Aula 2 - Modelos de Sistemas Dinâmicos

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Instrumentação e Controle
Primeiro Quadrimestre de 2013
Prof. André Luís da Silva
Aula 2
Dia 25 de maio de 2013
Modelos de Sistemas Dinâmicos
Nesta aula, foi tratado o assunto de modelos matemáticos de sistemas dinâmicos. A principal 
referência adotada foi (Hoffmann & Bradley, 2010).
A aula começou com uma breve introdução ao processo de modelagem de um sistema, 
fenômeno ou processo:
1. Um problema prático recebe uma formulação matemática, conhecida como modelo 
matemático. Este passo envolve o uso de hipóteses simplificadoras para tonar o problema 
mais fácil de resolver;
2. O modelo matemático é analisado ou resolvido usando métodos da álgebra, do cálculo, 
estatística, entre outros, ou métodos numéricos basados em calculadoras ou computadores.
3. A solução do modelo matemático é interpretada em termos do problema prático original. 
Este passo frequentemente leva a ajustes nas hipóteses do modelo.
Modelos matemáticos que representam sistemas dinâmicos são avaliados por métodos do 
cálculo que envolvem taxas de variação, as quais são representadas por derivadas. Muitas vezes, a 
formulação envolve uma equação na qual uma grandeza e sua taxa de variação estão relacionadas 
através de uma equação. Como isto envolve derivadas, tal equação é chamada de equação 
diferencial. Alguns exemplos:
dy
dx
=3x25, dP
dt
=kP ,  dydx 
2
3 dy
dx
2y=ex
Lembrou-se dos conceitos de: solução geral, condição inicial, problema de valor inicial e 
solução particular.
Após esta introdução, foram apresentados dois exemplos da referência (Hoffmann & 
Bradley, 2010).
Exemplo 8.1.2: Representação de um processo econômico, a depreciação de uma máquina, por 
equação diferencial linear de primeira ordem. A equação foi resolvida e os conceitos de condição 
inicial, solução particular e validade das hipóteses foram reforçados.
Exemplo 8.1.8: Representação de um processo biológico, a infecção de uma população por uma 
epidemia. O modelo é uma equação diferencial de primeira ordem não linear. A solução foi 
calculada analiticamente e interpretada.
Após apresentar os dois exemplos sobre processos econômicos e biológicos, foram 
apresentados os dois exemplos clássicos de circuito RLC série e sistema massa, mola amortecedor. 
Os diagramas de cada caso e as equações constitutivas de cada componente foram apresentados. A 
seguir, determinou a equação diferencial de cada um.
Circuito RLC série
Sistema massa, mola, amortecedor
Referências
Hoffmann, L.D., Bradley, G. L. "Cálculo: um curso moderno e suas aplicações: tópicos avançados", 
décima edição, Rio de Janeiro: LTC, 2010.