MATEMÁTICA FINANCEIRA E USO DA HP 12C

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CURSO:
MATEMÁTICA FINANCEIRA E USO DA HP 12C
	
Data: 02/04/2009
Horário: 16:00 h
Carga horária: 20 horas
Local: Faculdade Pitágoras
Investimento: 
Público-alvo: administradores, gerentes e responsáveis pela área financeira.
Instrutor: Amintas Paiva Afonso
Objetivo: prover os participantes de conhecimentos práticos de matemática financeira, aplicada ao comércio varejista e gestão financeira em geral. Além disso, transmitir noções básicas de uso da calculadora HP 12C. Os participantes deverão portar a calculadora HP 12C.
	Conteúdo:
* Fundamentos da matemática financeira
* Operação da HP 12C
* Juros simples e composto
* Fluxo de caixa
* Amortização
* Como calcular parcelas de amortização de financiamento
* Como calcular coeficientes d financiamento
* Análise de planos de pagamento
* Análise de investimentos
* Desconto de cheques e duplicatas
* CDC, Leasing e Crédito Pessoal
Ligando e desligando a calculadora
O teclado
Separando dígitos
Introduzindo números
Tabulando casas decimais
Cálculos aritméticos simples
Cálculos em cadeia
Limpando registros
Troca de sinais
Inversão entre valores armazenados
Funções de porcentagem
Funções de calendário
Usando a memória - Armazenamento
Resolvendo uma operação de potenciação
Inverso de um número
Ligando e Desligando a Calculadora
Para começar a usar a sua HP-12C, pressione a tecla . Se você pressionar novamente, a calculadora será desligada. Se a calculadora não for desligada manualmente, ela se desligará automaticamente de 8 a 17 minutos após a última utilização. 
Indicação de Bateria Fraca
A sua calculadora, quando ligada, indica a condição de bateria fraca através de um asterisco (*) que fica piscando no canto inferior esquerdo do visor. Quando isso acontecer, desligue a calculadora e substitua as baterias.
O Teclado
A maioria das teclas da HP-12C realiza duas ou até mesmo três funções. A função primária de uma tecla é indicada pelos caracteres impressos em dourado acima da tecla e pelos caracteres impressos erm azul na face oblíqua da tecla. Tais funções alternativas são especificadas pressionando-se a tecla de prefixo adequada, antes da tecla correspondente à função desejada:
Se você pressionar por engano, uma das teclas de prefixo ou , elas poderão ser canceladas pressionando-se
 CLEAR . Esta última sequência de teclas também pode ser usada para se cancelar as teclas
 , e (tais teclas podem ser consideradas como de “prefixo”, uma vez que as teclas numéricas devem ser pressionadas em seguida a elas, para se executar a função correspondente). Como a tecla também é empregada para se apresentar a mantissa (todos os 10 dígitos) de um número que esteja no visor, a mantissa do número que estiver no visor será apresentada por um momento após a tecla ser solta.
Ao se pressionar uma das teclas ou de prefixo, o indicador de estado (anúncio) correspondente, f ou g ficará aceso no visor. O anúncio se apaga após se pressionar uma tecla de função (executando a função alternativa da tecla), uma outra tecla de prefixo, ou CLEAR .
Separação de Dígitos
A separação de dígitos da HP-12C é originalmente para cálculo em US$.
Para adaptá-la para R$, desligue a calculadora, pressione a tecla e mantendo-a pressionada ligue a calculadora teclando .
Para retornar à situação anterior, repita a operação.
Introduzindo Números
Pressione as teclas dos dígitos em seqüência. A tecla do ponto deverá ser pressionada se o número possuir dígitos na parte decimal; se o número for inteiro, o ponto será irrelevante.
Tabulando Casas Decimais
Para fixar um número distinto de casas decimais, de 0 a 9, pressione a tecla e a tecla de número correspondente à quantidade de casas desejada.
Você deve estar se perguntando:
Para que servem essas memórias, se eu consigo fazer o mesmo cálculo digitando
1 2 3 4 ?
Essas memórias são importantes quando precisamos resolver operações mais complexas.
1. Exemplo: 
18 
24 
15 
 3 
E aí, foi fácil?
Agora, faça um exemplo na sua HP-12C.
Você observou que todos os cálculos são processados entre as memórias x e y. E que, com a tecla , o valor é transferido da memória x (visor) para a y. O que estava em y é, então, transferindo para z, e assim sucessivamente. Quando faz o cálculo ocorre o processo inverso, de modo que o primeiro número digitado será o último a ser somado.
Vamos voltar ao cálculo: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. 
Cálculos em Cadeia
Toda vez vez que uma resposta estiver acabado de ser calculada e ainda estiver no visor, você poderá realizar uma outra operação com esse número, simplesmente introduzindo o segundo número e pressionando a seguir a tecla da operação: você não precisa pressionar para separar o segundo do primeiro número . Isto ocorre porque quando um número é introduzido após a pressão de uma tecla de função (tal como , , e , etc), o resultado do cálculo anterior fica armazenado na calculadora, como se tivesse sido pressionada. A única ocasião em que você deve pressionar a tecla para separar dois dígitos é quando você os está introduzindo consecutivamente, um número imediatamente após o outro. 
Inversão entre os Valores Armazenados em “X” e “Y”
Para passar da memória “x” para a memória “y”, ou vice-versa, pressione a tecla .
Considerando que a HP-12C possui apenas 4 memórias e que acionar a tecla apenas algumas vezes em seqüência, nem sempre é possível armazenar os números para, depois, fazer as operações. 
2. Observe o exemplo: 
Resolva primeiro o conteúdo dos colchetes e observe se o resultado é igual a 0,84; o próximo passo é teclar 36.
