Gabarito Lista de exercícios 5 2015 1.pdf

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Gabarito da lista de exercícios do módulo 5. 
 
1. Associe cada tipo de amostragem ao respectivo exemplo: 
 
1. Amostragem aleatória simples 
2. Amostragem aleatória sistemática 
3. Amostragem aleatória estratificada 
4. Amostragem aleatória por conglomerados 
 
 
a. (4) Numa pesquisa de mercado que pretendia verificar as preferências de leitura dos 
moradores de uma pequena cidade, foi estabelecido que seria utilizada uma amostra de 200 
residências. Para isto, seriam sorteadas 40 quadras desta cidade e, a seguir, para cada quadra 
seriam sorteadas 5 residências para fazer parte da amostra. 
A amostragem é aleatória por conglomerados porque a população é dividida em vários 
conglomerados (quadras), dentre as quais são sorteadas uma parte (40 quadras), das quais 
são sorteadas as residências. 
b. (1) Um estudo de mercado deve verificar e estimar a média de idade dos usuários de uma 
operadora de celular. Para estimar esta média, foi sorteado 350 clientes dentre os 
300.000 da operadora. 
A amostragem é simples porque a seleção da amostra é obtida fazendo um sorteio de 
elementos de toda a população (sem a separação em nenhum tipo de grupo). 
c. (3) Numa empresa que fornece serviços de telefonia celular, foi realizada uma pesquisa de 
satisfação de clientes. A amostra que continha 600 nomes foi obtida após ter sido 
estabelecido que da listagem de 30.000 clientes (sendo 10.000 mulheres e 20.000 homens) 
seriam sorteados 200 clientes mulheres e 400 clientes homens. 
A amostragem é estratificada porque a população é dividida (estratificada) em dois 
subgrupos: homens e mulheres, ou seja, a variável gênero serve como critério de 
estratificação e, além disso, a amostra é obtida fazendo seleção de elementos separadamente 
em cada um dos dois grupos. 
d. (2) Para estimar o percentual de clientes que tinham alguma reclamação a fazer pelos 
serviços prestados pela assistência técnica, um fabricante de televisores realizou uma 
pesquisa com clientes que estavam na listagem de solicitação de serviços. Para isto, foi 
estabelecida a utilização de uma amostra de 200 dos 20.000 nomes que constava na lista. 
A seleção da amostra ocorreu através da retirada de um nome a cada 100 que estavam 
em ordem alfabética nesta lista. 
A amostragem é sistemática porque a seleção da amostra é obtida a partir de um único 
sorteio inicial e depois o restante da amostra é selecionado retirando, sistematicamente, um 
nome a cada 100 que estavam em ordem alfabética da lista. 
2. Uma amostra de 300 lâmpadas fabricadas com um determinado processo apresentou 27 
lâmpadas com tempo de duração abaixo do parâmetro mínimo especificado pelo controle de 
qualidade. Estime, com 95% de confiança, a proporção de lâmpadas que devem apresentar o 
problema quando fabricadas com este determinado processo. 
Este exercício pede que seja feita uma estimativa, para isso, o recurso que temos dentro do conteúdo 
desta disciplina é o cálculo de intervalos de confiança. Sempre que for solicitado um intervalo de 
confiança, deve ser observado se ele servirá para estimar média populacional ou proporção 
populacional. Neste enunciado está sendo solicitada estimativa de proporção, portanto, a fórmula do 
intervalo de confiança para proporção (pág. 87 do livro) é 
n
pp
zp
)1(
.ˆ 2/

 
 
Onde p é a proporção de sucessos na amostra, n é o tamanho de amostra total, e z é o valor da tabela 
de distribuição normal padronizada tal que, a área entre –z e z seja igual a (1-). 
 
