Lista 5 cálculo diferencial

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Curso de Cálculo – Prof. Flaudio – 2017.1 – Lista 5 
 
30 – A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
Dada a função real y = f(x), se existir, ele é chamado derivada de f em x = a. Indicamos a derivada de 
f em x = a por . (leia: f linha de a). 
 
Assim, definimos: 
 
 
A função que a cada real x associa a derivada , definida nos pontos onde existe a derivada, é chamada função 
derivada de f. Para obter aplicamos a definição acima calculando f '(a) e depois trocamos a por x. 
 
 
31 – PROPRIEDADES ELEMENTARES DAS DERIVADAS 
[1] Se f(x) = c, x ∈! , onde c é uma constante real qualquer, então . 
[2] Se , , então . 
[3] Se , , , então . 
[4] Se f(x) = mx + n, então f '(x) = m . 
[5] Se , , então . 
 
32 – PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DAS DERIVADAS 
P1. (Regra da soma/diferença) Se . 
 
P2. (Regra do produto) Se . 
 
P3. (Regra do quociente) Se . 
 
P4. (Regra da potência) Se 
 
 
33 – OUTRAS NOTAÇÕES PARA A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
Sendo y = f(x) uma função, é muito comum usarmos as seguintes representações para a derivada da função f. 
 
 
34 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Dada , use a definição para calcular a derivada de f em x = 2. 
 
2. Dada , use a definição e calcule: 
a) f '(1) b) 
 
3. Usando a definição, obtenha a função derivada de , . 
 
4. Use a definição e obtenha a função derivada de , . 
 
5. Use a definição e obtenha a função derivada de , . 
 
 
lim
x→a
f(x)− f(a)
x − a
f '(a)
 
f '(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x − a
 f '(x)
 f '(x)
 f '(x) = 0
 f(x) = x x ∈! ( )f ' x 1=
( ) nf x x= n∈Q x ∈! ( ) n 1f ' x n x −= ⋅
 f(x) = c ⋅g(x) x ∈! f '(x) = c ⋅g'(x)
 h(x) = f(x) ± g(x)⇒ h'(x) = f '(x) ± g'(x)
 h(x) = f(x) ⋅g(x)⇒ h'(x) = f '(x) ⋅g(x)+ f(x) ⋅g'(x)
 
h(x) = f(x)
g(x)
⇒ h'(x) = f '(x) ⋅g(x)− f(x) ⋅g'(x)
g(x)⎡⎣ ⎤⎦
2
 f(x) = [g(x)]
n, n∈Q⇒ f '(x) = n[g(x)]n−1 ⋅g'(x).
 
f '(x) = dy
dx
= y' =Dxy
 f(x) = 6x +1
( ) 2f x x 1= +
 f '(5)
 f(x) = x
2 +1 x ∈!
 
f(x) = x
2 
x ∈!
 
f(x) = 1
x 
x ∈!*
 28 
 
6. Usando as propriedades das derivadas, ache a derivada de cada função a seguir: 
a) f(x) = x28 
 
b) f(x) = 5x3 – 7x2 + 2x – 3 
 
c) f(x) = 5(x4 + 3x7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Dada , calcule a derivada de f nos pontos: 
a) x = 0 b) x = 2 c) x = –2 
 
 
d) f(x)= 1
x27
e) f(x)= x
f) f(x)= 1
x
g) f(x) = x
2
4
+ 4
x2
h) f(x) = 4
x2
− 3
x4
1 1
2 21i) f(x) 2x x
2
−
= −
 
j) f(x) = x
2 − 4x + 4
x −1
2 3
4 2
k) f(x) (3x 4).(4x x 1)
l) f(x) (x 2x).(4x 2x 5)
= − + −
= − + +
 
m) f(x) = x
3 +1
x3 −1
n) f(x) = x
2
x3 + 8
o) f(x) = (2x3 − 3x + 7)4
p) f(x) = (4x4 − 4x2 +1)
−1
3
q) f(x) = x3 +13
r) f(x)=(x2 + 4)−2
s) f(x) = (x4 − x)−3
( )
2x xf x 1
4 2
= + +
 29 
 
35 – GABARITO DE 34 
1. 6 2. a) 2 b) 10 3. 2x 4. 
 
1
2
 
5. 
 
