Cálculo 1 - Derivada

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Cálculo 1 – Derivada de uma função Sartori, C. S. 01 
1 
• Derivada 
Erro! Indicador não definido. 
 A maioria dos problemas em cálculoErro! 
Indicador não definido. podem ser resolvidos 
encontrando a equaçãoErro! Indicador não definido. 
da reta Erro! Indicador não definido.tangenteErro! 
Indicador não definido. a uma curvaErro! Indicador 
não definido., num ponto específico da curva. 
 Definiremos a equação da reta tangente Erro! 
Indicador não definido.ao gráfico de uma função. Seja 
uma função f ,contínuaErro! Indicador não definido. 
em x1 . Queremos definir a inclinação da reta tangente 
ao gráfico de f, no ponto ( x1 ,f(x1)). Seja P2 
(x2,f(x2))outro ponto sobre o gráfico de f tal que a 
função seja contínua neste ponto. Traçando uma reta 
passando por P1 e P2 , observamos que a reta 
secanteErro! Indicador não definido. tende a ficar a 
reta tangenteErro! Indicador não definido. no valor 
x= x1 quando: 
∆x x x= − →2 1 0 
 O coeficiente angular da reta secante Erro! 
Indicador não definido.é dado por: 
∆
∆
y
x
y y
x x
= −−
2 1
2 1
 
 Observe da figura que a medida que ∆x→0, o 
coeficiente angular Erro! Indicador não definido.da 
reta secanteErro! Indicador não definido. tende a ficar 
o coeficiente angular da reta tangente, neste limite, no 
valor x=x1. 
 A derivada Erro! Indicador não definido.de 
uma função Erro! Indicador não definido.é a medida 
Erro! Indicador não definido.do coeficiente angular 
da reta tangenteErro! Indicador não definido. à 
função no pontoErro! Indicador não definido., e é 
dada por: 
 
 ′ = + −→f x
f x x f x
xx
( ) lim ( ) (∆
∆
∆0
) 
 se o limite Erro! Indicador não 
definido.existir e for finito. 
 Notação ′y dy
dx
df
dx
D y yx; ; ; ;
.
; 
0 2 4 6 8 10
-20
0
20
40
60
80
100 f(x)
X
Y
∆x
∆y
(x1 ,y1)
(x2 ,y2)
 
 
Exemplos Aplicativos: 
 
 Exemplo 1- Considere uma partícula movendo-se em 
uma reta. Tal movimento chama-se movimento retilíneo . Neste 
movimento a velocidade escalar instantânea é a derivada da 
função posição s(t):v ds
dt
= . A aceleração instantânea desta 
partícula é dada por:a dv
dt
d s
dt
= =
2
2 , ou seja, é a derivada 
segunda da função posição. 
 
 Exemplo 2 - A corrente elétrica em um circuito elétrico 
é a derivada da carga elétrica em relação ao tempo:i t dq
dt
( ) = 
Exemplo 3 - A Segunda Lei de Newton. A soma 
vetorial das forças externas que atuam num sistema é o produto 
da massa do sistema pela aceleração : 
G G G
F F m d r
dt
R i
i
= =∑
2
2 
 
 Definição: A função f é diferenciávelErro! Indicador 
não definido. em x1se f' (x1) existir. 
 
 Definição: Uma função é diferenciável se for 
diferenciável em todo seu domínio. 
 
 • Diferenciabilidade e Continuidade 
 
 Uma função pode ser contínua em um número, 
porém pode não ser diferenciável no mesmo número. Pode-se 
mostrar que a continuidade da função em um número não 
implica em diferenciabilidade da função neste número. 
Entretanto a diferenciabilidade implica em continuidade, o que 
é mostrado no teorema abaixo: 
 
 Teorema: Se f é diferenciável em x1, então f é contínua 
em x1. 
 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 2 
 2
2 
 Definição: Se a função f está definida em x1, 
então a derivada à direita de f em x1, indicada por 
 e a derivada à esquerda de f, denotada por 
são definidas por: 
′+f x( )1
′−f x( )1
x
xfxxfxf
x
xfxxfxf
x
x
∆
−∆+=′
∆
−∆+=′
−
+
→∆−
→∆+
)()(lim)( e
 )()(lim)(
11
0
1
11
0
1
 
 
 Exemplo 4 - Seja f a função definida 
por . Verificar que f é 
contínua em x=3 porém não é diferenciável neste valor 
de x. 
⎩⎨
⎧
≥−
<−=
3 se 8
3 se 12
)(
xx
xx
xf
 
 Note que : 
 
)3()(lim)
;5)(lim)(lim)(lim)
;5)3()
3
333
fxfiii
xfxfxfii
fi
x
xxx
=
===
=
→
→→→ −+
 
 portanto f(x) é contínua em x=3. Para verificar 
a diferenciabilidade em x=3 observamos que: 
′ = + − = − − − = −+ → →+ +f
f x f x
x
x
xx x
( ) lim ( ) ( ) lim3 3 8 3 5 1
0 0∆ ∆
∆
∆
∆
∆
 
′ = + − = + − =− → →− −f
f x f x
x
x
xx x
( ) lim ( ) ( ) lim3 3 6 2 2
0 0∆ ∆
∆
∆
6∆
∆
 
 Logo, conclui-se 
que: ′ = + − /∃→f
f x f
xx
( ) lim ( ) ( )3 3 3
0∆
∆
∆ 
 Então f não é diferenciável em x=3. 
 