Cuidado, não divida ainda, lembre-se que o número 36, ao ser digitado, foi armazenado na memória x e 0,84 foi para a memória y, ou seja, estão na ordem inversa.
Como queremos dividir 36 por 0,84, devemos pressionar a tecla antes de teclar .
Veja outro exemplo! 
Pressione:
 1 
0,6 
 8 
30 
532 
Funções de Porcentagem
3. Calcule 14% de 300 na sua HP-12C.
A base é 300. Então, digite 300 14 .
Resp.: 42.
Isso significa que 42 corresponde a 14% de 300.
4. Supondo que você aplicou R$ 12.000,00 em ações e o preço das ações subiu em 20%. Em quanto o investimento aumentou?
12.000 
 20 
Resp.:R$ 2.400,00
Isso quer dizer que o seu investimento passou de R$ 12.000,00 para R$ 14.400,00.
Agora responda rápido...
5. No exercício anterior, seu investimento aumentou R$ 2.400,00, então a sua aplicação de R$ 12.000,00 agora vale R$ 14.400,00. Qual foi o seu percentual de aumento?
Vamos ajudá-lo, apresentando a tecla , que é chamada de variação percentual.
 12.000 
 14.400 
Resp: 20%
Se você olhar para sua HP-12C, irá perceber que existe mais uma tecla com função de porcentagem.
 seu nome é porcentagem do total.
Vamos retornar ao nosso exemplo.
6. O seu investimento era de R$ 12.000,00 e teve um aumento de R$ 2.400,00. Quanto isso representa em porcentagem sobre o investimento que você fez?
12.000 
 2.400 
Resp.: 20%
Para entender melhor, acompanhe o exemplo:
7. No mês passado as despesas de sua unidade (Departamento, Agência etc) foramde R$ 50.000,00, assim distribuídas:
R$ 35.000,00 – salários e encargos
R$ 5.000,00 – conservação e manutenção
R$ 7.000,00 – utilidades (luz, água, telefone etc)
R$ 3.000,00 – gerais e diversas.
Qual é o percentual que os salários e encargos representam do total das despesas da unidade?
50.000 
35.000 
Resp.: 70%
8. O Sr. José está querendo comprar um videogame para passar o tempo ocioso. Ao fazer uma pesquisa de preços, descobriu que o mais barato custava R$ 180,00. Então, começou a economizar parte da aposentadoria. Passados três meses, o Sr. José foi até a loja para efetuar a compra, porém o videogame estava 5% mais caro. Quanto faltou?
180 
 5 
Resp.: faltaram R$ 9,00
9. Supondo que há um ano a cotação do dólar era de R$ 1,25 e hoje é R$ 1,98, qual foi o percentual de variação?
1,25 
1,98 
Resp.: 58,40%
10. A mensalidade escolar de Lorenzo era de R$ 250,00, porém a escola enviou um comunicado para seus pais, informando um acréscimo de R$ 50,00. Qual foi o percentual do aumento?
250 
 50 
Resp.: 20%
Funções de Calendário
Para encontrar datas futuras, ou passadas, e o dia da semana correspondente, pressione inicialmente as teclas .
Você estará fixando essa informação na sua calculadora, portanto não será necessário repeti-la a cada operação. No visor da HP-12C aparecerá a seguinte mensagem: D.MY (Dia, Mês e Ano do calendário brasileiro). Se você quiser excluir essa informação, pressione mensagem M.DY (Mês, Dia e Ano no calendário americano) será ativada, embora não apareça no visor.
O calendário da HP-12C possibilita o cálculo de:
Data Futura
Data Passada
Dia da Semana
Variação de Dias entre Datas
Para utilizar o calendário, introduza a data conhecida, separe o dia e o mês pela tecla , e pressione a tecla .
Digite o número de dias correspondentes ao intervalo de tempo e pressione as teclas . Você estará calculando uma nova data.
a) Data Futura
Você emprestou dinheiro à sua sogra no dia 15.01.2000 para receber em 45 dias. Qual será a data do vencimento?
Digite: 15 012000 45 . Na sua calculadora vai aparecer o seguinte resultado: 29.02.2000 2.
Isso significa que o vencimento do empréstimo ocorre em 29.02.2000 e o 2 representa o dia da semana, uma terça-feira. Veja o quadro abaixo.
 
 Dias da Semana
Segunda-feira
Terça-feira
Quarta-feira
Quinta-feira
Sexta-feira
Sábado
Domingo
 
b) Data Passada
No exemplo anterior vimos que o vencimento foi dia 29.02.2000.
Se o empréstimo foi feito para pagamento em 45 dias, em que data ele ocorreu?
Veja bem! Você quer uma data passada, isto é, a data de vencimento menos 45 dias.
Na sua HP-12C pressione:
29.022000 
 45
Resp.: 15.01.2000 6
A data do empréstimo foi dia 15.01.2000, um sábado.
c) Dia da Semana
Se você quiser saber o dia da semana, de qualquer data, basta digitar a data , 
(pois não existe variação de dia quando temos apenas uma data), .
Veja como calcular o dia da semana da data 04.08.2000.
04.082000 
 0
Resp.: 04.082000 5 (sexta-feira)
 Variação de dias entre datas
Para calcular o número de dias entre duas datas, introduza a data mais antiga e pressione , em seguida, introduza a data mais recente e pressione as teclas .
Exemplo: Qual o número de dias decorridos entre as datas 01.03.2000 e 31.10.2000?
01.032000 
31.102000
Resp.: 244
O n° de dias entre as duas datas é 244.
Agora é a sua vez!
