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Universidade Federal do ABC Primeiro Quadrimestre de 2013 Prof. Andre´ Lu´ıs da Silva Aula 18 Dia 2 de julho de 2013 Resposta em Frequeˆncia 1 Introduc¸a˜o O estudo de resposta em frequeˆncia diz respeito a estudar o comportamento da sa´ıda de um sistema dinaˆmico, em regime permanente, quando submetido a uma entrada senoidal, a qual possui uma frequeˆncia gene´rica. As caracter´ısticas da resposta da sa´ıda va˜o depender do valor espec´ıfico desta frequeˆncia. O estudo da entrada senoidal e´ muito importante devido a teoria dos sinais de Fourier, que trata da se´rie de Fourier e da transformada de Fourier, teorias que podem ser usadas para representar sinais perio´dicos ou aperio´dicos quaisquer, respectivamente, por bases de func¸a˜o seno e cosseno. As consqueˆncias do estudo da resposta em frequeˆncia tem muita importaˆncia ao se escolher um atuador ou sensor para um sistema, bem como para escolher algoritmos para remoc¸a˜o de dados indesejados que se concentram dentro de determinadas regio˜es de frequeˆncia. Tais dispositivos sa˜o os filtros. Este material trata somente de dois exemplos espec´ıficos: o filtro passa baixa e o filtro passa alta, que sa˜o sistemas dinaˆmicos de primeira ordem. No entanto, a teoria vale para sistemas lineares de ordem qualquer, desde que consideradas generalizac¸o˜es adequadas. 2 Filtro Passa Baixa Um filtro passa baixa pode ser obtido a partir de um simples circuito RC, conforme indicado na figura 1. Esse dispositivo tem como entrada a tensa˜o no conjunto se´rie e a sa´ıda e´ a tensa˜o no capacitor. Ele e´ chamado de filtro passivo pois na˜o adiciona energia ao sistema, ao contra´rio, ele somente absorve, sendo imposs´ıvel obter um comportamento desacoplado entre o sistema que aplica o sinal ao mesmo, podendo ocorrer distorc¸o˜es de sinal. + vs - R C + ve - Fig. 1: Filtro passa baixa passivo. A equac¸a˜o que rege esse sistema e´: dvs dt = − 1 RC vs + 1 RC ve (1) 2 Filtro Passa Baixa 2 Que tambe´m pode ser escrita na forma gene´rica: dvs dt = −αvs + bve (2) Constante de decaimento exponencial α e ganho da entrada b: α = 1 RC = 1 τ , b = 1 RC (3) onde τ e´ a constante de tempo. A frequeˆncia de canto e´ a constante de decaimento exponencial: ωc = α = 1 RC (4) O ganho esta´tico e´ a raza˜o entre a sa´ıda e a entrada para derivada zero: 0 = −αvs + bve ⇒ G0 = vs ve = b α = 1/RC 1/RC = 1 (5) Um filtro passa baixa ativo pode ser obtido a partir de um simples circuito RC junto a um amplificador operacional, conforme indicado na figura 2. Esse dispositivo tem como entrada a tensa˜o num dos terminais do resistor R1 e a sa´ıda e´ no terminal de sa´ıda do amplificador operaci- onal. Este filtro ativo usa a energia fornecida por uma fonte de tensa˜o externa para gerar a sa´ıda. Ele tambe´m possui uma alta impedaˆncia de entrada. Essas caracter´ısticas fazem com que ele na˜o possua acoplamento relevante com o sistema que aplica a tensa˜o de entrada sobre o mesmo, o que propicia pouca distorc¸a˜o e uma uniformidade maior de comportamento. vs R2 ve + - R1 C Fig. 2: Filtro passa baixa ativo. Conforme visto na aula passada, a equac¸a˜o diferencial que rege o comportamento deste circuito e´: dvs dt = − 1 R2C vs − 1 R1C ve (6) Que pode ser escrita na mesma forma geral do circuito de filtro