Apostila de matemática financeira

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Professor Ivan Pegoretti 
 
 
 
 
 
 
 
MMMMatemática FFFFinanceira 
 
 
 
 
 
 
 
 
“QQQQuando a qqqquestão é ddddinheiro, ttttodos ssssomos dddda mmmmesma rrrreligião” 
Voltaire 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 2012 - 
Introdução à Matemática FinanceiraIntrodução à Matemática FinanceiraIntrodução à Matemática FinanceiraIntrodução à Matemática Financeira 
 
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Introdução: Capital, Juros, Taxa de Juros e Período. 
 
Os juros e os impostos remontam à Antiguidade. Os primeiros registros babilônicos de 2.000 
A.C já tratavam do assunto. Existiam, conforme relatos, banqueiros internacionais na 
Babilônia por volta do ano 575 A.C, sendo seus lucros provenientes dos juros do 
financiamento do comércio internacional. Já na idade média a cobrança de juros pelo cidadão 
comum podia render-lhe uma condenação à morte pelo crime de usura, ficando a cargo 
somente da igreja essa rentável atividade. Se você se interessou pelo assunto, poderá 
encontrar maiores informações sobre a história da matemática comercial e financeira no 
website “Só Matemática”, disponível em http://www.somatematica.com.br/historia/matfinanceira.php. 
 
O estudo da Matemática Financeira surgiu no momento em que o homem percebeu a 
intrínseca relação entre riqueza e o tempo e, posteriormente, entre o dinheiro e o tempo. Assaf 
Neto, 2002, conceitua Matemática Financeira como sendo “o estudo do valor do dinheiro ao 
longo do tempo, objetivando analisar e comparar vários fluxos de caixa em diferentes 
momentos”. Noutras palavras, pode-se dizer que hoje, o valor de R$ 1.000,00 possui um 
poder de compra diferente daquele que terá a mesma quantia, daqui a doze meses, seja pela 
sua aplicação a juros (caderneta de poupança, por exemplo) ou pela simples ação corrosiva da 
inflação, se deixado tal valor “embaixo do colchão”. 
 
 
Capital 
Dutra (1993) conceitua Capital, sob o prisma da Matemática Financeira, como valores que 
podem ser expressos em unidades monetárias em determinada época. 
 
 
Juros 
Puccini (1996) ensina que “juros” é a remuneração de um capital, a qualquer título. É como se 
fosse pago um “aluguel” de determinada quantia em dinheiro, que fica em poder de alguém 
por algum tempo. “Juros” podem ainda ser conceituados como a remuneração ou resultado 
esperado de investimentos em atividades voltadas à produção; Custos de capital. Vale lembrar 
que juros são sempre expressos em unidades monetárias. 
 
 
Taxa de Juros 
É a razão entre os juros recebidos (ou pagos) ao final de certo período, e o capital inicialmente 
aplicado (ou emprestado). A taxa de juros é expressa em percentuais. 
Assaf Neto (2002) conceitua taxa de juros como sendo o coeficiente que determina o valor do 
juro, isto é, a remuneração do fator de capital utilizado durante certo período de tempo. 
Nas fórmulas de Matemática Financeira, realiza-se a transformação da taxa percentual em 
taxa unitária. Por exemplo, 6% nas fórmulas, será vista como 0,06. Na utilização das 
calculadoras financeiras, para se informar os mesmos 6%, basta teclar 6, seguido da tecla i (a 
HP 12C já considera a notação em percentuais). Nas planilhas eletrônicas é necessário 
informar 6, seguido do símbolo %. Quando tais ferramentas forem utilizadas mais adiante, 
isso será explicado mais adequadamente. 
 
 
Período 
Pode-se conceituar como “período” o tempo que um Capital fica exposto à cobrança de juros. 
É expresso em dias, meses, bimestres, trimestres, anos, etc. 
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Capitalização Simples x Capitalização Composta 
Quando um cálculo refere-se aos sistemas de capitalização, deseja-se saber qual é a forma ou 
maneira pela qual, os juros auferidos pela aplicação (ou empréstimo) de um capital se 
incorporam a este. 
 
No regime de Capitalização Simples, os juros obedecem ao comportamento de uma P.A. 
(progressão aritmética), crescendo de forma linear. Por este sistema, os juros incidem apenas 
sobre o principal do capital, não havendo assim, o que se chama popularmente de “juros sobre 
juros” ou que juricamente se conceitua como anatocismo (do latim anatocismus e do grego 
anatokismós). Por exemplo, um capital de R$ 5.000,00 aplicados à taxa de 40% ao ano, 
durante 6 anos. Veja o quadro a seguir: 
 
 
 
 
Ao final do sexto ano, haverá um montante (Capital, acrescido de juros) de R$ 17.000,00. 
Pelo exposto, percebe-se que os juros também são “fixos”, ou seja, ao longo dos seis anos, o 
valor dos juros é o mesmo, ou seja, R$ 2.000,00 anuais. 
Por sua vez, no regime de Capitalização Composta, além dos juros do capital, a cada 
período, incorporam-se, também, os juros sobre os juros até o período anterior, caracterizando 
dessa forma uma P.G. (progressão geométrica), onde os juros incidem não somente sobre o 
capital inicial, mas sim, sobre o saldo apurado no início do período anterior. Observe o 
mesmo caso anterior, agora sob o prisma da Capitalização Composta: 
 
 
 
 
ATENÇÃO: O montante que na Capitalização simples era de R$ 17.000,00 salta para R$ 
37.647,68 na capitalização composta. O gráfico a seguir demonstra a diferença entre os dois 
regimes de capitalização. 
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Pode-se dizer em relação aos dois regimes de capitalização que “enquanto os juros simples 
sobem pela escada, os juros compostos sobem de elevador”. Por isso, que os juros simples 
são utilizados em situações bastante especiais, pois, via de regra, quase a totalidade das 
transações financeiras envolvem Capitalização Composta. 
 
Todavia, a aprendizagem da Capitalização Simples é o alicerce para os cálculos que envolvam 
futuramente a Capitalização Composta. Uma curiosidade. No instante 1 (um dia, um mês, um 
ano, etc), os juros acumulados são exatamente iguais, tanto no regime de capitalização 
simples, quanto no sistema de capitalização composta (no exemplo, ao final do ano 1, R$ 
7.000,00). Por sua vez, quando o período em questão é menor que 1, o Montante no sistema 
de capitalização simples será MAIOR que o montante no sistema de capitalização 
composta. Em períodos maiores que um, a capitalização composta será maior que a simples. 
 
 
 
 
 
Aproveitando o mesmo exemplo, considerando-se que houvesse um período de ½ ano (0,5 
ano): 
 
• Capitalização Composta: 
 M = 5.000 * (1 + 0,40) ^ 0,5 = R$ 5.916,08 
 
• Capitalização Simples: 
 M = 5.000 * ( 1 + 0,40 * 0,5) = R$ 6.000,00 
 
Neste caso o montante no regime de capitalização simples é R$ 83,92 maior que no sistema 
de capitalização composta. 
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Nomenclaturas e Simbologia adotadas. 
 
Para a realização dos cálculos, serão utilizadas algumas simbologias e convenções, que 
podem mudar um pouco, dependendo do livro ao qual se consulta, mas que traduzem, de 
forma geral, o mesmo conceito. 
 
PV (Present Value) = Valor presente, capital inicial, principal ou valor atual. 
FV (Future Value) = Valor futuro, montante. 
PMT (Payments) = Parcelas, pagamentos ou prestações. 
i = (interest rate) taxa de juros ou de desconto. 
n = (number of periods) prazo. 
d = Valor do desconto. 
j = Valor dos juros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“ O dinheiro não apenas fala, mas faz muita gente calar a boca...” 
Millor Fernandes 
 
PercentuaisPercentuaisPercentuaisPercentuais 
 
6 
A expressão “por cento” vem do latim “per centum” e quer dizer por um cento,ou por uma 
centena. As percentagens ou porcentagens (conforme o Novo Dicionário Aurélio), 
costumam ser indicadas pelo numerador, seguido o símbolo %. Assim, as razões de 
denominador 100 são chamadas centesimais, taxas percentuais ou simplesmente percentagem. 
Desta forma, 25% é simplesmente outra maneira de expressar 25/100 ou 0,25 ou ¼. 
Por exemplo: 
3% = 3/100 = 0,03 
27,5% = 27,5/100 = 0,275 
 
 
Dicas... 
 
1-) Para encontrar um percentual de um número: 
Basta multiplicá-lo por 0,x, onde “x” é o percentual procurado. 
Ex: 22% de 2.900,00 � 2900 * 0,22 = 638,00 
 
2-) Acrescentar um percentual a um número: 
Basta multiplicá-lo por 1,x onde “x” é o percentual procurado. Utilizando o exemplo anterior: 
Ex: Acrescer 22% em 2.900 � 2900 * 1,22 = 3.538,00 
 
3-) Abater uma percentagem de um número: 
Multiplicar o número por 0,x onde “x” é o resultado de 1 - % procurado: 
Ex: Abater 10% de 2.900 = 1 – 0,10 = 0,90 � 2900 * 0,90 = 2.610,00 
 
4-) Variação Percentual (∆%) - Utilize a fórmula: ( b / a – 1) * 100 
Ex: Qual a variação percentual de 2000(a) para 2900(b) ? 
(2900 / 2000 - 1)*100 = 45% 
Ex: Qual a variação percentual de 3000(a) para 2630(b) ? 
(2630 / 3000 – 1) * 100 = - 12,33% 
 
5-) Quanto um número representa percentualmente de outro (%T): 
Ex: Quanto 400 representa percentualmente de 1500? 
400 / 1500 * 100 = 26,27% 
 
6-) Acumular percentuais consecutivos não simultâneos: 
Ex: 10% + 10% + 10% = 1,10 * 1,10 * 1,10 = 33,10%, e não 30,0%. 
Um produto de R$ 150,00 sofreu três aumentos sucessivos de 10%. Qual seu novo valor? 
150 * 1,10 = 165,00 * 1,10 = 181,50 * 1,10 = R$ 199,65 
150 * 1,3310 = 199,65 
 
7-) Acumular descontos percentuais consecutivos não simultâneos: 
Ex: 10% de desconto + 15% de desconto + 5% de desconto = 
0,90 * 0,85 * 0,95 = (0,72675 -1) * 100 = 27,33% de desconto e não 30%. 
Um serviço no valor de R$ 50,00 sofreu três descontos sucessivos de 10%, 15% e 5%. Qual 
seu novo valor? 
50 * 0,90 = 45 * 0,85 = 38,25 * 0,95 = R$ 36,34 
50 * 0,72675 = R$ 36,34 
 
 
PercentuaisPercentuaisPercentuaisPercentuais 
 
7 
 
8-) Margem percentual de lucro sobre o PREÇO DE CUSTO: 
Basta se tomar o preço de custo e sobre ele imbutir o lucro. Por exemplo: 
Preço de custo R$ 200,00; margem de lucro sobre o preço de custo de 30% 
200,00 * 1,30 = 260,00. 
 
