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Universidade Federal do ABC Primeiro Quadrimestre de 2013 Prof. Andre´ Lu´ıs da Silva Aula 5 Dia 14 de maio de 2013 Respostas de Sistemas de Segunda Ordem e Paraˆmetros Elementares de Desempenho 1 Introduc¸a˜o Na aula anterior, foi desenvolvida uma expressa˜o fechada para a soluc¸a˜o completa de uma equac¸a˜o diferencial linear de ordem n, a qual foi representada na forma de um modelo de espac¸o de estados. A soluc¸a˜o completa envolve a soma da resposta para a condic¸a˜o inicial e a resposta forc¸ada devido a uma entrada externa. A aula de agora trata do estudo espec´ıfico dos sistemas de primeira e de segunda ordem, na resposta para uma entrada externa do tipo degrau unita´rio. Sa˜o apresentadas as expresso˜es gerais destas respostas, va´lidas para sistemas lineares invariantes no tempo (LIT) de primeira e segunda ordem quaisquer. As condic¸o˜es iniciais na˜o sa˜o tratadas, nem outros tipos de entrada. A func¸a˜o degrau unita´rio e´ adotada pois ela serve para ressaltar comportamentos gerais dos sistemas de primeira e de segunda ordem, no que dizem respeito a` velocidade de resposta, oscilac¸o˜es, amortecimento e erro de re- gime permanente. Tais paraˆmetros sa˜o ditos paraˆmetros de desempenho e servem para especificar comportamentos desejados para um sistema de controle. 2 Respostas de Sistemas de Segunda Ordem Lineares Invariantes no Tempo Considere um sistema de segunda ordem na forma padra˜o: d2y dt2 + 2ζωn dy dt + ω2ny = bu(t) (1) Na equac¸a˜o 1 y e´ uma varia´vel de interesse do sistema, u(t) e´ uma func¸a˜o forc¸ante, que e´ assumida ser um degrau unita´rio, b e´ uma constante, que e´ o ganho da entrada. ζ e ωn sa˜o constantes que sera˜o devidamente interpretadas a` seguir. A forma padra˜o da equac¸a˜o diz respeito a` escreveˆ-la segundo as constantes ζ e ωn. Note que uma equac¸a˜o diferencial qualquer envolvendo y e u pode ser escrita como: a2 d2y dt2 + a1 dy dt + a0y = ku(t) (2) Comparando as equac¸o˜es 1 e 2, verifica-se que a equac¸a˜o geral sempre pode ser escrita segundo a forma padra˜o, adotando: ω2n = a0 a2 , ζ = a1 2a2ωn , b = k a2 (3) Conforme sera´ visto a seguir, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o 1 ou 2 tera´ sentido para qualquer ζ e somente para ωn > 0. 2 Respostas de Sistemas de Segunda Ordem Lineares Invariantes no Tempo 2 A soluc¸a˜o sera´ apresentada para o caso da forma padra˜o em 1, para isso, primeiro, determina-se um model de espac¸o de estados, com as definic¸o˜es: x1 = y (4) x2 = y˙ (5) conforme visto nos exemplos 2 e 3 da u´ltima aula, a escolha de varia´veis de estado acima chama-se varia´veis de fase. Das definic¸o˜es em 4 e 5, determina-se a equac¸a˜o de estado: x˙1 = y˙ = x2 x˙2 = y¨ = −2ζωndy dt − ω2ny + bu(t)[ x˙1 x˙2 ] = [ 0 1 −ω2n −2ζωn ] [ x1 x2 ] + [ 0 b ] u(t) (6) Ou: x˙ = Ax + Bu(t) (7) A = [ 0 1 −ω2n −2ζωn ] (8) B = [ 0 b ] (9) Os autovalores da matriz A sa˜o dados por: det (λI−A) = 0 (10)∣∣∣∣ λ −1ω2n λ+ 2ζωn ∣∣∣∣ = 0 (11) A condic¸a˜o 11 leva ao seguinte ca´lculo de raiz de polinoˆmio: λ2 + 2ζωnλ+ ω 2 n = 0 (12) Aplicando a fo´rmula de Bhaskara, tem-se que os autovalores sa˜o dados por: λ = −2ζωn ± √ 4ζ2ω2n − 4ω2n 2 λ = −2ζωn ± √ 4ω2n (ζ 2 − 1) 2 λ = −ζωn ± ωn √ ζ2 − 1 (13) Na equac¸a˜o 13, quatro possibilidades sa˜o