1. Calcule a data e o dia da semana em que vence uma aplicação efetuada em 25.10.1999, pelo prazo de 148 dias.
25.101999 
 148
Resp.: 21.032000 2 (terça-feira)
2. O canário de Joãozinho morreu no dia 07.09.1999, após 48 dias sem cantar. Calcule a data do seu último canto.
07.091999 
 48
Resp.: 21.07.1999 3 (quarta-feira)
3. Dona Maria fuma há 20 anos e está querendo deixar esse vício. Na primeira tentativa, ficou sem fumar de 25.01.2000 até 18.02.2000. Calcule a quantidade de dias que ela conseguiu ficar sem fumar.
25.012000 
18.022000
Resp.: 24 dias
Usando a Memória – Armazenando e Recuperando Valores
Além das memórias (x, y, z e t), acionadas com a tecla a HP-12C possui outras memórias cuja finalidade é armazenar números para uso posterior, conforme veremos abaixo:
A HP-12C possui 20 memórias , que são de 0 à 9 e de 0 à 9, para armazenamento de valores.
Para armazenar o valor, deve-se digitá-lo, pressionar a tecla e o n° da memória desejada.
Para recuperar a memória, é necessário pressionar a tecla e n° da memória.
Situação em que o uso da memória facilita o cálculo:
1. Quando uma determinada operação exigir cálculos parciais ou subtotais.
Neste caso, é necessário, primeiro, resolver os parênteses e armazenar os resultados, para depois somar.
Veja: (100 + 50) + (50 – 40) + (80 . 70) = 5.760,00
Na calculadora:
	100
50
50
40
80
70 
2. Quando determinado número for utilizado várias vezes, será muito mais simples armazená-lo em uma memória do que digitá-lo a cada operação.
	Acompanhe o exemplo em que vamos atualizar os valores:
	R$ 2.500,00, R$ 800,00 e R$ 985,00, utilizando o coeficiente 1,035.
1° passo – Armazenar o coeficiente na memória
1,035 . Pronto, está armazenado!
2° passo – Atualizar os valores
	2500 → 2.587,50
 800 → 828,00 
 985 → 1.019,48
Veja que moleza!
Para calcular o resultado de um número elevado a um expoente qualquer, introduza a base, digite o expoente e pressione a tecla .
Exemplo 1:
 45 = 1.024
	 4
 5
Exemplo 2: 
Quando o expoente for uma fração, será necessário, inicialmente, resolve-la para depois calcular a potência.
	 
	 25
 30
 360
Para calcular o inverso de um número, basta digita-lo e pressionar a tecla .
Exemplo: O inverso de 2 é 
. É o mesmo que dividir 1 por 2. Se quisermos calcular o inverso de 2, devemos digitar 2 e 
 . O resultado será 0,5.
Essa função é muito utilizada para cálculo de taxas de juros compostos, que veremos nos próximos capítulos.
Agora é a sua vez!
1. Qual é o resultado de 
 ?
 1 
 1,81
 2
 Resp.: 1,68
2. Efetuando a operação 0,383 x 1,4796 x 2838,4972 teremos:
0,383 
1,4796
2838,4972 Resp.: 1.608,54
4. Quanto é 1,0974315	?
1,09743 
 15 Resp.: 4,03
5. Qual é o resultado de 
 ?
 1 
 1,37
 2
 Resp.: 1,54
6. Resolva: 
 1 
 0,83
 12
 1
 100 Resp.: 5,16
Intodução
Juros
Taxa de Juros
Capitalização Simples ou Linear
Cálculo dos Juros
Cálculo do Capital
Cálculo da Taxa
Cálculo do Prazo
Introdução
Com o surgimento da instituição do crédito, houve um crescente desenvolvimento das transações comerciais, exigindo um cálculo específico e o desenvolvimento de um aspecto particular da matemática: a Matemática Financeira.
Juros
É a remuneração do Capital, podendo ser definido como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.
Quando se empresta dinheiro a uma pessoa para que esta consuma, pode-se admitir que quem emprestou está deixando de consumir no momento, embora tenha dinheiro para isso,para permitir que outra pessoa o faça.
Por essa abstinência, a pessoa que emprestou recebe um “prêmio”, o que, em finanças, recebe o nome de juros.
Como você sabe, usamos em matemática financeira o linguajar matemático, para nos expressar de forma inconfundível e compreensível.
Observe os símbolos que utilizaremos de agora em diante, para representar os diversos conceitos básicos.
Taxa de Juros
É a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no fim de um período de tempo e o capital inicialmente empregado.
A taxa de juros está sempre relacionada com uma unidade de tempo: dia, mês, ano etc...
Exemplo:
Qual a taxa de juros cobrada por um empréstimo de R$ 120,00 a ser resgatado por R$ 134,40, ao final de um ano? 
Capital Inicial = R$120,00
Capital Final = R$ 134,40
Juros = Capital Final - Capital Inicial = R$ 134,40 - R$ 120,00
Taxa de Juros = 
Como você sabe, 0,12 é igual a 
. Essa é a forma decimal de apresentar 12% que é a forma percentual.
Em resumo as taxas de juros podem ser apresentadas de dois modos:
	Forma Percentual
	Transformação
	Forma Decimal
	12% a. a.
	12 : 100
	0,12
	0,5 a. a.
	0,5 : 100
	0,005
	18,7% a. a.
	18,7 : 100
	0,187
 
Exemplo: Calcular 5% de R$ 3.500,00.
Forma percentual: 3.500 5 → 175,00
Forma decimal: 3.500 0,05 → 175,00 
Capitalização Simples ou Linear
Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial.