9-) Margem percentual de lucro sobre o PREÇO DE VENDA: 
Neste caso o cálculo é um pouco diferente. Tomemos o exemplo anterior. Preço de custo R$ 
200,00. Para que eu possa vendê-lo com um lucro de 30% sobre o preço de venda, por 
quanto eu devo ofertá-lo ao meu cliente? 
200 (preço de custo) / 0,70 (ou 30% de lucro) = 285,71 (Preço de Venda) 
285,71 * 0,30 = 85,71 (Lucro) 
285,71 – 85,71 = 200,00 (Custo) 
 
���� Não se deve em hipótese alguma, portanto, simplesmente acrescer 30% (200 * 1,30 = 
260,00). Lembre-se que o preço de custo é de 200,00. 
 
10-) Encontrar um determinado número que está já está acrescido de um percentual 
“n”: 
Basta dividir o número por 1,x onde “x” foi o percentual de aumento dado. Ex: O salário de 
um funcionário sofreu um reajuste de 5% e passou a R$ 439,55. Qual era seu valor antes do 
reajuste? 
439,55 / 1,05 = 418,62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 “Não gaste seu dinheiro enquanto não o tiver...” 
 Thomas Jefferson 
Capitalização SimplesCapitalização SimplesCapitalização SimplesCapitalização Simples 
 
 
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Capitalização Simples – Montante, Juros, Capital, Prazo e Período 
Capitalização Simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; 
não incidindo, portanto, sobre os juros acumulados. O valor dos juros é obtido pela expressão: 
 
j = PV * i * n 
 
Cálculo do Montante 
O montante (ou valor futuro), agora em diante chamado de FV (Future Value), é igual a soma 
do Capital inicial, mais os juros referentes ao período da aplicação. Desta forma temos: 
 
FV = PV + j ou FV = PV * ( 1 + i * n ) 
 
O capital de R$ 1.000,00 aplicado durante três meses à taxa de 5% ao mês, através de 
capitalização simples produzirá qual montante? Qual será o valor dos juros? 
Para a solução dos problemas, a sugestão é que elenquemos todas as informações disponíveis, 
na seguinte seqüência: período (n), taxa (i), valor presente (PV) e valor futuro (FV). O nosso 
exemplo ficaria da seguinte forma: 
 
n = 3 meses 
i = 5% ao mês � 0,05 
PV = 1000,00 
FV = ? 
 
Antes de iniciarmos o cálculo algébrico, é necessário fazermos duas observações: O período 
(n) e a taxa (i) devem estar na mesma unidade de tempo. A taxa deve estar no formato 
centesimal. No nosso exemplo 5/100 = 0,05 
 
FV = 1000 * ( 1 + 0,05 * 3 ) = R$ 1.150,00 
Resposta: Montante = R$ 1.150,00 
j = 1000 * 0,05 * 3 = 150,00 
Resposta: Juros = 150,00 
 
Podemos representar graficamente a operação através do fluxo de caixa. As setas para baixo 
representam a saída do dinheiro, enquanto as setas para cima representam o retorno da quantia 
aplicada: 
 
 
 
 
 
Capitalização SimplesCapitalização SimplesCapitalização SimplesCapitalização Simples 
 
 
9 
Outro exemplo: 
Deixando a quantia de R$ 1.500,00 aplicados à juros simples, durante 5 meses, com a taxa de 
25% ao ano, qual será o montante produzido? 
 
n = 5 meses 
i = 25% ao ano � 0,25 
PV = 1500,00 
FV = ? 
 
Neste exemplo, a unidade de tempo da taxa não coincide com período. É imprescindível que 
façamos o ajuste. 
n = 5 meses / 12 meses = 5/12 de ano 
i = 25% / 100 = 0,25 
PV = 1500,00 
FV = ? 
FV = 1500 * ( 1 + 0,25 * 5/12) = R$ 1.656,25 
Resposta: Montante = R$ 1.656,25 
 
Tratando-se de juros simples, poderíamos fazer o ajuste na taxa, conforme será demonstrado a 
seguir, permanecendo o mesmo resultado final. 
 
n = 5 meses 
i = 25% ao ano � 25/12 
PV = 1500,00 
FV = ? 
FV = 1500 * ( 1 + 0,25 / 12 * 5 ) = R$ 1.656,25 
Resposta: Montante = R$ 1.656,25 
 
Mais um exemplo: 
Um capital de R$ 2.500,00, aplicados durante 4 meses, produziram R$ 50,00 de juros através 
da capitalização simples. Qual foi a taxa aplicada nesta operação? 
 
n = 4 meses 
i = ? 
PV = 2.500,00 
FV = ? � FV = PV + j = FV = 2500,00 + 50,00 = 2550,00 
j = 50,00 
 
Aplicando a fórmula: 
 
2550 = 2500 * ( 1 + i * 4 ) 
2550 = 2500 + 10000 i 
2550 – 2500 = 10000 i 
50 = 10000i 
i = 0,005 * 100 = 0,5% ao mês. 
 
Resposta: a taxa aplicada nesta operação foi de 0,5% ao mês. 
 
 
 
Capitalização SimplesCapitalização SimplesCapitalização SimplesCapitalização Simples 
 
 
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Mas se, por acaso, o problema solicitasse em vez da “taxa aplicada nesta operação...” 
solicitasse “a taxa anual desta operação?” Por tratar-se de juros simples, basta que 
multipliquemos o resultado (0,5%) por 12 (ano): 0,5% * 12 = 6% ao ano. A resposta ficaria 
assim: A taxa anual da operação foi de 6%. Quando o período não coincidir com a unidade de 
tempo da taxa de juros (por exemplo, a taxa ao ano e o período em meses), RECOMENDA-
SE, por ora, que o ajuste seja realizado no tempo e não na taxa. Este procedimento deve ser 
adotado desde já, pois futuramente tratando de Capitalização Composta, um ajuste descuidado 
na taxa resultará em um cálculo errado. Exemplificando: 
 
Um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 30% ao ano, de acordo com os prazos abaixo 
produzirão qual montante? 
a) 5 dias; 
b) 9 meses; 
 
Resposta a: 
n = 5 / 360 (um ano comercial possui 360 dias) 
i = 30% � 30/100 = 0,30 
PV = 1.000,00 
FV = 1000 * ( 1 + 0,30 * 5/360 ) = R$ 1.004,17 
 
Resposta b: 
n = 9/ 12 (um ano tem 12 meses) 
i = 30% � 30/100 = 0,30 
PV = 1.000,00 
FV = 1000 * ( 1 + 0,30 * 9/12 ) = R$ 1.225,00 
 
O mesmo capital, aplicado à taxa de 10,5% ao mês, de acordo com os prazos abaixo, 
produzirão qual montante? 
a) 16 dias 
b) 1 ano e meio 
 
Resposta a: 
n = 16 / 30 (um mês comercial possui 30 dias) 
i = 10,5% � 10,5/100 = 0,1050 
PV = 1.000,00 
FV = 1000 * ( 1 + 0,1050 * 16/30 ) = R$ 1.056,00 
 
Resposta b: 
n = 18 (1,5 anos x 12 meses) 
i = 10,5% � 10,5/100 = 0,1050 
PV = 1.000,00 
FV = 1000 * ( 1 + 0,1050 * 18) = R$ 2.890,00 
 
 
Lembre-se: Ao se ajustar o período à unidade de tempo da taxa, utilize 
 
 TODAS AS CASAS DECIMAIS. 
 
Arredondamentos somente na resposta final... 
 
Capitalização SimplesCapitalização SimplesCapitalização SimplesCapitalização Simples 
 
 
11 
Juros Ordinários (ano comercial) e Juros Exatos (ano civil) 
Em operações de curtíssimo prazo, onde operações a juros simples são as mais utilizadas, o 
percentual a ser definido baseia-se, via de regra, no número de dias. Todavia, o cálculo pode 
pode ser feito de duas formas. 
a-) Pelo tempo exato: utilizando-se o ano civil de 365 dias. Neste caso a taxa denomina-se 
“juro exato”; 
b-) Pelo ano comercial: onde considera-se o ano com 360 dias e cada mês com 30 dias (30 
dias x 12 meses = 360 dias). Neste caso a taxa encontrada denomina-se “juro comercial”. 
Por exemplo: A taxa anual de 18% é proporcional a qual taxa diária? 
• 18% / 365 dias = 0,049315% ao dia (juro exato) ou 
• 18% / 360 dias = 0,05% ao dia (juro comercial) 
 
 
Regra do Banqueiro (Banker´s Rule) 
Essa prática considera a contagem exata de dias na concessão de empréstimos, sendo os juros 
baseados em períodos exatos de 30 ou 360 dias. Por exemplo: 
Uma taxa de 15 % ao mês é proporcional a 0,5 % ao dia (15% / 30 dias). Caso um 
empréstimo tenha sido tomado durante o mês de janeiro inteiro (que possui 31 dias), o cálculo 
ficará: 31 dias * 0,5% = 15,5%. Existe, portanto, uma vantagem daquele que concede o 
empréstimo. Outro exemplo: Um capital de R$ 3.000,00 foi emprestado durante todo período 
do mês de março. A taxa cobrada é de 180% ao ano. Qual é o valor do montante dessa 
operação, considerando-se a Regra do Banqueiro? 
180% / 360 = 0,5% � 3.000 * ( 1+0,005*31) = R$ 3.465,00. 
 
 
Método Hamburguês 
O método Hamburguês é o método que facilita a rotina de cálculo no sistema de capitalização 
simples (juros simples), em que existam diversos capitais e prazos, mas apenas uma taxa de 
juros. O cálculo consiste em se dividir a taxa mensal de juros por 30 (mês comercial) e aplicar 
esse resultado sobre o somatório da multiplicação dos capitais pelo período. Tomemos como 
exemplo uma conta corrente com cheque especial, onde o banco cobra modestos 15% ao mês. 
Um resumo do extrato está da seguinte forma: 
 
 
 Fazendo: 0,15 / 30 * 60.000 = R$ 300,00. 
Neste exemplo, o correntista pagaria R$ 300,00 de juros. 
 
