Aula 14 - Circuitos de Instrumentação com Amplificador Operacional

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Universidade Federal do ABC
Primeiro Quadrimestre de 2013
Prof. Andre´ Lu´ıs da Silva
Aula 16
Dia 25 de junho de 2013
Circuitos de Instrumentac¸a˜o com Amplificador
Operacional
1 Introduc¸a˜o
Um amplificador operacional (ampop) e´ um dispositivo eletroˆnico que pertence a` classe dos ampli-
ficadores diferenciais, que amplificam a diferenc¸a entre duas tenso˜es de entrada. Na˜o se trata de
um amplificador de poteˆncia, mas de um amplificador de sinal. Na verdade, aumento de poteˆncia
sempre existe, mas se refere a “sinal” quando o efeito mais relevante e´ um aumento da tensa˜o de
entrada, sem incremento significativo da corrente ele´trica (associada a` poteˆncia por v(t)i(t)).
Este dispositivo eletroˆnico pode ser fabricado de diversas maneiras e possuir diversas concep-
c¸o˜es. Um exemplo espec´ıfico e´ mostrado na figura 1. Trata-se da implementac¸a˜o de um ampop do
tipo 741, que e´ um dos mais comuns. Neste exemplo, ele e´ feito a partir de transistores bipolares
de junc¸a˜o.
Fig. 1: Um diagrama em n´ıvel de componente de amplificador 741 comum. Linhas pontilhadas
denotam: espelhos de corrente (vermelho); amplificador diferencial (azul); esta´gio de ganho classe
A (magenta); passador de n´ıvel de tensa˜o (verde); esta´gio de sa´ıda (ciano). Fonte: refereˆncia [1].
O ampop e´ de alto interesse em instrumentac¸a˜o pois possui diversas caracter´ısticas importantes:
• Alta impedaˆncia de entrada;
2 Circuitos com Amplificador Operacional 2
• Baixa impedaˆncia de sa´ıda;
• Amplificac¸a˜o diferencial dada por:
vs = Gma(V+ − V−) (1)
Gma e´ o ganho em malha aberta do amplificador e e´ da ordem de centenas de milhares
Gma : 10
5 ∼ 107.
As caracter´ısticas acima fazem com que ele se comporte como uma fonte de tensa˜o ideal. A
impedaˆncia de entrada alta e´ fundamental, por exemplo, ao obter dados de um sensor que opera
em baixa poteˆncia, isso faz com que a perturbac¸a˜o exercida pelo ampop seja mı´nima e na˜o distorc¸a
a medida. A impedaˆncia baixa de sa´ıda esta´ associada ao fato de na˜o necessitar se preocupar com a
resisteˆncia interna ao alimentar uma rede de processamento posterior. O alto ganho pode ser visto
como uma consequeˆncia de se associar, em cascata, va´rios amplificadores com transistor bipolar.
A aplicac¸a˜o de um ampop em intrumentac¸a˜o, envolvendo atividades como controle e proces-
samento de sinais, requer o conhecimento de um modelo ideal do amplificador, abstraindo a sua
construc¸a˜o eletroˆnica interna. Essa concepc¸a˜o ideal e´ va´lida na sua regia˜o de operac¸a˜o linear, que
se pode entender como o seguinte: a tensa˜o de sa´ıda e´ suficientemente menor que os limites da
tensa˜o de alimentac¸a˜o.
A figura 2 apresenta um modelo idealizado de um ampop. Este modelo representa somente
suas entradas e sa´ıdas. O comportamento ele´trico e´ dado pelas propriedades ja´ enunciadas anteri-
ormente, que sera˜o reforc¸adas a seguir.
vs 
v+ 
+
-
v- 
vcc+ 
vcc- 
Fig. 2: Diagrama esquema´tico de um amplificador operacional.
Na figura 2, a entrada v+ e´ chamada entrada na˜o inversora, a entrada v− e´ chamada entrada
inversora, o terminal vs e´ onde se mede a tensa˜o de sa´ıda, que, na regia˜o linear, e´ dada por
vs = Gma(v+ − v−). Os terminais vcc+ e vcc− sa˜o as interfaces de alimentac¸a˜o de tensa˜o positiva
e negativa. Essa alimentac¸a˜o e´ fornecida por uma fonte externa, ela e´ a responsa´vel pela ampli-
ficac¸a˜o. Intuitivamente, a regia˜o linear se obte´m quando o valor ma´ximo da tensa˜o de sa´ıda vs e´
suficientemente menor que vcc+ e o valor mı´nimo e´ suficientemente maior que vcc−
2 Circuitos com Amplificador Operacional
O fato do amplificador possuir um alto ganho implica que na˜o e´ interessante aplica´-lo em “malha
aberta”, ou seja, ligando as tenso˜es de alimentac¸a˜o, inserindo dois sinais de tensa˜o na sua entrada e
medindo sua sa´ıda diretamente. Ao inve´s disso, sempre se realiza uma realimentac¸a˜o da tensa˜o de
2 Circuitos com Amplificador Operacional 3
sa´ıda para a entrada de tensa˜o inversora, de modo a obter um comportamento esta´vel que gere um
ganho de menor amplitude. Este ganho, em geral e´ definido somente pelos componentes externos
ligados ao ampop. As aplicac¸o˜es de interesse incluem:
• Amplificac¸a˜o de entrada: aplicac¸a˜o de ganho;
• Comparac¸a˜o de entradas: subtrac¸a˜o;
• Somato´rio de entradas;
• Intregrac¸a˜o de entrada;
• Diferenciac¸a˜o de entrada;
• Filtro passa baixa: equac¸a˜o diferencial de primeira ordem;
• Filtro passa alta: equac¸a˜o diferencial de primeira ordem com diferenciac¸a˜o da entrada.