 Teorema 1: Se f é uma função constanteErro! 
Indicador não definido. para 
todo x. 
f x c f x( ) ( )= ⇒ ′ = 0
 
 Teorema 2: Se n é um número inteiroErro! 
Indicador não definido. e positivo e se 
 f x x f x nxn n( ) ( )= ⇒ ′ = −1
 
 Teorema 3: Se f é uma função, c é uma 
constante e g é uma função definida por: 
g x c f x f x g x cf x( ) . ( ) ( ) ( ) ( )= ∃⇒ ′ = ′ e Se 
 
 Teorema 4: Se f e g são funções cujas 
derivadas existem e se h é definida por: 
h x f x g x h x f x g x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ± ⇒ ′ = ′ ± ′ 
 
 Teorema 5: Se u e v são funções cujas 
derivadas existem e se h é definida por: 
 f x u x v x f x u v v u( ) ( ). ( ) ( )= ⇒ ′ = ′ + ′ 
 Teorema 6: Se u e v, com v≠0 são funções cujas 
derivadas existem e se f é definida por: 
 
f x u x
v x
f x u v v u
v
( ) ( )
( )
( )= ⇒ ′ = ′ − ′2 
 
 Derivadas de algumas funções: 
 
 Seja u uma função de x. Então : 
 
 a) Função exponencial Erro! Indicador não 
definido.de base e: 
f x e f x e f x e f x e du
dx
x x u( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ ′ = = ⇒ ′ = ; u 
 b) Função exponencial de base qualquer b 
f x a f x a a f x a f x a a du
dx
x x u( ) ( ) ln ( ) ( ) (ln )= ⇒ ′ = = ⇒ ′ = ; u c) 
Função logarítmica neperianaErro! Indicador não definido.: 
f x x f x
x
f x u f x
u
du
dx
( ) ln ( ) ( ) ln ( )= ⇒ ′ = = ⇒ ′ =1 1 ; 
 d) Função logarítmica Erro! Indicador não 
definido.de base a: 
dx
du
ua
xf
uxf
xa
xfxxf aa
1
ln
1)(
log)( ; 1
ln
1)(log)(
=′
⇒==′⇒=
 
 
e) Função cosseno: 
dx
dusenuxf
uxfsenxxfxxf
−=′⇒
=−=′⇒=
)(
)cos()( ; )(cos)(
 
 f) Função senoErro! Indicador não definido.: 
dx
duuxf
usenxfxxfsenxxf
cos)(
)()( ; cos)()(
=′⇒
==′⇒=
 
 
 AplicaçõesErro! Indicador não definido.: I) Equação 
da reta tangenteErro! Indicador não definido. à uma função 
f(x) num ponto ( , )x y0 0 : 
 y f x f x x x− = ′ −( ) ( )( )0 0 0 
 
 II) Equação da reta normalErro! 
Indicador não definido. à uma função f(x) num ponto ( , )x y0 0 
 y f x
f x
x x− = − ′ −( ) ( )( )0 0 0
1
 
 
 Exemplo 5 - Calcule as derivadas indicadas: 
 
a) f x x x f x x x( ) ( )= − ⇒ ′ = −3 14 2 32 2
 
b) f x
x
x f x x
x
( ) ( )= = ⇒ ′ = − = −− −1 6 66 6 7 7 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 3 
 
c) 
)1)(25()2(4)(
)2)(1()(
4453
54
−−+−=′⇒
−−=
xxxxxxf
xxxxf
 
 d) 
f x x
x x
f x x x x x
x x
( ) ( ) ( ) ( )(
( )
= +− ⇒ ′ =
− − + −
−
1
2
1 2 1 2
22
2
2 2
)2
 
3 
 Teorema 7: (Regra da Cadeia) 
 
 Se y é uma função de u e definida por y=f(u) e 
dy
du
 existe, e se u é uma função de x, definida por 
u=g(x) e du
dx
 existe, então y é uma função de x e dy
dx
 
existe e é dada por: 
dy
dx
dy
du
du
dx
= 
 
ou 
 
)()()( xuuyxf ′′=′ 
 
 
 Exemplo 6 - Dada f(x) determine sua 
derivada: 
5
3
2
3
3
4
)13(
)12(20
)13(
)12(3)13(2
13
124
13
12
13
124)(
13
12)(
−
+−=
−
+−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+=
′
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−+=′
⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+=
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
xxf
x
xxf
 
 
 Exemplo 7 - Dada f(x) determine sua 
derivada: 
 ⇒
 
f x x x( ) ( )= − +2 5 43 2 5
′ = − + −f x x x x x( ) ( ) ( )5 2 5 4 6 103 2 4 2
 
 Teorema: Se f é uma função potênciaErro! 
Indicador não definido. onde r é um número racional 
qualquer, (isto é ), então: f x xr( ) =
′ = −f x rxr( ) 1 
 
 Exemplo 8 – 
f x x f x x
x
( ) ( ) . [ ]= ⇒ ′ = =−4 4 2
3
8
3
23
2
3
1
3 
 Teorema: Se f e g são funções tais que 
f x g x r Q g x f x r g x g xr r( ) [ ( )] ; ( ) ( ) [ ( )] ( )= ∈ ′ ∃⇒ ′ = ′− se 1 
 
 Exemplo 9 - 
f x x x f x x x x( ) ( ) ( ) ( )= − ⇒ ′ = − −−3 4 1
3
3 4 6 423 2
2
3 
 
 • Diferenciação implícita 
Erro! Indicador não definido. 
 Se temos uma relação de y e x definida 
implicitamente, para encontrarmos a derivada seguimos o 
processo de diferenciação implícita, como ilustra o exemplo 
abaixo: 
 
 Exemplo 10) 
x y y x y x dy
dx
y dy
dx
dy
dx
x y
x y
3 4 2 3 3
2
3 32 3 4 0
3
4
+ = ⇒ + + = → =− + 
 • Aplicações da Derivada: 
 
 • A Derivada como variação: 
 
 A Derivada como uma razão de variação é expressa da 
seguinte maneira: 
 
 Definição: Se y=f(x), a razão de variação instantânea 
de y por unidade de variação de x em x1, é f' (x1), ou seja, a 
derivada de y em relação a x em x1, se esta existir aí. 
 
 A razão de variação instantânea de y por unidade de 
variação em x pode ser interpretada como a variação em y 
causada por uma unidade de variação em x se a razão de 
variação permanecer constante. 
 