fact´ıveis, as primeiras duas dizem respeito ao sinal de ζ. Como e´ visto a seguir, ωn e´ uma frequeˆncia e na˜o pode ser negativa. Enta˜o, o sinal de −ζωn depende do sinal de ζ. Para ζ < 0, −ζωn > 0 e ambos os autovalores determinados pela equac¸a˜o 13 sa˜o positivos, pois ωn √ ζ2 − 1 < ζωn. Enta˜o, para ζ < 0, os autovalores determinam respostas temporais divergentes ou insta´veis. Ja´ para ζ > 0 a resposta temporal e´ sempre convergente ou esta´vel , e os treˆs casos seguintes podem ocorrer. 2 Respostas de Sistemas de Segunda Ordem Lineares Invariantes no Tempo 3 Para ζ > 1, tem-se autovalores reais e distintos: λ1 = −ζωn + ωn √ ζ2 − 1, λ2 = −ζωn − ωn √ ζ2 − 1 (14) neste caso, a resposta natural (resposta a`s condic¸o˜es iniciais) e´ a soma de duas exponencais de- crescentes e o sistema e´ dito super-amortecido. A resposta ao degrau unita´rio, para condic¸o˜es nulas e´ dada na equac¸a˜o 16. Esta equac¸a˜o e´ demonstrada na sec¸a˜o 5.1. M = ωn 2 √ ζ2 − 1 (15) y(t) = b ω2n ( 1 + M λ1 eλ1t − M λ2 eλ2t ) (16) Para ζ = 1, tem-se autovalores reais e iguais: λ1 = λ2 = −ζωn (17) neste caso, a resposta natural e´ uma func¸a˜o linear no tempo multiplicada por uma exponencial decrescente, somada a` pro´pria func¸a˜o exponencial, e o sistema e´ dito criticamente amortecido. A resposta ao degrau unita´rio, para condic¸o˜es inicias nulas, e´ dada na equac¸a˜o 18. A tarefa de obter a demonstrac¸a˜o desta equac¸a˜o e´ deixada como exerc´ıcio, ela pode ser encontrada em livros de equac¸o˜es diferenciais. y(t) = b ω2n ( 1− (1 + ωnt) e−ωnt ) (18) Para 0 ≤ ζ < 1, tem-se autovalores complexos e conjugados: λ = −ζωn ± ωn √ ζ2 − 1 λ = −ζωn ± ωn √ −1(1− ζ2) λ = −ζωn ± jωn √ 1− ζ2 (19) onde j = √−1 e´ a unidade imagina´ria. A resposta natural e´ constitu´ıda de seno´ides e cosseno´ides amortecidas, ou seja, multiplicadas por exponenciais decrescentes. neste caso, o sistema e´ dito sub-amortecido. A resposta ao degrau unita´rio, para condic¸o˜es iniciais nulas, e´ dada na equac¸a˜o 20. A demonstrac¸a˜o desta equac¸a˜o e´ apresentada na sec¸a˜o 5.2. y(t) = b ω2n ( 1− 1√ 1− ζ2 e −t/τ sin(ωdt+ φ) ) (20) ωd = ωn √ 1− ζ2 (21) τ = 1 ζωn (22) φ = cos−1 ζ (23) Note que a resposta e´ uma seno´ide amortecida com fase φ. A fase prove´m de uma combinac¸a˜o de senos e cossenos. Tambe´m existe uma constante somada, que corresponde ao valor de regime permanente. 2 Respostas de Sistemas de Segunda Ordem Lineares Invariantes no Tempo 4 Agora, e´ poss´ıvel discutir o significado dos paraˆmetros ζ e ωn, bem como justificar os nomes das respostas temporais delineadas acima. Nas equac¸o˜es 16 e 20, ζ esta´ associado ao amortecimento introduzido pelas exponenciais, ou seja, o qua˜o ra´pido o regime transito´rio e´ dissipado, convergindo para o regime permanente. Essa constante ζ, por sua natureza, recebe o nome de raza˜o de amortecimento. Na equac¸a˜o 20, esta´ bem claro que ωd e´ uma frequeˆncia angular. Ela recebe o nome de frequeˆn- cia natural amortecida, pois e´ determinada pela influeˆncia da raza˜o de amortecimento, via a equac¸a˜o 21. A constante ωn, por sua vez, e´ chamada de frequeˆncia natural na˜o amortecida, pois e´ a frequeˆncia angular de oscilac¸a˜o para o caso ζ = 0, ou seja, sem amortecimento. Perceba que nesse caso as oscilac¸o˜es senoidais possuem amplitude