Limites 3

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
5
a
Lista de Cálculo I - Limites Infinitos
Prof: Rafael Antônio Rossato
1) Calcule
a) lim
x→+∞
2x6−7x+3
4x6+x+5
b) lim
x→−∞
7x4+1
x5+6x+1
c) lim
x→+∞
√
x2+5
6x+1
d) lim
x→−∞
4√x4+6x−1√
3x2+4x+1
e) lim
x→+∞
√
x+ 3
√
x
x2+7
f) lim
x→+∞(
√
x+ 2−√x+ 5)
2) Calcule lim
x→+∞
2x+5
2x3+4x−1 .
3) Utilizando o exercício acima, mostre que existe r > 0 tal que
x > r ⇒ 0 < 2x+ 5
2x3 + 4x− 1 <
1
2
.
4) Calcule lim
x→+∞
x3+3x−1
2x3−6x+1 , e em seguida mostre que existe r > 0, tal que
x > r ⇒ 1
4
<
x3 + 3x− 1
2x3 − 6x+ 1 <
3
4
.
5) Calcule:
a) lim
x→−∞
3−x
5+3x
b) lim
x→+∞
(
3x−√x2 + 3)
c) lim
x→+∞
(√
x+
√
x−√x− 2
)
d) lim
x→−1+
3x+2
x2+x
e) lim
x→0+
x+4
x2+x
f) lim
x→1+
3x−6
x2+4x−5
g) lim
x→3+
x2−9
x2−6x+9
h) lim
x→−1+
7x2−5
1−x2
i) lim
x→0
sen 2x
x4−x2
6) Seja f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, onde a > 0, b, c, d são números reais dados. Prove que existem números
reais x1, x2, tais que f(x1) < 0 e f(x2) > 0.
7) Calcule:
a) lim
x→0
esen x−1
x
b) lim
x→0
ln(1+sen x)
ex−1
c) lim
x→0
ex
4−1
x2
d) lim
x→0
3√1+x2−1
ecos x−1−1
e) lim
x→+∞
1
xsen
(
cos x
1+pi2
)
f) lim
x→0
ln(1+x)
x
g) lim
x→0
(1 + sen x)1/x
h) lim
x→0
(1 + sen x)1/x
2
i) lim
x→0+
(1 + sen x)1/
√
x
j) lim
x→0
x−sen x
x2
k) lim
x→0
x+sen x
x2
l) lim
x→0
(1 + kx)1/x
m) lim
x→+∞(1 +
k
x )
x
n) lim
x→−∞(1 +
k
x )
x
o) lim
x→+∞
(
x
(
ln
(
2 + 2x
)− ln 2))
p) lim
x→−∞
(
1 + pix
)x+e
q) lim
x→0
ex−1
x2
8) Encontre todas as assíntotas das seguintes funções:
1
a)
x2+x
x−1
b)
x5+x4+1
2x4+1
c)
x5+x4+1
x3−1
d)
2x+3
x−2
e)
3
√
2 + 8x2
f)
√
4x2 + x+ 1
g) e
1
x
h)
√
x2 + 1
i)
√
2x2 + 8x3
j)
√
x2 + 2x+ 5
9) Estima-se que daqui a t anos a população de um certo bairro será p mil habitantes, onde
p = p(t) = 20− 7
t+ 2
.
Um estudo ambiental mostra que a concentração média de monóxido de carbono no ar será c partes por
milhão quando a população for p mil habitantes, onde
c = c(p) = 0,4
√
p2 + p+ 21.
Qual será o nível de poluição c a longo prazo (para t→∞)?
GABARITO:
Exercício 1: a)
1
2 , b) 0, c)
1
6 , d)
√
3
3 , e) 0, f) 0.
Exercício 5: a) − 13 , b) +∞, c) 12 , d) +∞, e) +∞, f) −∞, g) +∞, h) +∞, i) −1
Exercício 7: a) 1, b) 1, c) 0, d) − 23 , e) 0, f) 1, g) e, l)ek
Exercício 8: a) x = 1 e y = x+ 2, b) y = x+12 , c) x = 1, d) x = 2 e y = 2, e) não tem, f) 2x+
1
4 e
y = −2x− 14 , g) x = 0 e y = 1, h) y = x e y = −x, i) não tem.
2