 Definição: Se y=f(x) a taxa de variaçãoErro! 
Indicador não definido. relativa de y por unidade de variação 
de x em x1 é dada por: 
′ = =f x
f x
D y
y
x xx( )
( )
1
1
1 
 Se a taxa de variação for multiplicada por 100, teremos 
a taxa de variação percentual. 
 
 Taxas Relacionadas: 
 
 Existem muitos problemas relacionados com a razão de 
variação de duas ou mais variáveis em relação ao tempo, nos 
quais não é necessário expressar cada uma dessas variáveis 
diretamente como função do tempo. Por exemplo, suponhamos 
uma equação envolvendo as variáveis x e y, e que x e y sejam 
funções do tempo t, uma terceira variável. Então, desde que a 
razão de variação de x em relação a t e de y em relação a t sejam 
dadas por dx
dt
dy
dt
; , respectivamente, diferenciamos ambos os 
lados da equação dada em relação a t e aplicamos como ilustra o 
exemplo a seguir: 
 3
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 4 
 4
4 
 
 Exemplo 11 - Uma escada de 5 metros de 
altura está apoiada numa parede vertical. Se a base da 
escada desliza horizontalmente da parede a 3 m/seg, a 
que velocidade desliza a parte superior da escada ao 
longo da parede, quando a base se encontra a 3 m da 
parede? 
 
x (m)
y (m)
5 m
 
 
 Seja: t: número de segundos do tempo 
transcorrido desde que a escada começou a deslizar da 
parede. 
 x: número de metros na distância desde a 
base da escada até a parede em t segundos. 
 y: número de metros na distância desde o 
piso até a parte superior da escada em t segundos. 
 Aplicando o Teorema de Pitágoras: 
 . Diferenciando em relação a t x e y, pois 
são funções de t, teremos: 
y x2 2 25+ =
2 2y dy
dt
x dx
dt
= − . Observe 
que quando x=3, y=4. Substituindo teremos: 
dy
dt
x
y
dx
dt
dy
dt
y= − ⇒ = = − = −4 3
4
3 9
4
. 
 Observe que o sinal negativo indica que y 
decresce quando t cresce. 
 
 • Valores máximosErro! Indicador não 
definido. e mínimosErro! Indicador não definido. de 
uma função: 
 Vimos que a interpretação geométricaErro! 
Indicador não definido. da derivada de uma função é a 
inclinação da reta tangente Erro! Indicador não 
definido.ao gráfico de uma função em um ponto. Este 
fato nos permite aplicar as derivadas como um auxílio 
no esboço dos gráficosErro! Indicador não definido.. 
Por exemplo, a derivada pode ser usada para 
determinarmos em que pontos a reta tangenteErro! 
Indicador não definido. é horizontalErro! Indicador 
não definido.; estes são os pontos onde a derivada é 
zero. Também a derivada pode ser usada para 
encontrarmos os intervalosErro! Indicador não 
definido. para os quais o gráfico de uma função está 
acima da reta tangente e os intervalos para os quais o 
gráfico está abaixo da reta tangente. Antes de 
aplicarmos a derivada para traçarmos o esboços de 
gráficos, necessitamos de algumas definições e 
Teoremas. 
 
 Definição: Diz-se que uma função f tem um valor 
máximo relativoErro! Indicador não definido. em c se existir 
um intervalo aberto contendo c , onde f é definida, tal que f(c) ≥ 
f(x) para todo x neste intervalo. 
a c bx a c bx
 
 
 Definição: Diz-se que uma função f tem um valor 
mínimo relativoErro! Indicador não definido. em c se existir 
um intervalo aberto contendo c , onde f é definida, tal que f(c) ≤ 
f(x) para todo x neste intervalo. 
a c b x a c b x
 
 Teorema: Se f(x) existe para todo x no intervalo aberto 
(a,b) e f tem um extremo relativoErro! Indicador não definido. 
em c, onde a < c < b, então f ' (c) existe , f ' (c)=0 
 
 Definição: Se c é um número no domínioErro! 
Indicador não definido. da função f e f ' (c)=0 ou f ' (c) não 
existe, então c é chamado de número crítico de f. 
 
 Definição: Diz-se que uma função f tem um valor 
máximo absolutoErro! Indicador não definido. num intervalo, 
se existir algum número c no intervalo tal que f(c) ≥ f(x) para 
todo x no intervalo. Neste cado f(c) será o valor máximo 
absoluto de f no intervalo. 
 
 Definição: Diz-se que uma função f tem um valor 
mínimo absolutoErro! Indicador não definido. num intervalo, 
se existir algum número c no intervalo tal que f(c) ≤ f(x) para 
todo x no intervalo. Neste cado f(c) será o valor mínimo absoluto 
de f no intervalo. 
 
 Um extremo absoluto de uma função em um intervalo é 
um valor máximo absoluto ou um valor mínimo absoluto da 
função no intervalo. Uma função pode ou não ter um extremo 
absoluto num intervalo dado. Nos exemplos a seguir são dados 
uma função e um intervalo, e determinamos os extremos 
absolutos da função no intervalo dado. 
 
 Exemplo 12 - Dada encontre os extremos 
absolutos de f no intervalo (-3,2] se existirem. 
f x x( ) = − 2
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 5 
5 
-3 -2 -1 0 1 2
-10
-8
-6
-4
-2
0 X
Y
 
 
O gráfico mostra a função f em (-3,2]. A 
função f tem um valor máximo absoluto de 0 em (-
3,2). Não existe valor mínimo absoluto de f em (-3,2] 
pois lim ( )
x
f x→− + = −3 9 , mas f(x) é sempre menor que -
9 no intervalo considerado. 
 
 Definição: Diz-se que f (c) é o valor máximo 
absoluto da função fErro! Indicador não definido. se 
c pertencer ao domínio de f e se f (c) ≥ f(x) para todos 
os valores de x no domínio de f. 
 