Neste regime de capitalização, a taxa varia linearmente em função do tempo, ou seja, se quisermos converter a taxa mensal em anual, basta multiplicar por 12; se quisermos a taxa diária, tendo a mensalidade, basta dividir por 30, e assim por diante.
Exemplos:
Dada a taxa de 2% ao mês, calcular a taxa anual. Dada a taxa de 6% ao mês, calcular a taxa diária.
2 x 12 = 24% a. a. 6 ÷ 30 = 0,20% a. d.
Cálculo dos Juros
O valor dos juros é obtido da expressão:
J = C . i . n
Exemplo:
Qual o valor dos juros correspondentes a uma aplicação de R$ 420,00, à taxa de 1,5% ao mês, por um prazo de 3 meses?
Pressione:
420
0.015
3
Agora é a sua vez!
Você aplicou R$ 500,00 por um prazo de 3 meses. Quanto receberá de juros, sabendo-se que a taxa é de 5% a. m.?
Pressione:
 500
0.05
Resp.: R$ 75,00
Cálculo do Capital
Com a mesma fórmula utilizada para o cálculo dos juros, você pode calcular o capital. Veja como!
�� EMBED Equation.3 
Para obter juros de R$ 18,90 em 3 meses, à taxa de juros de 1,5% a. m., qual o capital que devo aplicar?
18,90
0,015
 3
 Resp.: 420,00
Agora é a sua vez!
Calcule o valor a ser aplicado à taxa de 1% a. m. para que possam ser retirados mensalmente R$ 200,00 de juros.
Pressione:
 200
0.01 R$ 20.000,00
Exemplo:
Você aplicou R$ 420,00 por um prazo de 3 meses e obteve um rendimento de R$ 18,90.
Qual a taxa de juros mensal dessa aplicação? 
18,90
 420
 3 Resp.: 1,5%
Agora é a sua vez!
Você comprou uma máquina de lavar roupas, cujo preço à vista era de R$ 800,00 para pagar num prazo de 284 dias. O valor dos juros foi R$ 467,00. Qual a taxa de juros mensal cobrada?
Pressione:
 467
 800
 284
 30
Resp.: 6,17% a. m.
Cálculo do Prazo
Para fechar esse assunto, escreva a fórmula para o cálculo do prazo (n).
Agora é a sua vez!
Por quantos meses você precisará aplicar um capital de R$ 1.200,00, à taxa de 31% ao trimestre, para receber de juros R$ 998,00?
Pressione:
 998
1200
0,31
 3
 Resp.: 8,05 meses
Você aplicou R$ 518,00 por um prazo de 3 meses. Quanto receberá de juros, sabendo-se que a taxa é de 4,2% a. m.?
Pressione:
 518
0.042
 Resp.: R$ 65,27
Exercícios de Fixação
Quanto você precisa aplicar hoje, à taxa de 5,3% ao mês para que daqui a 120 dias possa comprar uma batedeira de R$ 210,00, utilizando somente o valor dos juros?
 210
0,053
 4
 Resp.: R$ 990,57
Você comprou uma geladeira, cujo preço à vista era R$ 636,00 para pagamento no prazo de 284 dias e com juros de
R$ 467, 30. Qual a taxa de juros mensal cobrada?
Pressione:
467,3
 636
 284
 30
 
Resp.: 7,76% a. m.
Por quantos meses você precisará aplicar um capital de R$ 1.200,00 à taxa de 31,20% ao trimestre e receber de juros 
R$ 624,00?
Pressione:
 624
1200
0,312
 3
 Resp.: 5 meses
Calcule o valor a ser aplicado à taxa de 0,5% a. m. para que possam ser retirados, mensalmente, R$ 200,00 de juros.
 200
0.005 Resp.: R$ 40.000,00
Cálculos de Juros Simples
A HP-12C calcula os juros simples na base de 360 dias e na base de 365 dias, simultaneamente. Você pode apresentar qualquer um dos resultados, como indicado em seguida. Além disso, se o valor dos juros acumulados estiver no visor, você poderá calcular a quantia total (o valor principal somado aos juros acumulados), bastando pressionar .
1. Introduza ou calcule o número de dias então pressione .
2. Introduza a taxa de juros anual, e então pressione .
3. Introduza o valor do principal, e então pressione . **
4. Pressione para calcular e apresentar os juros acumulados na base de 360 dias.
5. Se você desejar apresentar o valor dos juros acumulados na base de 365 dias, pressione .
6. Pressione para calcular o total principal somado ao valor dos juros acumulados que está agora no visor. 
Os valores de n, i, e PV podem ser fornecidos em qualquer ordem.
** Ao pressionar você estará armazenando o valor do principal no registrador PV, o qual passará a conter o valor presente da quantia sobre o qual serão calculados os juros acumulados. A tecla é inicialmente pressionada para trocar o sinal do principal antes de armazena-lo no registrador PV. Isto é necessário devido à convenção de sinais do fluxo de caixa, que se aplica, primariamente, ao cálculo de juros compostos.
Exemplo1: Você possui um bom amigo que precisa de um empréstimo para iniciar um empreendimento e lhe pediu emprestado R$ 45.000,00 por 60 dias. Você emprestou o dinheiro a juros simples de 7%, a serem calculados na base de 360 dias. No fim de 60 dias, qual será o valor dos juros acumulados e a quantia total que ele lhe devolverá?
Presione Visor
60 60.00
7 7.00
45000 - 45,000.00
 525.00
 45,525.00
Exemplo2: No exemplo anterior, o seu amigo concordou em pagar 7% de juros, mas solicitou que você os calculasse na base de 365 dias (ao invés de calcula-los na base de 360 dias). Qual deverá ser o valor dos juros acumulados que ele deverá pagar a você em 60 dias, e qual o valor total a ser reposto?
