lista4_funcoes_vetoriais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Lista 4 - Func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel real
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Curso: Engenharias Aerona´utica e Mecatroˆnica
Professora: Ana Paula Tremura Galves
Monitor: Giovanni Borges
1. Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es vetoriais:
(a) −→r (t) =
(√
4− t2, e−3t, ln(t+ 1)
)
.
(b) −→r (t) = t− 2
t + 2
−→
i + sen t
−→
j + ln(9− t2)−→k .
2. Calcule os limites:
(a) lim
t→0
(
e−3t
−→
i +
t2
sen2t
−→
j + cos 2t
−→
k
)
.
(b) lim
t→1
(
t2 − t
t− 1
−→
i +
√
t + 8
−→
j +
sen pit
ln t
−→
k
)
.
(c) lim
t→∞
(
1 + t2
1− t2 , arctg t,
1− e−2t
t
)
.
(d) lim
t→∞
(
te−t,
t3 + t
2t3 − 1 , t sen
1
t
)
.
3. Determine a derivada da func¸a˜o vetorial:
(a) −→r (t) = (t sen t, t2, t cos 2t) .
(b) −→r (t) =
(
tg t, sec t,
1
t2
)
.
(c) −→r (t) = −→i −−→j + e4t−→k .
(d) −→r (t) = 1
1 + t
−→
i +
t
1 + t
−→
j +
t2
1 + t
−→
k .
(e) −→r (t) = et2−→i −−→j + ln(1 + 3t)−→k .
(f) −→r (t) = at cos 3t−→i + b sen3t−→j + c cos3t−→k .
(g) −→r (t) = −→a + t−→b + t2−→c .
(h) −→r (t) = t−→a ∧ (−→b + t−→c ).
4. Determine o vetor tangente unita´rio
−→
T (t) no ponto com valor de paraˆmetro t
dado:
(a) −→r (t) = (6t5, 4t3, 2t), t = 1.
(b) −→r (t) = cost−→i + 3t−→j + 2 sen2t−→k , t = 0.
5. Se −→r (t) = (t, t2, t3), encontre −→r′ (t), −→T (1), −→r′′(t) e −→r′ (t) ∧ −→r′′(t).
6. Se −→r (t) = (e2t, e−2t, te2t), determine −→T (0), −→r′′(0) e −→r′ (t).−→r′′(t).
7. Calcule a integral:
(a)
∫
2
0
(t
−→
i − t3−→j + 3t5−→k )dt.
(b)
∫
1
0
(
4
1 + t2
−→
j +
2t
1 + t2
−→
k
)
dt.
(c)
∫ pi
2
0
(
3 sen2t cost
−→
i + 3 sent cos2t
−→
j + 2 sent cost
−→
k
)
dt.
(d)
∫
2
1
(
t2
−→
i + t
√
t− 1−→j + t senpit−→k
)
dt.
(e)
∫ (
et
−→
i + 2t
−→
j + ln t
−→
k
)
dt.
(f)
∫ (
cospit
−→
i + senpit
−→
j + t
−→
k
)
dt.
8. Encontre −→r (t) se −→r′ (t) = 2t−→i + 3t2−→j +
√
t
−→
k e −→r (1) = −→i +−→j .
9. Encontre −→r (t) se −→r′ (t) = t−→i + et−→j + tet−→k e −→r (0) = −→i +−→j +−→k .
10. Determine os vetores velocidade e acelerac¸a˜o e a velocidade escalar da part´ıcula
cuja func¸a˜o posic¸a˜o e´ dada:
(a) −→r (t) = (2 cost, 3t, 2 sent) .
(b) −→r (t) =
√
2t
−→
i + et
−→
j + e−t
−→
k .
(c) −→r (t) = t2−→i + 2t−→j + ln t−→k .
(d) −→r (t) = et (cost, sent, t) .
11. Determine o vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula, dada a sua acelerac¸a˜o
−→a (t) = 2t−→i + sent−→j + cos2t−→k , e suas velocidade e posic¸a˜o iniciais iguais,
respectivamente, a −→v (0) = −→i e −→r (0) = −→j .
12. A func¸a˜o posic¸a˜o de um apart´ıcula e´ dada por −→r (t) = (t2, 5t, t2−16t). Quando
sua velocidade escalar e´ mı´nima?