 Definição: Diz-se que f (c) é o valor mínimo 
absoluto da função fErro! Indicador não definido. se 
c pertencer ao domínio de f e se f (c) ≤ f(x) para todos 
os valores de x no domínio de f. 
 Teorema: (Teorema do Valor ExtremoErro! 
Indicador não definido.) Se a função f é contínua no 
intervalo fechado [a,b], então f tem um, valor máximo 
absoluto e um valor mínimo absoluto no intervalo [a,b]. 
 
 Seja f uma função contínua no intervalo 
fechado[a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b) e 
sejam f(a)=0=f(b). O matemático francês Michel 
RolleErro! Indicador não definido. (1652-1719) 
provou que se uma função satisfaz estas condições, 
existe pelo menos um número c entre a e b para o qual 
f ' (c) =0. 
 
 Teorema de RolleErro! Indicador não 
definido.: Seja f uma função tal que: 
 
 (i) é contínua no intervalo fechado [a,b]. 
 (ii) é diferenciável no intervalo aberto (a,b) 
 (iii) f(a)=f(b)=0. 
 Então existe um número c no intervalo aberto 
(a,b) tal que f '(c) =0. 
 
 Aplicamos o teorema de Rolle para 
demonstrar um dos teoremas mais importantes em 
cálculo, conhecido como o teorema do valor 
médioErro! Indicador não definido.. O teorema do 
valor médio é usado para demonstrar muitos teoremas do cálculo 
diferencial e integral. Você deverá estar completamente 
familiarizado com o conteúdo deste teorema. 
 
 Teorema do valor médio: Seja f uma função tal que: 
 
 (i) é contínua no intervalo fechado [a,b]. 
 (ii) é diferenciável no intervalo aberto (a,b) 
 Então existe um número c no intervalo (a,b) tal que: 
′ = −−f c
f b f a
b a
( ) ( ) ( ) 
 Exemplo 13 - Como aplicação deste teorema, 
demonstre que, em algum instante de tempo t, a velocidade 
instantânea de um corpo descrevendo movimento retilíneo será 
igual a sua velocidade média. 
 
 Funções Crescentes e Decrescentes: O Teste da 
Derivada Primeira 
 
 Definição: Dizemos que uma função f definida num 
intervalo é crescente neste intervalo, se e somente 
se: f x f x x x( ) ( )1 2 1 2< ⇒ < 
 
 Definição: Dizemos que uma função f definida num 
intervalo é decrescente neste intervalo, se e somente 
se: f x f x x x( ) ( )1 2 1 2< ⇒ > 
 
 Se uma função f é crescente ou decrescente num 
intervalo, então dizemos que ela é monótona no intervalo. 
 
 Teorema: Seja f uma função contínua no intervalo 
fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b): 
 (i) Se f ' (x) > 0 para todo x pertencente a (a,b), então f 
é crescente em (a,b). 
 (ii) Se f ' (x) < 0 para todo x pertencente a (a,b), então f 
é decrescente em (a,b). 
 
 Teorema: (Teste da Derivada Primeira para Extremos 
RelativosErro! Indicador não definido.) Seja f uma função 
contínua em todos os pontos do intervalo aberto (a,b) contendo 
c, e suponhamos que f ' exista em todos os pontos de (a,b) e que 
eventualmente não exista em c: 
 (i) Se f ' (x) > 0 para todos os valores de x num 
intervalo aberto, tendo c como extremo direito, e se f '(x) < 0 
para todos os valores de x num intervalo , tendo como extremo 
esquerdo, então f tem um valor máximo relativoErro! Indicador 
não definido. em c. 
 (ii) Se f ' (x) < 0 para todos os valores de x num 
intervalo aberto, tendo c como extremo direito, e se f '(x) > 0 
para todos os valores de x num intervalo , tendo como extremo 
esquerdo, então f tem um valor mínimo relativoErro! Indicador 
não definido. em c. 
 
 • Derivadas de ordem superiorErro! Indicador não 
definido.: 
 
 Se f ' é a derivada de uma função, muitas vezes é 
designada de derivada primeira de uma função. Se a derivada de 
f ' existe, designamos de derivada segundaErro! Indicador não 
 5
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 6 
6
definido. de f e denotamos por f '' . Analogamente 
designamos por derivada terceira de f a derivada da 
derivada segunda, f ''' e assim sucessivamente. 
 
 O teste da derivada segunda para extremos 
relativosErro! Indicador não definido.. 
 
 Vimos anteriormente como determinar um 
valor máximo relativo ou um valor mínimo relativo de 
uma função f num número crítico c , verificando o sinal 
de f ' nos números dos intervalos à esqueda de c e à 
direita de c. Outro teste para extremos relativos é aquele 
que envolve somente o número crítico c e é 
frequentemente um teste mais simples de aplicar. 
Chama-se teste da derivada segunda para extremos 
relativos Erro! Indicador não definido.e é enunciado 
pelo teorema abaixo. 
 
 
 Teorema: (Teste da derivada segunda para 
extremos relativos) Seja c um número crítico de uma 
função f tal que f '(c) =0 e f ' existe para todos os 
valores de x num intervalo aberto contendo c. Então se f 
'' ( c ) existe e: 
 (i) f '' ( c ) < 0 ⇒ f (x) tem um valor máximo 
relativoErro! Indicador não definido. em c. 
 (ii) f '' ( c ) > 0 ⇒ f (x) tem um valor mínimo 
relativoErro! Indicador não definido. em c. 
 
 Teorema: Seja f uma função contínua Erro! 
Indicador não definido.no intervalo I, contendo o 
número c. Se f(c) é o único extremo relativo Erro! 
Indicador não definido.de f em I, então f(c) é extremo 
absoluto de f em I. Além disso: 
 
 (i) se f(c) é um valor máximo relativo de f em 
I, então f(c) é um valor máximo absoluto de f em I. 
 (ii) se f(c) é um valor mínimo relativo de f em 
I, então f(c) é um valor mínimo absoluto de f em I. 
 