As propriedades acima permitem criar o que se conhece por computador analo´gico, onde cir-
cuitos eletro-eletroˆnicos sa˜o capazes de realizar operac¸o˜es de processamento de sinais e controle.
2.1 Amplificador
A figura 3 mostra o amplificador operacional conectado na configurac¸a˜o de amplificador na˜o in-
versor. Note que as tenso˜es de alimentac¸a˜o vcc+ e vcc− esta˜o exclu´ıdas do diagrama, isso e´ uma
pra´tica comum, onde subentende-se que o ampop foi ligado corretamente a uma fonte de tensa˜o.
vs 
R2
ve +
-
R1
I2
I1
I3
Fig. 3: Circuito na configurac¸a˜o de amplificador na˜o inversor.
Pelo diagrama, a tensa˜o de entrada ve e´ a pro´pria tensa˜o na entrada na˜o inversora:
v+ = ve (2)
Pela lei das correntes de Kirchhoff:
I1 = I2 + I3 (3)
Como a impedaˆncia de entrada e´ muito alta:
I3 ≈ 0 ⇒ I1 ≈ I2 (4)
2 Circuitos com Amplificador Operacional 4
ou seja, R1 e R2 esta˜o aproximadamente em se´rie, nessas circunstaˆncias:
I1 ≈ I2 = vs
R1 +R2
(5)
ou seja, a tensa˜o sobre a ligac¸a˜o se´rie dividida pela resisteˆncia equivalente.
A tensa˜o v− e´ dada por:
v− = R2I2 =
R2
R1 +R2
vs (6)
Pela equac¸a˜o de sa´ıda do ampop ideal:
vs = Gma(v+ − v−) = Gma
(
ve − R2
R1 +R2
vs
)
⇒ 1
Gma
vs = ve − R2
R1 +R2
vs
⇒
(
1
Gma
+
R2
R1 +R2
)
vs = ve (7)
Como o ganho de malha aberta do amplificador e´ muito alto: 1/Gma → 0:
vs =
R1 +R2
R2
ve ⇒ vs =
(
1 +
R1
R2
)
ve (8)
Ou seja, a sa´ıda e´ igual a uma constante multiplicada pela entrada, essa constante e´ o ganho
em malha fechada do amplificador, ou, simplesmente, ganho:
G = 1 +
R1
R2
(9)
A figura 4 mostra, na forma de um bloco, o comportamento funcional entrada-sa´ıda de um
amplificador, ele simplesmente aplica o ganho G sobre a entrada.
x(t) y(t)=Gx(t)G
Ganho
Fig. 4: Representac¸a˜o por diagrama de blocos do amplificador: aplicac¸a˜o de ganho sobre a entrada.
2.1.1 Exemplo 1
Determine o ganho do circuito da figura 5 e represente na forma de um diagrama de blocos.
A montagem da figura 5 e´ do tipo amplificador na˜o inversor, o seu ganho depende do resistor
de realimentac¸a˜o e do resistor de terra, sendo dado pela equac¸a˜o 9:
G = 1 +
2000
1000
= 1 + 2 = 3 (10)
ou seja, o amplificador simplesmente multiplica a tensa˜o de entrada pelo valor 3, isso e´ ilustrado
na forma de um diagrama de blocos na figura 6.
2 Circuitos com Amplificador Operacional 5
vs 
ve +
-
2kΩ
1kΩ
Fig. 5: Amplificador na˜o inversor.
ve(t) 3 vs(t)
Fig. 6: Ganho igual a 3.
2.1.2 Exemplo 2
Apresente um circuito com ampop que implemente um controle do tipo proporcional com ganho
kp = −10, 5.
Um circuito de amplificador inversor com ampop e´ mostrado na figura 7. Existe um resistor
varia´vel que pode ser usado para ajustar o ganho.
vs 
ve 
+
-
R1
R2
Fig. 7: Amplificador inversor com ganho ajusta´vel.
O ganho deste amplificador, ao contra´rio daquele na equac¸a˜o 9, e´ negativo, sendo dado por:
G = −R2
R1
(11)
Assuma que o resistor R1 tenha o valor fixo de 1kΩ, neste caso, o resistor R2 e´ ajustado de
modo a obter o ganho proporcional kp = −10, 5:
kp = −10, 5 = −R2
103
⇒ R2 = 10, 5× 103 = 10, 5kΩ (12)
Assim, usando o circuito da figura 7, o ganho proporcionalkp = −10, 5 pode ser obtido com
uma resisteˆncia de 10, 5kΩ. Na pra´tica, isso pode ser feito adotando-se um potencioˆmetro de 30kΩ
e variando a sua resisteˆncia ate´ obter o valor de 10, 5kΩ.
