APLICAÇÃO DE DERIVAÇÃO

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LISTA 9: APLICAÇÃO DE DERIVAÇÃO 
 
 
1 MÁXIMOS E MÍNIMOS 
 
Para se obter os pontos de mínimo e máximo local você deve seguir os passos 
indicados abaixo: 
 
1º passo: 
Derive a função, iguale a zero e identifique os pontos críticos (achar as raízes). 
Os pontos críticos são os pontos eleitos para serem pontos de mínimo local ou 
máximo local. 
 
2º passo 
Calcule a derivada segunda da função, substitua os pontos críticos e conclua 
se são pontos de máximo ou mínimo local. Se: 
 
f’’(x) > 0, então f(x) é crescente e tem concavidade voltada para cima nesse 
intervalo. Temos um ponto de mínimo local. 
 
f’’(x) < 0, então f(x) é decrescente e tem concavidade voltada para baixo nesse 
intervalo. Temos um ponto de máximo local. 
 
3º passo 
Calcule o valor correspondente de f(x) para cada ponto crítico. Para obtê-lo 
basta substituir os valores críticos na função original. 
 
 
2 PONTO DE INFLEXÃO 
 
Também podemos utilizar a derivada segunda para identificar o ponto de 
inflexão, pois quando passamos pelo ponto de inflexão, o sinal da derivada 
segunda muda, o que sugere que no ponto a derivada segunda vale zero ou 
não existe. 
 
Se f”(x) > 0, o gráfico de f(x) é côncavo para cima. 
Se f”(x) < 0, o gráfico de f(x) é côncavo para baixo. 
 
Para determinar o ponto de inflexão, siga os passos: 
 
1º passo: determine os pontos que são candidatos a inflexão de f(x) 
resolvendo a equação f’’(x) = 0 ou encontrando os pontos onde f’’(x) não 
existem. 
 
2º passo: marque os pontos em uma reta numérica, escolha os pontos para 
teste à esquerda e direita de cada ponto e calcule a derivada segunda. 
Identifique se a concavidade está voltada para cima (f’’(x) > 0) ou para baixo 
(f’’(x) < 0). 
 
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3º passo: conclua se é o ponto candidato à inflexão, verificando se houve 
mudança nas concavidades analisadas à sua esquerda e à sua direita. 
 
 
EXERCÍCIO 1 
Suponhamos que o lucro total de um produto seja: 
 
R = 1.000q – 2q2 
 
C = q3 – 59 q2 + 1.315 q + 2.000 
 
onde q é a quantidade em unidades. 
 
 
a) Elabore a função lucro total desse produto. 
 
L = R – C 
 
L = 1.000q – 2q2 – (q3 – 59q2 + 1.315q + 2.000) 
 
L = 1.000q – 2q2 – q3 + 59q2 – 1.315q – 2.000 
 
L = – q3 + 57q2 – 315q – 2.000 
 
 
b) Calcule a quantidade que maximiza o lucro total utilizando a técnica de 
derivação. 
 
 
1º passo: 
Derive a função, iguale-a a zero e identifique os pontos críticos. 
 
L’ = – 3q2 + 57 ∙ 2 ∙ q2 – 315 – 0 = – 3q2 + 114q – 315 
 
a = –3, b = 114 e c = – 315 
 
∆ = b2 – 4ac = (114)2 – 4 · (–3) · (–315) = 12.996 – 3.780 = 9.216 
 
q1 = – b + √ ∆_ = – 114 + √ 9.216_ = 3 
 2a 2 · (–3) 
 
q2 = – b – √ ∆_ = – 114 – √ 9.216_ = 35 
 2a 2 · (–3) 
 
Logo, q = 3 e q = 35 são os pontos críticos. 
 
 
2º passo 
Calcule a derivada segunda da função, substitua os pontos críticos e 
conclua se o ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo local. 
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L’ = – 3q2 + 114q – 315 
 
L” = – 3 ∙ 2 ∙ q + 114 ∙ 1 ∙ q – 0 = – 6q + 114 
 
L” (q=3) = – 6 ∙ 3 + 114 = 96 > 0 
 
Portanto, quando q = 3 o lucro total é mínimo. 
 