 • Concavidade e pontos de Inflexão: 
 
 
D
 
 
 Dizemos que o gráfico da figura é côncavo 
para baixoErro! Indicador não definido., (entre 
os pontos A e C) e côncavo para cima (entre os 
pontos C e E). 
 Enquanto P move-se pelo gráfico, de A até B, a 
inclinação da reta tangente é positiva, e decrescente; isto é, a reta 
tangente gira no sentido horário e o gráfico permanece abaixo da 
reta tangente. Quando P está em B, a inclinação da reta tangente 
é 0 e ainda está decrescendo. Enquanto P se move pelo gráfico 
de B até C, a inclinação da reta tangente é negativa e ainda está 
decrescendo; a reta tangente ainda gira no sentido horário e o 
gráfico ainda está abaixo de sua reta tangente (côncavo para 
baixo). 
 Enquanto P se move pelo gráfico, de C até D, a 
inclinação da reta tangente é negativa e crescente; isto é, a reta 
tangente gira no sentido anti-horário e o gráfico está acima de 
sua reta tangente. Em D a inclinação da reta tangente é 0 e ainda 
crescente. De D a E, a inclinação da reta tangente é positiva e 
crescente, a reta tangente gira no sentido antihorário e o gráfico 
está acima de sua reta tangente. Dizemos que o gráfico é 
côncavo para cima de C a E 
 
 Definição: Dizemos que o gráfico de uma função f é 
côncavo para cima no ponto (c,f(c)) se existe f ' (c) e se existe 
um intervalo aberto I , contendo c, tal que para todos os valores 
x≠ c, em I, o ponto (x,f(x)) sobre o gráfico está acima da reta 
tangente ao gráfico em (c,f(c)). 
 
 Definição: Dizemos que o gráfico de uma função f é 
côncavo para baixo no ponto (c,f(c)) se existe f ' (c) e se existe 
um intervalo aberto I , contendo c, tal que para todos os valores 
x≠ c, em I, o ponto (x,f(x)) sobre o gráfico está abaixo da reta 
tangente ao gráfico em (c,f(c)). 
 
 Teorema: Seja f uma função diferenciável num 
intervalo aberto contendo c. Então: 
 
 (i) se ′′ > ⇒f c( ) 0 Gráfico de f é côncavo para cima 
em (c,f(c)). 
 (ii) se ′′ < ⇒f c( ) 0 Gráfico de f é côncavo para baixo 
em (c,f(c)). 
 
 Teorema: O ponto (c,f(c) é um ponto de inflexãoErro! 
Indicador não definido. do gráfico da função f ,se o gráfico tiver 
aí uma reta tangente e se existir um intervalo aberto I, contendo 
c, tal que se x pertence a I, então: 
 
 (i) ′′ < < ′′ > >f x x c f x x c ou( ) ( ) ;0 0 se e se 
 (ii) ′′ > < ′′ < >f x x c f x x c( ) ( )0 0 se e se 
 
 Teorema: Se a função f é diferenciável no intervalo 
aberto I contendo , se (c,f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico 
de f, então se f '' (c) existe: 
′′ =f c( ) 0 
 
 Exemplo 14) Determine os pontos de inflexãoErro! 
Indicador não definido. da função: f x x x x( ) = − + +3 26 9 1
 
 df
dx
d
dx
x x x x x= − + + = −( )3 2 26 9 1 3 12 9+ ;
d f
dx
d
dx
x x x
2
2
23 12 9 6 1= − + =( ) 2− 
 6
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma funçãoSartori, C. S - 7 
 7
7 
 Os pondos de inflexão ocorrem a: 
d f
dx
x x
2
2 0 6 12 0= ⇒ − = → = 2 
 
 • Aplicações para traçar o esboço do gráfico 
de uma funçãoErro! Indicador não definido.: 
 
 Utilizando todos os resultados discutidos até 
agora, para traçarmos o esboço do gráfico de uma 
função devemos ter o seguinte procedimento: 
 
 a) Pontos críticos: (Teste da derivada Primeira) 
f'(x)=0; análise dos intervalos de crescimento e 
decrescimento. 
 b) Teste da derivada segunda: f '' (x) > 0; f(x) 
tem um mínimo em x ( concavidade para cima em 
(x,f(x)). 
 c) Teste da derivada segunda: f '' (x) < 0 ;f(x) 
tem um mínimo em x ( concavidade para baixo em 
(x,f(x)). 
 d) Pontos de inflexão: Valor de x em que a 
curva muda de concavidade: f "(x) = 0 
 
 Exemplo 15) Dada 
encontre os extremos relativos de f, os pontos de 
inflexão do gráfico de f, os intervalos onde f é 
crescente, os intervalos onde f é decrescente, onde o 
gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para 
baixo e a inclinação de qualquer tangente de inflexão. 
Trace um esboço do gráfico. 
f x x x( ) = − +3 23 3
 f x x x( ) = − +3 23 3
6⇒ . 
Estabelecendo que f'(x)=0, obtemos x=0 e x=2. 
Considerando f ''(x) =0, encontramos x=1. Elaboramos 
uma tabela considerando os pontos x=0,x=1 e x=2 e os 
intervalos que incluam estes valores de x: 
′ = − ′′ = −f x x x f x x( ) ; ( )3 6 62
 -∞<x<0 ; 0<x<1 ; 1 < x < 2 ; 2 < x < +∞ 
 
Intervalo f f ' f '' Conclusão 
-∞ < x < 0 + - f é crescente; o 
gráfico é côncavo 
para baixo. 
x=0 3 +3 - f tem um valor 
máximo relativo; o 
gráfico é côncavo 
para baixo; 
0 < x < 1 - - f é decrescente, o 
gráfico é côncavo 
para baixo; 
x = 1 1 -3 0 f é decrescente, o 
gráfico tem um 
ponto de inflexão; 
1 < x < 2 - + f é decrescente, o 
gráfico é côncavo 
para cima. 
x=2 -
1
0 + f tem um valor 
mínimo relativo; o 
gráfico é côncavo 
para cima. 
2 < x < +∞ + + f é crescente; o 
gráfico é côncavo 
para cima; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esboço do gráfico: 
-2 -1 0 1 2 3 4
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
 