Presione Visor
60 60.00
7 7.00
45000 - 45,000.00
 517.81
 45,517.81
Montante (FV)
Montante (M), ou Valor Futuro, é igual à soma do Capital Inicial mais os juros referentes ao período da aplicação.
Assim,M = C + J
Exemplo:
O Sr. Anselmo aplicou R$ 500,00 à taxa de juros de 1,80% a. m., com vencimento para daqui a 5 meses.
Qual será o montante a ser recebido pelo Sr. Anselmo?
Fórmula: FV = PV (1 + i . n)
FV = 500 (1 + 0,018 x 5)
FV = R$ 545,00
Pressione:
 500
 1
0,018
 5
 Resp.: R$ 545,00
Exercícios de Fixação
1. Calcule o montante (FV) da aplicação de um capital (PV) de R$ 1.800,00, pelo prazo de 8 meses a uma taxa de 2% a. m.
Pressione:
1800
 1
 0,02
 8
 Resp.: R$ 2.088,00
Valor Atual (PV)
Valor atual ou valor presente é o valor do capital que, aplicado a uma determinada taxa e um determinado prazo, nos dá um montante ou valor futuro.
Fórmula: FV = PV (1 + i . n)
Exemplo:
Quanto o Sr. José precisará aplicar hoje para resgatar R$ 545,00, daqui a 5 meses, à taxa de 1,80% a. m.?
Vejamos como fica o exemplo da fórmula:
Pressione:
 545
 1
0,018
 5
 Resp.: R$ 500,00
Exercícios de Fixação
2. Qual o valor de resgate de um investimento no valor de R$ 2.127,00, à taxa de 1,50% a. m., prazo de 92 dias.
Pressione:
2127
 1
0,015
 30
 92
 
 Resp.: R$ 2.224,84
3. Determine o valor de um título aplicado hoje, sabendo que a taxa de juros é de 4,235% a. m. e que o seu vencimento ocorrerá daqui a 90 dias, com valor resgate de R$ 3.520,00.
Pressione:
3520
 1
0,0423
 30
 90
 
 Resp.: R$ 3.123,20
4. Calcule o valor presente de um financiamento que tem como resgate R$ 14.230,00, efetuado há 45 dias, à taxa de 3,50% ao bimestre.
Pressione:
14230
 1
0,035
 45
 60
 
 Resp.: R$ 13.866,02
Montante de um capital
Cálculo do Valor Atual
Funções Financeiras
Cálculo do Valor Presente
Montante de um Capital (FV)
Exemplo:
O Sr. Márcio fez uma aplicação de R$ 1.000,00. Quanto ele deverá obter daqui a 3 meses à uma taxa de 5% a. m.?
Vamos acompanhar o raciocínio por meio do exemplo utilizado na definição algébrica.
Capital Inicial = PV = 1.000,00
Taxa de Juros = i = 5% a. m.
Prazo = 3 meses
Montante = FV = ?
1° momento
FV = PV (1+ i) → FV = 1.000 (1 + 0,05) → 1.050
2° momento
FV = PV (1+ i) . ( 1 + i) → FV = 1.000 (1 + 0,05)2 → 1.102,50
3° momento
FV = PV (1+ i) . ( 1 + i) . (1 + I) → FV = 1.000 (1 + 0,05)3 → 1.157,63
Assim sucessivamente, até chegarmos a:
FV = PV (1+ i)n
Onde (1+ i)n é chamado de Fator de Acumulação de Capital (FAC) ou Fator de Capitalização para pagamento único.
Funções Financeiras 
Através das funções financeiras, podem ser resolvidos, no regime de capitalização composta, problemas financeiros que impliquem um só pagamento ou uma série de pagamentos iguais. Os vários pagamentos, ou recebimentos, introduzidos na calculadora devem estar de acordo com a convenção estabelecida para fluxo de caixa, ou seja, sinal para as entradas e sinal para as saídas.
 → É o Prazo, o n° de capitalizações ou a quantidade de prestações.
 → Taxa de Juros.
 → Valor Presente, Valor Atual, Valor Principal ou Capital.
Vamos alimentar a HP-12C com o exemplo anterior:
Pressione:
1000
 5
 3
 Resp.: FV = 1.157,62
Valor Atual ou Valor Presente (PV)
Agora que você conhece as funções financeiras da sua HP-12C, veja como calcular o Valor Presente (PV) do exemplo anterior.
Exemplo: Quanto o Sr. Márcio deverá aplicar hoje para obter R$ 1.157,63 daqui a 3 meses à taxa de 5% a. m.?
	
Pressione:
 5
 3
1157,63
 Resp.: R$1.000,00
Agora é a sua vez!
1. Seguindo o mesmo critério, tente calcular a taxa ( i ) e o prazo ( n ).
Pressione:
1000
 3
1157,63
 Resp.: 5% ao mês
Pressione:
1000
 5
1157,63
 Resp.: 3 meses
Exercícios de Fixação
1. Você está precisando de R$ 1.000,00 para comprar varas de pesca e coletes salva-vidas para suas próximas férias. Dispondo de R$ 950,00 e sabendo que as suas férias serão daqui a 3 meses, será possível adquirir todo o equipamento necessário, se o seu capital for aplicado à taxa de 2,23% ao mês?
Pressione:
 950
 3
 2,23
 Resp.: R$ 1.014,98
2. Sabendo que você é um profundo conhecedor de matemática financeira, um amigo o procurou pedindo que você calculasse o valor pelo qual uma dívida de R$ 2.050,0,00, contraída a 60 dias, à taxa de 5,50% ao mês, deve ser quitada. Que resposta você deu ao amigo?