 
 
 
 
Capitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização Composta 
 
 
12 
Capitalização Composta – Montante, Juros, Capital, Prazo e Período 
 
Capitalização Composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, 
acrescido dos juros acumulados, até o período anterior, isto é, os juros são capitalizados, 
produzindo juros sobre juros periodicamente. Neste regime de capitalização, o valor dos juros 
cresce em função do tempo. O conceito de montante é o mesmo definido para a capitalização 
simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido, mais o valor dos juros 
correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida. A fórmula para cálculo do montante é 
dada pela equação: 
 
Valor Futuro (FV) 
FV = PV * ( 1 + i )n 
 
Ainda podemos ter outras situações, onde as variáveis podem ser: os juros (j), o Valor 
Presente (PV), a taxa (i) ou o período (n), sendo as fórmulas: 
 
Juros (j) 
j = PV * [ ( 1 + i )n - 1] ou j = FV - PV 
 
Valor Presente (PV) 
PV = FV / (1 + i )n 
 
Taxa de juros (i) 
i = [ ( FV / PV )1/n – 1 ] * 100 
 
Período (n) 
n = Ln (FV / PV) / Ln ( 1 + i )2 
 
Para fins de comparação, vamos nos valer do mesmo exemplo numérico da Capitalização 
Simples: 
 
• Cálculo do FV (Future Value) ou Montante. 
O capital de R$ 1.000,00 aplicado durante três meses à taxa de 5% ao mês, através de 
capitalização composta produzirá qual montante? Qual será o valor dos juros? 
Da mesma forma, a sugestão é que relacionemos todas as informações disponíveis, na 
seguinte seqüência: período (n), taxa (i), valor presente (PV) e valor futuro (FV). 
 
n = 3 meses 
i = 5% ao mês � 0,05 
PV = 1000,00 
FV = ? 
FV = PV * ( 1 + i ) n � FV = 1000 * ( 1 + 0,05 ) ^ 3 = R$ 1.157,63 
Resposta: Montante = R$ 1.157,63 
j = PV * [ ( 1 + i ) n - 1] � j = 1000 * [ ( 1+ 0,05 ) ^ 3 – 1] = R$ 157,63 
Resposta: Juros = 157,63 
 
j = FV – PV ���� 1.157,63 – 1.000,00 = 157,63 
Resposta: Juros = 157,63 
Capitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização Composta 
 
 
13 
Na capitalização composta, tal qual na capitalização simples, podemos construir o fluxo de 
caixa, demonstrando graficamente a operação realizada: 
 
 
 
Quando fizemos o cálculo da capitalização simples, o valor dos juros foi de R$ 150,00, contra 
R$ 157,63 na capitalização composta. Fica evidente, portanto, que a capitalização composta é 
muito vantajosa para o credor. Vale lembrar, que em casos de correção monetária em âmbito 
judicial, não se aplicam, via de regra, juros compostos, mas sim, capitalização simples. Até 
mesmo a Constituição Federal de 1988, em seu Art 192, § 3º, regulamentava a cobrança 
máxima de juros, em 12% ao ano, sendo posteriormente alterada pela Emenda Constitucional 
40, de 29 de maio de 2003, que revogou o referido parágrafo. 
 
 
Convenção Exponencial x Convenção Linear: 
 
Deve-se apertar as teclas STO, EEX, fazendo com que apareça uma letra “C” no visor da 
calculadora. Este procedimento faz com que a HP 12C® trabalhe com juros compostos, 
mesmo em períodos fracionários, seguindo o que se chama de Convenção Exponencial (todo 
período é calculado através de capitalização composta). Nos Estados Unidos utiliza-se a 
Convenção Linear (períodos fracionários tem sua parte inteira calculada pela capitalização 
composta e a parte fracionária pela capitalização simples). Um exemplo: 
 
Um capital de R$ 1.000,00, aplicados durante dois anos e meio, à taxa de 50% ao ano 
produzirá qual montante? 
n = 2,5 anos 
i = 50% aa 
PV = 1.000,00 
FV = ? 
 
Convenção Linear: 
FV = PV * ( 1 + i ) n (int) * ( 1 + i * n (frac) ) 
FV = 1000 * ( 1 + 0,50) ^ 2 * ( 1 + 0,50 * 0,50) = R$ 2.812,50 
 
Na HP 12C: 
 
 
Capitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização Composta 
 
 
14 
Tecle na calculadora: STO; EEX (Aparece a letra “c” no visor). A calculadora passa a operar 
em modo Exponencial: 
 
Convenção Exponencial: 
FV = PV * ( 1 + i ) n 
FV = 1000 * ( 1 + 0,50) ^ 2,5 = R$ 2.755,68 
 
 
 
Deixe sempre a letra “C” no visor de sua calculadora !!! 
 
Lembrando nosso problema: 
 
Na HP 12C: 
 
n = 3 meses 
i = 5% ao mês 
PV = 1000,00 
FV = ? 
 
 
 
 
Observações: Ao pressionarmos as teclas f CLX, limpamos todos os registros da máquina, 
exceto aqueles que estão na memória de programação. Ao pressionarmos as teclas f 2 
deixamos o visor da máquina com apenas duas casas decimais, muito embora todos os 
cálculos ocorram internamente considerando todas as casas após a virgula, não havendo 
a necessidade de dividi-la por 100. Se quiséssemos saber apenas o valor dos juros agregados 
ao capital inicial, faríamos:Tecla CHS ? 
Ao indicarmos o valor presente como negativo, utilizando a tecla CHS (change signal), 
equivale a dizer que temos uma saída de caixa ou, se preferir, estamos “emprestando” aquele 
valor. O resultado (FV), neste caso será positivo. Se não colocarmos o sinal negativo no PV, 
indica para a HP 12C, que temos uma entrada de caixa ou estamos “tomando emprestado” 
aquele valor. Na segunda hipótese o resultado (FV) será negativo, indicando que 
“realizaremos um pagamento” posteriormente. 
 
 
Capitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização Composta 
 
 
15 
No Excel: 
Utilizando o mesmo exemplo anterior, no Menu principal, vá na Opção “Inserir”, depois 
“Função”, depois selecione “Financeira” e “VF” (é o mesmo comando FV da HP) e dê “OK”. 
Depois insira os dados do problema: taxa = 5%, período = 3, Valor Presente = -1000,00 e dê 
“OK” 
 
 
 
Argumentos da função: =VF(5%;3;;-1000). 
 
 
 Atenção 
 
Não se esqueça. O período (n) e a taxa (i) devem estar na mesma unidade de tempo. Caso não 
estejam, deve-se proceder o ajuste no tempo e NÃO NA TAXA! Se a taxa do problema 
está em meses (x % ao mês), o tempo deve ser NECESSARIAMENTE em meses, se a taxa é 
ao ano ( x % ao ano ), o tempo também deve ser ao ano. Em capitalização composta EM 
HIPÓTESE ALGUMA DEVE SE DIVIDIR A TAXA para ajustá-la ao tempo!!! 
 
 
Capitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização Composta 
 
 
16 
• Cálculo da Taxa ( i ): 
n = 3 meses 
i = ? 
PV = 1000,00 
FV = 1.157,63 
i = {[ ( FV / PV ) ^ 1 / n ] – 1} * 100 � {[ (1.157,63 / 1.000) ^ 0,333333 ] – 1 } * 100 = 5,00% 
 
Na HP 12C: 
 
(Repare que o resultado já está no formato percentual). 
 
No Excel: 
No Menu principal, vá na Opção “Inserir”, depois “Função”, depois selecione “Financeira” e 
“TAXA” (é o mesmo comando “i” da HP) e dê “OK”. 
 
 
 
Insira: Nper = 3, VP = -1000, FV = 1157,63. Dê OK. 
Argumentos da função: =TAXA(3;;-1000;1157,63) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização Composta 
 
 
17 
• Cálculo do PV (Present Value) ou Capital Inicial: 
Supondo, nesta situação, que tenhamos o Montante, o período e a taxa e desejamos descobrir 
o capital ou o Valor Presente. 
 
n = 3 meses 
i = 5% ao mês 
PV = ? 
FV = 1.157,63 
PV = FV / (1 + i ) ^ n � 1157,63 / ( 1 + 0,05 ) ^ 3 = 1.000,00 
 
 
Na HP 12C: 
 
 
Repare: O sinal do resultado PV é negativo, representando uma saída de caixa. 
 
 
No Excel: 
Opção “Inserir”, depois “Função”, depois selecione “Financeira” e “VP” (é o mesmo 
comando “PV” da HP) e dê “OK”. 
 
 
 
Informe a taxa = 5%, Nper = 3, VF = 1157,63 e dê OK. 
Argumentos da função: =VP(5%;3;;1157,63) 
 
Capitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização Composta 
 
 
18 
• Cálculo do período (n): 
 
n = ? 
i = 5% ao mês 
PV = 1.000,00 
FV = 1.157,63 
n = Ln (FV / PV) / Ln ( 1 + i ) ���� Ln (1.157,63 / 1.000) / Ln ( 1 + 0,05) = 3,00 
 
 
Na HP 12C: 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE ! Muito cuidado ao calcular o período pela HP 12C. Sugerimos, inclusive, 
que o cálculo seja feito pela função Nper do Excel, ou pelo método algébrico, como 
demonstrado acima. Isto deve-se ao fato da HP 12C arredondar para cima os resultados 
fracionários. Tomemos um novo exemplo: O valor de R$ 1.000,00 ficou aplicado durante 6 
meses (1/2 ano ou 0,5 ano) à taxa de 30% ao ano. Qual o montante resgatado? 
 
 
 
Sabemos que o período do nosso problema é de 6 meses ou 0,5 ano. Consideremos, agora, a 
nova configuração da questão: 
O valor de R$ 1.000,00 produziu o montante de R$ 1.140,18, à taxa de 30% ao ano. Qual foi 
o prazo (ou período) desta aplicação? 
� 
 
 
Perceba que o resultado deveria ser 0,5 ano e não 1 ano, conforme informado pela 
calculadora. Eis o motivo pelo qual devemos evitar a utilização dessa função da HP 12C. 
 
 
Capitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização CompostaCapitalização Composta 
 
 
19 
No Excel: 
Opção “Inserir”, depois “Função”, depois selecione “Financeira” e “Nper” dê “OK”. 
 
 
 
Informe a taxa = 5%, VP = -1000, VF = 1157,63 e dê OK. 
Argumentos da função: =NPER(5%;;-1000;1157,63) 
 
 
 “Ouro e casos amorosos são coisas difíceis de esconder...” 
 Provérbio espanhol 
Descontos Descontos Descontos Descontos 
 
 
20 
Todo título de crédito tem uma data de vencimento. Por sua vez, o devedor pode resgatá-lo 
antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto. Podemos, ainda, 
noutra situação, conceituar uma operação de desconto, como sendo a “venda” de títulos de 
crédito (duplicatas, cheques, notas promissórias, letras de câmbio, recebíveis de cartões de 
crédito, dentre outros), resultantes de vendas mercantis ou da prestação de serviços, realizada 
a prazo, mediante um abatimento em seu valor de face. 
 
No estudo da Matemática Financeira, temos basicamente quatro tipos de desconto, a saber: 
 
a) Desconto Simples bancário, comercial ou “por fora”; 
 
b) Desconto Simples racional ou “por dentro”; 
 
c) Desconto Composto “por fora”; 
 
d) Desconto Composto racional “por dentro”. 
 
 
a-) Desconto Simples - bancário, comercial ou “por fora”: 
PV = FV * ( 1 – i * n ) 
 
FV = PV / (1 – i * n) 
 
i = ( 1 – PV/ FV ) / n * 100 
 
n = ( 1 – PV / FV ) / i 
 
d = FV * i * n 
 
b-) Desconto Simples - racional ou “por dentro” 
PV = FV / ( 1 + i * n ) 
 
c-) Desconto Composto - “por fora” 
PV = FV * ( 1 – i )n 
 
d-) Desconto Composto - “por dentro” 
PV = FV / ( 1 + i )n 
OBS.: Este é o método de desconto adotado pela HP 12C, quando nos utilizamos das funções financeiras. 
 