Exercícios: 
 
A derivadaErro! Indicador não definido.: definição Erro! 
Indicador não definido.e regras de derivaçãoErro! Indicador 
não definido. 
Erro! Indicador não definido. 
 1) Encontrar a equação da reta tangente e da reta 
normal às curvas dadas nos pontos indicados: 
 
 a) y x b) y x c) x P= −3 2 6; ( , ) P= 2 4 16; ( , )
y
x
P= 1 4 0 25; ( , . ) d) y e P ex= ; ( , )1
 e) f x x P( ) cos( ); ( , )= −π 1 f) f x x P( ) ln ; ( , )= 1 0 
 
 2) Encontre a equação da reta tangente à curva 
 que seja paralela à reta 8x - y +3=0 y x= +2 2 3
 
 3) Encontre a equação da reta que passe pelo ponto (3,-
2) e seja tangente à curva y x . = −2 7
 
 4) Encontre a equação da reta tangente à curva 
y x= − −4 3 1 que seja perpendicular à reta x+2y-11=0 
 
 5) Determine a velocidade e a aceleração instantâneas 
para a dada função posição de uma partícula dada abaixo: 
 
 a) s t b) t( ) = +3 12 s t t
t
( ) = +
+
1
4 2
4
 c) 
 s t t t t( ) = + − +3 23 9
 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 8 
 8
8 
3
 6) No exercício anterior determine o valor da 
velocidade instantânea e da aceleração instantânea, 
classificando o movimento (acelerado ou retardado) 
(progressivo ou retrógrado) nos instantes: 
 
 a) t = 0s b) t = 1 s c) t =2 s d) 
t = 3 s 
 
 7) Discuta a continuidade e da 
diferenciabilidade das funções, na continuidade analise 
se é de natureza removível ou essencial: 
 
a ) 
 se x
 se x 
b) 
 se x
 se x 0
f x
x
x
f x
x
x
( )
,
,
( )
,
,
= − ≤+ >
= − ≤>
1 2
1 2 2
1 2 0
2
3
 8) Nos problemas abaixo encontre a derivada 
da função dada. 
 
a) f x x x( ) = + +4 52
b) f x x( ) = 
c) f x
x
( ) = +
1
1
 
d) f x
x
x( ) = −12 
e) f x
x
( ) 1
1+
f x x( ) = 2
f
 
f) 
g) x x( ) cos( )= 
h) f x tg x( ) ( )= 
 
 9) Encontre o valor de f ' (a), dada a função: 
 
a) 
b) 
f x x a( ) ;= − = −1 2 3
f x
x
x x a( ) ;= + + = −1 32 
 
 10) Dada f x x( ) = , trace um esboço do 
gráfico de f. Demonstre que f é contínua em x=0. 
Demonstre que f não é diferenciável em x=0, mas 
que f x
x
x
( ) = é, para todo x≠0. (Sugestão:Seja 
x x= 2 ) 
 
 11) Dada f x x( ) = 32 mostre que ′+f ( )0 
existe e encontre seu valor. Demonstre que f é contínua 
à direita em 0. Trace um esboço do gráfico. 
 
 12) Encontre os valores de a e de b tal que f ' 
(1) existe se: 
⎩⎨
⎧
≥+
<=
1 se 
1 se 
)(
2
xbax
xx
xf 
 
 13) Encontre as derivadas das funções: 
 
a) f x x x x( ) = − + −3 23 5 2
b) f x x x( ) = −1
8
8 4 
c) F t t t( ) = −
4
2
4
1
2
 
d) v r r( ) = 4
3
3π 
e) g x
x x
( ) = +3 52 4 
f) f s s s( ) ( )= −3 3 2 
g) f x x x x( ) ( )( )= − +2 1 5 64 3
h) H x x x
x x
( ) = + +
− +
2
2
2 1
2 1
 
i) f x x
x
( ) = −1 
j) h x x
x
( ) =
+
5
1 2 2
 
k) f x x
x
( ) = −
+
3
3
8
8
 
l) f x x
x
x( ) ( )= ++ −
2 1
5
3 1 
H x f x g x l x( ) ( ) ( ) ( )=m) 
 
 14) Diferencie a função 
f x x x x( ) ( )( )( )= + − +2 3 2 5 3 2 usando resultado do problema 
13) n). 
 
 ExercíciosErro! Indicador não definido.: 
 
Regra da CadeiaErro! Indicador não definido., Aplicações da 
derivadaErro! Indicador não definido., Diferenciação 
implícitaErro! Indicador não definido., Taxas 
RelacionadasErro! Indicador não definido. 
 
 1) Encontrar a derivada da função dada: 
 
a) f x x x( ) ( )= + −2 34 5
b) f x x( ) ( )= −10 5 4
c) f x x( ) ( )= + −4 2 
d) h u u u( ) ( ) ( )= + −3 5 3 12 3 2
e) g x x x( ) ( ) ( )= − +− −2 5 4 31 2 
f) f y y
y
( ) ( )= −+
7
2
2 
g) f x
x x
( ) =
+ +
2
7 32 1
2
 
h) f r r r( ) ( ) ( )= + +2 31 2 5
i) g x x x
x
( ) ( ) ( )
( )
= − ++
4 1 2
3 5
3 2 4
2 2 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 9 
 9
9
j) f x x( ) ln( )= +1 4 2
k) f x x( ) ln= −4 2 
l) f x x
x
( ) ln= 
m) f x ex( ) = 2
 
n) f x e
x
( ) = −
2
2 
o) f x x x( ) ln( ln( ))= 2
 
p) f x x( ) ln= 23 
q) f x e xx( ) ln=
r) f x x( ) sen( )= 3 2 
s) f x x
x
( ) cos( )
cos
= −3 1
2
 
t) h x x
x
( ) sen( )
cos( )
= +2 2 
u) f x x( ) ln(sen( ))= 5 
v) f x e x( ) cos=
w) f x x x( ) ( cos ( )) sen= −1 3
 y) F x x( ) sen(ln( ))= 
 x) f x x ex( ) ln(sen( ))=
 
