AULA08probabilidade 20150504112319

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AULA 08 
 
PROBABILIDADE 
Os fenômenos estudados pela Estatística variam de resultados de uma observação para outra, dificultando 
assim a previsão de um resultado futuro. Por isso adota-se um modelo matemático probabilístico. 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, 
apresentam resultados imprevisíveis. 
Em uma afirmação do tipo: “é provável que meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar: 
a) que o time perca; 
b) que o time ganhe; 
c) que o time empate. 
Como vimos, o resultado é imprevisível e depende do acaso. Fenômenos como esses são chamados 
fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios. 
ESPAÇO AMOSTRAL 
 
A cada experimento aleatório (A, B, C,..) correspondem em geral a vários resultados possíveis a que 
chamamos de Espaço Amostral (E). 
Exemplo 1: 
A: jogar um dado e observar o nº da face de cima 
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Exemplo 2: 
B= Jogar uma moeda e observar o resultado 
E = {cara, coroa} 
EVENTOS 
 
É qualquer subconjunto do espaço amostral E de um experimento aleatório. 
 
Exemplo: No lançamento de um dado, onde E= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, seja B o evento “obter um nº par na face 
superior” temos: B = {2, 4, 6} 
PROBABILIDADE 
Dado um experimento aleatório, sendo E o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de 
E tenham a mesma chance de acontecer, chamamos de probabilidade de um evento A o nº real P(A) tal 
que: 
 
Desde que: 
 n(A) = nº de elementos 
de A ; 
 n(Ω) = nº de elementos 
de Ω. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
01. Uma urna contem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso e observa-se o 
número indicado. Descrever de forma explicita os seguintes conjuntos e dar o número de 
elementos de cada um: 
 
a) O espaço amostral U; 
b) O evento A: o número de bola é ímpar; 
c) O evento B: o número da bola é maior que 6. 
 
02. Em um cesto há 6 bolas de vôlei, sendo 3 brancas e 3 vermelhas. Desse cesto são retiradas, 
sucessivamente, 3 bolas. Calcular o número de elementos dos seguintes eventos: 
 
a) As três bolas têm a mesma cor; 
b) Duas bolas são brancas; 
c) As três bolas são vermelhas; 
 
 
03. Considere o experimento: Lançamento de dois dados: um branco e outro verde, e a 
observação da face superior. Determine: 
 
a) O espaço amostral; 
b) O Evento A: ocorrência de dois números iguais nos dados; 
c) O evento B: Elementos cuja soma seja maior que 6; 
d) O número de elementos do item anterior. 
 
 
 
04. Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente e se observam as faces superiores. 
Determine: 
 
a) O espaço amostral desse experimento; 
b) O evento A: sai cara e um número ímpar; 
c) O evento B: sai coroa e um número par; 
 
 
A probabilidade do evento certo é igual a 1: P(Ω) = 1 
A probabilidade do evento impossível é igual a zero: P(Ø) = 0 
A probabilidade de um evento A qualquer é um nº real P(A) tal que: 
 
)(
)(
)(
 de elementos de número
A de elementos de número
)(




n
An
APAP
 
 
05. No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter: 
a) O número 2; 
b) Um número par; 
c) Um número múltiplo de 3; 
 
 
 
06. No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter: 
 
a) O número 1; 
b) Um número primo; 
c) Um número divisível por 2; 
d) Um número menor que 5; 
e) Um número maior que 6; 
 
07. Uma urna contém bola numeradas de 1 a 30. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a 
probabilidade de seu número ser: 
a) Par; 
b) Ímpar; 
c) Par e menor que 15; 
 
08. Um levantamento feito com 200 funcionários de uma empresa apresentou o seguinte 
resultado: 
 
 HOMENS (H) MULHERES (M) TOTAL 
FUMANTES (F) 
70 10 80 
NÃO FUMANTES (NF) 
30 90 120 
TOTAL 
100 100 200 
 
Sorteia-se um funcionário ao acaso: 
a) Qual a probabilidade de que seja homem? E de que seja mulher? 
b) Se o sorteio for feito entre os não fumantes, qual a probabilidade de que seja homem? E de que 
seja mulher? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EVENTOS COMPLEMENTARES 
 
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a 
probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação: 
 
 
Exemplo 1: Assim, se a probabilidade de se 
realizar um evento é 
5
1
p 
, a probabilidade de 
que ele não ocorra é: 
5
4
5
1
1q1q
5
1

, isto é, 80% 
de chance de não ocorrência. 
 
Exercício de Fixação 1: Sabemos que a 
probabilidade de tirar 4 no lançamento 
de um dado é p(4) = 1/6. Logo, a 
probabilidade de não tirar o 4 no 
lançamento de um dado é: 
Resolução 
 
EVENTOS INDEPENDENTES 
Dizemos que dois ou mais eventos são independentes quando a realização ou a não realização de um dos 
eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa, ou seja, então a probabilidade da 
ocorrência de ambos é igual ao produto de suas probabilidades individuais, ou “marginais” : 
 
 Exemplo 1: No 
lançamento de dois dados. A probabilidade 
de obtermos 1 no primeiro dado é 
6
1
1 P
; A 
probabilidade de obtermos 3 no segundo 
dado é: 
6
1
3 P
 
Qual a probabilidade de obtermos 
simultaneamente, 1 no primeiro dado e 5 
no segundo dado é: 
Resolução: 
36
1
6
1
6
1
P 
 
Isto é, em cada 36 vezes em que lançamos 
esses dois dados simultaneamente, 1 dessas 
36 vezes ocorrerá a face 1 no primeiro dado 
e a face 5 no segundo dado. 
Exercício de Fixação 1: Jogam-se duas 
moedas equilibradas. Qual a probabilidade 
de ambas darem cara? 
 
Resolução: 
É razoável admitir que os resultados das 
duas moedas sejam independentes um do 
outro. Além disso, para moedas 
equilibradas, 
2
1
cara)(P 
 . 
 
p + q = 1 ⇒ q = 1 – p 
P = P1 . P2 . P3 . P4 . …. Pn