Teorema de Gauss e Stokes

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA – UEM
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
TEOREMA DE GAUSS E STOKES
Acadêmicos:
Igor Vieira Ruy - 92074
Walker Mendes - 91868
Professora: Jamile
MARINGÁ
FEVEREIRO/2017
TEOREMA DA DIVERGÊNCIA DE GAUSS
O teorema de Gauss, também conhecido como teorema da divergência, estabelece uma relação entre uma integral tripla, numa região sólida W de 3, com uma integral de superfície na sua fronteira. Esse teorema é um instrumento poderoso para os modelos matemáticos que descrevem alguns fenômenos físicos como fluxos de fluidos, fluxos de campos elétricos ou magnéticos e fluxos de calor.
Seja W ⊂ 3 um sólido, cuja fronteira ∂W = S está orientada positivamente com exterior a W. Seja um campo vetorial de classe C1 em um aberto U contendo W. Então,
Nota
Conforme os conceitos estudados em sala sobre os campos vetoriais, se então:
Quando W não é simples, podemos decompô-la como união finitas de regiões simples, isto é,
W = W1 ∪ W2 ∪ ... ∪ Wn
Usando o teorema de Gauss em cada região simples (Wi), obtemos:
Observando que os vetores normais exteriores à fronteira comum de duas regiões simples são opostos, concluímos que as integrais de superfície correspondentes são simétricas e, portanto, se cancelam. Assim, obtém-se:
Exemplo
Verifique o teorema de Gauss para , calculando as duas integrais do enunciado, onde S é a esfera e é a normal unitária exterior a S.
Solução:
O vetor unitário normal exterior à esfera é definido por . Logo,
Parametrizando S, temos ϕ(φ, θ) = (a sen φ cos θ, a sen φ sen θ, a cos φ), com D : 0 ≤ φ ≤ π e 0 ≤ θ ≤ 2π. Temos, também, que dS = a 2 sen φ dφ dθ. Então
Por outro lado, temos:
Portanto
Assim, o teorema de Gauss está verificado.
Aplicação
O teorema de Gauss é vastamente utilizado em cálculos físicos que envolvem campos vetoriais, equações de continuidade e quadrado inverso.
A partir da aplicação do teorema de Gauss, uma série de leis físicas que envolvem campos vetoriais pode ser apresentada de duas formas distintas. Uma delas é a sua forma integral e outra a forma diferencial. No primeiro caso, o fluxo de uma grandeza através de uma superfície fechada é igual à uma outra quantidade. Na forma diferencial, por outro lado, uma grandeza é igual ao divergente de outra. Bons exemplos dessa aplicação são as leis de Gauss para eletrostática, magnetismo e gravidade.
Um exemplo para a aplicabilidade do teorema da divergência para representação de leis físicas de forma integral ou diferencial é a transformação da Lei de Gauss para eletrostática da forma integral para a forma diferencial.
Tomando-se a lei de Gauss sob a forma integral:
Onde q é a carga elétrica e a constante de permissividade elétrica do vácuo e s é a superfície fechada que envolve a carga. A carga elétrica q pode ser escrita como:
Onde é a densidade de carga elétrica e v é o volume ocupado pela superfície s. Logo,
Pelo teorema de Gauss
Como o volume v é qualquer
que é a forma diferencial da lei de Gauss para a eletrostática.
TEOREMA DE STOKES
O teorema de Stokes estabelece uma relação entre uma integral de superfície com uma integral em torno da curva dada pela fronteira da superfície de integração. Por convenção, dizemos que a curva C dada pela fronteira de uma superfície S tem orientação positiva se a superfície estiver sempre a esquerda quando percorremos a curva com a cabeça na direção e sentido do vetor norma n.
Seja S uma superfície orientada, lisa por partes, cuja fronteira é formada por uma curva C fechada, simples, lisa por partes, com orientação positiva. Seja F um campo vetorial cujas componentes possuem derivadas parciais contínuas em uma região aberta de 3 que contém S.
A integral de linha em torno da curva fronteira de S da componente tangencial de F é igual à integral de superfície da componente normal do rotacional de F.
Pela regra da mão direita, com o polegar no de sentido e movimentando os dedos, vemos que a curva bordo de S, ∂S, fica orientada no sentido anti-horário, quando vista de cima. Então uma parametrização de ∂S é, ∂S : x = cost, y = sen t e z = 0, com 0 ≤ t ≤ 2π, portanto dx = − sen t dt, dy = cost dt e dz = 0.
Exemplos
Seja .
 é conservativo? Por quê?
Seja C a curva obtida como interseção da superfície z = x 2 + y 2 − 4, z ≤ 1 com o plano y = −1. Calcule Z C · d , especificando a orientação escolhida. 
Soluçao:
a) Temos rot = (e z − e z , 3y 2 − 3y 2 , 3y 2 − 3y 2 ) = e dom = 3 que é um conjunto simplesmente conexo. Então, pelo teorema das equivalências em 3, segue que ´e um campo conservativo.
b) Logo, existe uma função potencial ϕ(x, y, z), tal que ∂ϕ ∂x = 3x 2 z + y 3 (1) ∂ϕ ∂y = 3xy2 + e z (2) ∂ϕ ∂z = x 3 + yez (3) 
Calcule I C F · dr, em que , e C é a curva da intersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x 2 + y 2 = 1 (com orientação no sentido anti-horário quando vista por cima).
Resposta: Pelo teorema de Stokes, temos
I C F · dr = Z Z S rot F · dS = Z Z D F · krρ × rθkdA = π,
em que D é o disco 0 ≤ ρ ≤ 1 em coordenadas polares e
r(ρ, θ) = ρ cos θi + ρ sen θj + (2 − ρ sen θ)k
descreve a superfície S.
Aplicação
O Teorema de Stokes possui diversas aplicações nos campos científicos. Um de seus principais usos é - em utilização conjunta com o Teorema da Divergência de Gauss - a passagem da forma integral para a forma diferencial das equações de Maxwell. A notação diferencial é muito importante para o estudo do eletromagnetismo de modo mais avançado, sendo muito utilizada neste ramo da física.
REFERÊNCIAS
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da_diverg%C3%AAncia
https://docs.ufpr.br/~jcvb/online/slides(teorema-gauss).pdf
http://www.professores.uff.br/paulab/M13_aluno.pdf
http://www.cesadufs.com.br/ORBI/public/uploadCatalago/11355416022012C%C3%A1lculo_III_aula_10.pdf
http://www.professores.uff.br/paulab/M14_aluno.pdf
http://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA211/Aula24.pdf
http://www.mat.ufmg.br/~tcunha/CalcIII08/13Stokes.pdf
https://www.ime.usp.br/~jahnke/wp-content/uploads/2014/02/apostila.pdf
http://pascal.iseg.utl.pt/~mguerra/am3/docs/tgs.pdf