(x–x") 
c) Fatoração por diferença de quadrados 
 x2 – 9 = (x + 3) (x – 3) 
d) Outras regras de fatoração 
 
 
 
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 
e) Fatoração por agrupamento 
 
ax + ay + bx + by = a.(x+y) + b.(x+y) = (x+y).(a+b) 
 
4º MÉTODO: COPIAR O NUMERADOR OU O DENOMINADOR COM UM 
DOS ELEMENTOS COM SINAL CONTRÁRIO, DISTRIBUIR E SIMPLIFICAR 
 
Esse método é recomendado quando um dos elementos de x está dentro de 
uma raiz. Em geral troca-se o sinal do elemento que está na raiz (não sempre). 
NÃO PODE TROCAR O SINAL DOS DOIS E NÃO PODE TROCAR O SINAL 
DE DENTRO DA RAIZ. 
 
 
EXERCÍCIO 1 
O Sr. Joaquim tem um boteco na rua São João. Os produtos que ele mais 
vende são pinga, café e cigarros. Nos últimos meses o Sr. Joaquim observou 
que o faturamento melhorara em decorrência do movimento de renovação do 
centro da cidade. Também observou que a melhora do faturamento na região 
incentivou os comerciantes a investirem em seus negócios. Diante disso, o Sr. 
Joaquim coletou informações que o conduziram a elaborar o seguinte modelo: 
 
f(x) = ______x2______ 
 √ x2 + 12 – √12 
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Nesse modelo x representa a quantia investida nos negócios e f(x) o aumento 
no faturamento. Todos os valores estão expressos em $mil. 
 
 
a) Calcule a variação no faturamento do Sr. Joaquim se não fizer nenhum 
investimento. 
 
 
 lim x² = 0² = 0 indeterminado 
x→0 √x² + 12 – √12 √0² + 12 – √12 0 
 
 
Portanto, devemos simplificar e, a seguir, substituir o valor de x novamente 
para verificar se o resultado se tornou diferente de indeterminado. 
 
 
 
 
Se o Sr. Joaquim não fizer nenhum investimento, seu faturamento adicional 
será de $6.928,20 
 
 
b) Calcule a variação no investimento se o mesmo investir $10.000,00. 
 
 
 lim ______x2______ = ______102______ = ____100____ = 14,04494 
x→10 √ x2 + 12 – √12 √102 + 12 – √12 10,58 – 3,46 
 
 
 
c) Compare os resultados obtidos nos itens “a” e “b” e informe em quanto 
melhorou o faturamento após a implementação das melhorias ($ e %). 
 
Se o Sr. Joaquim não fizer nenhum investimento, seu faturamento adicional 
será de $6.928,20, entretanto, se investir $10.000,00 passará a faturar um 
adicional de $14.044,94 representando um aumento de $7.116,74, ou seja, 
um aumento de $102,72%. 
 
 
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5º MÉTODO: MMC E SIMPLIFICAR 
 
 
EXERCÍCIO 2 
 
 
 
Verifique: 
 
 lim 3 1 – 1 = 3 1 – 1 = 0 indeterminado 
 x→0 x 5 + x 5 – x 0 5 + 0 5 – 0 0 
 
 
Como o resultado deu indeterminado, devemos simplificar e, em seguida, 
substituir novamente o valor de x para ver se o resultado não fica mais 
indeterminado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO 3 
 
 
 
Verifique: 
 
 1 + 1 1 + 1 
 lim x 2 = –2 2 = 0 indeterminado 
x→–2 x³ + 8 (–2)³ + 8 0 
 
 
Como o resultado deu indeterminado, devemos simplificar e, em seguida, 
substituir novamente o valor de x para ver se o resultado não fica mais 
indeterminado.