passa baixa passivo. dvs dt = −αvs + bve (7) 2 Filtro Passa Baixa 3 Constante de decaimento exponencial α e ganho da entrada b: α = 1 R2C = 1 τ , b = − 1 R1C (8) onde τ e´ a constante de tempo. A frequeˆncia de canto e´ a constante de decaimento exponencial: ωc = 1 R2C (9) O ganho esta´tico e´ a raza˜o entre a sa´ıda e a entrada para derivada zero: 0 = −αvs + bve ⇒ G0 = vs ve = b α = −1/R1C 1/R2C = −R2 R1 (10) 2.1 Resposta para Entrada Senoidal Seja a equac¸a˜o de um filtro passa baixa na forma gene´rica: dx dt = −αx+ bu(t) (11) α > 0: condic¸a˜o de estabilidade. Condic¸a˜o inicial nula x(0) = 0. Entrada senoidal: u(t) = A sin(ωt) (12) A > 0: amplitude, ω = 2pif : frequeˆncia angular (rad/s). Resposta completa: x(t) = e−αtx0 + ∫ t 0 e−α(t−τ)bA sin(ωτ)dτ (13) Como a condic¸a˜o inicial e´ nula, a resposta e´ dada somente pela integral de convoluc¸a˜o: x(t) = ∫ t 0 e−α(t−τ)bA sin(ωτ)dτ = bA ∫ t 0 e−α(t−τ) sin(ωτ)dτ x(t) = bA ∫ t 0 e−αteατ sin(ωτ)dτ = bAe−αt ∫ t 0 eατ sin(ωτ)dτ (14) A u´ltima integral pode ser calculada rapidamente usando a fo´rmula de uma tabela:∫ eβx sin(γx)dx = eβx (β sin(γx)− γ cos(γx)) β2 + γ2 (15) Usando a fo´rmula: x(t) = bAe−αt [ eατ (α sin(ωτ)− ω cos(ωτ)) α2 + ω2 ]t 0 x(t) = bAe−αt [ eαt (α sin(ωt)− ω cos(ωt)) α2 + ω2 − e α×0 (α sin(ω × 0)− ω cos(ω × 0)) α2 + ω2 ] x(t) = bA α2 + ω2 e−αt [ eαt (α sin(ωt)− ω cos(ωt)) + ω] x(t) = bA α2 + ω2 [ α sin(ωt)− ω cos(ωt) + ωe−αt] (16) 2 Filtro Passa Baixa 4 A u´ltima equac¸a˜o fornece a resposta da varia´vel x(t) para a entrada senoidal u(t) = A sin(ωt). Essa resposta possui a parcela de regime transito´rio e a de regime permanente. Note que o regime transito´rio e´ simplesmente uma exponencial decrescente, como o sistema foi assumido esta´vel, essa parcela tende a zero e a resposta de regime permanente e´ uma soma de seno e cosseno: x(t) = bA α2 + ω2 (α sin(ωt)− ω cos(ωt)) regime permanente (17) Esta resposta pode ser escrita como uma senoide defasada usando as relac¸o˜es trigonome´tricas: c cos(θ) + d sin(θ) = B sin(θ + φ) B = √ c2 + d2, φ = tan−1 ( c d ) (18) De onde se obte´m: α sin(ωt)− ω cos(ωt) = B sin(ωt+ φ) B = √ α2 + ω2, φ = tan−1 (−ω α ) = − tan−1 (ω α ) (19) Enta˜o: x(t) = bA α2 + ω2 √ α2 + ω2 sin(ωt+ φ) (20) Simplificando a equac¸a˜o usando radiciac¸a˜o: x(t) = bA√ α2 + ω2 sin(ωt+ φ) (21) O resultado na equac¸a˜o 21 e´ muito importante e carrega uma se´rie de significados. Note que esta e´ a resposta em regime permanente, para uma entrada senoidal, de um sistema linear esta´vel de primeira ordem. Esta resposta recebe um nome particular: regime permanente senoidal (RPS). Em RPS, a sa´ıda e´ uma seno´ide com frequeˆncia ideˆntica a` da entrada, mas com uma defasagem φ negativa e uma nova amplitude, que depende do ganho de entrada b, da constante de decaimento exponencial α e da frequeˆncia angular da entrada ω. Ou seja, existe um ganho G(ω) e uma defasagem φ(ω) entre a entrada e sa´ıda senoidal: G(ω) = b√ α2 + ω2 (22) φ(ω) = − tan−1 (ω α ) (23) O comportamento do ganho e da fase em RPS e´ que determina o nome filtro passa baixa para o dispositivo representado pela equac¸a˜o diferencial em questa˜o: • Para ω → 0: G(0) = b√ α2 + 02 = b α = G0, ganho esta´tico (24) φ(0) = − tan−1 ( 0 α ) = − tan−1 (0) = 0o (25) Assim, em baixa frequeˆncia, defasagem e´ zero e o ganho e´ o ganho