Tarefa 3 Resolução

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
Coordenação do Curso de Licenciatura em Física 
na Modalidade a Distância 
 
 
 
TAREFA 3 - RESOLUÇÃO 
Disciplina: Cálculo I (MTM 9109) 
Professora: Rosimary Pereira 
Tutor UFSC: Marcos Martins 
Ano/Semestre: 2015.2 
Data: 
Aluno: Polo: 
 
OBSERVAÇÃO: Esta tarefa deverá ser entregue (enviada), via ambiente, até as 23 horas do 
dia 28 de novembro de 2015. 
. 
(Questão 1) 
Calcule a integral 32 (3 )
C
x y dx x y dy+ +∫ onde C ó caminho definido por 
2
x y= de (1,-1) à (1,1). 
Solução: 
 { 2:C x y= , de ( )1, 1− a ( )1,1 
 
• Então, 
 
( )
( ) ( ) ( )
1 1
3 6 2 8 2
1 1
1
9 3 2
1
2 (3 ) 2 2 3 4 3
4 1 4 11 1 1 1 1 1
9 2 9 2
8 8 18 0 262 0
9 9 9
C
x y dx x y dy y y y dy y y dy y y y dy
y y y
− −
−
   + + = ⋅ ⋅ + + = + +  
 
= + + = + + + + −  
+ +
= + + = =
∫ ∫ ∫
 
 
 
(Questão 2) 
Determine o trabalho realizado pela força 2 2( , ) ( 16 ) (4 3 )yf x y y senx i e x j
→ → →
= − + + + atuando ao longo da 
curva fechada simples C mostrada na figura abaixo. 
1 1
2
2
y
x y
dx y dy
− ≤ ≤
=
=
 
 
 
Solução: 
 
 
• Temos: 
 
3
4 4
0 1r
pi piθ ≤ ≤

 ≤ ≤
 
• Então, 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3 14
2 1
04
3 314 4 12 3 2
0
04 4
3
4
4
3
4
4
6 16 6 cos 16
6 cos 16 2 cos 8
2cos 8
2sen 8
3 32sen 8 2sen 8
4 4 4 4
2 6 2 2
4
C R R
f f
w f dr dA x dA r r drd
x y
r r drd r r d
d
pi
pi
pi pi
pi pi
pi
pi
pi
pi
θ θ
θ θ θ θ
θ θ
θ θ
pi pi pi pi
pi pi
pi
 ∂ ∂
= = − = + = + ∂ ∂ 
= + = +
= +
= +
   
= + − +   
   
= + − −
=
∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
�� �
�
 
 
R
 
R
 
3
4
pi
 
4
pi
 
1− 1 
Trabalho: 
 
C
w f d r= ∫
�� �
� 
 
• Usando o teorema de Green, temos: 
 
2 1
C R
f f
w f dr dA
x y
 ∂ ∂
= = − ∂ ∂ ∫ ∫∫
�� �
� 
 
� ( )2 11 16 sen 16ff y x y
∂
= − + ⇒ = −
∂
 
� 
2 2
2 4 3 6
y ff e x x
yx
∂
= + ⇒ =
∂
 
 (Questão 3) 
Verifique o Teorema de Stokes para o campo vetorial ( , , ) 2 3 4f x y z z i x j y k
→ → → →
= − + e S porção do 
paraboloide 2 216z x y= − − para 0z ≥ . 
Solução: 
• ( , , ) 2 3 4f x y z z i x j y k
→ → → →
= − + 
• 
2 216
:
0
z x yS
z
 = − −

≥
 
 
 
 � 
C S
f d r rot f n ds
→ → 
= ⋅ ⋅ 
 ∫ ∫∫
� �
� 
 
 � ( ) ( ) ( )( ), , 0 3 4cos 4 4sen 12cos 16sen f x t y t z t i t j tk t j tk→ = − ⋅ + ⋅ = − +� � � � � 
 
• Então, 
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
0 0
22 2
2
0 0 0
, , 0, 12cos ,16sen 4sen , 4cos ,0
1 sen 248cos 48 1 cos 2 24 24 2 0 48
2 2
C
f d r f x t y t z t r t dt t t t t dt
t
t dt t dt t
pi pi
pipi pi
pi pi
→ →
= ⋅ = − ⋅ −
 
= − = − ⋅ + = − + = − ⋅ + = − 
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫
� �
�
 
 
• 
2 216
:
0
z x yS
z
 = − −

≥
 
 
• Assim, 
 
 ( ) ( ) ( )
3 32 1 2 1
4 0 2 0 3 0
4 2 3
f ff f f f
rot f i j k
y z z x x y
rot f i j k
rot f i j k
→
→
→
   ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂  
= − + − + −      ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂      
 
= − + − + − − 
 
 
= + − 
 
� � �
� � �
� � �
 
S
 
 
R
 
0 4
:
0 2
r
R
θ pi
≤ ≤
 ≤ ≤
 
( )
( )
4cos 4sen , 0 2
:
4sen 4cos
r t ti t j t
C
r t ti t j
pi = + ≤ ≤

′ = − +
� �
� � 
• Como ( ){: ,C z f x y= , encontramos n F= ∇� , onde ( ),F z f x y= − . 
• Então, 
 ( )
2 216
2 , 2 ,1
F z x y
F x y
= − + +
∇ =
 