Pressione:
 2050
 5,5
 60
 30
 Resp.: R$ 2.281,70
3. Um amigo deseja obter R$ 4.680,00 dentro de seis meses. Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de 2,197% ao trimestre?
Pressione: 
 4.680
 2.197
 2 -> corresponde a 2 trimestres (6 meses)
 Resp.: R$ 4.480,94
4. Daqui a 2 semestres você vai se formar e pretende dar uma grande festa para seus parentes e amigos. Estimando que essa festa lhe custará R$ 10.520,00 e que você conseguirá apanhar dinheiro à taxa de 3,5% a. m., quanto você deve investir hoje?
Pressione:
 10520
 3,5
 2
 6
 Resp.: R$ 6.961,96
Taxas Equivalentes
Fórmula Genérica
Conclusão
Taxas Equivalentes
Dizemos que duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo da aplicação e o mesmo capital, produzirem o mesmo montante.
Se você compreendeu, responda rápido!
Se você tivesse um capital de R$ 100,00 para aplicar por 12 meses, qual das taxas abaixo você escolheria para obter um maior montante?
5,5% a. m. ou 90,12% a. a.
Temos a taxa de 5,5% a. m. e queremos a taxa anual.
5,5% é a taxa que eu tenho (i t).
1 mês ou 30 dias é o prazo que eu tenho (t).
12 meses ou 360 dias é o prazo que eu quero (q).
A taxa que eu quero (iq) será anual (ia) a ser calculada.
Veja outros exemplos:
Calcular o montante (FV) nas seguintes situações:
1. PV = 200,00 n = 12 meses i = 2% a. m. FV = ?
 200
 12
 2 
 
2. PV = 200,00 n = 1 ano i = 26,8242% a. a. FV = ?
 200
 1
 26,8242 
 
Nas duas situações chegamos ao montante de R$ 253,65, mas isso foi possível porque as taxas de juros equivalentes, ou seja, 2% ao mês equivale a 26,8242% ao ano. Assim, você pode aplicar seu dinheiro a 2% a. m. ou 26,8242% a. a. e obterá o mesmo rendimento.
A seguir, mostraremos como calcular taxas equivalentes para qualquer período.
Se você puder trabalhar cm meses. 
Neste caso você tem a taxa de 2% a. m. e quer para 12 meses.
Quando você quer trabalhar com dias, o mês corresponde a 30 dias e o ano a 360 dias.
Conclusão:
Utilizando a fórmula genérica, podemos calcular taxas equivalentes para qualquer n° de dias. Neste exemplo verificamos que 2% ao mês equivale à 26,84242% ao ano.
A seguir, vamos partir da taxa de 26,8242% ao ano e calcular a taxa equivalente mensal.
Exercícios de Fixação
1. Dada a taxa de 2,48% ao mês, calcule a taxa equivalente anual. 
Agora é a sua vez!
3. Temos a taxa de 2% ao mês e queremos a taxa equivalente para 35 dias.4. Você recebeu uma mala direta do concorrente, informando que a rentabilidade anual de uma aplicação era de 18,5% ao ano. No Bradesco, uma aplicação similar oferece rentabilidade média de 1,5% ao mês. Qual a melhor opção?
5. Uma concessionária de automóveis está financiando um veículo popular com a taxa de juros de 0,99% ao mês. Qual é a taxa anual deste financiamento? 
Prestações ou Rendas
Prestações Postecipadas
Valor Presente de uma Renda
Valor da Prestação ou Renda
Prestações Antecipadas
Taxa Interna de Retorno
Prestações ou Rendas
Trata-se de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos com vencimentos periódicos e constantes.
Os pagamentos e recebimentos podem ser:
Postecipados: Se os valores forem exigíveis no final do primeiro período.
Antecipados: Se os valores forem exigidos no início do período.
Periódicos: Se todos os períodos forem iguais.
Constantes: Se os valores forem iguais.
Certamente você já se viu numa situação de ter que programar uma poupança mensal para conseguir realizar algum sonho, como, por exemplo, viajar para o Caribe nas férias. Para isso, a sua HP-12C é muito útil.
O cálculo que você fará será denominado Montante de uma Renda.
Suponha que suas férias estejam programadas para daqui a 4 meses. Como uma viagem para o exterior não é tão barata assim, você fará um esforço para aplicar R$ 1.000,00 em cada um dos 4 meses, à juros de 1% ao mês. Veja quanto você poderá gastar na viagem.
Note que, você toma a decisão de constituir a passagem hoje, mas o primeiro depósito será no início do 1° mês com o nome de prestações postecipadas.
PV = R$ 1.000,00
1° mês
FV = 1000 (1 + 0,01) = 1010 → + depósito da 2ª parcela = 1010 + 1000 = 2010
2° mês
FV = 2010 (1 + 0,01) = 2030,10 → + depósito 3ª parcela = 2030,10 + 1000 = 3030,10
3° mês
FV = 3030,10 (1 + 0,01) = 3060,40 → + depósito 3ª parcela = 3060,40 + 1000 = 4060,40
Você deve ter notado que o cálculo foi feito mês-a-mês. Isso foi apenas para facilitar o entendimento de que existe uma fórmula específica para se chegar ao Montante de uma série de parcelas iguais.
Será que você é capaz de me dizer qual é?
A) 
 x
B) 
C) 
 Resolvendo pela álgebra: Resolvendo pelas funções da HP-12C: 
 
Valor Presente de uma Renda
Você foi contemplado com uma viagem para Nova Iorque onde estagiará, por 4 meses, em uma Universidade. Querendo que seu filho possa sacar R$ 1.000,00, a cada mês, durante o período de sua ausência, qual o valor que você deve depositar hoje numa aplicação que renda 1% ao mês?