 
 2) Encontrar a derivada da função dada: 
 
 a) f x x( ) ( )= +3 5 32 
 b) g x x
x
( ) = −+
2 5
3 1
 
 c) f x x( ) = 4 12 
 d) F x x x x( ) = − +2 53 23 
 e) f t t
t
( ) = +2 2 
 f) F x x
x
( ) = −
2 1 
 g) h x x
x
( ) = −
+
1
125
 
 h) f x x( ) = − −9 9 
 i) f x x
x
( ) = +−
3
3
4 1
1
 
 3) Encontre a equação da reta tangente à curva 
y x= +2 9 no ponto (4,5). 
 
 4) Encontre a equação da reta normal à curva 
y x x= +16 2 na origem. 
 
 5) Encontre a derivada por diferenciação implícita: 
 
 a) x y b) x y c) 2 2 16+ = x3 3 8+ = y
1 1 1
x y
+ = d) y xy x y+ = 2 
 6) Um papagaio de papel está voando a uma altura de 
40m. O garoto está empinando o papagaio de tal modo que este 
se move horizontalmente à razão de 3 m/seg. Se a linha está 
esticada, com que razãoo garoto deve "dar linha" quando o 
comprimento da corda solta é 50m? 
 
 7) Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira 
que seu volume aumenta à razão de 8 decímetros cúbicos por 
minuto. Encontre a razão com que é aumentado o raio da bola 
de neve quando este for de 4 dm. 
 
 8) Acumula-se areia em um monte de forma cônica, à 
razão de 10
3dm
min
. Se a altura do monte é sempre igual a duas 
vezes o raio da base, a que razão cresce a altura do monte 
quando esta é igual a 8 dm? 
 
 9) A Lei de Boyle para a dilatação de um gás é PV=C, 
onde P é a pressão em Newtons por unidade quadrada de área, V 
é o volume do gás, em unidades cúbicas e C é uma constante. 
Num certo instante, a pressão é a 3000 N m/ 2 3, o volume é 5m , 
e o recipiente cresce à razão de 3 . Encontre a razão da 
variação da pressão neste momento. 
3m
min
 
 10 ) uma escada de 20m de altura apoia-se em um dique 
inclinado de 60 em relação à horizontal. Se a base da escada 
está sendo movida horizontalmente em relação ao dique à razão 
de 1 dm/seg, com que rapidez move-se a parte superior da 
escada quando a base estiver a 4m do dique? 
 
ExercíciosErro! Indicador não definido.: 
 
Aplicações da DerivadaErro! Indicador não definido., Estudo 
das variações das funções 
Erro! Indicador não definido. 
 1) Encontre os pontos críticos das funções dadas: 
 
a) f x x x x( ) = + −3 27 5
b) f x x x x x( ) = + − −4 3 24 2 12
c) f x x x( ) = −65 1512 
d) f x x( ) ( )= −2 234 
e) f x x
x
( ) =
−2 9
 
 2) Nos exercícios abaixo encontre os extremos 
absolutos da função dada e trace um esboço do gráfico no 
intervalo indicado. 
 
a) f x x( ) ; ( , ]= − −4 3 1 2 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 10 
 10
10 
b) f x
x
( ) ;[ , ]= −1 2 3 
f x x( ) ;[ , )= + − +∞3 3 
 
c) f x
x
( )
( )
;[ , ]= −
4
3
2 52 
d) f x x( ) ; ( , )= − +4 1 0 6 
e) ]5,3[;
5 se 2
5 xse 
5
2
)(
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−=
x
xxf 
f) f x x
x
( ) ;[ , ]= − −2 1 2 
 
 3) Verifique se as condições do Teorema de 
Rolle são satisfeitas para as funções abaixo; encontre 
um valor conveniente para c que ssatisfaça a conclusão 
do teorema de Rolle. 
 
a) f x x x( ) ;[ , ]= − +2 4 3 1 3
b) f x x x x( ) ;[ , ]= − − + −3 22 2 1 2
 
 4) A interpretação geométrica do teorema do 
valor médio é que para um dado c conveniente no 
intervalo aberto (a,b), a reta tangente à curva y=f(x) no 
ponto ( c, f(c) ), é paralela à reta secante que passa pelos 
pontos (a, f(a)); (b, f(b)). Nos itens abaixo, encontre um 
valor c que satisfaça a conclusão do teorema do valor 
médio e face um esboço do gráfico de f(x) no intervalo 
[a,b] e mostre as retas secante e tangente. 
 
a) f x x a b( ) ; ,= = =2 2 4
b) f x
x
a b( ) ; . ; .= − = =
2
3
3 1 6 1 
 c) f x x x a b( ) ; ,= − + = − =3 9 1 3 4
1
2
 
 5) Nos itens dabaixo, encontre os valores de x 
para os quais ocorrem extremos relativos, determine os 
intervalor onde f(x) é crescente e decrescente e trace um 
esboço do gráfico. 
 
 a) f x x x x( ) = − + −2 33 2
 b) f x x x x( ) = − − −5 35 20
 c) f x x
x
( ) = − 1 
d) f x x x( ) = −2 3 
 e) f x x x( ) ( ) ( )= − +1 12 3
 f) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
<≤−+
−<+
=
2 se 7
21 se 1
1 se 53
)( 2
xx
xx
xx
xf
 
 6) Encontre a derivada segunda no problema 
anterior. 
7) Encontre a aceleração instantânea dada a função 
sição 
 8) Nos exe ícios abaixo encontre os extremos relativos 
a funçã
a) 
− + +4 3 183 2
 
d) 
 
 
po de uma partícula: 
 s t t t( ) = −5 42 
rc
d o dada, aplicando o teste da derivada segundaquando 
possível. Se não o for, aplique o teste da derivada primeira. 
 