Para este exercício temos: 
p= 27/300 = 0,09 
2/z
=1,96, obtido da tabela de distribuição normal (ver exemplo 9.1 pág.84 do livro) 
n=300 
Fazendo os cálculos temos: 
0324,009,0
300
)09,01(09,0
.96,109,0
)1(
.ˆ 2/ 




n
pp
zp  
Portanto, I.C. 95% para proporção populacional é (0,0576 ; 0,1224) 
Conclusão formal: com 95% de confiança, a proporção de lâmpadas que devem apresentar o 
problema quando fabricadas com este determinado processo está entre 0,0576 e 0,1224, ou seja, 
entre 5,76% e 12,24%. 
 
3.Verificou-se uma amostra de 25 unidades de um produto adquiridos em diferentes dias de um 
determinado mês para avaliar o tempo de permanência dele em estoque. O tempo médio da 
amostra foi de 7,5 dias com desvio padrão 1,8 dias. Faça uma estimativa do tempo médio de 
permanência deste tipo de produto em estoque, com 99% de confiança. 
Este exercício pede que seja feita uma estimativa, para isso, o recurso que temos dentro do conteúdo 
desta disciplina é o cálculo de intervalos de confiança. Sempre que for solicitado um intervalo de 
confiança, deve ser observado se ele servirá para estimar média populacional ou proporção 
populacional. Neste enunciado está sendo solicitada estimativa de média. Ao procurar pela fórmula 
do intervalo de confiança para média, você surgirá a dúvida sobre qual fórmula utilizar, a da pág 84 
ou a da pág. 85; se a informação sobre o desvio padrão da variável a ser estimada for populacional 
(

) , utiliza-se a fórmula da pág 84; se a informação sobre o desvio padrão da variável a ser 
estimada for amostral (S) , utiliza-se a fórmula da pág 85. Neste exercício, o desvio padrão 
disponível é referente à amostra (S=1,8), portanto será usado:
n
S
tx n .ˆ )2/;1(  
 
onde 
x
=7,5, S=1,8, n = 25, e 
)2/;1( nt
 é o valor da tabela de distribuição t de Student. Como o 
intervalo deve ter nível de confiança 98% (ou seja, 1-=0,99, então, =0,01 ), buscamos o valor 
tabelado de t que deixa a área entre –t e t igual a 0,99. Este valor é encontrado na tabela da 
distribuição t de Student.disponível nos anexos do livro (pág. 128). O valor de interesse é localizado 
na linha n-1 e na coluna  bilateral. Para este exemplo, deve-se procurar na linha n-1=24 e na 
coluna  bilateral = 0,02, onde chegaremos ao valor t=2,797. 
Fazendo os cálculos temos: 
...00692,15,7
25
8,1
.797,25,7.ˆ )2/;1(  
n
S
tx n  
Portanto, I.C. 98% para média populacional é (6,49 ; 8,51) 
Conclusão formal: com 98% de confiança, o tempo médio de permanência deste tipo de produto em 
estoque está entre 6,49 dias e 8,51 dias. 
4.Um serviço deve ser executado dentro de um determinado tempo para garantir a satisfação dos 
clientes. Foram observadas 20 execuções desta tarefa e o tempo médio da amostra foi de 40 
minutos. Considere desvio padrão populacional de 3,1 minutos. 
a) Estime, com 95% de confiança, o tempo médio de execução deste tipo de tarefa. 
Este exercício pede que seja feita uma estimativa de média. Ao procurar pela fórmula do intervalo 
de confiança para média, você surgirá a dúvida sobre qual fórmula utilizar, a da pág 84 ou a da pág. 
85; se a informação sobre o desvio padrão da variável a ser estimada for populacional (

) , utiliza-
se a f´rmula da pág 84; se a informação sobre o desvio padrão da variável a ser estimada for 
amostral (S) , utiliza-se a fórmula da pág 85. Neste exercício, o desvio padrão disponível é referente 
à população (

