Exercícios de Modelos de Sistemas Dinâmicos

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Universidade Federal do ABC
BC 1507 – Instrumentação e Controle
Professor André Luís da Silva
Primeiro Quadrimestre de 2013
Primeira lista de exercícios
Assunto: Modelos de Sistemas Dinâmicos
1) Determine uma equação diferencial que descreve o comportamento do circuito RLC 
paralelo apresentado no diagrama abaixo. Note que a função forçante é uma fonte de 
corrente.
Resp. 
d2 v
dt 2

1
RC
dv
dt

1
LC
v= 1
C
di t
dt
2) Determine uma equação diferencial para o circuito série paralelo abaixo.
Resp. 
d2 vc
dt2
 R1L  1R2 C  dvcdt  R1R2R2 LC vc= 1LC v t 
3) Determine um conjunto de equações diferenciais para o sistema mecânico de translação 
abaixo. Este é um conjunto de dois graus de liberdade de translação, um para cada massa. 
Haverá uma equação diferencial para x1 e outra para x2 , mas ambas serão acopladas.
Qual é a ordem do sistema de equações diferenciais resultante?
Resp.
d2 x1
dt 2
 b
m1
dx1
dt
− b
m1
dx2
dt

k 1k2
m1
x1−
k2
m1
x2=0,
d2 x2
dt 2
 b
m2
dx2
dt
− b
m2
dx1
dt

k2
m2
x2−
k2
m2
x1=
1
m2
F t 
4) Determine um conjunto de equações diferenciais para o sistema mecânico de translação a 
seguir. Este é um conjunto de dois graus de liberdade de translação, um para cada massa. 
Haverá uma equação diferencial para x1 e outra para x2 , mas ambas serão acopladas.
Qual é a ordem do sistema de equações diferenciais resultante?
Resp.
d2 x1
dt 2
 b
m1
dx1
dt
− b
m1
dx2
dt

k1k 2
m1
x1−
k2
m1
x2=
1
m1
F t 
d2 x2
dt 2

b
m2
dx2
dt
−
b
m2
dx1
dt

k2k3
m2
x2−
k2
m2
x1=0
5) Nos exercícios 1) a 4), é possível mais de uma forma para as equações diferenciais? Ou seja, 
elas poderiam ser escritas de outra maneira? Se for verdade, isso depende do quê?
6) (Exemplo 8.1.3 da Ref. [1]). Um poço de petróleo que acaba de ser aberto deverá produzir 
300 barris de petróleo bruto por mês e, se continuar a ser explorado a esta taxa, se esgotará 
em 3 anos. Estima-se que daqui a t meses o preço do barril de petróleo bruto será 
pt =280,3 t reais. Se o petróleo é vendido logo que é extraído, qual é a receita total 
gerada pelo poço durante todo o período em que permanece produtivo.
Resp. 
dR
dt
=280,3 t 300 , R$ 315.360,00
7) (Exemplo 8.1.7 da Ref. [1]). A taxa com a qual as pessoas ouvem falar de um aumento das 
tarifas postais é proporcional ao número de pessoas que ainda não ouviram falar do 
aumento. Expresse o número de pessoas que já ouviram falar do aumento em função do 
tempo.
Resp. Q t =B−Ae−kt , k: constante de proporcionalidade, B: população total, A: constante de 
integração.
Nos exercícios 8 a 13, escreva uma equação diferencial que descreva a situação dada. Identifique 
todas as variáveis que aparecem na equação. (Não tente resolver a equação diferencial).
8) (Problema 29 da seção 8.1 da Ref. [1]). Aumento de um investimento: Um investimento 
aumenta a uma taxa de 7% do seu valor.
Resp. 
dQ
dt
=0,07 Q
9) (Problema 31 da seção 8.1 da Ref. [1]). Colônia de bactérias: O número de bactérias em uma 
cultura aumenta a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes.
Resp. 
dQ
dt
=kQ
10) (Problema 33 da seção 8.1 da Ref. [1]). Crescimento demográfico: A população de uma 
cidade aumenta a uma taxa constante de 500 habitantes por ano.
Resp. 
dP
dt
=500
11) (Problema 35 da seção 8.1 da Ref. [1]). Variação de temperatura: A taxa com a qual a 
temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a 
temperatura ambiente.
Resp. 
dT
dt
=k T−T m
12) (Problema 37 da seção 8.1 da Ref. [1]). Memória: Quando se pede a uma pessoa para se 
lembrar de uma série de fatos, a rapidez com que os fatos são lembrados é proporcional ao 
número de fatos que ainda não foram lembrados.
Resp. 
dR
dt
=k F−R 
13) (Problema 39 da seção 8.1 da Ref. [1]). Corrupção no governo: A taxa com a qual as pessoas 
são indiciadas em um escândalo que envolve membros do governo é conjuntamente 
proporcional ao número de pessoas já indiciadas e ao número de pessoas envolvidas que 
ainda não foram indiciadas.
Resp. 
dP
dt
=kP C−P
14) (Problema 57 da seção 8.1 da Ref. [1]). Controle de Estoque: O fabricante de um certo 
produto chega à conclusão de que, para garantir o lucro, o preço p do produto deve diminuir 
a uma taxa igual à metade do estoque (excedente) S-D, onde S e D são, respectivamente, a 
oferta e a demanda do produto, ou seja,
dp
dt
=−1
2
S−D
Suponha que a oferta e a demanda variam com o preço de acordo com as equações
S  p=803p , D  p=120−2p
e que o preço do produto é R$ 5,00 no instante t=0.
a) Determine a função p(t)
b) Determine o preço de equilíbrio, ou seja, o preço para o qual a oferta é igual à demanda.
c) Mostre que a função p(t) determinada no item (a) tende para o preço de equilíbrio a longo 
prazo (ou seja, para t∞ )
Resp. a) pt =8−3e−5 t /2 , b) pe=8
15) (Problema 59 da seção 8.1 da Ref. [1]). Eliminação de Rejeitos Tóxicos: Para estudar a 
degradação de alguns rejeitos tóxicos, os pesquisadores usam a equação de Haldane.
dS
dt
= aS
bcSS2
onde a, b e c são constantes positivas e S(t) é a concentração do substrato (substância sobre 
a qual agem as bactérias contidas nos rejeitos) (Ref. [2]). Determine a solução geral da 
equação de Haldane. Expresse a resposta em forma implícita (Como uma função 
envolvendo S e t). 
Resp.
b
a
ln S  c
a
S 1
2a
S2=tK
Referências
[1] Hoffmann, L.D., & Bradley, G. L. "Cálculo: um curso moderno e suas aplicações: tópicos 
avançados", décima edição, Rio de Janeiro: LTC, 2010.
[2] LaGrega, M.D., Buckingham, P.L., & Evans, J.C. "Hazardous waste management", New York: 
McGraw-Hill, 1994, p. 578.