2 Circuitos com Amplificador Operacional 6
2.2 Comparador
A figura 8 mostra o ampop conectado na configurac¸a˜o de comparador.
vs 
Rg
v1 
+
-
I2
I1 I3
v2 
Rf
R1
R2 I4
I6
I5
Fig. 8: Circuito com amplificador operacional do tipo comparador.
Da lei das correntes de Kirchhoff:
I1 = I3 + I5
I2 = I4 + I6 (13)
Como a impedaˆncia de entrada e´ muito alta:
I3 ≈ 0⇒ I1 ≈ I4
I4 ≈ 0⇒ I2 ≈ I6 (14)
Enta˜o, obte´m-se dois circuitos aproximadamente em se´rie cada um, donde:
I1 ≈ I5 = v1 − vs
R1 +Rf
I1 ≈ I6 = v2
R2 +Rg
(15)
As tenso˜es v+ e v− nas entradas do ampop sa˜o:
v− = v1 −R1I1 = v1 − R1
R1 +Rf
(v1 − vs)
v+ = RgI6 =
Rg
R2 +Rg
v2 (16)
Usando a equac¸a˜o do ampop em malha aberta:
vs = Gma(v+ − v−) = Gma
(
Rg
R2 +Rg
v2 −
(
v1 − R1
R1 +Rf
(v1 − vs)
))
1
Gma
vs =
Rg
R2 +Rg
v2 − v1 + R1
R1 +Rf
v1 − R1
R1 +Rf
vs
R1
R1 +Rf
vs +
1
Gma
vs =
Rg
R2 +Rg
v2 +
R1 − (R1 +Rf )
R1 +Rf
v1(
1
Gma
+
R1
R1 +Rf
vs
)
vs =
Rg
R2 +Rg
v2 − Rf
R1 +Rf
v1 (17)
2 Circuitos com Amplificador Operacional 7
Como o ganho de malha aberta do amplificador e´ muito alto: 1/Gma → 0:
vs =
R1 +Rf
R1
(
Rg
R2 +Rg
v2 − Rf
R1 +Rf
v1
)
(18)
Este circuito enta˜o e´ representado pela equac¸a˜o 18, a qual mostra uma se´rie de comportamentos.
Quando todos os resistores sa˜o distintos, tem-se um comparador das entradas com respectivos pesos
e ganho sobre o resultado final, conforme representado na figura 9.
v2(t) +-
v1(t)
y(t)=y2(t)-y1(t) vs(t)=Gy(t)G
GanhoComparador
Comparador com Ponderação e Ganho
P2
P1
y2(t)=P2v2(t)
y1(t)=P1v1(t)
Peso 2 (ganho)
Peso 1 (ganho)
Fig. 9: Comparador com pesos nas entradas e ganho no resultado final.
Da equac¸a˜o 18 e da figura 9, tem-se que os ganhos de ponderac¸a˜o e o ganho de sa´ıda sa˜o dados
por:
P1 =
Rf
R1 +Rf
P2 =
Rg
R2 +Rg
G = 1 +
Rf
R1
(19)
Quando Rg = Rf e R2 = R1, tem-se um circuito com caracter´ısticas mais limitadas, que
consiste de um comparador sem pesos e com um ganho na sa´ıda, conforme indicado na figura 10
v2(t) +-
v1(t)
y(t)=v2(t)-v1(t) vs(t)=Gy(t)
G
GanhoComparador
Comparador com Ganho
Fig. 10: Comparador com ganho na sa´ıda.
2 Circuitos com Amplificador Operacional 8
Da equac¸a˜o 19, note que os pesos P1 e P2 sa˜o um para Rg = Rf e R2 = R1. O ganho G da
figura 10 e´ o mesmo da equac¸a˜o 19, ou seja G = 1 +Rf/R1.
O u´ltimo caso particular, que e´ a situac¸a˜o que da´ o nome ao circuito, e´ o de comparador
puro. Note que o comparador puro e´ obtido quando R1 = R2 = Rf = Rg. Neste caso, o circuito
simplesmente subtrai v1 de v2, conforme ilustrado pelo diagrama de blocos da figura 11
v2(t) +-
v1(t)
vs(t)=v2(t)-v1(t)
Comparador
Fig. 11: Comparador
2.3 Somador
A figura 12 mostra o amplificador operacional conectado na configurac¸a˜o de somador.
vs 
v1 
+
-
I2
I-
RfR2 Ifv2 
I1
vn 
R1
.
.
.
In Rn
I
Fig. 12: Circuito com amplificador operacional na configurac¸a˜o de somador.
