Lista Algebra Línear II

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6a LISTA DE A´LGEBRA LINEAR
Espac¸os Vetoriais, Combinac¸a˜o Linear, Subespac¸os Gerados, Base e Dimensa˜o
Profa. Anna Regina Corbo
1. Seja C[a, b] o conjunto das func¸o˜es cont´ınuas definidas no intervalo real [a, b]. Mostre
que este conjunto com as operac¸o˜es usuais de soma e multiplicac¸a˜o por um escalar
satisfaz as oito propriedades de espac¸os vetoriais.
2. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de nu´meros reais com a soma definida
por
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
e a multiplicac¸a˜o por um escalar α definida por
α ◦ (x1, y1) = (αx1, y1)
Como a multiplicac¸a˜o por um escalar e´ definida de maneira diferente da usual, usamos
um s´ımbolo diferente para evitar confusa˜o com a multiplicac¸a˜o usual de um vetor com
um escalar. V e´ um espac¸o vetorial em relac¸a˜o a essas operac¸o˜es? Justifique sua res-
posta.
3. Verifique se R2 com as operac¸o˜es abaixo e´ um espac¸o vetorial:
• Soma: (x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1 − x2, y1 − y2)
• Produto por escalar: α ◦ (x1, y1) = (−αx1,−αy1)
4. Verifique se os seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os de R3:
a) S = {(x, y, z) ∈ R3|z = 3}
b) S = {(x, y, z) ∈ R3|x > 0}
c) S = {(x, y, z) ∈ R3|y = 3x+ 2z}
d) S = {(0, y, y) ∈ R3|y ∈ R}
5. Mostre que a soma de subespac¸os e´ tambe´m um subespac¸o.
6. Mostre que para quaisquer subespac¸os vetoriais S1 e S2 de V , S1∩S2 6= ∅ e S1+S2 6= ∅.
7. Verifique se os conjuntos abaixo sa˜o LI ou LD:
a) {(1, 0, 0), (1, 3, 5), (3, 2, 5)}
b) {(1, 2), (3, 5), (2, 1)}
c) {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}
8. Determine o subespac¸o intersec¸a˜o e o subespac¸o soma para os casos abaixo, indicando
quando a soma e´ direta:
a) S1 = {(x, y, z) ∈ R3|x− 2y + z = 0} e S2 = {(x, y, z) ∈ R3|x+ 3y = 0}
b) S1 = {(x, y, z) ∈ R3|x = y} e S2 = {(x, y, z) ∈ R3|x+ y + z = 0}
9. Encontre uma base e a dimensa˜o para o conjunto soluc¸a˜o do sistema abaixo:
x + 2y − 2z − t = 0
2x + 4y + z + t = 0
x + 2y + 3z + 2t = 0
10. Sejam S1 = {(x, y, z) ∈ R3|y = 0} e S2 = {(−1, 2, 0), (3, 1, 1)}. Determine S1 ∩ S2 e
S1 + S2 indicando uma base e a dimensa˜o em cada um dos casos.
11. Sejam v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) e H = {(s, s, 0)|s ∈ R}. Enta˜o todo vetor de H e´
uma combinac¸a˜o linear de v1 e v2, pois (s, s, 0) = s(1, 0, 0) + s(0, 1, 0).
Sera´ que {v1, v2} e´ uma base para H? Justifique.
12. Os vetores u = (1,−3), v = (2,−8) e w = (−3, 7) geram o espac¸o vetorial R2, mas
na˜o formam uma base. Determine duas maneiras diferentes de expressar o vetor (1, 1)
como combinac¸a˜o linear dos vetores u, v e w.
13. Verifique se os conjuntos de vetores de ℘(3) (polinoˆmios de grau menor ou igual a 3)
abaixo sa˜o linearmente independentes:
a) {1 + t3, 3 + t− 2t2,−t+ 3t2 − t3}
b) {1 + 2t2 − 3t3, t+ t3, 1 + 3t− 2t2}
14. Os quatro primeiros polinoˆmios de Hermite sa˜o 1, 2t, −2 + 4t2 e −12 + 8t3. Esses
polinoˆmios surgem naturalmente no estudo de certas equac¸o˜es diferenciais importantes
em F´ısica-Matema´tica. Mostre que os quatro primeiros polinoˆmios de Hermite formam
uma base para o espac¸o ℘(3).
GABARITO:
2. V na˜o e´ espac¸o vetorial.
3. R2 na˜o e´ espac¸o vetorial com as operac¸o˜es definidas.
4. a) Na˜o e´ subespac¸o vetorial
b) Na˜o e´ subespac¸o vetorial
c) E´ subespac¸o vetorial
d) E´ subespac¸o vetorial
7. a) LI
b) LD
c) LI
8. a) S1 ∩ S2 = {(−3y, y, 5y); y ∈ R} e S1 + S2 = R3
b) S1 ∩ S2 = {(y, y,−2y); y ∈ R} e S1 + S2 = R3
9. Base:{(−2, 1, 0, 0), (−15 , 0, −35 , 1)} e dim = 2.
10. S1 ∩ S2 = {(7z2 , 0, z); z ∈ R}
base: {(7, 0, 2); z ∈ R} e dim(S1 ∩ S2) = 1
S1 + S2 = R3
base: {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e dim(S1 + S2) = 3
11. Na˜o. Pois ha´ outra base, para o mesmo subespac¸o, de dimensa˜o diferente.
(Encontre esta base!!!)
12. Fac¸a (1, 1) = k1(1,−3) + k2(2,−8) + k3(−3, 7) e encontre diferentes valores para k1, k2, k3
13. a) Conjunto LI.
b) Conjunto LI.
14. dim(℘(3)) = dimH = 4 e H e´ um conjunto de vetores LI, logo, H e´ base de ℘(3).