constante. Em um sistema esta´vel ωn e´ uma frequeˆncia, logo, a mesma na˜o pode ser negativa, justificando a hipo´tese colocada no in´ıcio da discussa˜o. Na equac¸a˜o 20, note a diferenc¸a entre 1/τ e ωd. A primeira frequeˆncia e´ o inverso da constante de tempo τ e esta´ associada a um decaimento exponencial. A segunda esta´ associada a`s oscilac¸o˜es senoidais. Agora, quanto ao nome das respostas temporais, perceba que o maior amortecimento esta´ presente na resposta da equac¸a˜o 16. Por outro lado, o menor esta´ associado a` equac¸a˜o 20, a qual descreve, inclusive, oscilac¸o˜es. Por tal raza˜o, essas respostas recebem o nome de super e sub amortecidas, respectivamente. O caso criticamente amortecido tem esse nome justamente por ser uma condic¸a˜o crucial entre estes dois comportamentos. A figura 1 mostra as respostas determinadas para o caso super-amortecido e tambe´m para a situac¸a˜o limı´trofe de criticamente amortecido. O tempo foi adimensionalizado por ωn, de modo que o u´nico paraˆmetro da simulac¸a˜o fosse a raza˜o de amortecimento ζ. Os resultados tambe´mforam determinados para o caso b = ω2n, o que determina um valor de regime permanente sempre unita´rio. Note que o efeito de aumentar ζ e´ o de tornar a resposta da varia´vel y mais lenta. O efeito do paraˆmetro ωn, por sua vez, e´ alterar a escala de tempo do sistema, por exemplo, ωn = 1rad/s faria o tempo estender-se de 0 a 10 segundos na figura 1; enquanto omegan = 10rad/s faria o tempo estender-se desde zero ate´ 1 segundo. ζ e´ uma frac¸a˜o de amortecimento pois o seu efeito temporal e´ sempre dependente de ωn. Isso pode ser interpretado como uma formatac¸a˜o de curvas inserida por ζ para uma mesma frequeˆncia ωn. A figura 2 mostra respostas sub amortecidas determinados para diversos valores de ζ. Nova- mente, assume-se b = ω2n e o tempo e´ adimensionalizado por ωn. Note que o efeito de aumentar ζ e´ a reduc¸a˜o das oscilac¸o˜es e a diminuic¸a˜o do tempo de convergeˆncia. No entanto, note que isso provoca uma reduc¸a˜o do tempo em que o primeiro ma´ximo ocorre. 2 Respostas de Sistemas de Segunda Ordem Lineares Invariantes no Tempo 5 0 5 10 15 20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 y tω n ζ=1 ζ=1.5 ζ=2 ζ=3 ζ=5 Fig. 1: Respostas determinadas para o caso super amortecido, com tempo adimensionalizado por ωn. O caso limı´trofe criticamente amortecido tambe´m e´ mostrado. 2 Respostas de Sistemas de Segunda Ordem Lineares Invariantes no Tempo 6 0 5 10 15 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 y tω n ζ=0.1 ζ=0.2 ζ=0.4 ζ=0.7 ζ=1 Fig. 2: Respostas determinadas para o caso sub amortecido, com tempo adimensionalizado por ωn. O caso limı´trofe criticamente amortecido tambe´m e´ mostrado. 3 Paraˆmetros de Desempenho Elementares 7 3 Paraˆmetros de Desempenho Elementares As respostas apresentadas nas figuras 1 e 2 podem ser representadas segundo paraˆmetros quan- titativos. Para tanto, uma resposta sub amortecida geralmente e´ adotada, por ser aquela que pronuncia o maior nu´mero de comportamentos. Uma resposta deste tipo e´ apresentada na figura 3. Fig. 3: Resposta de um sistema de segunda ordem e definic¸a˜o de paraˆmetros de desempenho elementares. A figura 3 define os seguintes paraˆmetros: • Valor final (VF ): Valor para o qual tende, assintoticamente, a