Pela lei das correntes de Kirchhoff, a corrente I e´ dada por:
I =
n∑
i=1
Ii (20)
Tambe´m:
I = I− + If (21)
2 Circuitos com Amplificador Operacional 9
Como a impedaˆncia de entrada e´ muito alta:
I− ≈ 0,⇒ I ≈ If = v− − vs
Rf
(22)
Cada corrente Ii e´ dada por:
Ii =
vi − v−
Ri
(23)
Sendo assim, a corrente I pode ser escrita como:
I =
n∑
i=1
Ii =
n∑
i=1
vi − v−
Ri
=
n∑
i=1
vi
Ri
−
n∑
i=1
v−
Ri
=
n∑
i=1
vi
Ri
− v−
n∑
i=1
1
Ri
(24)
Note que
∑n
i=1
1
Ri
e´ a definic¸a˜o de resisteˆncia equivalente em paralelo das resisteˆnciasR1, R2, . . . Rn,
ou seja:
1
Req
=
n∑
i=1
1
Ri
(25)
Substituindo a resisteˆncia equivalente paralelo na equac¸a˜o 24, obte´m-se:
I =
n∑
i=1
vi
Ri
− v−
Req
(26)
Substituindo o resultado da equac¸a˜o 26 na equac¸a˜o 22, obte´m-se:
n∑
i=1
vi
Ri
− v−
Req
=
v− − vs
Rf
⇒
n∑
i=1
vi
Ri
+
vs
Rf
=
v−
Rf
+
v−
Req
= v−
(
1
Rf
+
1
Req
)
n∑
i=1
vi
Ri
+
vs
Rf
= v−
(
Rf +Req
RfReq
)
⇒ v− =
(
RfReq
Rf +Req
)( n∑
i=1
vi
Ri
+
vs
Rf
)
(27)
A equac¸a˜o 27 fornece a tensa˜o v− na entrada do ampop, a tensa˜o v+, por sua vez, e´ zero,
pois esta´ ligada ao terminal de refereˆncia. Deste modo, usando-se a equac¸a˜o de malha aberta do
ampop, tem-se:
vs = Gma(v+ − v−) = Gma(0− v−) = −Gma
(
RfReq
Rf +Req
)( n∑
i=1
vi
Ri
+
vs
Rf
)
1
Gma
vs = − RfReq
Rf +Req
(
n∑
i=1
vi
Ri
+
vs
Rf
)
(28)
Como o ganho de malha aberta do amplificador e´ muito alto: 1/Gma → 0:
0vs = − RfReq
Rf +Req
(
n∑
i=1
vi
Ri
+
vs
Rf
)
0 = − RfReq
Rf +Req
(
n∑
i=1
vi
Ri
+
vs
Rf
)
0 =
n∑
i=1
vi
Ri
+
vs
Rf
⇒ vs = −Rf
n∑
i=1
vi
Ri
(29)
2 Circuitos com Amplificador Operacional 10
A equac¸a˜o 29 enta˜o descreve o comportamento do somador, note que a sa´ıda e´ soma de todas
as entradas, cada uma ponderada por Ri/Rf . Note tambe´m que este e´ um somador inversor, pois
a soma e´ multiplicada por −1. Para obter uma soma sem ponderac¸a˜o, basta fazer cada resistor
Ri igual entre si. Para que, ale´m disso, na˜o exista ganho sobre a soma, esses resistores devem ser
tambe´m ideˆnticos ao resistor de realimentac¸a˜o Rf , ou seja, Ri = Rf , i = 1, 2, . . . n. Assim, a
equac¸a˜o do circuito somador inversor se torna:
vs = −
n∑
i=1
vi (30)
ou seja, a sa´ıda e´ simplesmente o somato´rio das entradas, multiplicado por −1. O produto por −1
se deve ao fato do somador usar realimentac¸a˜o negativa.
Um diagrama de blocos do somador inversor e´ mostrado na figura 13
++
+
v1(t)
v2(t)
vn(t)
.
.
.
y(t)=∑vi(t)i=1
n
-1
vs(t)=-∑vi(t)i=1
n
Fig. 13: Representac¸a˜o por diagrama de blocos do somador inversor.
2.4 Integrador
A figura 14 mostra o ampop conectado na configurac¸a˜o de integrador.
vs 
ve 
+
-
I-
CIC
IRR
Fig. 14: Circuito com amplificador operacional na configurac¸a˜o de integrador.