=3,1 ), portanto será usado: 
n
zx

  .ˆ )2/(
 
onde 
x
=40, 

=3,1 , n = 20, e 
2/z
=1,96, obtido da tabela de distribuição normal (ver exemplo 
9.1 pág.84 do livro). 
Fazendo os cálculos temos: 
...3586,140
20
1,3
.96,140.ˆ )2/( 
n
zx
  
Portanto, I.C. 95% para média populacional é (38,64 ; 41,36) 
Conclusão formal: com 95% de confiança, o tempo médio de execução deste tipo de tarefa está 
entre 38,64 minutos e 41,36 minutos. 
b) Qual o erro máximo de estimativa utilizando uma amostra de tamanho 20? 
Este exercício pede que seja feita o cálculo do erro máximo da estimativa, considerando uma 
amostra de tamanho 20. Ao utilizar a fórmula do intervalo de confiança para média, 
n
zx

  .ˆ )2/(
 estamos calculando, na verdade, 
ex ˆ
, onde e é o erro máximo da 
respectiva estimativa. Portanto, se queremos calcular um erro máximo de estimativa de média (com 
desvio padrão populacional) fazemos 
n
ze

 .)2/(
 
Neste caso temos 

=3,1 , n = 20, e 
2/z
=1,96, 
Fazendo os cálculos temos: 
...3586,1
20
1,3
.96,1.)2/( 
n
ze


 
Portanto, o erro de estimativa considerando a amostra de tamanho 20 é de 1,36 minutos para mais 
ou para menos. 
Obs.: como na letra a) deste exercício já havia sido feito um intervalo de confiança nas mesmas 
condições, a resposta poderia ter sido tirada direto de lá ! 
 
c) Se o erro máximo de estimativa, para 95% de confiança, for de 1 minuto, qual deve ser o 
tamanho da amostra? 
Este exercício pede o tamanho de uma amostra. Sempre que for necessário calcular um 
tamanho de amostra é necessário verificar para qual é a sua finalidade. A amostra solicita servirá 
para fazer uma estimativa de média, desse modo, a fórmula de tamanho mínimo amostra para 
estimativas de médias, para populações infinitamente grandes é: 2.







e
z
n
 
Onde z é o valor da tabela de distribuição normal associado ao nível de confiança da 
estimativa a ser obtida com a amostra em questão, 

 é o desvio padrão da variável a ser estimada e 
“e” é o erro máximo de estimativa (margem de erro) aceita pelo decisor. 
Neste caso temos 

=3,1 , e= 1, e 
2/z
=1,96, 
Fazendo os cálculos temos: 
...91,36
1
1,396,1.
22













x
e
z
n
 
Portanto, o tamanho mínimo que a amostra deve ter é de 37 serviços executados / tarefas. 
Obs.: sempre que for calculado tamanho mínimo de amostra, o resultado deve ser arredondado para 
número inteiro e para cima. 
 
d) Se o erro máximo de estimativa, para 95% de confiança, for de 0,5 minuto, qual deve ser o 
tamanho da amostra? 
Este exercício pede o tamanho de uma amostra. Sempre que for necessário calcular um 
tamanho de amostra é necessário verificar para qual é a sua finalidade. A amostra solicita servirá 
para fazer uma estimativa de média, desse modo, a fórmula de tamanho mínimo amostra para 
estimativas de médias, para populações infinitamente grandes é: 2.







e
z
n
 
Onde z é o valor da tabela de distribuição normal associado ao nível de confiança da 
estimativa a ser obtida com a amostra em questão, 

 é o desvio padrão da variável a ser estimada e 
“e” é o erro máximo de estimativa (margem de erro) aceita pelo decisor. 
Neste caso temos 

=3,1 , e= 0,5, e 
2/z
=1,96, 
Fazendo os cálculos temos: 
...67,147
5,0
1,396,1.
22













x
e
z
n
 
Portanto, o tamanho mínimo que a amostra deve ter é de 148 serviços executados / tarefas. 
Obs.: sempre que for calculado tamanho mínimo de amostra, o resultado deve ser arredondado para 
número inteiro e para cima. 
 
