CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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Cálculo Diferencial e Integral I Professor Luiz Carlos Marinho 
 
 
 
Universidade Estácio de Sá 
Instituto de Ciências Exatas e Engenharias 
Campus Nova Iguaçu - RJ 
 
TRABALHO PARA A AV1 – 2º SEMESTRE/2016 
Aluno (a): 
 
 
Questão 01 
 Calcule as derivadas 𝑓′(𝑥) das seguintes 
funções: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 
𝑥21
7
+
3𝑥10
5
 
b) 𝑓(𝑥) = 
1
3𝑥
−
√5
5𝑥2
+
2
√𝑥
4 
c) 𝑓(𝑥) = 
1
6 √𝑥3
5 
d) 𝑓(𝑥) = (4𝑥 + 1)(3𝑥2 + 6) 
e) 𝑓(𝑥) = (3𝑥5 − 1)(2𝑥 − 𝑥4) 
f) 𝑓(𝑥) = 
2 − 𝑥6 
5𝑥2 + 4
 
g) 𝑓(𝑥) = 
7𝑥2 + 3𝑥 − 1
𝑥3 − 1
 
h) 𝑓(𝑥) = 3 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 5 𝑐𝑜𝑠𝑥 
i) 𝑓(𝑥) = (𝑥3 − 4)9 
j) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 5𝑥 + 2)7 
k) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑙𝑛𝑥) 
l) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑠𝑒𝑛𝑥) 
m) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑠𝑒𝑛5𝑥) 
n) 𝑓(𝑥) = cos (𝑒𝑥) ∙ 𝑙𝑛 (𝑥3) 
o) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 3
3
 
p) 𝑓(𝑥) = 
𝑐𝑜𝑠 4𝑥
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
 
q) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4(1 − 𝑥2) + 𝑐𝑜𝑠2 (
1
2√𝑥
) 
Questão 02 
 Determine a quarta derivada da função 
abaixo no ponto de abscissa 𝑥 = −1: 
 𝑓(𝑥) = 𝑥6 + 2𝑥5 + 𝑥4 − 3𝑥3 + 5𝑥2 − 6𝑥 + 7. 
 
Questão 03 
 Dada a função 𝑓(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠 𝑥, calcule o 
valor numérico da expressão algébrica 
𝑦 = 𝑓(1) (
𝜋
2
) + 𝑓(2)(𝜋) + 𝑓(3) (
3𝜋
2
) + 𝑓(4)(0) 
 
Questão 04 
 Sabendo que 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = 
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 , mostre 
que a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 é igual 
a 𝑓′(𝑥) = − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2 𝑥. 
 
Questão 05 
 Resolva aplicando a Regra de L’Hospital: 
a) lim
𝑥→2
 𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥2 – 3𝑥+ 2
 
b) lim
𝑥→4
 
√𝑥 − 2
𝑥2 − 4𝑥
 
c) lim
𝑥→0
 
𝑥2 + 6𝑥 
𝑥3 + 7𝑥2 + 5𝑥 
 
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d) lim
𝑥→3 
6 − 2𝑥 + 3𝑥2− 𝑥3 
𝑥4 − 3𝑥3− 𝑥 + 3
 
e) lim
𝑥→0
 
 𝑥
1− 𝑒𝑥
 
f) lim
𝑥→0
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥2
 
g) lim
𝑥→
𝜋
2
 
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 + cos 2𝑥
 
 
Questão 06 
 Expresse 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 em termos de x e y, onde 𝑦 =
𝑓(𝑥) é uma função diferenciável dada 
implicitamente pelas equações: 
 
a) 𝑥3 + 𝑦3 = 8 
b) 9𝑥2 + 4𝑦2 = 5𝑥 
c) 𝑒𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑦 = 1 
d) 𝑥𝑦2 + 2𝑦3 = 𝑥 − 2𝑦 
e) 𝑥2𝑦2 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 = 3𝑦3 
 
Questão 07 
 Determine a equação da reta tangente e a 
equação da reta normal às funções abaixo nos 
pontos determinados: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 7𝑥 + 12 no ponto 𝑥 = 1. 
 
b) 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥 + 1, para 𝑥 = – 1. 
c) 𝑝(𝑥) = 
𝑥2
2
 no ponto de abscissa 𝑥 = – 1. 
 
d) ℎ(𝑥) = √𝑥
3
 quando 𝑥 = 8. 
 
e) 𝑦 = 
1
𝑥
 no ponto de abscissa 𝑥 = 
 1
2
. 
 
 
 
Questão 08 
 A curva cujo gráfico e a expressão 
estão representados a seguir é conhecida como 
bruxa de Agnesi. Encontre a equação da reta 
tangente ao ponto (2, 1). 
 
 
 
Questão 09 
 Um corpo se move de tal forma que sua 
posição s, medida em metros, varia de com o 
tempo 𝑡, medido em segundos de acordo com a 
função (𝑡) = 𝑡4 − 2𝑡3 + 9𝑡 . Determine a 
velocidade do corpo no instante 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔 e a 
aceleração do corpo no instante 𝑡 = 4 𝑠𝑒𝑔. 
 
Questão 10 
 Uma bola de metal é arremessada para o alto 
segundo a função s(t) = 20𝑡 − 2𝑡2, onde s é medido 
em metros e t em segundos. Utilizando a derivação, 
determine o tempo necessário para que esta bola de 
metal atinja a altura máxima e o valor desta altura. 
Questão 11 
A função custo mensal de fabricação de um 
produto é dada por C(x) = 
𝑥3
3
 − 2𝑥2 + 10𝑥 + 1 e a 
função de demanda mensal 𝑑(𝑥), do mesmo 
produto, é dada por 𝑑(𝑥) = 10 − 𝑥. Qual o preço 𝑥 
que deve ser cobrado para maximizar o lucro? 
Dado 𝑅(𝑥) = 𝑥. 𝑑(𝑥) e que 𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) – 𝐶(𝑥), 
onde 𝑅 representa a receita e 𝐿 o lucro. 
 
Questão 12 
 Sabendo que o custo de uma produção é 
dada por: 𝐶(𝑥) = 
𝑥3
3
 − 2𝑥² + 4𝑥 + 5, determine 
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quantas unidades deverão ser vendidas para 
minimizar o custo.