O desconto composto “por dentro” também é utilizado no cálculo do Valor Presente Líquido 
(VPL) ou NPV (Net Present Value). Este assunto será abordado no capítulo Introdução à 
Análise de Investimentos. As siglas adotadas nas fórmulas são: 
 
PV = Valor Presente ou Atual (literaturas também usam “P”) 
FV = Valor Futuro, Valor de face ou Valor de resgate (literaturas também usam “S”) 
i = Taxa de desconto (também “id”) 
n = Período ou tempo 
d = Valor do desconto (também como “D”) 
 
Descontos Descontos Descontos Descontos 
 
 
21 
Vejamos um exemplo numérico, utilizando cada um deles, para cálculo do Valor Presente. 
Exemplo: Um título cujo valor de face seja de R$ 2.000,00 vence dentro de 3 meses. 
Realizando uma operação de desconto hoje, qual seria seu valor atual, considerando uma taxa 
de desconto de 2,5%? 
n = 3 meses 
i = 2,5% am � 0,025 
PV = ??? 
FV = R$ 2.000,00 
 
Desconto Simples - bancário, comercial ou “por fora”: 
PV = FV * ( 1 – i * n ) � PV = 2.000(1-0,025*3) = R$ 1.850,00 
 
Desconto Simples - racional ou “por dentro” 
PV = FV / ( 1 + i * n ) � PV = 2.000 / (1+0,025*3) = R$ 1.860,47 
 
Desconto Composto - “por fora” 
PV = FV * ( 1 – i )n � PV = 2.000(1-0,025)3 = R$ 1.853,72 
 
Desconto Composto - “por dentro” 
PV = FV / ( 1 + i )n � PV = 2.000 / (1+0,025)3 = R$ 1.857,20 
(fórmula usada pela HP 12C) 
 
No Brasil, os agentes financeiros se valem principalmente do Desconto Simples, bancário, 
comercial ou “por fora” (cuja taxa de desconto incide sempre sobre o valor futuro). Por ser 
esse o método muito difundido em finanças, também focaremos nossa atenção nesta 
modalidade de desconto. 
 
Outro exemplo: A empresa “To Devennu” possui uma duplicata a receber no valor de R$ 
1.000,00 do cliente Barata & Baratos, com vencimento dentro de trinta dias, referente a uma 
vendarealizada a prazo. Por sua vez a “To Devennu” precisa de recursos hoje, para realizar o 
pagamento de sua folha de pagamento. O que fazer então? 
 
A “To Devennu” “vende” (transfere seus direitos creditícios) para outro agente econômico 
(pode ser um banco ou uma factoring(1)), que lhe adianta ou desconta a duplicata do cliente 
Barata & Baratos. Para essa operação, escolheu-se o Banco XYZ, que cobra a taxa de 
desconto de 5% ao mês. (observe: a terminologia correta é taxa de desconto e desconto). 
PV = R$ 1.000,00 * ( 1 – 0,05 * 1) = R$ 950,00 
 
A “To Devennu” terá imediatamente R$ 950,00 creditados em sua conta corrente. Quando 
daqui a um mês a Barata & Baratos realizar o pagamento da duplicata, o valor de R$ 
1.000,00, será destinado ao Banco XYZ, que auferirá o resultado de R$ 50,00 nesta operação. 
Como a HP 12C não possui um cálculo específico para o desconto comercial, a seguir 
apresentamos um programa básico para o cálculo, tanto do PV, quanto da taxa ( i ). 
 
 
 
 
(1) Factoring ou fomento mercantil é a prestação contínua de serviços de alavancagem mercadológica, de 
avaliação de fornecedores, clientes e sacados, de acompanhamento de contas a receber e de outros serviços, 
conjugada com a aquisição de créditos de empresas, resultantes de suas vendas mercantis ou de prestação de 
serviços, realizados a prazo. – (LEITE, Luiz Lemos – “Factoring no Brasil” – Atlas 2005). 
 
Descontos Descontos Descontos Descontos 
 
 
22 
Programação HP 12C para cálculo de PV e i – Desconto Bancário. 
 
Programação HP 12C Gold: 
f, CLX, f, R/S, f, PRGM, RCL, PV, RCL, FV, ÷, CHS, 1, +, RCL, n, ÷ , 100, x, g, GTO, 00, 
RCL, n, RCL, i, 100, ÷ , x, CHS, 1, + RCL, FV, x, g, GTO, 00, f, R/S 
Para calcular a taxa “i” , tecle g, GTO, 00 
Para cálculo do Valor Presente ou atual (PV), tecle g, GTO 14 
 
Programação HP 12C Platinum: 
f, CLX, f, R/S, f, PRGM, RCL, PV, RCL, FV, ÷, CHS, 1, +, RCL, n, ÷ , 100, x, g, GTO, 
000, RCL, n, RCL, i, 100, ÷ , x, CHS, 1, + RCL, FV, x, g, GTO, 000, f, R/S 
Para calcular a taxa “i” , tecle g, GTO, 000 
Para cálculo do Valor Presente ou atual (PV), tecle g, GTO 014 
 
 
 
Para calcular a taxa do desconto simples, basta informar: n, PV, FV e pressionar a tecla R/S. 
Por exemplo: n = 5; PV = 850; FV = 1000. Lembre-se: Como estamos usando a 
programação da HP 12C, para o cálculo da taxa, aperte a tecla “R/S” e não a tecla “i”, 
como seria feito no caso de juros compostos. 
 
Na HP 12C: 
 
Outro exemplo: 
Um título de 5.000 com vencimento para 60 dias, será descontado à taxa de 8% ao mês. Qual 
o valor depositado hoje em nossa conta corrente? 
 
 
 
 
 
Taxas Taxas Taxas Taxas 
 
 
23 
Taxa Proporcional 
Podemos dizer que taxas de juros são proporcionais, quando, um mesmo capital, aplicado 
durante um mesmo tempo à juros simples, produz idênticos montantes, porém com períodos 
de capitalização diferentes. 
Por exemplo, R$ 100,00 aplicados à taxa de 24% ao ano, produzirão um montante de R$ 
124,00 ao final de um ano. Por sua vez, os mesmos R$ 100,00 aplicados à taxa de 2% ao mês, 
durante um ano produzirão idênticos R$ 124,00. Daí, podemos dizer que 2% ao mês durante o 
período de um ano é proporcional à taxa de 24% ao ano. 
 
Taxa Nominal ou Aparente 
São aquelas onde a taxa informada difere da unidade de tempo do período. Por exemplo, 12% 
ao ano, capitalizados mensalmente, 3% ao mês, capitalizados diariamente, 15% ao ano, 
capitalizados semestralmente, etc., não sendo considerados os efeitos inflacionários. Outra 
ilustração de taxa nominal, pode-se citar a taxa overnight ou simplesmente taxa over. Esse 
tipo de taxa é bastante difundida no meio financeiro, sendo utilizada, via de regra, em 
operações de curto prazo. 
 
Taxa de Inflação 
Trata-se do percentual que mede o crescimento generalizado e ininterrupto do nível dos 
preços da economia. Nos estudos de Matemática Financeira, a taxa de inflação deve ser 
relacionada ao mesmo período da taxa nominal para fins de cálculo e de comparação. No 
Brasil, existem vários índices que medem esse fenômeno econômico. Dentre eles pode-se 
citar: 
IPC (Índice de Preços ao Consumidor – coletado pela Fundação Instituto de Pesquisas 
Econômicas - FIPE); 
IGP-M (Índice Geral de Preços – Mercado – coletado pela Fundação Getúlio Vargas); 
INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor); 
IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo) sendo os dois últimos apurados pelo Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE. 
 
Taxa Real 
É aquela decorrente do investimento realizado, já descontada a inflação do período. A fórmula 
da Taxa Real pode ser dada por: 
Taxa Real = [(1+Taxa Nominal / 100) / (1+Taxa de Inflação / 100) – 1] * 100 
Por exemplo: 
A inflação medida pelo IGPM em 2011 foi de 5,10%. No mesmo período a caderneta de 
poupança rendeu, aproximadamente, 6,17%. Qual foi a taxa real paga pela caderneta de 
poupança nesse ano? Taxa Real = [(1+6,17/100) / (1+5,10/100) – 1] * 100 = 1,02%. 
Portanto, a taxa de juros real paga pela caderneta de poupança em 2011 foi de 1,02%. 
 
Taxa Efetiva 
É taxa encontrada no decorrer de uma operação financeira durante um prazo “n”, resultante da 
formação exponencial ao longo dos períodos da capitalização. Por exemplo, a taxa de 24% ao 
ano, capitalizada mensalmente. 
24% / 12 meses = 2% am. 
 
[ ( 1 + i / n / 100 )n - 1 ] * 100 
 
[ ( 1 + 24 / 12 / 100 )12 - 1 ] * 100 = 26,82%. 
 
Taxas Taxas Taxas Taxas 
 
 
24 
Logo, a taxa nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente resulta em uma taxa efetiva 
de 26,82%. É muito importante que se observe a taxa efetiva de uma operação financeira, 
pois a taxa nominal não evidencia os juros efetivos que estão sendo calculados. 
Outro exemplo: Uma instituição cobra uma taxa over de 12% ao mês (nominal) nos 
empréstimos de hot money. Qual é a taxa efetiva mensal dessa modalidade de empréstimos, 
considerando-se um mês com 20 dias úteis? 
• 12% / 30 dias = 0,40% � [(1+0,004) ^ 20 – 1] * 100 = 8,31% 
Uma situação inversa também é possível, nal qual se saiba a taxa efetiva e se deseje encontrar 
a taxa over. O banco “K. Xoeyra nem Beira S/A” cobra uma taxa efetiva de 6,1741% para 
um contrato de 20 dias úteis. Qual é a taxa nominal mensal cobrada pelo banco? 
6,1741% / 100 + 1 = 1,06174 ^ 1/20 = (1,003 – 1) * 30 dias * 100 = 9% ao mês 
 
Taxa Equivalente 
Podemos dizer que duas ou mais taxas são equivalentes quando ao final de um mesmo tempo 
produzem o mesmo montante (FV) a partir de um mesmo capital inicial (PV), mas com 
capitalizações diferentes, à juros compostos. Tomemos como exemplo uma aplicação 
financeira que renda 0,5% ao mês: 
 
iq = [( 1 + it )q/t – 1] * 100, onde 
 
iq = taxa para “o prazo que eu quero” 
it = taxa para “o prazo que eu tenho” 
q = prazo que “eu quero” 
t = prazo que “eu tenho” 
 
((1,005^12)-1)*100 = 6,17% 
Portanto 0,5% ao mês durante 12 meses é equivalente a 6,17% ao ano. 
 