resposta; • Tempo de subida (tr): Tempo que a resposta leva entre a primeira vez que cruza um determinado limite inferior e a primeira vez que cruza um determinado limite superior. Estes limites sa˜o geralmente definidos em percentagem do valor final. E´ usual usarem-se os tempos de subida 10%− 90%, 5%− 95% e 0− 100%; • Sobressinal (S): Diferenc¸a entre o valor ma´ximo e o valor final da resposta, geralmente medida como percentagem ou frac¸a˜o do valor final; • Tempo de pico (tp): Tempo que a resposta leva para atingir o seu valor ma´ximo; • Frequeˆncia (ωd ou fd) e per´ıodo das oscilac¸o˜es amortecidas (Td): Frequeˆncia (angular ou linear) e per´ıodo das oscilac¸o˜es amortecidas que a resposta apresenta em torno do valor final. Estes paraˆmetros so´ ocorrem na resposta sub-amortecida; • Tempo de estabelecimento (ts): Tempo ao fim do qual a resposta se encontra definiti- vamente dentro de uma determinada margem em torno do valor final. E´ habitual definir-se 3 Paraˆmetros de Desempenho Elementares 8 a largura dessa margem em percentagem do valor final, e e´ frequente a utilizac¸a˜o de uma margem de ±5%. Este tempo pode ser indicado como ts(±5%), mas por vezes usa-se sim- plesmente a forma ts(5%). Para sistemas de primeira ordem, somente os paraˆmetros VF , tr e ts sa˜o definidos, visto que os demais esta˜o associados a`s componentes oscilato´rias das respostas, que somente esta˜o presentes nos sistemas de segunda ordem. Note tambe´m que estes paraˆmetros sa˜o os u´nicos presentes nas respostas super e criticamente amortecidas dos sistemas de segunda ordem, visto que somente os sub-amortecidos apresentam componentes oscilato´rias. Sistemas de ordem superior a dois, podem ou na˜o apresentar todos os aspectos da figura 3, dependendo da natureza de seus autovalores. Para os sistemas de primeira ordem, existem fo´rmulas fechadas para os seus paraˆmetros mais importantes, que sa˜o dadas na tabela 1. Tab. 1: Primeira ordem Tempos de subida tr(10%− 90%) ≈ 2.2τ tr(5%− 95%) ≈ 2.95τ Tempo de estabelecimento ts(±5%) ≈ 3τ Valor de regime permanente para entrada degrau unita´rio VF = bτ Erro de regime permanente para entrada degrau unita´rio e∞ = 1− VF = 1− bτ Onde τ e´ a constante de tempo do sistema de primeira ordem. b e´ o ganho da entrada. O tempo de subida (0%− 100%) e´, naturalmente, infinito. Para os sistemas de segunda ordem sub-amortecidos, os principais paraˆmetros das respostas sa˜o apresentadas na tabela 2. Para determinar as expresso˜es dos principais paraˆmetros da resposta de segunda ordem super amortecida, e´ realizada uma aproximac¸a˜o para ζ >> 1. Neste caso, considera-se que autovalor λ1 e´ dominante sobre o autovalor λ2, no sentido de que a constante de tempo associada a λ1 e´ muito maior que aquela associada a λ2. Desta forma, assume-se, com o devido erro, que a constante de tempo da resposta e´ somente τ = 1/λ1. Isso e´ equivalente a aproximar a resposta de segunda ordem por uma de primeira. Neste caso, tem-se as relac¸o˜es na tabela 3. Para os sistemas de segunda ordem criticamente amortecidos, as expresso˜es dos principais paraˆmetros da resposta sa˜o apresentados na tabela 4. 