esta´tico. 3 Filtro Passa Alta 5 • Para ω →∞: G(∞) = lim ω→∞ b√ α2 + ω2 = 0 (26) φ(∞) = lim ω→∞ − tan−1 (ω α ) = −90o (27) Assim, em alta frequeˆncia, o ganho tende a zero e a defasagem e´ −90o. Isso mostra que o sinal de sa´ıda e´ quase impercept´ıvel, pois tera´ amplitude muito baixa. O fato do dispositivo possuir um ganho constante em baixa frequeˆncia, ganho esta´tico, e uma defasagem pro´xima de zero, faz com que o sinal de entrada seja pouco distorcido quando medido na sa´ıda. Por outro lado, para alta frequeˆncia, o sinal de sa´ıda sera´ muito pequeno. Isso pode ser visto como um rejeic¸a˜o das altas frequeˆncias, por isso que o dispositivo recebe o nome de filtro passa baixa. O significado de baixa frequeˆncia ou alta frequeˆncia e´ tomado em relac¸a˜o a` frequeˆncia de canto. Se a frequeˆncia de canto ωc = α for substitu´ıda nafo´rmula do ganho, obte´m-se: G(ωc) = b√ α2 + ω2c = b√ α2 + α2 = b√ 2α2 = b α √ 2 = G0√ 2 (28) Ou seja, na frequeˆncia de canto, o ganho entre a entrada e a sa´ıda e´ o ganho esta´tico dividido por√ 2. Isto tem um significado f´ısico relacionado com poteˆncia. Em baixa frequeˆncia, a amplitude da sa´ıda e´ V0 = G0A, na frequeˆncia de canto, a amplitude da sa´ıda e´ Vc = G0A/ √ 2, como a poteˆncia e´ proporcional ao quadrado da tensa˜o, veja que: Pc/P0 = V 2 c /V 2 0 = (G0A/ √ 2)2/(G0A) 2 = 1/2. Ou seja, na frequeˆncia de canto, a amplitude da poteˆncia da sa´ıda e´ metade da poteˆncia de sa´ıda em baixa frequeˆncia. Por tal raza˜o, a frequeˆncia de canto e´ escolhida como um divisor entre a regia˜o de baixa frequeˆncia e a regia˜o de alta frequeˆncia. No geral, assume-se que a regia˜o de baixa frequeˆncia, onde ocorre baixa atenuac¸a˜o e pequena defasagem da sa´ıda, se situa em todo o intervalo de frequeˆncias ω ≤ ωc/10, ou seja, menor que um de´cimo da frequeˆncia de canto. Por outro lado, assume-se que a regia˜o de alta frequeˆncia, onde ocorre grande atenuac¸a˜o e considera´vel defasagem da sa´ıda, se situa em todo o intervalo de frequeˆncias ω ≥ 10ωc, ou seja, maior que dez vezes a frequeˆncia de canto. As frequeˆncias da regia˜o ωc/10 < ω < 10ωc sa˜o chamadas frequeˆncias intermedia´rias. Resposta em frequeˆncia significa realizar o estudo do mo´dulo e fase da sa´ıda em RPS, para todas as regio˜es de interesse na qual a frequeˆncia pode ser varrida. O estudo de resposta em frequeˆncia e´ fundamental nas seguintes ocasio˜es: • Escolher um atuador tal que o mesmo consiga responder na mesma velocidade exigida pelo controle; • Escolher um sensor que consiga fornecer dados na˜o distorcidos dentro da faixa de operac¸a˜o do sistema controlado; • Projetar filtros para eliminar ru´ıdos de alta frequeˆncia captados por um sensor. 3 Filtro Passa Alta Um filtro passa alta pode ser obtido a partir de um simples circuito RC, conforme indicado na figura 3. Esse dispositivo tem como entrada a tensa˜o no conjunto se´rie e a sa´ıda e´ a tensa˜o no resistor. 