A tensa˜o v+ do ampop e´ zero, pois esta´ ligado a` refereˆncia. A tensa˜o v− e´:
v− = vs + vC (31)
Aplicando a equac¸a˜o de malha aberta do ampop, obte´m-se:
vs = Gma(v+ − v−) = Gma(0− v−) = −Gmav− ⇒ 1
Gma
vs = −v− = − (vs + vC) (32)
2 Circuitos com Amplificador Operacional 11
Como o ganho de malha aberta do amplificador e´ muito alto: 1/Gma → 0:
0vs = − (vs + vC) ⇒ −vs − vC = 0 ⇒ vC = −vs (33)
Da lei das correntes de Kirchhoff:
IR = IC + I− (34)
Como a impedaˆncia de entrada e´ muito alta:
I− ≈ 0 ⇒ IR ≈ IC (35)
A corrente IC e´ dada por:
IC = C
dvC
dt
(36)
A corrente IR e´ dada por:
IR =
ve − vc − vs
R
(37)
Substituindo a tensa˜o da equac¸a˜o 33 na equac¸a˜o 37, tem-se:
IR =
ve − vc − vs
R
=
ve − vc − (−vc)
R
=
ve
R
(38)
Das equac¸o˜es 35, 36 e 38, tem-se:
ve
R
= C
dvC
dt
⇒ dvC
dt
=
ve
RC
(39)
Substituindo a tensa˜o da equac¸a˜o 33 na equac¸a˜o 39, obte´m-se:
d
dt
(−vs) = ve
RC
⇒ dvs
dt
= − ve
RC
(40)
Integrando ambos os lados da equac¸a˜o 40 desde t0 ate´ t, obte´m-se:
vs(t) = vs(t0)− 1
RC
∫ t
t0
ve(τ)dτ (41)
Assumindo que o capacitor inicia descarregado no tempo t0, a equac¸a˜o do circuito e´ simples-
mente:
vs(t) = − 1
RC
∫ t
t0
ve(τ)dτ (42)
Ou seja, o circuito na configurac¸a˜o da figura 14 tem o comportamento de integrar a entrada
desde t0 ate´ t. Note tambe´m que a entrada e´ invertida. Assim, este e´ um integrador inversor.Ale´m disso, existe a parcela 1/RC que multiplica a integral, onde RC e´ a constante de tempo.
Esta parcela pode ser vista como um ganho sobre a integral, que pode ser maior ou menor que um.
Para que na˜o exista ganho sobre a integral, o resistor e o capacitor devem ser escolhidos de modo
que a constante de tempo seja igual a um segundo.
A figura 15 mostra a representac¸a˜o do integrador inversor na forma de diagrama de blocos.
Note que uma constante de tempo unita´ria foi considerada.
2 Circuitos com Amplificador Operacional 12
∫ve(t) y(t)=∫ve(τ)dτt0
t
-1
vs(t)=-∫ve(τ)dτt0
t
Fig. 15: Diagrama de blocos do integrador inversor.
2.4.1 Exemplo 3
Apresente um circuito com ampop que implemente um controle do tipo integral com ganho ki = −5.
Um circuito de integrador inversor com amplificador operacional e´ mostrado na figura 16. Existe
um resistor varia´vel que pode ser usado para ajustar o ganho.
Assuma que se tem a` disposic¸a˜o um capacitor de 10µF . Neste caso, da equac¸a˜o 42, veja que o
ganho do integrador e´:
Gint = − 1
RC
= − 1
R10−5
(43)
Deste modo, para se obter um ganho integral ki = −5, deve-se ter:
ki = −5 = − 1
R10−5
⇒ R = 10
5
5
= 2× 104 = 20kΩ (44)
vs 
ve 
+
-
C
R
Fig. 16: Integrador inversor com possibilidade de ajuste de ganho.
Assim, usando o circuito da figura 16, o ganho integral ki = −5 pode ser obtido com uma
resisteˆncia de 20kΩ. Na pra´tica, isso pode ser feito adotando-se um potencioˆmetro de 100kΩ e
variando a sua resisteˆncia ate´ obter o valor de 20kΩ.
2.5 Diferenciador
A figura 17 mostra o ampop conectado na configurac¸a˜o de diferenciador.
A tensa˜o v+ do ampop e´ zero, pois esta´ ligado a` refereˆncia. A tensa˜o v− e´:
v− = ve − vC (45)
Aplicando a equac¸a˜o de malha aberta do ampop, obte´m-se:
vs = Gma(v+ − v−) = Gma(0− v−) = −Gmav− ⇒ 1
Gma
vs = −v− = − (ve − vC) (46)
2 Circuitos com Amplificador Operacional 13
vs 
ve 
+
-
I-C IC
IR R
Fig. 17: Circuito com amplificador operacional na configurac¸a˜o de diferenciador.
Como o ganho de malha aberta do amplificador e´ muito alto: 1/Gma → 0:
0vs = − (ve − vC) ⇒ −ve + vC = 0 ⇒ vC = ve (47)
Da lei das correntes de Kirchhoff:
IC = IR + I− (48)
Como a impedaˆncia de entrada e´ muito alta:
I− ≈ 0 ⇒ IC ≈ IR (49)
A corrente IC e´ dada por:
IC = C
dvC
dt
(50)
A corrente IR e´ dada por:
IR =
ve − vc − vs
R
(51)
Substituindo a tensa˜o da equac¸a˜o 47 na equac¸a˜o 51, tem-se:
IR =
ve − vc − vs
R
=
vc − vc − vs
R
= −vs
R
(52)
Das equac¸o˜es 49, 50 e 52, tem-se:
−vs
R
= C
dvC
dt
(53)
Substituindo a tensa˜o da equac¸a˜o 47 na equac¸a˜o 53, obte´m-se:
vs = −RCdve
dt
(54)
Ou seja, o circuito na configurac¸a˜o da figura 17 tem o comportamento de diferenciar a entrada.