L” (q=35) = – 6 ∙ 35 + 114 = – 96 < 0 
 
Portanto, quando q = 35 o lucro total é máximo. 
 
 
3º passo 
Calcule o lucro total máximo. Para obtê-lo basta substituir o valor crítico na 
função original. 
 
L = – q3 + 57 q2 – 315 q – 2.000 
 
L = – 353 + 57 ∙ 352 – 315 ∙ 35 – 2.000 = $13.925,00. 
 
Quando a quantidade for de 35 unidades, obteremos um lucro total de 
R$13.925,00 o qual é o máximo lucro total. 
 
 
c) Desenhe o gráfico e identifique os intervalos onde a função lucro total é 
crescente e onde é decrescente. 
 
q Lucro
0 2.000,00-R$ 
5 2.275,00-R$ 
10 450,00-R$ 
15 2.725,00R$ 
20 6.500,00R$ 
25 10.125,00R$ 
30 12.850,00R$ 
35 13.925,00R$ 
40 12.600,00R$ 
45 8.125,00R$ 
50 250,00-R$ 
-R$ 4.000,00
-R$ 2.000,00
 R$ -
 R$ 2.000,00
 R$ 4.000,00
 R$ 6.000,00
 R$ 8.000,00
 R$ 10.000,00
 R$ 12.000,00
 R$ 14.000,00
 R$ 16.000,00
0 10 20 30 40 50 60
R$
quantidade
Lucro Total
 
 
A função lucro total é decrescente 0 ≤ q < 3. 
 
A função lucro total é crescente 3 < q < 35. 
 
A função lucro total é decrescente q > 35. 
 
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d) Ache o ponto de inflexão utilizando a técnica de derivação. 
 
 
1º passo 
Determine os pontos que são candidatos à inflexão resolvendo a equação 
L”(q) = 0. 
 
L’ = – 3q2 + 114q – 315 
 
L” = – 3 ∙ 2 ∙ q + 114 ∙ 1 ∙ q – 0 = – 6q + 114 
 
– 6q + 114 = 0 
 
q = –114 = 19 
 –6 
 
Portanto, q = 19 é o ponto candidato a ponto de inflexão. 
 
 
2º passo 
Marque o ponto q = 19 em uma reta numérica. Escolha os pontos para teste 
à esquerda e direita e substitua esses pontos na função derivada segunda. 
Se o resultado for L”(q) > 0, a concavidade está voltada para cima e se o 
resultado for L”(q) < 0, a concavidade está voltada para baixo. 
 
L” = – 6q + 114 
 
L” (q=18) = – 6 * 18 + 114 = 6 
 
Quando q = 18 a concavidade está voltada para cima. 
 
L” (q=20) = – 6 * 20 + 114 = – 6 
 
Quando q = 20 a concavidade está voltada para baixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 18 19 20 quantidade 
 
 
 
3º passo 
Conclua se é o ponto candidato à inflexão, verificando se houve mudança 
nas concavidades analisadas à sua esquerda e à sua direita. 
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Conclui-se que quando q = 19 é ponto de inflexão, pois houve mudança nas 
concavidades analisadas à sua esquerda e à sua direita. 
 
q Lucro Variação
18,7 5.502,63R$ 
18,8 5.579,41R$ 76,78R$ 
18,9 5.656,20R$ 76,79R$ 
19,0 5.733,00R$ 76,80R$ ponto de inflexão
19,1 5.809,80R$ 76,80R$ 
19,2 5.886,59R$ 76,79R$ 
19,3 5.963,37R$ 76,78R$ 
19,4 6.040,14R$ 76,76R$ 
19,5 6.116,88R$ 76,74R$ 
19,6 6.193,58R$ 76,71R$ 
19,7 6.270,26R$ 76,67R$ 
19,8 6.346,89R$ 76,63R$ 
19,9 6.423,47R$ 76,58R$ 
20,0 6.500,00R$ 76,53R$