 
Na HP 12C: 
Para facilitar o cálculo podemos nos valer de uma memória de cálculo bastante simples, 
usando a base 100. 
a) Taxa equivalente ao mês � Taxa equivalente ao ano 
Vamos refazer agora o cálculo da aplicação financeira, ou seja, qual é a taxa anual 
equivalente a 0,5% ao mês? 
 
 
 
Outra situação: 
Qual a taxa equivalente mensal a 23% ao ano? 
((1,23^1/12)-1)*100 = 1,74 %, ou seja, 23% ao ano equivale a 1,74% ao mês. 
 
 
 
 
Taxas Taxas Taxas Taxas 
 
 
25 
Na HP 12C: 
Utilizaremos a mesma base 100. Sabemos que em um ano à taxa de 23%, produziria o 
montante (FV) de 123,00. Na calculadora: 
 
 
 
 
 Atenção 
 
Taxas equivalentes são diferentes de taxas proporcionais!!! 
Em capitalização simples podemos dividir a taxa pelo período, por exemplo 12% ao ano 
durante um ano é a mesma coisa que 1% ao mês duranteum ano. O mesmo não acontece com 
as taxas equivalentes. Em capitalização composta EM HIPÓTESE ALGUMA DEVE SE 
DIVIDIR A TAXA para ajustá-la ao tempo!!! 
 
Qual será o montante ao final de quatro anos, a partir de um principal de R$ 100,00 no regime 
de juros compostos, com as seguintes taxas de juros (Na HP 12C): 
 
a) 12,6825% ao ano: 
 
b) 6,1520% ao semestre: 
(1 ano tem 2 semestres x 4 anos = 8 semestres) 
 
c) 3,03% ao trimestre: 
(1 ano tem 4 trimestres x 4 anos = 16 trimestres) 
 
d) 2,0099% ao bimestre: 
(1 ano tem 6 bimestres x 4 anos = 24 bimestres) 
Taxas Taxas Taxas Taxas 
 
 
26 
 
e)1,00% ao mês: 
(1 ano tem 12 meses x 4 anos = 48 meses) 
 
f) 0,0331721% ao dia: 
( 1 ano comercial tem 360 dias x 4 anos = 1440 dias) 
 
Resposta: R$ 161,22. 
 
Todas as taxas anteriores são equivalentes entre si, pois partindo do mesmo capital inicial 
(PV) de R$ 100,00, durante o mesmo tempo (4 anos), geraram o mesmo montante (FV) R$ 
161,22, mas com períodos de capitalização diferentes (ao ano, ao semestre, ao trimestre, ao 
bimestre, ao mês e ao dia). 
 
Taxas Média 
Conforme Vieira Sobrinho (2000), taxa média “é aquela através da qual se obtém o valor 
atual (ou valor futuro), de dois ou mais termos, idêntico ao valor atual (ou ao valor futuro) 
determinado com base em duas ou mais taxas distintas[...]”. Continua o autor: [...] é aquela 
por meio da qual se obtém um total de juros idêntico ao determinado por meio de duas ou 
mais taxas, respeitada a condição quanto ao momento do tempo tomado como referência[...]. 
 
A taxa média é calculada através da média geométrica dos percentuais, através da fórmula: 
( a1 * a2 * a3 * ... an)1/n onde “n” representa cada percentual envolvido. Por exemplo: 
Os ativos de uma “cesta” de ações proporcionaram ao seu investidor, ao longo de um ano, os 
seguintes rendimentos individuais: 
Ativo A: 5%; Ativo B: 1,5%; Ativo C: 8%; Ativo D: 12%. Qual foi a média dos rendimentos 
deste “mix” de investimentos? 
(1,05 * 1,015 * 1,08 * 1,12) 1/4 = 6,5551% 
 
Taxa Acumulada 
É a taxa resultante do acúmulo de “n” outras taxas ao longo de um determinado período de 
tempo. Pode ser dada pela fórmula: 
 
[(1+i1/100) * (1+i2/100 * (1+i3/100) * (1+in/100) – 1] * 100 
 
Onde i1 = taxa do primeiro período; i2 = taxa do segundo período; i3 = taxa do terceiro período 
e in taxa do período “n”. 
Taxas Taxas Taxas Taxas 
 
 
27 
Exemplo: Os índices do IGPM do primeiro trimestre de 2011, foram: janeiro 0,79%; 
fevereiro 1% e março 0,62%. Qual foi a taxa acumulada de inflação do período? 
 
[(1+0,79/100) * (1+1,00/100) * (1+0,62/100) – 1] * 100 = 2,4290%. 
 
Portanto o acumulado da inflação no período foi de 2,4290%. Lembre-se: Não se pode 
simplesmente somar os percentuais, pois a base de cálculo se altera à medida que avançamos 
no tempo. 
 
Dica... 
 
 
Para se calcular uma variação percentual, na HP 12C® você usar um truque. Por exemplo, 
Uma mercadoria sofreu as seguintes variações percentuais sucessivas não simultâneas: 
+5%; +8%; +9%. Qual foi o acumulado percentual? 
1,05 * 1,08 * 1,09 = (1,2361 – 1) * 100 = 23,61% 
 
Na HP 12C® você pode fazer: 
 
Insira um número qualquer na calculadora. Utilizaremos o número 100. Vá acrescentando ou 
subtraindo os percentuais e ao final subtraia o número inicial: 
 
 
 
 
Outra situação: O valor de uma matéria prima sofreu as seguintes variações percentuais. +3%; 
+12%; - 9%. Qual foi o acumulado percentual? 
 
 
 
Equivalência de Capitais (Capitalização Composta)Equivalência de Capitais (Capitalização Composta)Equivalência de Capitais (Capitalização Composta)Equivalência de Capitais (Capitalização Composta) 
 
 
28 
No cotidiano do gerenciamento financeiro de uma empresa, muitas vezes nos deparamos com 
a necessidade em substituir um ou mais títulos por outro (ou outros), com datas e vencimentos 
diferentes dos originais. Podemos dizer que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, 
em certa época, quando seus valores atuais, neste instante, são iguais. 
 
Por exemplo, um capital de R$ 100,00 hoje é equivalente a um capital de R$ 161,05 à taxa de 
10% ao mês, após um período de cinco meses, adotando-se o regime de capitalização 
composta. Noutras palavras, do ponto de vista matemático, tanto faz termos R$ 100,00 na 
data atual ou R$ 161,05; dentro de cinco meses, à taxa de 10% ao mês. 
 
Expressões “Data Focal”, “Data de Avaliação” ou “Data de Referência”, usadas na 
equivalência de capitais, é exatamente o momento que se considera como base de comparação 
dos valores referidos, partindo-se de datas diferentes. 
 
Outro exemplo: 
Quero substituir um título de R$ 75.000,00, vencível em 5 meses, por outro com vencimento 
em 3 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de juros compostos de 3 
% ao mês, qual o valor nominal do novo título? 
Situação atual: 
n = 05 meses, i = 3%, PV = ?; FV = 75.000 
 
1) PV = FV * ( 1 + i ) - n 
PV = 75000*(1+0,03)^-5 = 64.695,66 (“trouxemos” o valor de 75.000 à data “zero”) 
 
Agora “levaremos” o resultado ao novo vencimento (03 meses) 
 
Nova situação: 
n = 3; i = 3%; PV = 64.695,66; FV = ? 
FV = PV * ( 1 + i ) n 
FV = 64.695,66 * ( 1+ 0,03)^3 = 70.694,69 
 
 
 
O expoente é 
negativo! 
Fluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de Pagamentos 
 
 
29 
FLUXO DE CAIXA: 
 
Podemos entender fluxo de caixa como uma série de pagamentos, recebimentos ou ambos, de 
forma alternada ou não, em unidades monetárias, em relação a um determinado período. 
Exemplo: Fluxo de recebimentos e pagamentos previstos da empresa XYZ, de janeiro a 
dezembro do ano de 20xx, em milhares de reais: 
 
Mês Recebimentos Pagamentos 
Janeiro 0 50.000 
Fevereiro 0 30.000 
Março 0 70.000 
Abril 200.000 0 
Maio 300.000 0 
Junho 250.000 0 
Julho 0 90.000 
Agosto 120.000 0 
Setembro 0 40.000 
Outubro 120.000 0 
Novembro 0 160.000 
Dezembro 200.000 0 
 
O tempo é representado pelo eixo horizontal, subdividido em períodos (dias, meses, anos), da 
esquerda para a direita. As entradas de caixa (recebimentos) são representadas na parte 
superior, representadas por setas para cima. As saídas de caixa (pagamentos) são 
representadas embaixo do eixo, com setas para baixo. 
 
 
 
Observação: 
Por isso, ao nos utilizarmos das calculadoras financeiras ou do Excel, a necessidade de 
colocar ou não o sinal de menos ( - ) no valor presente (PV). Se colocarmos o sinal negativo 
no PV, indicamos que estamos tendo uma saída de caixa, cujo resultado FV será positivo 
(entrada de caixa). Caso seja considerado PV positivo, o cálculo presume que PV é uma 
entrada de caixa e seu resultado FV será negativo (saída de caixa). 
 
 
Outras situações e respectivas representações gráficas: 
 
 
Uma aplicação de R$ 100,00, à taxa de 2% ao mês, durante 3 meses, produzirá qual montante, 
no sistema de capitalização composta? 
 
. 
Fluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de Pagamentos 
 
 
30 
 
Fluxo de Caixa visto pelo aplicador 
 
 
Este fluxo é construído do ponto de vista do aplicador, pois o recurso de R$ 100 “sai” no 
momento zero, para depois de 03 meses retornar acrescido de R$ 6,21 de juros, perfazendo o 
montante ou valor futuro de R$ 106,21 
 
 
 
 
Fluxo de Caixa visto pelo tomador 
 
O mesmo fluxo de caixa agora visto sob o ângulo da instituição que recebe os 100,00 iniciais, 
tendo as setas do fluxo invertidas, pois no momento zero o dinheiro “entra”, para depois no 
instante 3 “sair”, acrescido da remuneração do período (juros).Fluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de Pagamentos 
 
 
31 
SÉRIES DE PAGAMENTOS: 
As séries de pagamentos podem ser definidas como uma sequência de pagamentos ou 
recebimentos em datas (ou períodos) específicos, um após o outro. A cada um destes 
pagamentos ou recebimentos daremos o nome de prestações, parcelas, pagamentos ou 
payments (PMT). Quando estudamos as séries de pagamentos lidamos com dois conceitos 
básicos: Valor Presente (PV) que é a soma das prestações na data zero e Valor Futuro (FV) 
que é a soma das parcelas em uma data futura, na mesma ou posterior ao vencimento da 
última prestação ou parcela. Antes de iniciarmos nosso estudo, precisamos enumerar quais 
são os tipos de séries e os formatos que elas podem assumir: 
 
���� Periodicidade dos Pagamentos: 
Periódica: Obedece a intervalo regulares de tempo: Pagamentos anuais, mensais, semestrais, 
etc. 
Não Periódica: Não ocorre em intervalos regulares. 
 
���� Valor das Parcelas: 
Constante ou uniforme: São iguais. 
Variável: São diferentes. 
 