3 Paraˆmetros de Desempenho Elementares 9 Tab. 2: Segunda ordem, sub-amortecido Per´ıodo das oscilac¸o˜es amortecidas Td = 2pi ωd Tempo de pico tp = Td 2 = pi ωd Sobressinal S = e −pi ζ√ 1−ζ2 = e−pi cotφ Tempo de subida tr(0− 100%) = pi−φωd Tempo de estabelecimento ts(±5%) ≈ 3τ Valor de regime permanente para entrada degrau unita´rio VF = b/ω 2 n Erro de regime permanente para entrada degrau unita´rio e∞ = 1− VF = 1− b/ω2n Tab. 3: Segunda ordem, super-amortecido, simplificac¸a˜o para ζ >> 1 Tempos de subida tr(10%− 90%) ≈ 2.2τ tr(5%− 95%) ≈ 2.95τ Tempo de estabelecimento ts(±5%) ≈ 3τ Valor de regime permanente para entrada degrau unita´rio VF = b/ω 2 n Erro de regime permanente para entrada degrau unita´rio e∞ = 1− VF = 1− b/ω2n Tab. 4: Segunda ordem, criticamente amortecido Tempos de subida tr(10%− 90%) ≈ 3.4/ωn tr(5%− 95%) ≈ 4.4/ωn Tempo de estabelecimento ts(±5%) ≈ 4.8/ωn Valor de regime permanente para entrada degrau unita´rio VF = b/ω 2 n Erro de regime permanente para entrada degrau unita´rio e∞ = 1− VF = 1− b/ω2n 4 Exemplos 10 4 Exemplos Considere o circuito RLC na figura 4. + -v(t) + vR - + vL - + vC - i R L C Fig. 4: Circuito RLC se´rie. Conforme visto no exemplo 2 da aula anterior, a equac¸a˜o diferencial deste circuito e´: LC d2vC dt2 +RC dvC dt + vC = v(t) (24) ou: d2vC dt2 + R L dvC dt + 1 LC vC = 1 LC v(t) (25) Comparando com a equac¸a˜o de segunda ordem na forma padra˜o (equac¸a˜o 1): ω2n = 1 LC , →, ωn = 1√ LC (26) 2ζωn = R L → 2ζ 1√ LC = R L , → ζ = R 2L √ LC, → ζ = R 2 √ C L (27) Note que ωn e ζ sa˜o sempre positivos. Condic¸a˜o na qual o circuito e´ super-amortecido: ζ > 1, → R 2 √ C L > 1, → R > 2 √ L C (28) note que o amortecimento e´ introduzido pelo resistor. E o fato do circuito ser super amortecido prove´m do fato do resistor possuir valor superior a um determinado limite. Condic¸a˜o na qual o circuito e´ criticamente amortecido: ζ = 1, → R 2 √ C L = 1, → R = 2 √ L C (29) este e´ o valor cr´ıtico do resistor para o qual o circuito ainda na˜o apresenta oscilac¸o˜es. Condic¸a˜o na qual o circuito e´ sub amortecido: ζ < 1, → R 2 √ C L < 1, → R < 2 √ L C (30) para resisteˆncias suficientementepequenas, o circuito e´ oscilato´rio. Para o caso de circuito sub amortecido: 4 Exemplos 11 Constante de tempo: τ = 1 ζωn = 1 R 2 √ C L 1√ LC = 1 R 2 √ C√ L 1√ L √ C , → τ = 2L R (31) Frequeˆncia natural amortecida: ωd = ωn √ 1− ζ2 = 1√ LC √√√√1−(R 2 √ C L )2 = 1√ LC √ 1− R 2 4 C L = 1√ LC √ 4L−R2C 4L = 1√ LC2 √ L √ 4L−R2C = 1 2L √ 4L−R2C C = 1 2L √ 4L C −R2 (32) note que e equac¸a˜o acima evidencia a necessidade de R ser suficientemente pequeno para a a frequeˆncia de oscilac¸o˜es existir. Para o exemplo 2 da aula anterior, R = 25Ω, L = 1H, C = 10−2C, assim: ωn = 1√ 1× 10−2 = 20rad/s ζ = 25 2 √ 10−2 1 = 2, 5 2 = 1.25 b = 1 LC = 1 1× 10−2 = 100rad/s 2 (33) como ζ > 1, fica claro que a resposta e´ super-amortecida, como foi visto no exemplo, devido a` soma de duas exponenciais. Como ζ na˜o e´ muito maior que um, a expressa˜o anal´ıtica da tabela 3 na˜o e´ suficientemente va´lida, mesmo assim, usando equac¸o˜es, a constante de tempo dominante e´: λ1 = −ζωn + √ ζ2 − 1 = 1, 25× 10 + 10 √ 1, 252 − 1 = −5, → τ1 = 1/(−λ1) = 1/5 = 0.2s (34) assim, pela tabela 3, uma estimativa, na˜o muito apurada, para o tempo de regime permanente, pelo crite´rio de 5%, e´: ts(±5%) ≈ 3τ1 = 0, 6s Da tabela 3 o valor de regime permanente para entrada degrau e´: VF = b ω2n = 100 102 = 1volt (35) assim, o