1a prova Profa Ducati

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1ª Avaliação : Funções, Limites e Derivadas - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
1a Avaliação – 01/04/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
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Questão 1. Determine o domínio máximo e esboce o gráfico da função:
f x = 1
x3
Domínio:
x3≠0
Em x=−3 a função é descontínua. Não há mais nenhuma indeterminação.
D f =−∞ ,−3∪−3,∞
Esboço do Gráfico:
lim
x−3
1
x3
=∞ lim
x−3−
1
x3
=−∞
lim
x∞
1
x3
=0 lim
x−∞
1
x3
=0
A função não tem raízes.
f ' ' x = 1x3
' '
= −1x32 
'
= 2
 x33
Para
x−3 , a função tem concavidade para baixo, pois a segunda derivada é negativa.
x−3 , a função tem concavidade para cima, pois a segunda derivada é positiva.
1ª Avaliação : Funções, Limites e Derivadas - 2
Questão 2. Calcule os limites das funções abaixo:
(a) lim
x0
x−sen x
xsen x (b)
lim
x∞
[ x22 x3− x]
(a) lim
x0
x−sen x
xsen x
lim
x0
x−sen x
xsen x
=lim
x0
x
xsen x
−lim
x0
sen x
xsen x
[limx0  xxsen x 
−1]
−1
−[limx0  sen xxsen x 
−1]
−1
=[ limx0  xsen xx ]
−1
−[limx0  xsen xsen x ]
−1
[limx0  xx sen xx ]
−1
−[limx0  xsen x sen xsen x ]
−1
=[ limx0 1 sen xx ]
−1
−[limx0  xsen x1]
−1
Limite fundamental
lim
x0
sen x
x
=0
x
sen x
= 1
 sen xx 
[limx0 1 sen xx ]
−1
−[ limx0  xsen x1]
−1
=11−1−11 −1=1
2
−1
2
=0
lim
x0
x−sen x
xsen x
=0
_____________________
(b) lim
x∞
[ x22 x3− x]
lim
x∞
[ x22 x3− x]  x
22 x3x
 x22 x3x
=lim
x∞[ x22 x3− x2 x22 x3 x ]=limx∞[ 2 x3 x22 x3x ]
lim
x∞ [ 2 x3 x22 x3 x ]
1
x
1
x
=lim
x∞ [ 2 3x12x 3x21 ]= 201001=22=1
Questão 3. Considere a função
f x={3 x−1 ,0 ,2 x−1 ,
x0
x=0
x0
. }
1ª Avaliação : Funções, Limites e Derivadas - 3
(a) Calcule, caso exista, o lim
x0
f x .
(b) A função f (x) é contínua no ponto x = 0 ?
(a) Para que a função f tenha limite, lim
x0
f x= lim
x0
f x= lim
x0−
f  x .
lim
x0
2 x−1=−1 lim
x0−
3 x−1=−1
lim
x0
f x= lim
x0
f x= lim
x0−
f  x=−1
Logo, lim
x0
f x=−1
(b) Para que f seja contínua, lim
x p
f x= f  p.
f 0=0 , lim
x0
f x =−1
f 0=0 ≠ lim
x0
f x =−1
Logo, a função não é contínua no ponto x = 0.
Questão 4. As desigualdades abaixo valem para todos os valores próximos de zero:
1− x
2
2
−
x4
4

x sen x
2−2cos x
1 x
2
2

x4
4

x2
2 x43
Calcule o limite
lim
x0
x sen x
2−2 cos x
.
como x0 , calculando os limites dos extremos da desigualdade, acharemos o limite do centro.
lim
x0 1− x
2
2
−
x4
4 =1−0−0=1
lim
x0 1 x
2
2
 x
4
4
 x
2
2 x43=1000=1
1− x
2
2
−
x4
4

x sen x
2−2cos x
1 x
2
2

x4
4

x2
2 x43
Para x tendendo a zero,
1 x sen x
2−2 cos x
1.
1ª Avaliação : Funções, Limites e Derivadas - 4
lim
x0
x sen x
2−2cos x
=1
Questão 5. Determine as derivadas das funções dadas:
(i) f x =
x5
x2−3
(ii) f x =x2 ln x
(iii) f x = x exsen x 5 (iv) f x =arcsen  x2−1
(i) f x =
x5
x2−3
f ' x= x
5 ' x2−3−x5x2−3 '
 x2−32
=5 x
4x2−3−x52 x 
 x2−32
f ' x= x
4[5 x2−3−2 x2]
x2−32
= x
43 x2−15
x2−32
(ii) f x =x2 ln x
f ' x=x2 ' ln xx2ln x  '=2 x ln x x2 1x =2 x ln x x=x 2 ln x1
(iii) f x = x exsen x 5
f ' x=[ xe xsen x 5]'=5  x exsen x4  x exsen x '
5 xe xsen x 4 x  ' ex  xe x'cos x=5 x exsen x 41ex x e xcos x 
f ' x=5 x exsen x 4 e x x1cos x 
(iv) f x =arcsen x2−1
f ' x=[arcsen x2−1]'
f −1[ f x ]=x 2−1 ⇒  f −1 ' [ f  x ] f '  x =2 x ⇒ f ' x = 2 x
 f −1 '[ f  x ]
f u =arcsen u f −1u=sen u  f −1' u =cos u
 
f ' x= 2 x
cos [arcsen x2−1]
1ª Avaliação : Funções, Limites e Derivadas - 5
cos u=1−sen2u
f ' x= 2 x
1−sen2arc sen x2−1
= 2 x
1−x2−12
= 2 x
1− x4−2 x 21
f ' x= 2 x
−x42 x2
Questão 6. Considere a função y = f (x) definida implicitamente por
x2
4

y2
9
=1 .
(a) Determine a derivada implícita
dy
dx em função das variáveis x e y.
(b) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (0, 3).
(a)
 x24  y
2
9 
'
=2 x
4
2 y y '
9
−2 x
4
=2 y y '
9
=− x
2
y '=−9 x
4 y
(b) Equação da reta tangente:
y− y0=mx− x0
y− y0=−9 x04 y0 x− x0
y−3=[−9 043 ][ x−0]
y−3=0
y=3