���� Número de Parcelas: 
Finita: Quantidade de parcelas conhecida. 
Pérpétua: Quantidade de parcelas desconhecida. 
 
���� Quanto ao início da primeira Parcela: 
Antecipada: A primeira parcela coincide com o ato da operação financeira (momento zero, 
sendo popularmente conhecida como “com entrada”). 
Observação: 
g Begin na HP 12C ou na função “PAGTO” do Excel no argumento da função “Tipo” 
informar o número 1. 
Postecipada (ou vencida): A primeira parcela ocorre após um período da operação 
financeira. 
Diferida: Quanto a primeira parcela a ser paga ocorre no momento n + 1, após o momento 
zero, onde n é o prazo de carência da série de pagamentos. 
 
 
Série Periódica Finita de Pagamentos Iguais, com termos vencidos ou postecipados. 
Cada termo da série será representado pela sigla “PMT” (payments). As demais serão 
representadas pelas siglas já convencionadas: 
n – Número de períodos; 
i – Taxa; 
PV – Valor presente; 
PMT – Prestações, parcelas ou pagamentos; 
FV – Valor futuro. 
 
n = 5 meses 
i = 2,5% ao mês 
PV = R$ 1.000,00 
PMT = R$ 215,25 
FV = R$ 1.131,42 
 
Fluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de Pagamentos 
 
 
32 
Fórmula para cálculo do PMT – Dado PV, achar PMT 
PMT = PV * [ i * ( 1 + i )n ] / [( 1 + i )n – 1] 
1000*(0,025*(1+0,025)^5)/((1+0,025)^5-1) = 215,25 
 
Fórmula para cálculo do PMT – Dado FV, achar PMT 
PMT = FV * { i / [ ( 1 + i )n – 1 ]} 
1131,42 *(0,025/((1+0,025)^5-1)) = 215,25 
Fórmula para cálculo do FV – Dado PMT, achar FV 
FV = PMT * [ ( 1 + i )n – 1 ] / i 
215,25*((1+0,025)^5-1)/0,025 = 1.131,42 
 
Fórmula para cálculo do PV – Dado PMT, achar PV 
PV = PMT * [ 1 – ( 1 + i )– n ] / i 
215,25*(1-(1+0,025)^-5)/0,025 = 1.000,00 
 
Fórmula para cálculo do n – Dado PMT e FV, achar n 
n = ln ( FV * i / PMT + 1 ) / ln ( 1 + i ) 
LN(1131,42*0,025/215,25+1)/LN(1+0,025) = 5 
 
Fórmula para cálculo do n – Dado PMT e PV, achar n 
n = – {[ ln ( 1 – PV * i / PMT)] / ln ( 1 + i )} 
-((LN(1-1000*0,025/215,25))/LN(1+0,025)) = 5 
 
 
Se é possível uma fórmula especial para o cálculo de “n”, tal não acontece para o cálculo de 
“i”, quando se conhecem PV, PMT e n. O cálculo de “i” só é possível por aproximações 
sucessivas. Calcula-se o valor de PV com várias taxas até que se consigam valores próximos 
do valor dado para PV. Em seguida, com o auxílio da regra de três, faz-se uma interpolação 
para determinar a taxa correspondente ao valor dado. Utilizaremos outro exemplo numérico, 
supondo que não soubéssemos que o “i” seja 2,3% ao mês e utilizando a fórmula do PV, dado 
PMT: 
 
PV = PMT * [ 1 – ( 1 + i )– n ] / i 
 
n = 5 
i = ??? 
PV=1000,00 
PMT=214,01 
 
Tentaremos inicialmente com um “i” aleatório de 3%: 
214,01 * [1 – (1+0,03) ^ - 5] / 0,03 = 980,10 
(esse resultado deve ser o mais próximo de 1.000) 
 
Tentaremos agora com um “i” de 2%: 
214,01 * [1 – (1+0,02) ^ - 5] / 0,02 = 1.008,73 
(OBS: A medida que diminuímos a taxa, o valor do PV aumenta, portanto % taxa↓ PV ↑) 
 
Fluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de Pagamentos 
 
 
33 
O valor que procuramos como PV é 1.000. Encontramos 980,10 com um i de 3% e 1.008,73 
com um i de 2%. Logo, o i que procuramos está entre 2% e 3%. 
 
Tentaremos agora com um “i” de 2,5%: 
214,01 * [1 – (1+0,025) ^ - 5] / 0,025 = 994,25 
 
 
 
Os dois resultados mais próximos de 1000 foram 1008,73 com 2% e 994,25 com 2,5%. Agora 
sabemos que nosso “i” está entre 2% e 2,5%. Agora faremos a interpolação: 
 
1008,73 (2%) - 994,25(2,5%) = 14,48 
1008,73 - 1000,00 = 8,73 
 
14,48 x = 8,73 * 0,5 � 14,48 x = 4,37 � x = 0,30 � i = 2% + 0,30% = 2,30% 
 
Na HP 12C: 
 
No Excel: 
 
 
 
Fluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de Pagamentos 
 
 
34 
Série Periódica Finita de Pagamentos Iguais, com termos antecipados. 
 
Quando nos referimos a esta modalidade de série de pagamentos, dizemos noutras palavras, 
que a operação a ser realizada terá um pagamento imediato, na data de sua contratação, no 
momento zero. Popularmente dizemos que trata-se de uma série “com entrada”. 
 
Fórmula para cálculo do PV – Dado PMT, achar PV (Antecipado) 
 
 
 
Fórmula para cálculo do PMT – Dado PV, achar PMT (Antecipado) 
 
 
Vamos a um exemplo: 
Um empréstimo de R$ 1.000,00 deverá ser pago em 05 parcelas iguais, com juros de 2,3% ao 
mês, em termos antecipados. Qual será o valor da parcela? 
Resposta: 1 + 4 parcelas de R$ 209,20 
n = 5 meses; i = 2,3% ao mês; PV = 1000,00; PMT = ??? 
 
A calculadora ficará preparada para realizar cálculos com entrada (aparecerá no visor a 
mensagem Begin). 
Por sua vez se quiséssemos saber o valor de cada parcela, mas sem entrada ( 0 + 5 ), basta 
apertar as teclas: 
 
A palavra Begin sumiu do visor e a calculadora voltou a operar no modo “sem entrada”. No 
Excel as operações antecipadas também são bastante simples. 
 
Fluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de Pagamentos 
 
 
35 
 
 
Deixando o campo “tipo” em branco o Excel assumirá que não há entrada, conforme exemplo 
anterior. Caso queiramos optar por uma série antecipada, basta informar no campo “tipo”, nos 
argumentos da função o número 1. 
 
 
 
 
Comparando os dois casos, faríamos 0 + 5 pagamentos de R$ 214,01 ou 1 + 4 pagamentos de 
R$ 209,20. 
 
Fluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de Pagamentos 
 
 
36 
Série Diferida. 
 
Compreendemos como séries diferidas, aquelas onde o primeiro pagamento possui uma 
carência antes de ser realizado. Vale lembrar que as séries diferidas não se confudem com as 
séries postecipadas, pois estas possuem apenas um período de diferimento, enquanto as séries 
diferidas, propriamente ditas, possuem prazos de carências diversos, sendo combinados 
diretamente entre o credor e o devedor. Um exemplo numérico: 
 
O refrigerador da marca “Gela Demais” pode ser parcelado em 10 vezes, à taxa de 3,5% ao 
mês, com pagamentos mensais de R$ 200,00. Por sua vez, o comprador somente poderá 
iniciar os pagamentos dentro de três meses. Qual é o preço à vista do produto? 
 
n = 10 vezes 
i = 3,5% am 
PV = ??? 
PMT = R$ 200,00 
Cr (Carência) = 3 
 
200*(1-(1+0,035)^-10)/0,035*(1/(1+0,035)^3) = R$1.500,22 
 
 
 
 
Na HP 12C: 
 
Em outra situação, poderíamos ter o valor à vista (supondo que ainda não o soubéssemos), o 
número de parcelas, a carência e a taxa para encontrarmos o valor de cada parcela. Vamos nos 
utilizar do exemplo anterior: 
 
Um refrigerador da marca “Gela Demais” pode ser parcelado em 10 vezes, à taxa de 3,5% ao 
mês, sendo seu valor à vista de R$ 1.500,22. Por sua vez, o comprador somente poderá iniciar 
os pagamentos dentro de três meses. Qual é o preço da parcela a ser paga pelo cliente? 
Fluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de Pagamentos 
 
 
37 
Neste caso, antes de calcularmos a parcela, torna-se necessário projetarmos o PV (R$ 
1.500,22) para 3 meses (carência), daí efetuarmos o cálculo da parcela (PMT). 
 
n = 10 vezes 
i = 3,5% am 
PV = 1.500,22 
PMT = ??? 
Cr (Carência) = 3 
 
Na HP 12C: 
 
Passo 1: Fazer a projeção para 3 meses: 
 
Passo 2: Calcular agora o novo PMT: 
 
Numa terceira situação, ainda nos valendo do exemplo do refrigerador “Gela Demais”, 
poderíamos ter o número de parcelas, a carência, o valor de cada parcela, e o preço à vista, 
para encontrarmos a taxa envolvida nesta operação. 
 
O refrigerador da marca “Gela Demais” pode ser parcelado em 10 vezes, sendo seu valor à 
vista de R$ 1.500,22. Por sua vez, o comprador somente poderá iniciar os pagamentos dentro 
de três meses, com parcelas de R$ 200,00. Qual é a taxa deste financiamento? 
 
n = 10 vezes 
i = ??? 
PV = 1.500,22 
PMT = 200,00 
Cr (Carência) = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de PagamentosFluxo de Caixa e Série de Pagamentos 
 
 
38 
Série Pérpétua (ou perpetuidades). 
 
Esta modalidade de série de pagamentos trata o problema de encontrarmos o valor atual (PV) 
de uma série infinita (n) de prestações. É bastante utilizada no mercado de renda variável, em 
cálculos previdenciários e imobiliários. É também conhecida como perpetuidades. 
 
PV = PMT / i 
 
a) Um proprietário recebe do locatário de seu imóvel, a quantia de R$ 750,00 mensais, sendo 
a taxa de atratividade(1) considerada de 1,5% ao mês. Qual seria o valor de venda do imóvel, 
caso o locatário desejasse adquirir o imóvel? 
PV = 750,00 / 0,015 = R$ 50.000,00. 
 
PMT = PV * i 
 
b) Possuo um galpão no valor de R$ 100.000,00. No banco no qual sou correntista o gerente 
me ofereceu um “mix” de aplicações financeiras, com rendimento garantido de 0,80% ao mês. 
Caso eu fosse alugar este imóvel, qual seria o valor mínimo de seu aluguel mensal? 
PMT = 100.000 * 0,0080 = 800,00 
 
(1)Taxa de atratividade: pode ser entendida como o percentual mínimo de rendimento que o detentor de um capital obteria mantendo tal 
valor aplicado no mercado financeiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“ Costuma-se dizer que o amor ao dinheiro é a raiz de todos os males. O mesmo vale para a 
 falta dele...” 
 