erro de regime permanente e´ nulo e a tensa˜o estaciona´ria do capacitor e´ igual a` da fonte. Isso esta´ coerente com o gra´fico apresentado no exemplo 2 da aula passada. Para o exemplo 3 da aula anterior, R = 4Ω, L = 1H, C = 10−2C, assim: ωn = 1√ 1× 10−2 = 20rad/s ζ = 4 2 √ 10−2 1 = 0, 2 4 Exemplos 12 como ζ < 1, fica claro que a resposta e´ sub-amortecida, como foi visto no exemplo, devido a` existeˆncia de uma seno´ide defasada amortecida. Constante de tempo: τ = 1 ζωn = 1 0, 2× 10 = 0, 5s (36) Frequeˆncia natural amortecida: ωd = ωn √ 1− ζ2 = 10 √ 1− 0, 22 ≈ 9.80rad/s A tabela 2 fornece as expresso˜es anal´ıticas dos paraˆmetros de desempenho da resposta para este caso. Per´ıodo das oscilac¸o˜es amortecidas: Td = 2pi ωd = 2pi 9.80 ≈ 0, 64s Tempo de pico: tp = Td 2 ≈ 0, 64 2 = 0, 32s veja que este valor e´ ideˆntico a`quele verificado graficamente no exemplo 3 da aula anterior. Sobressinal: S = e −pi ζ√ 1−ζ2 = e −pi 0,2√ 1−0,22 ≈ 0, 527 veja que este valor e´ ideˆntico a`quele verificado graficamente no exemplo 3 da aula anterior. Tempo de subida: φ = cos−1(ζ) = cos−1(0.2) ≈ 1.369radtr(0− 100%) = pi − φ ωd = pi − 1.369 9.8 ≈ 0.181s veja que este valor e´ ideˆntico a`quele verificado graficamente no exemplo 3 da aula anterior. Tempo de estabelecimento: ts(±5%) ≈ 3τ = 3× 0, 5 = 1, 5s este valor na˜o e´ ideˆntico a`quele verificado graficamente no exemplo 3 da aula anterior (1,375s), mas e´ uma aproximac¸a˜o conservadora, ou seja, pessimista, supondo um tempo maior que o real. Valor de regime permanente para entrada degrau unita´rio: VF = b ω2n = 100 102 = 1volt assim, o erro de regime permanente e´ nulo e a tensa˜o estaciona´ria do capacitor e´ igual a` da fonte. Isso esta´ coerente com o gra´fico apresentado no exemplo 3 da aula passada. 5 Demonstrac¸a˜o das Respostas ao Degrau Unita´rio Gerais 13 5 Demonstrac¸a˜o das Respostas ao Degrau Unita´rio Gerais Na sec¸a˜o 2, foram apresentadas as soluc¸o˜es temporais para a varia´vel de sa´ıda de um sistema de segunda ordem escrito na forma padra˜o, quando submetido a uma entrada degrau unita´rio. Foram apresentados os casos super-amortecido, criticamente amortecido e sub-amortecido. A seguir, sa˜o demonstradas as soluc¸o˜es dos casos super-amortecido e sub-amortecido, a partir da integral de convoluc¸a˜o da matriz de transic¸a˜o de estado com a entrada Bu(t). Lembrando que resposta completa de um sistema LIT e´ dada por: x(t) = eAtx0 + ∫ t 0 eA(t−τ)Bu(τ)dτ (37) Para condic¸a˜o inicial nula e entrada degrau unita´rio: x(t) = ∫ t 0 eA(t−τ)Bdτ (38) Para o caso da sec¸a˜o 2, as matrizes A e B sa˜o: A = [ 0 1 −ω2n −2ζωn ] (39) B = [ 0 b ] (40) O primeiro passo do problema e´ determinar a matriz de transic¸a˜o de estado. Lembre que, no exemplo 3 da aula anterior, foi determinada uma expressa˜o geral para a matriz de transic¸a˜o de estado, para o caso de um sistema de segunda ordem, com autovalores distintos λ1 e λ2. No caso do exemplo 3, foram tratados autovalores complexos, mas lembre que o caso real e´ uma particularidade do complexo. Esta matriz e´ dada por: eAt = 1 λ2 − λ1 λ2eλ1t − λ1eλ2t −eλ1t + eλ2t λ1λ2e λ1t − λ1λ2eλ2t −λ1eλ1t + λ2eλ2t (41) Da equac¸a˜o 38, a resposta ao degrau unita´rio do estado e´ enta˜o: x(t) = ∫ t 0 1 λ2 − λ1 λ2eλ1(t−τ) − λ1eλ2(t−τ) −eλ1(t−τ) + eλ2(t−τ) λ1λ2e