semana_12f

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o – Semana 12
Temas abordados : Exponencial e logaritmo
Sec¸o˜es do livro: 4.1; 4.2; 4.3; 4.4
1) Determine a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = e
√
3x (b) f(x) = xe2x
(c) f(x) =
ex + x
lnx
(d) f(x) = x2 ln(3x)
(e) f(x) =
ex + e−x
2
(f) f(x) = ln
(
x+ 1
x− 1
)
(g) f(x) = ln(e−x + x) (h) f(x) = e2x ln(5x)
(i) f(x) =
e−x
x2
(j) f(x) =
lnx
x
2) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)) em cada um
dos casos abaixo.
(a) f(x) =
ex
x2 + 1
, x0 = 0 (b) f(x) = x
2 ln(
√
x), x0 = 1
(c) f(x) = x− ln(x), x0 = e (d) f(x) = ex2+1, x0 = 0
3) Para cada uma das func¸o˜es abaixo determine: pontos cr´ıticos, ma´ximos e mı´nimos locais,
intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexa˜o, intervalos onde f e´ coˆncava
para cima e para baixo, ass´ıntotas verticais e horizontais. Em seguida fac¸a um esboc¸o do
gra´fico de f .
(a) f(x) = e−x
2/2
(b) f(x) = ln(x2 + 1)
(c) f(x) =
lnx
x
4) De acordo com um certo modelo log´ıstico, a populac¸a˜o mundial (em bilho˜es de habitantes)
t anos apo´s 1960 sera´ aproximadamente
P (t) =
40
1 + 12e−0,08t
.
(a) Segundo este modelo, com que rapidez estava aumentando a populac¸a˜o no ano 2000?
(b) Em que ano a populac¸a˜o estava aumentando mais rapidamente?
(c) O que acontece com P (t) a longo prazo?
(d) Voceˆ acha que esse modelo de populac¸a˜o e´ razoa´vel? Por que?
5) Uma empresa estima que se xmil empregados forem contratados, o lucro P (x) em milho˜es
de reais e´ dado pela func¸a˜o
L(x) = 10 + ln
( x
25
)
− 12x2, x > 0.
Determine o nu´mero de empregados que maximiza o lucro.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 12 - Pa´gina 1 de 2
RESPOSTAS
1) (a) f ′(x) = 3
2
e
√
3x√
3x
(b) f ′(x) = (1 + 2x)e2x
(c) f ′(x) =
(ex + 1) ln x− ex+x
x
(lnx)2
(d) f ′(x) = 2x ln(3x) + x
(e) f ′(x) = (ex − e−x)/2
(f) f ′(x) = −2/(x2 − 1)
(g) f ′(x) =
1− e−x
e−x + x
(h) f ′(x) = e2x
(
2 ln(5x) + 1
x
)
(i) f ′(x) = −e
−x(x+2)
x3
(j) f ′(x) = 1−lnx
x2
2) (a) y = x+ 1
2
(b) y = 1
2
(x− 1)
(c) y =
(
1− 1
e
)
(x− e) + (e− 1)
(d) y = e
3) (a) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local)
crescente em (−∞, 0)
decrescente em (0,+∞)
concavidade voltada para cima em: (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
concavidade voltada para baixo em: (−1, 1)
ponto de inflexa˜o: x = −1 e x = 1
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0
(b) pontos cr´ıticos: x = 0 (mı´nimo local)
crescente em (0,+∞)
decrescente em (−∞, 0)
concavidade voltada para cima em: (−1, 1)
concavidade voltada para baixo em: (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
ponto de inflexa˜o: x = −1 e x = 1
na˜o existem ass´ıntotas verticais e nem horizontais.
(c) pontos cr´ıticos: x = e (ma´ximo local)
crescente em (0, e)
decrescente em (e,+∞)
concavidade volta para cima em: (e3/2,+∞)
concavidade volta para baixo em: (0, e3/2)
pontos de inflexa˜o: x = e3/2
ass´ıntotas verticais: x = 0
ass´ıntotas horizontais: y = 0
4) (a) a uma taxa de aproximadamente 0,7 bilho˜es de pessoas ao ano
(b) no ano de 1991
(c) a populac¸a˜o tende a se estabilizar em 40 bilho˜es de pessoas
5) Aproximadamente 200 empregados, pois o ponto de ma´ximo de L ocorre em x =
√
6/12.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 12 - Pa´gina 2 de 2