 Samuel Buttler 
Fatores de CapitalFatores de CapitalFatores de CapitalFatores de Capital 
 
 
39 
Fator de Acumulação de Capital – FAC 
 
 
Sabe-se o PV para se encontrar o FV 
 
 
O Fator de Acumulação de Capital (FAC) determina qual será o montante (FV) de um 
financiamento. 
 
Para apenas um pagamento: 
Qual é o FAC de um capital de R$ 1.000,00 aplicados durante 5 meses, à taxa de 1% ao mês 
(capitalização composta): 
 
 
 
FAC = (1+i) ^ n � FAC = (1+0,01) ^ 5 = FAC 1,051010 
 
 
Determinado o FAC, para se encontrar o montante de uma operação, basta multiplicá-lo pelo 
capital: PV * FAC = R$ 1.000 * 1,051010 = R$ 1.051,01 
 
Para se determinar o FAC para apenas um pagamento na HP 12C, basta fazer: 
5 n; 1 i; 1000 CHS PV; FV (visor: 1051,01) 
RCL PV CHS; ÷ (visor: 1,051010) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Dinheiro não traz felicidade... Mas ajuda bastante...” Ditado popular 
 
 
 
Fatores de CapitalFatores de CapitalFatores de CapitalFatores de Capital 
 
 
40 
Fator de Acumulação de Capital – FAC 
 
 
Sabe-se o PMT para se encontrar o FV 
 
 
a-) Para mais de um pagamento (sem entrada 0 + n pagamentos) 
Qual é o FAC de uma aplicação mensal de R$ 200,00, durante 06 meses, à taxa de 2% ao 
mês, considerando-se a série postecipada (0+6): 
 
 
 
[(1+0,02)^6 – 1] / 0,02 = FAC 6,308121 
 
Determinado o FAC, para se encontrar o montante de uma operação, basta multiplicá-lo pela 
parcela: PMT * FAC = 200 * 6,308121 = R$ 1.261,62 
 
Na HP 12C, para se encontrar o FAC, basta fazer: 
f CLX; 6 n; 2 i; 200 CHS PMT; FV (visor: 1.261,62) 
RCL PMT CHS ÷ (visor: 6,308121) 
 
 
b-) Para mais de um pagamento (com entrada 1 + n pagamentos) 
Qual é o FAC de uma aplicação mensal de R$ 196,08 durante 06 meses, à taxa de 2% ao mês, 
considerando-se a série antecipada (1+5) 
 
 
 
 (1+0,02)*[(1+0,02)^6 – 1] / 0,02 = FAC 6,434283 
 
Determinado o FAC, para se encontrar o montante de uma operação, basta multiplicá-lo pela 
parcela: PMT * FAC = 196,08 * 6,434283 = R$ 1.261,63 
 
Na HP 12C, para se encontrar o FAC, basta fazer: (com Begin) 
f CLX; 6 n; 2 i; 196,08 CHS PMT; FV (visor: 1.261,63) 
RCL PMT CHS ÷ (visor: 6,434283) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fatores de CapitalFatores de CapitalFatores de CapitalFatores de Capital 
 
 
41 
Fator de Formação de Capital – FFC 
 
 
Sabe-se o FV para se encontrar o PMT 
 
 
O Fator de Formação de Capital (FFC) determina qual será o valor de cada prestação ou 
pagamento (PMT), quando se deseja ou se sabe o montante (FV). 
 
(sem entrada 0 + n pagamentos) 
Qual o FFC de uma aplicação financeira na qual se deseja um montante de R$ 10.000,00 ao 
final de 24 meses, considerando-se uma taxa mensal de 1% ao mês e a série seja postecipada 
(0+24)? 
 
 
 
0,01 / (1+0,01)^24 – 1 = FFC 0,037073 
FV * FFC = 10.000 * 0,037073 = R$ 370,73 
 
Na HP 12C, para se encontrar o FFC, basta fazer: 
f CLX; 24 n; 1 i; 10000 CHS FV; PMT (visor: 370,73) 
RCL FV CHS ÷ (visor: 0,037073) 
 
 
(com entrada 1 + n pagamentos) 
Qual o FFC de uma aplicação financeira na qual se deseja um montante de R$ 10.000,00 ao 
final de 24 meses, considerando-se uma taxa mensal de 1% ao mês e a série seja antecipada 
(1+23)? 
 
 
 
[0,01 / (1+0,01)^24 – 1] / (1+i) = FFC 0,036706 
 
Depois basta multiplicar o FFC pelo valor futuro: FV * FFC = 10.000 * 0,036706 
R$ 367,06 
 
Na HP 12C, para se encontrar o FAC, basta fazer: (com Begin) 
f CLX; 24 n; 1 i; 10000 CHS FV; PMT (visor: 367,06) 
RCL FV CHS ÷ (visor: 0,036706) 
 
 
Fatores de CapitalFatores de CapitalFatores de CapitalFatores de Capital 
 
 
42 
Fator de Recuperação de Capital – FRC 
 
 
Sabe-se o PV para se encontrar o PMT 
 
 
O Fator de Recuperação de Capital (FRC) determina qual será o valor de cada prestação ou 
pagamento (PMT), quando se deseja ou se sabe o valor à vista ou atual (PV). 
 
 
(sem entrada 0 + n pagamentos) 
Um financiamento de R$ 15.000 será feito em 10 vezes iguais, à taxa de 2% ao mês. Qual a 
FRC deste financiamento? 
 
 
 
 [0,02 * (1+0,02)^10] / (1+0,02)^10 – 1= FRC 0,111327 
 
Depois basta multiplicar o FRC pelo valor presente: PV* FRC = 0,111327 * 15.000 
R$ 1.669,90 
 
Na HP 12C, para se encontrar o FRC, basta fazer: 
f CLX; 10 n; 2 i; 15000 CHS PV; PMT (visor: 1.669,90) 
RCL PV CHS ÷ (visor: 0,111327) 
 
 
(com entrada 1 + n pagamentos) 
Qual seráo FRC caso o financiamento seja com entrada? 
 
 
 
[0,02 * (1+0,02)^10] /[(1+0,02)^10] – 1 / (1+0,02) = FRC 0,109143655 
 
Depois basta multiplicar o FRC pelo valor presente: PV* FRC =15.000 * 0,109143655 R$ 
1.637,15 
 
Na HP 12C, para se encontrar o FRC, basta fazer: (com Begin) 
f CLX; 10 n; 2 i; 15000 CHS PV; PMT (visor: 1.637,15) 
RCL PV CHS ÷ (visor: 0,109143655) 
Fatores de CapitalFatores de CapitalFatores de CapitalFatores de Capital 
 
 
43 
Atualmente a construção de tabelas para quaisquer dos fatores está em certo desuso, devido ao 
advento das calculadoras financeiras e das planilhas eletrônicas. Essas ferramentas facilitaram 
muito o trabalho dos gestores financeiros. 
 
Todavia, bancos e financeiras ainda se valem dessas tabelas, principalmente da tabela de Fator 
de Recuperação de Capital - FRC, para o financiamento de veículos e imóveis, pois agilizam a 
rotina operacional, possibilitando a qualquer leigo fazer o cálculo de prestações, utilizando-se 
apenas de uma calculadora convencional. 
 
A tabela a seguir demonstra, a título de exemplo, os FRCs referentes a uma taxa de 2% ao 
mês, com parcelamento de 02 até 24 vezes. Na tabela posterior, é utilizada a mesma tabela, 
em relação a um capital de R$ 15.000,00 (0 + 24). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fatores de CapitalFatores de CapitalFatores de CapitalFatores de Capital 
 
 
44 
Resumindo: 
 
 
 
 
FAC – Fator de Acumulação de Capital: 
Sabe-se o PV para se encontrar o FV (apenas um pagamento) 
Sabe-se o PMT para se encontrar o FV (sem entrada 0 + n pagamentos) 
Sabe-se o PMT para se encontrar o FV (com entrada 1 + n pagamentos) 
 
FFC - Fator de Formação de Capital: 
Sabe-se o FV para se encontrar o PMT (sem entrada 0 + n pagamentos) 
Sabe-se o FV para se encontrar o PMT (com entrada 1 + n pagamentos) 
 
FRC - Fator de Recuperação de Capital: 
Sabe-se o PV para se encontrar o PMT (sem entrada 0 + n pagamentos) 
Sabe-se o PV para se encontrar o PMT (com entrada 1 + n pagamentos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de Amortização Sistemas de Amortização Sistemas de Amortização Sistemas de Amortização 
 
 
45 
Neste ponto iremos apresentar os seguintes sistemas de amortização: o Sistema Francês 
(também conhecido como Sistema Price ou Tabela Price), o Sistema de Amortização 
Constante (SAC) e o Sistema de Amortização Misto (SAM). O Sistema Price é 
amplamente utilizado para imóveis, veículos, maquinaria e outros bens duráveis. O SAC e o 
SAM são mais voltados ao mercado de imóveis, sendo principalmente utilizados pelo Sistema 
Financeiro da Habitação. 
Para efeito didático, nos valeremos do seguinte exemplo: Um imóvel, no valor de R$ 
150.000,00 financiado em 5 vezes mensais, à taxa de 1,5% ao mês. 
 
 
 
Sistema Francês ou Price: 
O Sistema Francês de Amortização, também nos é conhecido como “Sistema Price” ou 
“Tabela Price”. Ele consiste em um plano de amortização através de prestações periódicas, 
iguais e sucessivas, dentro do conceito de termos vencidos ou postecipados, onde cada 
parcela se subdivide em amortização e juros. Antes de iniciarmos propriamente o cálculo e a 
demonstração da tabela Price, é necessário calcular o valor da parcela, através da fórmula que 
já nos é conhecida: 
PMT = PV * [ i * ( 1 + i )^ n ] / [( 1 + i )^n – 1] ou então através da HP 12C: 
n = 5; i = 1,5; PV = 150.000,00; PMT = ??? 
 
Agora já sabemos que a dívida de R$ 150.000,00 será paga em 5 vezes de R$ 31.363,40, 
vencendo-se a primeira delas dentro de um mês. Mas do valor do pagamento da parcela, 
quanto se refere a juros e quanto se refere a amortização? Se quiséssemos quitar a dívida após 
o terceiro pagamento, qual seria o saldo devedor? Qual foi a amortização da quarta parcela? 
Estas e outras perguntas poderão ser respondidas pelo cálculo do sistema Price. Continuando 
na HP 12C: 
 
 
 
 
Sistemas de Amortização Sistemas de Amortização Sistemas de Amortização Sistemas de Amortização 
 
 
46 
Continuando: 
 
 
Fazendo o cálculo dessa forma, poderíamos mês a mês, montar uma tabela, ou a Tabela Price 
deste financiamento: 
 
Também existe a possibilidade de calcularmos diretamente uma das parcelas. Por exemplo, se 
quisermos calcular os juros acumulados, a amortização acumulada e o saldo devedor, após o 
pagamento da 4ª. parcela. Vale lembrar que poderíamos também realizar esse cálculo em 
relação a qualquer uma das parcelas. 
 