λ1(t−τ) − λ1λ2eλ2(t−τ) −λ1eλ1(t−τ) + λ2eλ2(t−τ) [ 0 b ] dτ x(t) = ∫ t 0 1 λ2 − λ1 b (−eλ1(t−τ) + eλ2(t−τ)) b (−λ1eλ1(t−τ) + λ2eλ2(t−τ)) dτ (42) Como somente a resposta da varia´vel y e´ buscada neste caso (na˜o se esta´ interessado na resposta do estado completo), somente a primeira linha do vetor na equac¸a˜o 42 interessa, pois a primeira linha e´ a varia´vel x1(t) e, por definic¸a˜o (equac¸a˜o 4), x1 = y. Enta˜o, extraindo a primeira linha na equac¸a˜o 42: y(t) = b λ2 − λ1 ∫ t 0 (−eλ1(t−τ) + eλ2(t−τ)) dτ (43) 5 Demonstrac¸a˜o das Respostas ao Degrau Unita´rio Gerais 14 A integral acima pode ser desenvolvida algebricamente tanto para o caso real, quanto complexo, visto que a integral da func¸a˜o exponencial complexa se comporta como a da real. Isto e´ feito a seguir. y(t) = b λ2 − λ1 ∫ t 0 (−eλ1(t−τ) + eλ2(t−τ)) dτ = b λ2 − λ1 ∫ t 0 −eλ1te−λ1τ + eλ2te−λ2τdτ = b λ2 − λ1 ( −eλ1t ∫ t 0 e−λ1τdτ + eλ2t ∫ t 0 e−λ2τdτ ) = b λ2 − λ1 ( −eλ1t [ 1 −λ1 e −λ1τ ]t 0 + eλ2t [ 1 −λ2 e −λ2τ ]t 0 ) = b λ2 − λ1 ( eλ1t λ1 [ e−λ1t − e0]− eλ2t λ2 [ e−λ2t − e0]) = b λ2 − λ1 ( 1 λ1 [ 1− eλ1t]− 1 λ2 [ 1− eλ2t]) = b λ2 − λ1 ( 1 λ1 − 1 λ1 eλ1t − 1 λ2 + 1 λ2 eλ2t ) y(t) = b λ2 − λ1 ( λ2 − λ1 λ1λ2 − 1 λ1 eλ1t + 1 λ2 eλ2t ) (44) Quando λ1 e λ2 reais e distintos da equac¸a˜o 14 sa˜o substitu´ıdos na equac¸a˜o 44, tem-se a resposta super-amortecida da equac¸a˜o 16. Isto e´ desenvolvido na sec¸a˜o 5.1. Por outro lado, Quanto λ1 e λ2 complexos conjugados da equac¸a˜o 19 sa˜o substitu´ıdos na equac¸a˜o 44, tem-se a resposta sub- amortecida da equac¸a˜o 20. Isto e´ desenvolvido na sec¸a˜o 5.2. 5.1 Resposta do Sistema Super-Amortecido Para o caso super-amortecido, da equac¸a˜o 14 λ1 e λ2 sa˜o dados por: λ1 = −ζωn + ωn √ ζ2 − 1, λ2 = −ζωn − ωn √ ζ2 − 1 (45) Os termos λ2 − λ1 e λ1λ2 no lado direito da equac¸a˜o 44 sa˜o enta˜o: λ2 − λ1 = −ζωn − ωn √ ζ2 − 1− ( −ζωn + ωn √ ζ2 − 1 ) = −2ωn √ ζ2 − 1 (46) λ1λ2 = (−ζωn + ωn √ ζ2 − 1)(−ζωn − ωn √ ζ2 − 1) λ1λ2 = (−ζωn)2 − (ωn √ ζ2 − 1)2 = ζ2ω2n − (ω2n(ζ2 − 1)) = ζ2ω2n − (ω2nζ2 − ω2n) = ω2n (47) Substituindo os resultados acima na equac¸a˜o 44, tem-se: 5 Demonstrac¸a˜o das Respostas ao Degrau Unita´rio Gerais 15 y(t) = b −2ωn √ ζ2 − 1 ( −2ωn √ ζ2 − 1 ω2n − 1 λ1 eλ1t + 1 λ2 eλ2t ) y(t) = b 1 ( −2ωn √ ζ2 − 1 −2ωn √ ζ2 − 1ω2n − 1−2ωn √ ζ2 − 1λ1 eλ1t + 1 −2ωn √ ζ2 − 1λ2 eλ2t ) y(t) = b 1 ( 1 ω2n − 1−2ωn √ ζ2 − 1λ1 eλ1t + 1 −2ωn √ ζ2 − 1λ2 eλ2t ) y(t) = b ω2n ( 1 1 − ω 2 n −2ωn √ ζ2 − 1λ1 eλ1t + ω2n −2ωn √ ζ2− 1λ2 eλ2t ) y(t) = b ω2n ( 1 + ωn 2 √ ζ2 − 1λ1 eλ1t − ωn 2 √ ζ2 − 1λ2 eλ2t ) (48) Define-se a constante M : M = ωn 2 √ ζ2 − 1 (49) A equac¸a˜o 48 e´ enta˜o escrita como: y(t) = b ω2n ( 1 + M λ1 eλ1t − M λ2 eλ2t ) (50) Veja que a soluc¸a˜o super-amortecida y(t) dada pelas equac¸o˜es 49 e 50 e´ ideˆntica a`quela apre- sentada nas equac¸o˜es 15 e 16. Assim, a demonstrac¸a˜o esta´ completa. 