3 Filtro Passa Alta 6 Ele e´ chamado de filtro passivo pois na˜o adiciona energia ao sistema, ao contra´rio, ele somente absorve, sendo imposs´ıvel obter um comportamento desacoplado entre o sistema que aplica o sinal ao mesmo, podendo ocorrer distorc¸o˜es de sinal. + vs - R C + ve - Fig. 3: Filtro passa alta passivo. A equac¸a˜o que rege esse sistema e´: dvs dt = − 1 RC vs + d dt ve (29) onde aparece uma derivada sobre a tensa˜o de entrada. Que tambe´m pode ser escrita na forma gene´rica: dvs dt = −αvs + b d dt ve (30) Constante de decaimento exponencial α e ganho da entrada b: α = 1 RC = 1 τ , b = 1 (31) onde τ e´ a constante de tempo. Veja tambe´m que a nova entrada e´ a derivada da tensa˜o. A frequeˆncia de canto e´ a constante de decaimento exponencial: ωc = α = 1 RC (32) O ganho esta´tico na˜o e´ definido, por outro lado, se obte´m o ganho de alta frequeˆncia que pode ser visto como a raza˜o entre as derivadas da sa´ıda e da entrada, quando a derivada da sa´ıda e´ relativamente alta: dvs dt = dve dt , G∞ = dvs/dt dve/dt = dvs dve = 1 (33) Um filtro passa alta ativo pode ser obtido a partir de um simples circuito RC junto a um amplificador operacional, conforme indicado na figura 4. Esse dispositivo tem como entrada a tensa˜o num dos terminais do capacitor e a sa´ıda e´ no terminal de sa´ıda do amplificador operacional. Este filtro ativo usa a energia fornecida por uma fonte de tensa˜o externa para gerar a sa´ıda. Ele tambe´m possui uma alta impedaˆncia de entrada. Essas caracter´ısticas fazem com que ele na˜o possua acoplamento relevante com o sistema que aplica a tensa˜o de entrada sobre o mesmo, o que propicia pouca distorc¸a˜o e uma uniformidade maior de comportamento. Conforme visto na aula passada, a equac¸a˜o diferencial que rege o comportamento deste circuito e´: dvs dt = − 1 R1C vs − R2 R1 dve dt (34) 3 Filtro Passa Alta 7 vs R2 ve + - R1C Fig. 4: Filtro passa alta ativo. Que pode ser escrita na mesma forma geral do circuito de filtro passa alta passivo. dvs dt = −αvs + b d dt ve (35) Constante de decaimento exponencial α e ganho da entrada b: α = 1 R1C = 1 τ , b = −R2 R1 (36) onde τ e´ a constante de tempo. A frequeˆncia de canto e´ a constante de decaimento exponencial: ωc = 1 R2C (37) O ganho de alta frequeˆncia e´: dvs dt = b d dt ve, dvs/dt dve/dt = dvs dve = b = −R2 R1 (38) 3.1 Resposta para Entrada Senoidal Seja a equac¸a˜o de um filtro passa altas na forma gene´rica: dx dt = −αx+ b d dt u(t) (39) α > 0: condic¸a˜o de estabilidade. Condic¸a˜o inicial nula x(0) = 0. Entrada senoidal: u(t) = A sin(ωt) (40) A > 0: amplitude, ω = 2pif : frequeˆncia angular (rad/s). Derivada da entrada: d dt u(t) = d dt A sin(ωt) = Aω cos(ωt) (41) Resposta completa: x(t) = e−αtx0 + ∫ t 0 e−α(t−τ)bAω cos(ωτ)dτ (42) 3 Filtro Passa Alta 8 Como a condic¸a˜o inicial e´ nula, a resposta e´ dada somente pela integral de convoluc¸a˜o:∫ t 0 e−α(t−τ)bAω cos(ωτ)dτ = bAω ∫ t 0 e−α(t−τ) cos(ωτ)dτ x(t) = bAω ∫ t 0 e−αteατ cos(ωτ)dτ = bAωe−αt ∫ t 0 eατ cos(ωτ)dτ (43) A u´ltima integral pode ser calculada rapidamente usando a fo´rmula de uma tabela:∫ eβx cos(γx)dx = eβx (β cos(γx) + γ sin(γx)) β2 + γ2 (44) Usando a fo´rmula: x(t) = bAωe−αt [ eατ (α cos(ωτ) + ω sin(ωτ)) α2 + ω2 ]t 0 x(t) = bAωe−αt [ eαt (α cos(ωt) + ω sin(ωt)) α2 + ω2 − e α×0 (α cos(ω × 0) + ω sin(ω × 0)) α2 + ω2 ] x(t) = bAω α2 + ω2 e−αt [ eαt (α cos(ωt) + ω sin(ωt))− α] x(t) = bAω α2 + ω2 [ α cos(ωt) + ω sin(ωt)− αe−αt] (45) A u´ltima equac¸a˜o fornece a resposta da varia´vel x(t) para a entrada senoidal u(t) = A sin(ωt). Essa resposta possui a parcela de regime transito´rio e a de regime permanente. Note que o regime transito´rio e´ simplesmente uma exponencial decrescente, como o