Novamente, a sua HP-12C será extremamente útil! O cálculo que você fará será denominado Valor Presente de uma Renda.
Calcular o valor presente significa extrair do valor de cada parcela a taxa de juros nela embutida. Quando falamos de prestações devemos lembrar que cada uma vence em período diferente, e portanto, juros embutidos são diferentes em cada período. Para efetuarmos os cálculos demonstrados no diário de fluxo de caixa devemos aplicar a fórmula a cada parcela: 
Da mesma forma como o cálculo do montante, o cálculo do valor presente pode ser feito das seguintes maneiras:
 Pela fórmula: Pelas funções da HP-12C
Valor da Prestação ou Renda
Comprar ações pode ser um grande negócio. Não dispondo de recursos no momento, e aproveitando a cotação favorável, decidiu efetuar um empréstimo para adquiri-las.
O valor de aquisição das ações é de R$ 3.901,97, este é o valor do empréstimo que você pagará em 4 parcelas mensais, à taxa de juros de 1% ao mês.
PV = 3.901,97
i = 1% a. m.
Exercícios de Fixação
1. Um semestre do seu curso de inglês custa R$ 900,00 se for pago à vista. No entanto, a escola oferece a opção de pagamento em 5 vezes R$ 200,00. Qual é a taxa mensal cobrada pela escola? 
Resp.: 3,62% a. m.
2. Você quer financiar um apartamento cujo valor à vista é de R$ 56.000,00. O prazo de pagamento pretendido é de 15 anos e a taxa de juros cobrada pela construtora é de 0,9489% a. m. Qual o valor das prestações?
Resp.: R$ 650,16
3. Qual o capital que será necessário aplicar hoje em uma caderneta de poupança para que se possa sacar mensalmente R$ 150,00 durante 10 anos, sabendo que a poupança paga uma taxa real de juros de 0,5% a. m.?
Resp.: R$ 13.511,02
Prestações Antecipadas
Já calculamos prestações postecipadas, no entanto, você deve ter se deparado com situações em que tenha sido necessário o pagamento de uma entrada. Neste caso as prestações são chamadas antecipadas, pois o primeiro pagamento é efetuado no ato do financiamento.
Exemplo:
Você fez um financiamento de R$ 3.000,00 para comprar aquele sonhado computador, pagando uma parcela como entrada mais 11 parcelas mensais, à taxa de juros de 1,5% ao mês. Sua situação está representada no fluxo de caixa:
PV = 3.000,00
PMT PMT PMT PMT
 1 2 3 12 meses
A formula para os cálculos das prestações não é nada simples. Veja:
Para entender melhor o conceito de prestação antecipada, acompanhe o desenvolvimento do exemplo abaixo:
Uma calculadora HP-12C custa R$ 145,45 à vista podendo ser paga em três prestações de R$ 54,07. Considerando-se que o primeiro pagamento é no ato da compra, qual é a taxa de juros mensal cobrada pela loja?
PV = 145,45
 0 1 mês 2 meses
PMT = 54,07 54,07 54,07
 Vamos alimentar a HP:
Você deve estar pensando: será que eu sempre terei que me lembrar de descontar a entrada? Não, a HP-12C oferece mais um recurso para você. É o Begin.
Begin é uma expressão em inglês que significa início, ou seja, quando a prestação é antecipada ela é paga no início do período.
Utilizando este recurso você não precisa descontar a parcela de entrada, porém, precisará informar a quantidade de parcelas incluindo a entrada.
Vamos refazer o cálculo utilizando o Begin:
Digite
A partir desse instante, a sua HP-12C estará programada para cálculos com prestações antecipadas, e esta informação estará no visor, não sendo necessário repetir o comando a cada cálculo.
Em cálculos de prestações postecipadas deverá ser retirada a informação do visor de sua HP-12C.
Para isso digite 
Agora é a sua vez!
Você decidiu comprar uma bicicleta ergométrica para ficar em forma. Após várias pesquisas em diversas lojas, você encontrou por R$ 530,00 à vista, ou 1 entrada mais 7 prestações de R$ 77,37.
Qual a taxa de juros cobrada pela loja?
Resp.: 4,7%
1
PRINCIPAIS FUNÇÕES DA hp-12C
ON
g
n
12X
AMORT
° Para especificar a função alternativa impressa em dourado acima da tecla, pressione a tecla dourada, de prefixo , e em seguida pressione a tecla da função.
° Para especificar a função primária impressa na face superior de uma tecla, basta apenas pressioná-la sozinha.
° Para especificar a função alternativa impressa em azul na face oblíqua da tecla, pressione a tecla azul, de prefixo , e então pressione a tecla da função.
g
f
ON
f 
PREFIX
PREFIX
GTO
RCL
STO
PREFIX
f
g
f 
PREFIX
f
g
(
(
f
+
+
+
ENTER
ENTER
ENTER
Observe que as memórias servem para armazenar os números na seqüência e depois, efetuar os cálculos. Caso contrário, o cálculo teria que ser feito passo a passo, utilizando as regrasbásicas da matemática.
ENTER
(
-
+
+
ENTER
ENTER
ENTER
:
x
-
+
ENTER
x y
ENTER
Neste caso não podemos armazenar todos os dados.
Então, como poderemos resolver essa operação?