5.Pretende-se estudar a opinião de moradores de uma região composta por 8.000 moradores, 
verificando a proporção que tem procurado adquirir produtos que respeitem o meio ambiente. 
Qual deverá ser o tamanho da amostra para que a estimativa tenha 95% de confiança e margem de 
erro de 4,5%? 
Este exercício pede o tamanho de uma amostra. Sempre que for necessário calcular um tamanho de 
amostra é necessário verificar para qual é a sua finalidade. A amostra solicita servirá para fazer uma 
estimativa de proporção, desse modo, a fórmula de tamanho mínimo amostra para estimativas de 
médias, para populações infinitamente grandes é: 
2
2
)(
)1.(.
e
ppz
n


 
Onde z é o valor da tabela de distribuição normal associado ao nível de confiança da estimativa a 
ser obtida com a amostra em questão, “e” é o erro máximo de estimativa (margem de erro) aceita 
pelo decisor e deve ser informado na forma de proporção e p é uma estimativa provisória da 
proporção de interesse, a qual em geral, não se tem a menor idéia de qual seja, neste caso utiliza-se 
p=0,5, que é o valor que gera a maior necessidade de amostra, porém, não permite que se faça uma 
estimativa com margem de erro maior que a estabelecida pelo decisor. 
Desse modo temos : 2
2
2
2)(
)1.(.









e
z
e
ppz
n
 
Neste caso temos e= 0,045, e 
2/z
=1,96. 
Fazendo os cálculos temos: 
...2716,474
045,02
96,1
2
22













xe
z
n
 
Para uma população infinitamente grande, uma amostra de 475 moradores seria suficiente. Neste 
exercício é dito que a população é composta por N=8000 moradores. Ou seja, a população não é 
infinitamente grande. Este fato faz com que seja possível tentar reduzir o tamanho de amostra. Para 
isso utilizamos: 
)1(
.
'
0
0


Nn
Nn
n
 onde 
0n
 é a resposta anterior e N= 8000. 
...78,447
)18000(...2716,474
8000...2716,474
)1(
.
'
0
0 




x
Nn
Nn
n
 
Portanto, o tamanho mínimo que a amostra deve ter é de 448 moradores. 
Obs.: sempre que for calculado tamanho mínimo de amostra, o resultado deve ser arredondado para 
número inteiro e para cima. 
 
6.Uma transportadora quer verificar o tempo médio que leva para entregar em um certo destino. 
Supondo que o desvio padrão do tempo para a entrega seja de 6 minutos, qual deve ser o tamanho 
mínimo da amostra de entregas para que a estimativa do tempo médio tenha 95% de confiança e 
erro máximo de 1,5 minutos? 
Este exercício pede o tamanho de uma amostra. Sempre que for necessário calcular um 
tamanho de amostra é necessário verificar para qual é a sua finalidade. A amostra solicita servirá 
para fazer uma estimativa de média, desse modo, a fórmula de tamanho mínimo amostra para 
estimativas de médias, para populações infinitamente grandes é: 2.







e
z
n
 
Onde z é o valor da tabela de distribuição normal associado ao nível de confiança da 
estimativa a ser obtida com a amostra em questão, 

 é o desvio padrão da variável a ser estimada e 
“e” é o erro máximo de estimativa (margem de erro) aceita pelo decisor. 
Neste caso temos 

=6 , e= 1,5, e 
2/z
=1,96, Fazendo os cálculos temos: 
...46,61
5,1
696,1.
22













x
e
z
n
 
Portanto, o tamanho mínimo que a amostra deve ter é de 62 entregas. 
Obs.: sempre que for calculado tamanho mínimo de amostra, o resultado deve ser arredondado para 
número inteiro e para cima.