Note tambe´m que a entrada e´ invertida. Assim, este e´ um diferenciador inversor. Ale´m disso,
existe a parcela RC que multiplica a derivada, onde RC e´ a constante de tempo. Esta parcela
pode ser vista como um ganho sobre a derivada, que pode ser maior ou menor que um. Para que
na˜o exista ganho sobre a derivada, o resistor e o capacitor devem ser escolhidos de modo que a
constante de tempo seja igual a um segundo.
A figura 18 mostra a representac¸a˜o do diferenciador inversor na forma de diagrama de blocos.
Note que uma constante de tempo unita´ria foi considerada.
2 Circuitos com Amplificador Operacional 14
ve(t)
y(t)=dve(t)
 dtd
dt -1
vs(t)=-dve(t) dt
Fig. 18: Diagrama de blocos do diferenciador inversor.
2.5.1 Exemplo 4
Apresente um circuito com ampop que implemente um controle do tipo derivativo com ganho
kd = −0, 1.
Um circuito de diferenciador inversor com amplificador operacional e´ mostrado na figura 19.
Existe um resistor varia´vel que pode ser usado para ajustar o ganho.
vs 
ve 
+
-
C
R
Fig. 19: Diferenciador inversor com possibilidade de ajuste de ganho.
Assuma que tem-se a` disposic¸a˜o um capacitor de 1µF . Neste caso, da equac¸a˜o 54, veja que o
ganho do diferenciador e´:
Gdif = −RC = −R10−6 (55)
Deste modo, para se obter um ganho derivativo kd = −0, 1, deve-se ter:
kd = −0, 1 = −R10−6 ⇒ R = 0, 1× 106 = 100× 103 = 100kΩ (56)
Assim, usando o circuito da figura 19, o ganho derivativo kd = −0, 1 pode ser obtido com uma
resisteˆncia de 100kΩ. Na pra´tica, isso pode ser feito adotando-se um potencioˆmetro de 1MΩ e
variando a sua resisteˆncia ate´ obter o valor de 100kΩ.
2.5.2 Exemplo 5
Usando circuitos com ampop, obtenha um controlador que receba o sinal de refereˆncia na forma
de uma tensa˜o, o sinal medido na forma de uma tensa˜o, e depois calcule uma ac¸a˜o de controle
proporcional integral derivativa (PID) com os ganhos kp = 10, 5, ki = 5 e kd = 0, 1, ou seja, os
ganhos dos exemplos 2, 3 e 4 com o sinal trocado.
Para implementar este circuito, basta considerar os circuitos das figuras 7, 16 e 19, e adicionar
um comparador e um somador inversor. Note que o somador inversor e´ o responsa´vel por corrigir
2 Circuitos com Amplificador Operacional 15
vsp 
ve 
+
-
R1p
R2p
vsi 
ve 
+
-
Ci
Ri
vsd 
ve 
+
-
Cd
Rd
Proporcional
Integral
Derivativo
vm 
+
-
vr 
RcMedida
Referência
Rc
Rc
Rc
Comparador
vs 
+
-
Rs
Rs
Rs
Rs
Somador
Fig. 20: Circuito de controlador PID usando amplificadores operacionais.
o sinal dos ganhos das parcelas kp, ki e kd. Este circuito e´ mostrado na figura 20. Os blocos de
comparador, ganho proporcional, integrador, derivador e somador sa˜o apresentados.
Conforme a subsec¸a˜o 2.2 o comparador possui todos os resistores iguais, seu valor pode ser
escolhido arbitrariamente. Isso e´ necessa´rio para que ele na˜o insira pesos diferentes nas entradas,
nem ganho na sa´ıda.
Conforme a subsec¸a˜o 2.3 o somador possui todos os resistores iguais, seu valor pode ser escolhido
arbitrariamente. Isso e´ necessa´rio para na˜o atribuir pesos diferentes nas entradas, nem ganho na
sa´ıda.
Os valores dos resistores e capacitores das parcelas proporcional, integral e derivativa ja´ foram
calculados nos exemplos 2, 3 e 4.
2.6 Filtro Passa Baixa
A figura 21 mostra o ampop conectado na configurac¸a˜o de filtro passa baixa.
A tensa˜o v+ do ampop e´ zero, pois esta´ ligado a` refereˆncia. A tensa˜o v− e´:
v− = ve −R1IR1 (57)
Aplicando a equac¸a˜o de malha aberta do ampop, obte´m-se:
vs = Gma(v+ − v−) = Gma(0− v−) = −Gmav− ⇒ 1
Gma
vs = −v− = − (ve −R1IR1) (58)
Como o ganho de malha aberta do amplificador e´ muito alto: 1/Gma → 0:
0vs = − (ve −R1IR1) ⇒ ve = R1IR1 ⇒ IR1 = ve
R1
(59)
2 Circuitos com Amplificador Operacional 16
vs 
R2
ve 
+
-
R1
CIC
IR2
IR1 I-
Fig. 21: Circuito com amplificador operacional na configurac¸a˜o de filtro passa baixa.