5.2 Resposta do Sistema Sub-Amortecido Para o caso sub-amortecido, da equac¸a˜o 19, λ1 e λ2 sa˜o dados por: λ = −ζωn ± jωn √ 1− ζ2 (51) Das definic¸o˜es de τ = 1/(ζωn) (constante de tempo) e ωd = ωn √ 1− ζ2 (frequeˆncia natural amortecida), os autovalores complexos conjugados sa˜o dados por: λ = −1/τ ± jωd, λ1 = −1/τ + jωd, λ2 = −1/τ − jωd (52) Os termos λ2 − λ1 e λ1λ2 no lado direito da equac¸a˜o 44 sa˜o enta˜o: λ2 − λ1 = −1/τ − jωd − (−1/τ + jωd) = −2jωd (53) λ1λ2 = (−1/τ + jωd)(−1/τ − jωd) = (−1/τ)2 − (jωd)2 = 1/τ 2 − (−1ω2d) = (1/τ)2 + ω2d λ1λ2 = (ζωn) 2 + (ωn √ 1− ζ2)2 = ζ2ω2n + ω2n(1− ζ2) = ζ2ω2n + ω2n − ζ2ω2n = ω2n (54) 5 Demonstrac¸a˜o das Respostas ao Degrau Unita´rio Gerais 16 As exponenciais complexas sa˜o calculadas abaixo: eλ1t = e(−1/τ+jωd)t = e−t/τej(ωdt) = e−t/τ (cos(ωdt) + j sin(ωdt)) 1 λ1 eλ1t = e−t/τ λ1 (cos(ωdt) + j sin(ωdt)) = e−t/τλ2 λ1λ2 (cos(ωdt) + j sin(ωdt)) = e−t/τλ2 ω2n (cos(ωdt) + j sin(ωdt)) = e−t/τ ω2n λ2(cos(ωdt) + j sin(ωdt)) = e−t/τ ω2n (−1/τ − jωd)(cos(ωdt) + j sin(ωdt)) = e−t/τ ω2n (−(1/τ) cos(ωdt)− jωd cos(ωdt)− j(1/τ) sin(ωdt)− jωdj sin(ωdt)) 1 λ1 eλ1t = e−t/τ ω2n (−(1/τ) cos(ωdt)− jωd cos(ωdt)− j(1/τ) sin(ωdt) + ωd sin(ωdt)) (55) Segunda exponencial: eλ2t = e(−1/τ−jωd)t = e−t/τej(−ωdt) = e−t/τ (cos(−ωdt) + j sin(−ωdt)) eλ2t = e(−1/τ−jωd)t = e−t/τej(−ωdt) = e−t/τ (cos(ωdt)− j sin(ωdt)) 1 λ2 eλ2t = e−t/τ λ2 (cos(ωdt)− j sin(ωdt)) = e −t/τλ1 λ1λ2 (cos(ωdt)− j sin(ωdt)) = e−t/τλ1 ω2n (cos(ωdt)− j sin(ωdt)) = e −t/τ ω2n λ1(cos(ωdt)− j sin(ωdt)) = e−t/τ ω2n (−1/τ + jωd)(cos(ωdt)− j sin(ωdt)) = e−t/τ ω2n (−(1/τ) cos(ωdt) + jωd cos(ωdt) + j(1/τ) sin(ωdt)− jωdj sin(ωdt)) 1 λ2 eλ2t = e−t/τ ω2n (−(1/τ) cos(ωdt) + jωd cos(ωdt) + j(1/τ) sin(ωdt) + ωd sin(ωdt)) (56) 5 Demonstrac¸a˜o das Respostas ao Degrau Unita´rio Gerais 17 Substituindo os resultados anteriores na equac¸a˜o 44 obte´m-se y(t) = b λ2 − λ1 ( λ2 − λ1 λ1λ2 − 1 λ1 eλ1t + 1 λ2 eλ2t ) = b −2jωd [−2jωd ω2n − e −t/τ ω2n (−(1/τ) cos(ωdt)− jωd cos(ωdt)− j(1/τ) sin(ωdt) + ωd sin(ωdt))+ e−t/τ ω2n (−(1/τ) cos(ωdt) + jωd cos(ωdt) + j(1/τ) sin(ωdt) + ωd sin(ωdt)) ] = b −2jωd [−2jωd ω2n + e−t/τ ω2n ((1/τ) cos(ωdt) + jωd cos(ωdt) + j(1/τ) sin(ωdt)− ωd sin(ωdt) −(1/τ) cos(ωdt) + jωd cos(ωdt) + j(1/τ) sin(ωdt) + ωd sin(ωdt))] = b −2jωd [−2jωd ω2n + e−t/τ ω2n (2jωd cos(ωdt) + 2j(1/τ) sin(ωdt)) ] = b 1 [ −2jωd −2jωd(ω2n) + e−t/τ ω2n 1 −2jωd (2jωd cos(ωdt) + 2j(1/τ) sin(ωdt)) ] = b 1 [ 1 ω2n − e −t/τ ω2n 1 ωd (ωd cos(ωdt) + (1/τ) sin(ωdt)) ] = b ω2n [ 1− e −t/τ ωd (ωd cos(ωdt) + (1/τ) sin(ωdt)) ] (57) Enta˜o, a resposta ao degrau unita´rio da varia´vel de sa´ıda e´ dada por: y(t) = b ω2n [ 1− e−t/τ ( cos(ωdt) + (1/τ) ωd sin(ωdt) )] (58) Note que a resposta e´ dada por uma constante somada a` uma combinac¸a˜o de seno e cosseno amortecidas por uma exponencial. Essa combinac¸a˜o de seno e cosseno pode ser escrita por uma seno´ide defasada usando as equac¸o˜es abaixo, que ja´ foram adotadas no exemplo 3 da aula anterior. a cos(θ) + b sin(θ) = A sin(θ + φ), A = √ a2 + b2, φ = tan−1 (a b ) ou φ = cos−1 ( b A ) (59) Para o caso em questa˜o: a = 1, b = (1/τ) ωd = ζωn ωn √ 1− ζ2 = ζ√ 1− ζ2 A = √√√√12 +( ζ√ 1− ζ2 )2 = √ 1 + ζ2 1− ζ2 = √ 1− ζ2 + ζ2 1− ζ2 = √ 1 1− ζ2 , → A = 1√ 1− ζ2 (60) φ = cos−1 ζ√1−ζ2 1√ 1−ζ2 → φ = cos−1 (ζ) (61) 5 Demonstrac¸a˜o das Respostas ao Degrau Unita´rio Gerais 18 Com os resultados das equac¸o˜es 60 e 61, a soma de seno e cosseno na equac¸a˜o 58 e´ escrita como: cos(ωdt) + (1/τ) ωd sin(ωdt) = 1√ 1− ζ2 sin(ωdt+ φ) (62) Enta˜o, a resposta ao degrau unita´rio do sistema sub-amortecido e´ escrita como: y(t) = b ω2n [ 1− 1√ 1− ζ2 e −t/τ sin(ωdt+ φ) ] (63) Este resultado e´ ideˆntico a`quele dado nas equac¸o˜es 20-23. Enta˜o, a demonstrac¸a˜o esta´ completa.
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