 
• Assim, vem: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 4
0 0
42
3 3 2
0 0
2
3
0
2
0
4,2, 3 2 ,2 ,1 8 4 3
8 cos 4 sen 3
8 4 3
cos sen
3 3 2
8 64 4 64
cos sen 24
3 3
8 64 4 64
sen cos 24
3 3
0 0 48
48
S S R
rot f n ds x y ds x y dA
r r r dr d
r r r d
r d
pi
pi
pi
pi
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
pi
pi
⋅ ⋅ = − ⋅ = + −
= + −
 
= + − 
 
⋅ ⋅ 
= + − 
 
⋅ ⋅ 
= − − 
 
= = −
= −
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫ ∫
∫
∫
�� �
 
 
 
(Questão 4) 
Verifique o Teorema da divergência para o campo vetorial ( , , ) ( 1)f x y z x i y j z k
→ → → →
= + + − considerando D 
sendo a região limitada pelo hemisfério 2 2 2( 1) 9, 1 4x y z z+ + − = ≤ ≤ e o plano 1z = . 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• ( )1f xi y j z k→ = + + −� � � 
• 
( )22 2 1 9
:
1 4 e o plano 1
x y zD
z z
 + + − =

≤ ≤ =
 
 0
2
: 0 3
0 2
T
piφ
ρ
θ pi
 ≤ ≤

≤ ≤
 ≤ ≤


 
� ( )
S T
f n ds div f dV⋅ ⋅ =∫∫ ∫∫∫
�� � ��
 
 
• Temos: ( ) ( )1 1 1 3div f = + + =�� 
• Assim, vem: 
 
( )
32 3 2 32 2
2
0 0 0 0 0 0
2 2 22
2
0
0 0 0 0
2
0
3 sen 3 sen
3
27 sen 27 cos 27
27 54
T
div f dV d d d d d
d d d d
pi pi
pi pi
pi
pi pi pi
pi
pi
ρρ φ ρ φ θ φ φ θ
φ φ θ φ θ θ
θ pi
= =
= = − =
= =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
��
 
 
• 
S
f n ds⋅ ⋅∫∫
�� �
 
1 2S S S= ∪ , onde {1 : 1S z = e ( ){ 22 22 : 1 9S x y z+ + − = 
1 2S S S
f n ds f n ds f n ds⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫
�� � �� � �� �
 
 
1) Calculando 
1S
f n ds⋅∫∫
�� �
: 
• {1 : 1S z = 
• ( ), , 1F x y z z= − 
• ( )( ) ( ), , , ,0f x y z xy x y=�� 
• ( )( ), , , 0F f x y z x y∇ ⋅ =�� 
 
 Logo, 
1
0
S
f n ds⋅ =∫∫
�� �
. 
 
2) Calculando 
2S
f n ds⋅∫∫
�� �
: 
• ( ){ 22 22 : 1 9S x y z+ + − = ] 
• Parametrizando 2S , temos: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ){ ( ) ( )2 2
3sen cos
: 3sen sen , : , , , ,
1 3cos
x v u
S y v u S r u v x u v i y u v j z u v k
z v
=

= = + +

= +
� � �
 
• ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , 3sen cos ,3sen sen ,1 3cosf x u v y u v z u v v u v u v= +�� 
• 
r r
n
u v
 ∂ ∂
= ± × ∂ ∂ 
� �
�
 
• ( ) ( ) ( ) ( )( )3sen sen ,3sen cos ,0r v u v u
u
∂
= −
∂
�
 
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3cos cos ,3cos sen , 3senr v u v u v
v
∂
= −
∂
�
 
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 29sen cos 9sen sen 9sen cosr r v u i v u j v v k
u v
∂ ∂
× = − − −
∂ ∂
� �
� � �
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Então, vem: 
 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )3 2, , , , , 27sen 27sen cosn f x u v y u v z u v v v v⋅ = + +� �� 
 
• Assim, 
 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
( )
2
22
3 2
0 0
2
2 2
0
2
2 2
0
1
2
0
2
0
27 sen sen cos
54 sen sen sen cos
54 sen sen cos
54 sen
54 cos
54 0 1
54
S
f n ds v v v du dv
v v v v dv
v v v dv
v dv
v
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
=
⋅ = +
= +
 
 = +
 
 
=
= −
= +
=
∫∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
�� �
���������
 
 
• Logo, 
 
1 2
0 54
54
S S S
f n ds f n ds f n ds
pi
pi
⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅
= +
=
∫∫ ∫∫ ∫∫
�� � �� � �� �
 
� Seja ( )0,0,1P um ponto de 2S. 
� O vetor posição de P é ,
2 2
r
pi pi 
 
 
�
. 
� ( ), 0, 9,0
2 2
n
pi pi 
= − 
 
�
 que aponta para dentro de 2S . 
� Então, 
r r
n
u v
 ∂ ∂
= − × ∂ ∂ 
� �
