lista2_volumes_arcos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Lista 2 -Volume de so´lidos, comprimento de
curvas, a´rea de superf´ıcies de revoluc¸a˜o
e integrais impro´prias
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Curso: Engenharias Aerona´utica e Mecatroˆnica
Professora: Ana Paula Tremura Galves
1. Encontre o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas
dadas em torno das retas especificadas. Esboce a regia˜o e o so´lido.
a) y = ex, y = 0, x = 0, x = 1; em torno do eixo x
b) y =
1
x
, x = 1, x = 2, y = 0; em torno do eixo x
c) y =
√
x− 1, x = 2, x = 5, y = 0; em torno do eixo x
d) x =
√
y, x = 0, y = 4; em torno do eixo y
e) x = y − y2, x = 0; em torno do eixo y
f) y = x2, y =
√
x; em torno do eixo x
g) y2 = x, x = 2y; em torno do eixo y
h) y = x2/3, x = 1, y = 0; em torno do eixo y
i) y = x, y =
√
x; em torno de y = 1
j) y = x4, y = 1 em torno de y = 2
l) y =
1
x
, y = 0, x = 1, x = 3; em torno de y = −1
m) x = y2, x = 1; em torno de x = 1
n) y = x, y =
√
x; em torno de x = 2
o) y = x2, x = y2; em torno de x = −1
p) y = x, y = 0, x = 2, x = 4; em torno de x = 1
2. A base de um so´lido S e´ um disco circular de raio r. Secc¸o˜es transversais
paralelas, perpendiculares a` base sa˜o quadrados. Encontre o volume de S.
3. A base de um so´lido S e´ uma regia˜o el´ıptica limitada pela curva 9x2+4y2 = 36.
As sec¸o˜es transversais perpendiculares ao eixo x sa˜o triaˆngulos iso´sceles retos
com hipotenusa na base. Determine o volume do so´lido S.
4. Determine o volume do so´lido S, cuja base de S e´ a regia˜o limitada por
y = x2 e y = 1. As sec¸o˜es transversais perpendiculares ao eixo y sa˜o triaˆngulos
equila´teros.
5. Determine o volume do so´lido S, cuja base de S e´ a regia˜o limitada por
y = x2 e y = 1. As sec¸o˜es transversais perpendiculares ao eixo y sa˜o quadrados.
6. Calcule o volume do so´lido cuja base e´ o semic´ırculo x2 + y2 ≤ r2, y ≥ 0, e
cujas secc¸o˜es perpendiculares ao eixo x sa˜o quadrados.
7. Ache o comprimento da curva.
a) y = 1 + 6x3/2, 0 ≤ x ≤ 1 b) y2 = 4(x+ 4)3, 0 ≤ x ≤ 2, y > 0
c) y =
x5
6
+
1
10x3
, 1 ≤ x ≤ 2 d) y = x
2
2
− ln x
4
, 2 ≤ x ≤ 4
e) x =
1
3
√
y(y − 3), 1 ≤ y ≤ 9 f) x = y
3
3
+
1
4y
, 1 ≤ y ≤ 3
8. Determine o comprimento das curvas parametrizadas:
a) x = 1− t, y = 2 + 3t, −2
3
≤ t ≤ 1
b) x = t3, y =
3t2
2
, 0 ≤ t ≤ √3
c) x = et − t, y = 4et/2, 0 ≤ t ≤ 3
9. Calcule a a´rea da superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o da curva em torno do eixo x.
a) y = x3, 0 ≤ x ≤ 2
b) 9x = y2 + 18, 2 ≤ x ≤ 6
c) x =
1
3
(y2 + 2)3/2, 1 ≤ y ≤ 2
10. A curva dada e´ rotacionada em torno do eixo y. Calcule a a´rea da superf´ıcie
resultante.
a) y = 3
√
x, 1 ≤ y ≤ 2
b) y = 1− x2, 0 ≤ x ≤ 1
c) x =
√
a2 − y2, 0 ≤ y ≤ a/2
11. Determine se cada integral e´ convergente ou divergente. Calcule aquelas que
sa˜o convergentes.
a)
∫
∞
1
1
(3x+ 1)2
dx b)
∫
0
−∞
1
2x− 5dx c)
∫
−1
−∞
1√
2− wdw
d)
∫
∞
0
x
(x2 + 2)2
dx e)
∫
∞
4
e−y/2dy f)
∫
−1
−∞
e−2tdt
g)
∫
∞
−∞
x
1 + x2
dx h)
∫
∞
−∞
(2− v4)dv i)
∫
∞
−∞
xe−x
2
dx
j)
∫
3
0
1√
x
dx l)
∫
3
0
1
x
√
x
dx m)
∫
0
−1
1
x2
dx
n)
∫
9
1
1
3
√
x− 9dx o)
∫
3
−2
1
x4
dx p)
∫
1
0
1√
1− x2dx
q)
∫
33
0
(x− 1)− 15dx r)
∫
1
0
1
4y − 1dy s)
∫
1
0
ln x√
x
dx
12. Esboce a regia˜o e encontre sua a´rea (se a a´rea for finita)
a) S = {(x, y) ∈ R2 | x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ex}
b) S = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 2
(x2 + 9)
}
c) S = {(x, y) ∈ R2 | −2 < x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 1√
x+ 2
}
13. Use o Teorema da Comparac¸a˜o para determinar se a integral e´ convergente ou
divergente.
a)
∫
∞
1
x√
1 + x6
dx b)
∫
∞
1
cos2x
1 + x2
dx c)
∫
∞
1
2 + e−x
x
dx
d)
∫
1
0
e−x√
x
dx e)
∫ pi
2
0
1
x sen x
dx f)
∫
∞
1
1
x+ e2x
dx
14. Encontre os valores de p para os quais a integral
∫
1
0
1
xp
dx converge e calcule a
integral para estes valores de p.
15. a) Calcule a integral
∫
∞
0
xne−xdx para n = 0, 1, 2 e 3.
b) Conjecture o valor de
∫
∞
0
xne−xdx quando n e´ um inteiro positivo arbitra´rio.
16. a) Mostre que
∫
∞
−∞
x dx e´ divergente.
b) Mostre que lim
t→∞
∫ t
−t
x dx = 0. Isso mostra que na˜o podemos definir
∫
∞
−∞
f(x)dx = lim
t→∞
∫ t
−t
f(x)dx.
17. Sabemos que a regia˜o S = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 1
x
} tem a´rea infinita.
Mostre que pela rotac¸a˜o de S em torno do eixo x obtemos um so´lido com volume
finito.