Exercícios de Instrumentação e Controle

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Universidade Federal do ABC
BC 1507 – Instrumentação e Controle
Professor André Luís da Silva
Primeiro Quadrimestre de 2013
Terceira lista de exercícios
Assunto: Solução da Equação de Estado, Respostas de Regime Transitório e Permanente
Os temas desta lista de exercícios são centrados na equação da resposta completa de um 
sistema linear de ordem n escrito na forma de espaço de estados:
x t =eAt x0∫0
t
e At−Bud
Parte 1: sistemas de primeira ordem
[1] Abaixo, é apresentado um circuito RL em série. A resistência e a indutância possuem valores 
genéricos R e L, respectivamente. A fonte de corrente é v t =Vut  , onde ut  é a função 
degrau unitário e V é uma amplitude qualquer de tensão. A condição inicial no indutor é nula. 
Nestas condições:
a) Determine a equação de estado para a corrente i do indutor;
b) Resolva a integral de convolução para o caso da entrada degrau.
c) Determine a expressão da constante de amortecimento (constante de decaimento 
exponencial) e a constante de tempo;
d) Para V=10volts , R=10 e L=100m H , trace o gráfico da resposta temporal da 
variável de estado;
e) Nas condições do item d), determine o tempo de regime permanente pelo critério de 95%.
[2] Abaixo, é apresentado um diagrama de corpo livre, representando as forças atuantes em uma 
esfera de metal em queda livre. As duas forças atuantes são o peso da esfera e a força de arrasto 
aerodinâmico. Esta última é caracterizada de modo razoavelmente preciso por um atrito viscoso, 
que é proporcional à velocidade do corpo, com constante de amortecimento, ou coeficiente de 
arrasto, b. A velocidade inicial é nula. Nestas condições:
a) Determine a equação de estado que descreve o comportamento da velocidade v t  da 
esfera, com sentido positivo para baixo;
b) Resolva a integral de convolução para encontrar velocidade em função do tempo, veja 
que a função forçante (entrada) é a aceleração da gravidade g ;
c) Determine a expressão da constante de amortecimento (constante de decaimento 
exponencial) e a constante de tempo;
d) Para g=9.81m /s2 , m=1kg e b=1⋅10−1 kg/ s , trace o gráfico da resposta 
temporal da velocidade;
e) Nas condições do item d) determine o tempo de regime permanente pelo critério de 95%. 
Qual é a “velocidade terminal” deste objeto em queda livre? O que o tempo de regime permanente 
significa?
Parte 2: sistemas de segunda ordem
[3] Seja o circuito RLC visto nas notas de aula. Assuma os mesmos valores do exemplo 2, ou seja, 
aquele no qual a matriz de transição de estados é formada por exponenciais decrescentes. 
R=25 , L=1H e C=10−2C . Lembre que o exemplo de aula foi feito usando variáveis de 
fase, ou seja, o estado foi considerado como sendo a tensão do capacitor e respectiva derivada. No 
entanto, agora pede-se que sejam consideradas como variáveis de estado a tensão no capacitor e a 
corrente no indutor. Nestas circunstâncias:
a) Determine os autovalores da matriz de dinâmica e mostre que são iguais ao do exemplo 2;
b) Determine os autovetores unitários;
c) Determine a matriz de transição de estado e veja que ela é idêntica àquela obtida no 
exemplo 2, mesmo usando outra representação para as variáveis de estado.
[4] Para o mesmo circuito RLC da questão [3] e exemplo 2, agora, considere que a entrada é nula, 
mas as condições inicias são não nulas, dadas por i0=1ampere , v0=100volts . Nestas 
circunstâncias, use a matriz de transição de estado para determinar a resposta do estado a estas 
condições iniciais. A seguir, esboce o gráfico da resposta temporal da corrente no indutor e tensão 
no capacitor.
[5] Agora, considere o mesmo circuito RLC da questão [3], no entanto, com o valor de resistência 
R=4 do exemplo 3 das notas de aula, ou seja, do caso em que a matriz de transição de estado 
é formada por funções seno e cosseno amortecidas por exponenciais decrescentes. Assuma que a 
entrada é nula, mas as condições inicias são não nulas, dadas por i0=1ampere e v0=100volts . 
Nestas circunstâncias, use a matriz de transição de estado para determinar a resposta do estado a 
estas condições iniciais. A seguir, esboce o gráfico da resposta temporal da corrente no indutor e 
tensão no capacitor.
[6] Seja a equação diferencial de segunda ordem abaixo:
d2 y
dt 2
12 dy
dt
100y=100u t 
onde u(t) é a função degrau unitário.
a) Determine um modelo de espaço de estados, sugestão: use variáveis de fase, assuma que a 
saída é simplesmente a variável y.
b) Encontre os autovalores da matriz de dinâmica;
c) Encontre os autovetores unitários;
d) Determine a matriz de transição de estado.