 
 
 
Sistemas de Amortização Sistemas de Amortização Sistemas de Amortização Sistemas de Amortização 
 
 
47 
Sistema de Amortização Constante - SAC: 
O Sistema de Amortização Constante – SAC, possui uma memória de cálculo bastante 
simples, sendo as amortizações, como o próprio nome nos diz, periódicas e uniformes. 
Enquanto o sistema Price é preferencialmente utilizado pelos bancos privados e nos 
financiamentos diretos das construtoras, o SAC é largamente utilizado pela Caixa Econômica 
Federal. Também pode ser compreendido como um sistema de amortização onde as parcelas 
são sucessivas, decrescentes e periódicas. Vamos ao cálculo do SAC, utilizando nosso 
exemplo: Um imóvel, no valor de R$ 150.000,00, financiado em 5 vezes mensais, à taxa de 
1,5% ao mês. Para a construção da tabela SAC, o primeiro passo é encontrar o valor da 
amortização e não da parcela, como a Price. Portanto: 150.000 / 5 = 30.000,00 
(amortização) 
 
1º. Pagamento: 30.000 (amortização) + 1,5% * 150.000 = 32.250,00 
2º. Pagamento: 30.000 (amortização) + 1,5% * 120.000 = 31.800,00 
3º. Pagamento: 30.000 (amortização) + 1,5% * 90.000 = 31.350,00 
4º. Pagamento: 30.000 (amortização) + 1,5% * 60.000 = 30.900,00 
5º. Pagamento: 30.000 (amortização) + 1,5% * 30.000 = 30.450,00 
 
 
 
 
 
Sistema de Amortização Misto – SAM: 
O SAM foi criado pelo extinto Banco Nacional da Habitação (BNH) em 1979, sendo o 
resultado da média aritmética entre o Sistema Price e o SAC. 
 
 
 
 
 
 
 
“As três melhores coisas do mundo são: a voz da pessoa amada, o borbulhar da água no 
deserto e o ruído de moedas de ouro batendo umas nas outras.” 
 
Provérbio árabe 
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48 
Os investimentos a longo prazo, também são denominados Gastos de Capital; daí a 
expressão Proposta de Gastos de Capital ser utilizada como sinônimo de Proposta de 
Investimento. Os Gastos de Capital correspondem aos desembolsos de recursos, cujos 
benefícios deverão perdurar por mais de um ano. Cabe lembrar que a proposta de Gastos de 
Capital deverá incluir além das especificações técnicas, cronogramas e justificativas, como 
também, os valores envolvidos para sua implantação. 
 
Esse tipo de investimento refere-se não somente à substituição de máquinas e equipamentos, 
como também à aquisição de novos bens e à implantação de projetos de construção e 
instalação de unidades operacionais completas. Fazem parte, ainda, os desembolsos com 
pesquisa e desenvolvimento de produtos e tecnologias. importância dessas decisões irá 
requerer um processo específico para determinar onde, quando e quanto investir. 
 
As propostas de investimentos envolvem: Benefícios não monetários que são apreciados 
subjetivamente; Aspectos monetários que devem ser mensurados tecnicamente; Riscos que 
precisam ser avaliados da melhor forma possível. 
 
 
 
Classificação das propostas de Investimentos. 
 
Propostas Independentes: Corresponde àquelas que não interferem com as demais.Essas 
propostas concorrem entre si na disputa de um montante limitado de recursos e, neste caso, 
serão selecionadas as que forem economicamente mais atraentes. Exemplo: Comprar ou 
construir uma nova fábrica. 
 
Propostas Mutuamente Excludentes: São as que possuem a mesma finalidade ou atendem 
ao mesmo objetivo. A aprovação de uma eliminará automaticamente as demais. Exemplo: 
Compra de uma máquina com várias propostas de financiamento e retorno. 
 
Propostas Colidentes: Também são mutuamente excludentes, embora tenham objetivos 
diferentes. Exemplo: O departamento de RH requer uma nova sala para treinamento, enquanto 
o departamento de Vendas também a necessita para a montagem de um show room. 
 
Propostas Contingentes: São as que dependem da aprovação de outras áreas/departamentos, 
cujos resultados são afetados por outros projetos. Exemplo: Eletrificar uma nova área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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49 
Métodos de avaliação. 
 
Existem inúmeros métodos de análise para avaliar propostas de investimento, como por 
exemplo: Taxa média de Retorno, Índice de Lucratividade, Prazo de Retorno (Payback 
Peridod), Payback Descontado, Valor Presente Liquido (VPL ou Net Present Value - NPV) e 
a Taxa Interna de Retorno (TIR ou Internal Return Rate- IRR). Em nosso curso analisaremos 
três deles: Payback, Valor Presente Liquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR). 
 
 
 
Prazo de Retorno ou Payback 
 
Ao realizar investimentos as empresas determinam um prazo máximo para a recuperação do 
capital investido. Elas determinam “em quanto tempo o investimento deverá se pagar”. O 
método do Prazo de Retorno calcula qual será o tempo necessário para se recuperar os 
recursos investidos em um ou mais projetos. Quanto mais demorar este retorno, maiores serão 
as incertezas e riscos do projeto. Por sua vez, propostas com maior liquidez (menor tempo de 
retorno), em primeira análise, são menos arriscadas. 
 
Quando as entradas liquidas de caixa previstas forem uniformes, basta dividir o investimento 
inicial por uma das entradas. Por exemplo, a aquisição de um veículo de entrega no valor de 
R$ 35.000,00, que proporcionará entradas liquidas de caixa de R$ 9.500,00 nos próximos 
cinco anos. Qual é o payback desse investimento? 35.000 / 9.500 = 3,68 anos ou três anos e 
nove meses, aproximadamente. O método do Payback é apenas um parâmetro na tomada de 
decisões, pois não reconhece as entradas de caixa previstas após a recuperação do 
investimento, nem avalia adequadamente o valor do dinheiro no tempo, desconsiderando o 
custo de capital, seja ele próprio ou de terceiros. 
 
 
 
 
 
Valor Presente Líquido – VPL (Net Present Value - NPV). 
 
Neste método os fluxos de caixa da proposta são convertidos ao valor presente (momento t0) 
através da aplicação da taxa de retorno pré-definida, que pode corresponder ao custo de 
capital da empresa ou da rentabilidade mínima aceitável, face ao risco envolvido. O VPL é a 
diferença entre os valores atuais das entradas liquidas de caixa e os das saídas de caixa, 
referentes ao investimento liquido. Deste modo, o VPL corresponde a uma quantificação 
dos benefícios adicionais provocados pela proposta. 
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50 
 
E * ( 1 + i ) - n 
 
Onde: 
E = Entrada de caixa 
i = Taxa de desconto 
n = Período 
 
Quando o VPL for maior ou igual a zero, pode-se concluir que a proposta irá gerar um 
retorno maior ou igual a taxa de desconto utilizada e que o investimento poderá ser aprovado. 
Para um VPL menor que zero, considera-se que a proposta não é economicamente viável, 
pois seu retorno será inferior ao custo de capital ou da rentabilidade mínima exigida. A 
implementação de uma proposta nestas condições prejudicará a rentabilidade global da 
empresa, afetando negativamente seu valor de mercado. O VPL pode ser calculado pela 
fórmula: 
 
Onde: 
Ej = Entradas liquidas de caixa; 
I0 = Investimento no momento t0; 
Ij = Saídas de caixa nos períodos subseqüentes; 
i = Taxa de desconto; 
j = Períodos de ocorrência dos fluxos de caixa; 
n = Períodos ou prazo de execução do Projeto. 
Exemplificando: 
 
A empresa “Furo Nágua Equipamentos Náuticos Ltda.”, possui um idéia em ampliar suas 
instalações, com um investimento de R$ 504.000,00, com uma taxa de desconto de 20% ao 
ano, que corresponde ao custo de capital da empresa. Para isso, o Departamento de 
Planejamento Financeiro projetou três situações anuais de fluxo de caixa, conforme abaixo. 
Pede-se: Calcule o VPL dos projetos e emita um parecer sobre os resultados alcançados. 
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51 
 
Passo 1: Calcular o Valor atualizado das entradas liquidas de caixa: 
 
 
 
Passo 2: Calcular o VPL: 
 
 
Análise: Por apresentarem um VPL maior que zero (VPL > 0), os projetos Y e Z poderiam ser 
aprovados, levando-se em conta a taxa de remuneração do capital em 20 % ao ano. O projeto 
X deveria ser descartado, tendo em vista que o valor atual das entradas de caixa é inferior ao 
investimento realizado. Dentre os projetos Y e Z, sob o ponto de vista da análise financeira, o 
projeto a ser aprovado, finalmente, seria o Z, pois é ele que traz um VPL maior, sendo o mais 
interessante do ponto de vista financeiro. 
 
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52 
Na HP 12C: 
 
Cálculo do VPL proposta X: 
f CLX 
504000 CHS g CF0 
84000 g CFj 
420000 g CFj 
84000 g CFj 
84000 g CFj 
67200 g CFj 
20 i 
f NPV � no visor: - 26.206,79 
 
 
 
Cálculo do VPL proposta Y: 
f CLX 
504000 CHS g CF0 
252000 g CFj 
168000 g CFj 
4 g Nj 
20 i 
f NPV � no visor: 68.422,84 
 
 
 
 
Cálculo do VPL proposta Z: 
f CLX 
504000 CHS g CF0 
168000 g CFj 
3 g Nj 
252000 g CFj 
2 g Nj 
20 i 
f NPV � no visor: 72.689,81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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53 
No Excel: 
 
 
 
=VPL(A3;-A2;C2;C3;C4;C5;C6)*1,2 � Proposta X 
=VPL(A10;-A9;C9;C10;C11;C12;C13)*1,2 � Proposta Y 
=VPL(A17;-A16;C16;C17;C18;C19;C20)*1,2 � Proposta Z 
O VPL calculado pelo Excel com o fluxo de caixa original refere-se à data -1 e precisa ser 
multiplicado por 1,20 ( esse multiplicador é igual a 1 + a taxa de desconto) para se chegar ao 
VPL na data zero. 
 
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54 
Taxa Interna de Retorno (TIR ou Internal Rate of Return - IRR). 
 
 
Onde: 
Ej = Entradas liquidas de caixa; 
I0 = Investimento no momento t0; 
Ij = Saídas de caixa nos períodos subseqüentes; 
i = Taxa interna de retorno; 
j = Períodos de ocorrência dos fluxos de caixa; 
n = Períodos ou prazo de execução do Projeto. 
 
 
A Taxa Interna de Retorno – TIR ou IRR é a taxa de rentabilidade periódica equivalente de 
um investimento. Geralmente a TIR é definida para períodos anuais. A TIR também deve ser 
comparada a uma taxa de rentabilidade mínima exigida, face ao risco do projeto. Essa taxa 
mínima poderá também