−1
x2
 
 
6. a) 28x27 b) 15x2 −14x + 2 c) 5(4x
3 + 21x6) d) −27x−28 
 e) 
 
1
2
x
− 1
2 f) 
 
−1
2
x
−3
2 g) 
 
x
2
− 8x−3 h) −8x−3 +12x−5 
 i) 
 
x
− 1
2 + 1
4
x
−3
2 j) 
 
x2 − 2x
(x −1)2
 k) 60x4 − 39x2 − 6x − 4 
 l) 24x5 +10x4 + 20x3 − 24x2 − 8x −10 m) 
 
−6x2
(x3 −1)2
 n) 
 
−x4 +16x
(x3 + 8)2
 
 o) 4(2x
3 − 3x + 7)3.(6x2 − 3) p) 
 
− 1
3
(4x4 − 4x2 +1)
−4
3 .(16x3 − 8x) 
 q) x
2.(x3 +1)
−2
3 r) −4x(x
2 + 4)−3 s) −3(x
4 − x)−4.(4x3 −1) 
 
7. a) 
 
1
2
 b) 
 
3
2
 c) 
 
− 1
2
 
 
36 – FUNÇÕES CONTÍNUAS 
Geometricamente falando, dizemos que uma função y = f(x) é contínua quando podemos desenhar o seu 
gráfico numa folha de papel sem tirar a ponta do “lápis” dessa folha. Ou seja, quando não há saltos ou rompimentos 
nesse gráfico. 
 
De um modo formal, dizemos que uma função f é contínua em p se, e somente se as seguintes condições 
forem satisfeitas: 
 
(i) f(p) existe; 
(ii) existe; 
(iii) 
 
Se, pelo menos uma, dessas condições falhar, a função f será descontínua em p. 
 
De um modo geral, dizemos que uma função f é contínua em todo seu domínio Df, se f é contínua em cada x ∈ Df. 
Além disso, em todo o nosso curso de cálculo, admitiremos que: 
 
Ι – Toda função polinomial é contínua. 
ΙΙ – Toda função racional é contínua em seu domínio. 
ΙΙΙ – Todas as funções trigonométricas e suas respectivas inversas são contínuas em seus respectivos domínios. 
ΙV – As funções exponenciais e as funções logarítmicas são contínuas em seus respectivos domínios. 
V – Se f e g são funções contínuas, então f + g, f – g, f.g e f/g são contínuas. No último caso, é claro que g ≠ 0. 
 
37 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Verifique se a função f(x) =
2x − 3, se x ≤1
x2, se x >1
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 é contínua em x = 1. 
 
2. Verifique se a função 
 
f(x) =
x2 − 4x + 3
x − 3
, se x ≠ 3
2, se x = 3
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 é contínua em x = 3. 
 
x p
lim f(x)
→
x p
lim f(x) f(p).
→
=
 30 
3. Mostre que a função 
 
f(x) =
2x − 3, se x < −2
x − 5, se− 2 ≤ x ≤1
3 − x, se x >1
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
 é contínua em x = –2 e descontínua em x = 1. 
 
4. Dada a função 
 
f(x) =
3x + 7, se x ≤ 4
kx −1, se x > 4
⎧
⎨
⎩
. Encontre o valor de k sabendo que f é contínua em todos os valores de x. 
 
5. Dada a função definida por . Determine o valor de k de modo que f seja contínua 
em todo o seu domínio. 
 
38 – GABARITO DE 37 
1. f não é contínua. 
2. f é contínua. 
4. k = 5. 
5. k = 1. 
 
39 – A DERIVADA, A RETA TANGENTE E A RETA NORMAL 
Considere uma função real f contínua em x = a. 
[1] A derivada de f em x = a é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto P(a, f(a)). 
[2] A reta normal à curva no ponto P(a, f(a)) é a reta perpendicular à reta tangente à curva nesse ponto. 
 
40 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Ache uma equação da reta tangente à curva dada, no ponto indicado, em cada item a seguir. 
a) y = x2 – 4x – 5 ; P(–2, 7) 
 
b) y = ; P(4, 8) 
 
c) y = ; P(3, 2) 
 
2. Ache as equações das retas tangente e normal à curva y = 2x – x3 no ponto P(–2, 4). 
 
3. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 que é paralela à reta 8x – y + 3 = 0. 
 
4. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2 – x
2
3
 que é perpendicular à reta x – y = 0. 
 
41 – GABARITO DE 40 
1. a) y = –8x – 9 b) y = 6x – 16 c) 
2. Tangente: y = –10x – 16 e Normal: x – 10y + 42 = 0 
3. y = 8x – 5 
4. 4x + 4y – 11 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
f x( ) =
x2 − 2x +1
x −1
, se x ≠ 1
logk, se x = 1
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
3x
8
6
x
 
y = −2x +12
3