sistema foi assumido esta´vel, essa parcela tende a zero e a resposta de regime permanente e´ uma soma de seno e cosseno: x(t) = bAω α2 + ω2 (α cos(ωt) + ω sin(ωt)) regime permanente (46) Esta resposta pode ser escrita como uma senoide defasada usando as relac¸o˜es trigonome´tricas: c cos(θ) + d sin(θ) = B sin(θ + φ) B = √ c2 + d2, φ = tan−1 ( c d ) (47) De onde se obte´m: α cos(ωt) + ω sin(ωt) = B sin(ωt+ φ) B = √ α2 + ω2, φ = tan−1 (α ω ) (48) Enta˜o: x(t) = Abω α2 + ω2 √ α2 + ω2 sin(ωt+ φ) (49) Simplificando a equac¸a˜o usando radiciac¸a˜o: x(t) = Abω√ α2 + ω2 sin(ωt+ φ) (50) 3 Filtro Passa Alta 9 Em RPS, a sa´ıda e´ uma seno´ide com frequeˆncia ideˆntica a` da entrada, mas com uma defasagem φ positiva e uma nova amplitude, que depende do ganho de entrada b, da constante de decaimento exponencial α e da frequeˆncia angular da entrada ω. Ou seja, existe um ganho G(ω) e uma defasagem φ(ω) entre a entrada e sa´ıda senoidal: G(ω) = bω√ α2 + ω2 (51) φ(ω) = tan−1 (α ω ) (52) O comportamento do ganho e da fase em RPS e´ que determina o nome filtro passa alta para o dispositivo representado pela equac¸a˜o diferencial em questa˜o: • Para ω → 0: G(0) = b× 0√ α2 + 02 = 0 (53) φ(0) = lim ω→0 tan−1 (α ω ) = 90o (54) Assim, em baixa frequeˆncia, defasagem e´ 90o e o ganho e´ zero. • Para ω →∞: G(∞) = lim ω→∞ bω√ α2 + ω2 = b α = G∞ ganho de alta frequeˆncia (55) φ(∞) = lim ω→∞ tan−1 (α ω ) = 0o (56) Assim, em alta frequeˆncia, o ganho tende ao ganho de alta frequeˆncia G∞ e a fase tende a 0o. O fato do dispositivo possuir um ganho que tende a zero em baixa frequeˆncia, e umadefasagem pro´xima de 90o, faz com que o sinal de entrada seja pouco percept´ıvel quando medido na sa´ıda. Por outro lado, para alta frequeˆncia, o sinal de sa´ıda sera´ multiplicado pelo ganho constante G∞, que e´ o ganho de alta frequeˆncia, enquanto possui fase zero. Isso pode ser visto como um rejeic¸a˜o das baixas frequeˆncias, por isso que o dispositivo recebe o nome de filtro passa alta. O significado de baixa frequeˆncia ou alta frequeˆncia e´ tomado em relac¸a˜o a` frequeˆncia de canto. Se a frequeˆncia de canto ωc = α for substitu´ıda na fo´rmula do ganho, obte´m-se: G(ωc) = bωc√ α2 + ω2c = bα√ α2 + α2 = bα√ 2α2 = b√ 2 = G∞√ 2 (57) Ou seja, na frequeˆncia de canto, o ganho entre a entrada e a sa´ıda e´ o ganho de alta frequeˆncia dividido por √ 2. De modo ana´logo ao caso do filtro passa baixa, na frequeˆncia de canto, a amplitude da poteˆncia da sa´ıda e´ metade da poteˆncia de sa´ıda em alta frequeˆncia. Por tal raza˜o, a frequeˆncia de canto e´ escolhida como um divisor entre a regia˜o de baixa frequeˆncia e a regia˜o de alta frequeˆncia. Do mesmo modo que no filtro passa baixa, assume-se que a regia˜o de baixa frequeˆncia, onde ocorre alta atenuac¸a˜o e pequena maior adiantamento de fase da sa´ıda, se situa em todo o intervalo de frequeˆncias ω ≤ ωc/10, ou seja, menor que um de´cimo da frequeˆncia de canto. Por outro lado, assume-se que a regia˜o de alta frequeˆncia, onde e´ aplicado um ganho aproximadamente constante e a fase tende a zero, se situa em todo o intervalo de frequeˆncias ω ≥ 10ωc, ou seja, maior que dez vezes a frequeˆncia de canto. As frequeˆncias da regia˜o ωc/10 < ω < 10ωc sa˜o chamadas frequeˆncias intermedia´rias.
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