A corrente IR1 e´ dada por:
IR1 =
ve − vc − vs
R1
(60)
Substituindo IR1 da equac¸a˜o 59 na equac¸a˜o 60, tem-se:
ve
R1
=
ve − vc − vs
R1
⇒ ve = ve − vc − vs ⇒ vc = −vs (61)
Da lei das correntes de Kirchhoff:
IR1 = IR2 + IC + I− (62)
Como a impedaˆncia de entrada e´ muito alta:
I− ≈ 0 ⇒ IR1 ≈ IR2 + IC (63)
A corrente IC e´ dada por:
IC = C
dvC
dt
(64)
Substituindo a tensa˜o da equac¸a˜o 61 na equac¸a˜o 64, tem-se:
IC = −Cdvs
dt
(65)
A corrente IR2 e´:
IR2 =
vc
R2
= − vs
R2
(66)
Substituindo os resultados das equac¸o˜es 60, 61, 65 e 66 na equac¸a˜o 63, tem-se:
ve
R1
= −Cdvs
dt
− vs
R2
(67)
Rearranjando, obte´m-se a equac¸a˜o diferencial que relaciona a sa´ıda do filtro passa baixa com a
entrada:
dvs
dt
+
vs
CR2
= − ve
CR1
(68)
2 Circuitos com Amplificador Operacional 17
Ou seja, o circuito da figura 21 representa uma equac¸a˜o diferencial linear de primeira ordem,
que recebe como entrada a tensa˜o ve e gera a sa´ıda vs.A constante de tempo da equac¸a˜o diferencial
e o ganho esta´tico sa˜o:
τ = R2C (69)
G0 = −R2
R1
(70)
O ganho esta´tico e´ definido como a raza˜o entre e a sa´ıda e a entrada quando a derivada e´ zero:
G0 = (vs/ve) = −CR2/CR1 = −R2/R1.
A frequeˆncia de canto de um filtro passa baixas e´ definida como ωc = 1/τ , neste caso, ωc =
1/R2C. Esta frequeˆncia caracteriza a regia˜o a partir da qual a atenuac¸a˜o do sinal de sa´ıda e´ tal
que a poteˆncia do sinal de sa´ıda e´ menos da metade da poteˆncia do sinal de entrada.
Note que o ganho esta´tico e´ negativo, o que significa que a entrada da equac¸a˜o diferencial e´
invertida. Esta configurac¸a˜o de equac¸a˜o diferencial de primeira ordem e´ aplicada como um filtro
passa baixas, onde o sistema possui um ganho constante em baixas frequeˆncias (G0), com ganho
tendendo a zero em altas frequeˆncias.
2.6.1 Exemplo 6
Apresente um circuito com ampop que implemente um filtro passa baixa com ganho de esta´tico
G0 = −1 e frequeˆncia de canto ωc = 1/τ = 10rad/s.
Um circuito de filtro passa baixa inversor com ampop e´ mostrado na figura 22. Existem dois
resistores varia´veis que podem ser usados para ajustar o ganho da entrada e a frequeˆncia de canto.
vs 
R2
ve 
+
-
R1
C
Fig. 22: Filtro passa baixa inversor com ganho de entrada e frequeˆncia de canto ajusta´veis.
Assuma que se tem a` disposic¸a˜o um capacitor de 1µF . Neste caso, a frequeˆncia de canto e´
dada por:
ωc =
1
R210−6
=
106
R2
(71)
Deste modo, para se obter a frequeˆncia de canto ωc = 10rad/s, deve-se ter:
10 =
106
R2
⇒ R2 = 10
6
10
= 105 = 100kΩ (72)
2 Circuitos com Amplificador Operacional 18
Assim, usando o circuito da figura 22, a frequeˆncia de canto ωc = 10rad/s pode ser obtida
com uma resisteˆncia de 100kΩ e capacitor de 1µF . Na pra´tica, isso pode ser feito adotando-se um
potencioˆmetro de 1MΩ e variando a sua resisteˆncia ate´ obter o valor de 100kΩ.
Para que o ganho esta´tico G0 = −R2/R1 seja igual a -1, basta escolher o resistor R1 = 100kΩ.
Isto pode ser obtido usando um segundo potencioˆmetro.
2.7 Filtro Passa Alta
A figura 23 mostra o ampop conectado na configurac¸a˜o de filtro passa alta.
vs 
R2
ve 
+
-
R1C
I2
I1 I-
Fig. 23: Circuito com amplificador operacional na configurac¸a˜o de filtro passa alta.