Vamos verificar na HP-12C
:
x y
ENTER
ENTER
ENTER
+
x
:
:
x y
%
ENTER
ENTER
%
(%
ENTER
(%
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ENTER
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(%
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(
g
4
g
CHS
CHS
(
ENTER
CHS
g
g
ENTER
CHS
ENTER
0
EEX
g
ENTER
g
ENTER
CHS
CHS
g
ENTER
EEX
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ENTER
g
EEX
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CHS
(
ENTER
STO
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+
ENTER
RCL
STO
STO
0
ENTER
ENTER
-
STO
1
0
RCL
x
1
RCL
+
+
0
x
RCL
x
x
x
ENTER
ENTER
ENTER
yx
ENTER
yx
0
yx
0
STO
RCL
0
RCL
0
STO
x
ENTER
%
ENTER
+
2
JUROS SIMPLES
Importante!
Para que sua HP-12C funcione de maneira correta, quando o prazo (n) não for inteiro, é necessário que ela esteja ajustada para convenção exponencial (juros compostos). Isso quer dizer que precisa estar configurado no visor a letra C. Caso ela não esteja ajustada, pressione .
Se não estiver configurada a letra C no visor, a HP-12C trabalhará na convenção linear (juros simples) toda vez que o (n) não for número inteiro.
ENTER
(
1/x
1/x
1/x
yx
x
x
ENTER
+
1/x
yx
ENTER
+
1/x
yx
ENTER
-
x
f
J = C . i . n
J = 420 . 0,015 . 3
J = R$ 18,90
x
EEX
yx
ENTER
ENTER
x
x
CLX
x
(
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CLX
f
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(
x
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x
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x
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x
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x
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x
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(
x
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(
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ENTER
ENTER
(
x
(
+
n
+
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
i
PV
CHS
f
INT
R↓
x� EMBED Equation.3 ���y
f
+
CHS
i
n
PV
CHS
f
INT
3
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA OU EXPONENCIAL
+
n
i
PV
CHS
R↓
INT
f
x� EMBED Equation.3 ���y
+
i
CHS
FV
f
CLX
PV
f
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PV
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PV
i
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i
PV
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n
FV
CHS
f
CLX
CHS
FV
i
PV
n
f
CLX
i
FV
CHS
ENTER
n
x
PV
4
TAXAS EQUIVALENTES
Fórmula Genérica: � EMBED Equation.3 ���
f
CLX
CHS
PV
n
FV
i
f
CLX
CHS
PV
n
FV
i
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
(
-
yx
+
ENTER
ENTER
1000
1
0.01
4
1
0.01
 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00
 H 1 2 3 4
 1.010,00
 2.010,00 2.030,10
 3.030,10 3.060,40
 4.060,40
CLX
f
(
yx
-
+
x
ENTER
ENTER
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
CLX
f
(
yx
-
+
x
2. Dada a taxa de 60% ao ano., calcule a taxa equivalente mensal.
 1
 0,0248
 360
 30
 1 
100 Resp.: 34,17% a. a.
� EMBED Equation.3 ���
CLX
f
(
yx
-
+
x
ENTER
ENTER
� EMBED Equation.3 ���
CLX
f
(
yx
-
+
x
ENTER
ENTER
� EMBED Equation.3 ���
CLX
f
ENTER
+
yx
ENTER
(
-
x
CLX
f
(
yx
-
+
x
ENTER
 1
 0,185
 30
 360
 1 
Resp.: 1,42% a. m.
ENTER
 1
 0,015
 360
 30
 1 
Resp.: 19,56% a. a.
CLX
f
(
yx
-
+
x
ENTER
ENTER
 1
 0,0099
 360
 30
 1 
100 Resp.: 12,55% a. a.
5
PRESTAÇÕES OU RENDAS
CLX
f
(
yx
-
+
x
ENTER
ENTER
 1
 0,268242
 1
 12
 1 
100 Resp.: 
 1
 0,02
 35
 30
 1 
100 Resp.: 2,33% a. p.
CLX
f
(
yx
-
+
x
ENTER
ENTER
 1
 0,60
 30
 360
 1 
100 Resp.: 3,99% a. m.
 1
 0,268242
 30
 360
 1 
100 Resp.: 
ENTER
ENTER
 1
 0,02
 360
 30
 1 
 2 Resp.: 26,82% a. a.
� EMBED Equation.3 ���
CHS
FV
iCLX
f
n
1000
4
1
PMT
PMT
CHS
PV
i
CLX
f
n
1000
4
1
PV
CHS
PMT
i
CLX
f
n
3901,97
4
1
PV
CHS
i
PMT
CLX
f
n
900
5
200
PV
CHS
PMT
i
CLX
f
n
56000
180
0,9489
PMT
CHS
PV
i
CLX
f
n
150
120
0,5
Se a primeira parcela foi paga no ato, podemos entender que a loja não financiou o valor total, já que houve uma entrada de R$ 54,07. Portanto, o valor financiado foi de R$ 91,38, e somente sobre este incidirá juros. 
PV
CHS
i
PMT
CLX
f
n
91,38
2
54.07
Como as parcelas são mensais, a taxa de 12% é ao mês.
g
7
g
8
7
g
i
PMT
CLX
f
CHS
530
8
77,37
PV
n
ON
5
_1113495145.unknown
_1113574661.unknown
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_1113587327.unknown
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_1113584251.unknown
_1113586710.unknown
_1113577234.unknown
_1113579774.unknown
_1113584133.unknown
_1113577844.unknown
_1113578002.unknown
_1113577681.unknown
_1113575997.unknown
_1113576199.unknown
_1113575879.unknown
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_1113563772.unknown
_1113566067.unknown
_1113520860.unknown
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_1113516839.unknown
_1113516913.unknown
_1113495240.unknown
_1113486854.unknown
_1113488290.unknown
_1113488965.unknown
_1113487326.unknown
_1109533685.unknown
_1109534102.unknown
_1109530380.unknown