A tensa˜o v+ do ampop e´ zero, pois esta´ ligado a` refereˆncia. A tensa˜o v− e´:
v− = vs +R2I2 (73)
Aplicando a equac¸a˜o de malha aberta do ampop, obte´m-se:
vs = Gma(v+ − v−) = Gma(0− v−) = −Gmav− ⇒ 1
Gma
vs = −v− = − (vs +R2I2) (74)
Como o ganho de malha aberta do amplificador e´ muito alto: 1/Gma → 0:
0vs = − (vs +R2I2) ⇒ vs = −R2I2 ⇒ I2 = − vs
R2
(75)
Da lei das correntes de Kirchhoff:
I1 = I2 + I− (76)
Como a impedaˆncia de entrada e´ muito alta:
I− ≈ 0 ⇒ I1 ≈ I2 (77)
Da lei das tenso˜es de Kirchhoff:
ve = vc + (R1 +R2)I1 + vs (78)
Das equac¸o˜es 75, 77 e 79, tem-se que:
ve = vc + (R1 +R2)I1 + vs = vc + (R1 +R2)I2 + vs = vc − (R1 +R2) vs
R2
+ vs
ve = vc − R1
R2
vs − vs + vs = vc − R1
R2
vs ⇒ vc = ve + R1
R2
vs (79)
2 Circuitos com Amplificador Operacional 19
A corrente IC e´ dada por:
IC = C
dvC
dt
(80)
Como o capacitor e o resistor R1 esta˜o em se´rie:
IC = I1 = I2 = C
dvC
dt
(81)
Substituindo I2 dado pela equac¸a˜o 75 na equac¸a˜o 81:
− vs
R2
= C
dvC
dt
(82)
Substituindo, na equac¸a˜o 82, vC dado pela equac¸a˜o 79:
− vs
R2
= C
d
dt
(
ve +
R1
R2
vs
)
= C
dve
dt
+ C
R1
R2
dvs
dt
⇒ dvs
dt
+
1
CR1
vs = −R2
R1
dve
dt
(83)
A equac¸a˜o 83 descreve uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem para o comportamento da
sa´ıda em func¸a˜o da entrada. A constante de tempo e´ dada pelo resistor e capacitor em se´rie.
τ = R1C (84)
O ganho de alta frequeˆncia e´ definido como a raza˜o entre as derivadas da sa´ıda e da entrada
quando a derivada da sa´ıda e´ suficientemente alta:
G∞ =
dvs/dt
dve/dt
=
−R2/R1
1
= −R2
R1
(85)
Assim, o ganho de alta frequeˆncia G∞ = −R2/R1, e´ negativo e igual a constante que multiplica
a derivada da entrada na equac¸a˜o diferencial. Este e´ um filtro passa altas inversor.
A diferenc¸a fundamental entre o filtro passa baixa e o filtro passa alta se encontra na forma
como a entrada de tensa˜o e´ aplicada na equac¸a˜o. No caso do filtro passa baixa, a entrada e´
aplicada diretamente, por outro lado, no filtro passa altas caracterizado pela equac¸a˜o 83, veja
que e´ a derivada da entrada que e´ aplicada na equac¸a˜o diferencial. Essa fenoˆmeno faz com que
o circuito apresente um fenoˆmeno oposto ao do filtro passa baixa: quando uma tensa˜o de baixa
frequeˆncia e´ aplicada, o ganho entre a entrada e sa´ıda tende a zero. No entanto, em alta frequeˆncia
o ganho e´ ma´ximo, assumindo o valor constante G∞. Ou seja o circuito reduz o ganho em baixa
frequeˆncia e aumenta o ganho em alta frequeˆncia, gerando um comportamento de “deixar passar”
altas frequeˆncias e atenuar baixas frequeˆncias.
A frequeˆncia de canto do filtro passa altas, que e´ aquela a partir da qual o sinal de sa´ıda comec¸a
a ter mais da metade da poteˆncia do sinal de entrada, e´ dada pelo inverso da constante de tempo:
ωc =
1
τ
=
1
R1C
(86)
2 Circuitos com Amplificador Operacional 20
vs 
R2
ve 
+
-
R1C
Fig. 24: Filtro passa alta inversor com ganho de entrada e frequeˆncia de canto ajusta´veis.
2.7.1 Exemplo 7
Apresente um circuito com ampop que implemente um filtro passa alta com ganho de alta frequeˆn-
cia G∞ = −1 e frequeˆncia de canto ωc = 1/τ = 5rad/s.
Um circuito de filtro passa alta com ampop e´ mostrado na figura 24. Existem dois resistores
varia´veis que podem ser usados para ajustar o ganho da entrada e a frequeˆncia de canto.
Assuma que se tem a` disposic¸a˜o um capacitor de 1µF . Neste caso, a frequeˆncia de canto e´
dada por:
ωc =
1
R110−6
=
106
R1
(87)
Deste modo, para se obter a frequeˆncia de canto ωc = 5rad/s, deve-se ter:
5 =
106
R1
⇒ R1 = 10
6
5
= 2× 105 = 200kΩ (88)
Assim, usando o circuito da figura 24, a frequeˆncia de canto ωc = 5rad/s pode ser obtida com
uma resisteˆncia de 200kΩ e capacitor de 1µF . Na pra´tica, isso pode ser feito adotando-se um
potencioˆmetro de 1MΩ e variando a sua resisteˆncia ate´ obter o valor de 200kΩ.
Para que o ganho de alta frequeˆncia G∞ = −R2/R1 seja igual a -1, basta escolher o resistor
R2 = 200kΩ. Isto pode ser obtido usando um segundo potencioˆmetro.
Refereˆncias
[1] Wikipedia. Operational amplifier. site de internet. url:
http://en.wikipedia.org/wiki/Operational amplifier.