 123)( 2 +−= xxxf
b) f x x( ) = x x
c) 4)3()( −= xxf
f x x x( ) = +−4 412 12 
e) f x x x( ) = + 3 
 
9) Encontre os extremos absolutos da função dada, se 
a) 
4 3 28 24 
 
existir e, encontre onde o gráfico é côncavo para cima e onde é 
côncavo para baixo, e ache os pontos de inflexão, se existirem:: 
 
f x x x( ) = −3 9
b) +f x x x x( ) = −
c) f x x
x
( ) =
−2 1
 
d) 
⎩⎨
⎧
≥−
<=
0 se 
0 se 
)( 2
2
xx
xx
xf 
e) f x( ) = x
x2 1−
 
f) f x x
x
( ) =
+
2
2 1
 
 g) 
h)
⎩⎨
⎧
≥−−
<=
1 se 37+4
1 se 
)( 23
2
xxxx
xx
xf
 f x
x
( ) =
+
1
1 2
 
 i) 
10) No exercício acima trace um esboço do gráfico, 
m o au
 
Apêndice I 
 Limite Binomial fund mental: 
f x xe x( ) = − 2 
 
 
co xílio de todo o estudo deste capítulo. 
 
 
 
a
 
lim ( )
h
hh e→ + =0
1
1 
 
Apêndice II 
Erro! In finido. 
Funções o. 
 
dicador não de
EspeciaisErro! Indicador não definid
 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 11 
 11
11 
 1) Função Gau ianaErro! Indicador não 
 
A e c são constantes 
 2) Função LawrencianaErro! Indicador não 
finido
 
ss
definido.: 
f x Ae cx( ) = − 2 
 
de .: 
f x A
c x
( ) =
+ 2
 
 
Exercícios Diversos 
Erro do. 
 1) D funções: 
 
2
 
2) Encontre os pontos de inflexão das funções: 
 
a ) 
b) 
c) 
d) 
y x x x
f x x x x
g x x x
h x x x
= − +
= − +
= − −
= − +
3 2
4 3 2
2
2 3 2
3
3
3 4
1 2 2
( )
( )
( ) ( ) ( )
 
 
3) Encontre pela definição e pela regra de 
rivaçã
a)
4) Encontre a derivada das funções abaixo: 
a) 
! Indicador não defini
etermine os pontos críticos das
 
a ) 
b) 
c) 
d) 
y x x x
f x x x x
g x x x
h x x x
= − +
= − +
= − −
= − +
3 2
4 3 2
2
2 3
3
3
3 4
1 2 2
( )
( )
( ) ( ) ( )
 
 
 
 
de o apropriada, as seguintes derivadas das 
funções abaixo: 
 
 f x x x( )= −2 2 
 b) f x x x( )= −3 25
 
 
 
f x x
x
( )= −
2
92
 
b) 4f x x x x x( ) ( ) ( )= − −4 3 5 2 72 3 4 
c) f x x x( )= + + −1 1 
d) f x x x( ) ( ) ( )= − −2 3 2 2 1 21 4 
 
5) Encontre equações das retas tangentes e 
rmais
 
no à curva y x x x= + −2 43 2 que têm 
inclinação 1/2. 
 
 6) Encontre equações das retas tangentes e 
rmais
7) Encontre os extremos relativos e absolutos 
da função no intervalo [-2,3]. 
Exercícios Ti icador não definido. 
no à curva y x x= −3 2 no ponto (1,-1). 
 
 
 y x x= − −2 4 5
 
po - ProvaErro! Ind
 
 1) Discuta a continuidade da função: 
f x x
x( ) ;= + ≠3 3 
x x+ −2 6
x; =1 3 se 
 
 2) Determine se a função abaixo possui 
descontinuidade remomível ou essencial no ponto x dado. Caso 
remfor ovível a descontinuidade, defina f(a) tal que a 
descontinuidade seja removida: 
 f x x
x
a( )= − =9 4
3
22 para − 2 3
 
 3) Encontre os extremos absolutos e relativo da função s
f x x x x( )= + − +3 2 1 no intervalo [-2,1/2]. 
 4) Um fabrican o deseja fazer 
ixas abertas de pedaços de papelão de 12 cm quadrados, 
rtando
nte e decrescente. 
e é 
ncavo para
fico. 
a)
 
te de caixas de papelã
ca
co quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os 
lados. Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve 
cortar para que se tenha uma caixa cujo volume seja maior 
possível. 
 
 5) Para as funções abaixo determine: 
 
 5.1) Os extremos relativos de f. 
 
 5.2) Os intervalos onde f é cresce
 
 5.3) Onde o gráfico é côncavo para cima e ond
 baixo. cô
 
 5.4) Os pontos de inflexão. 
 
 5.5) Trace um esboço do grá
 y x x= − +4 212 36b) y x
3
2x x= − −
3
2 5 1 +
 c) y x x x= − − +3 21
2
2 2 
 
- Taxas RelacionadasProblemas - L old - pg. 225/201 
Cap
 
 
m rio reto com 3 km de larg ponto C está na mesma 
argem
. Leith
.3/4 
Exemplo 1 - Os pontos A e B estão em lados opostos de
ura. O u
m que B, mas 2 km rio abaixo. Uma companhia telefônica 
deseja estender um cabo de A até C. Se o custo por quilômetro 
do cabo é 25% maior sob água do que em terra, como deve ser 
estendido o cabo, de forma que o custo seja o menor para a 
companhia? 
 [ ]0, 2x∈ 
 x(km) (2-x) (km) 
 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 12 
 12
12 
B 
km 
 
 P C 
 
 3 
2 25 3 )) (2(C xx k xk + −= + 4
 
 2
5
4 9d +
 
 
dC k k
x x
= − 
 
2
50 0
4 9dx x
= ⇔ +
 
4k k x− = ⇔ = ± 
 
 A Logo o valor mínimo
absoluto deve estar nos extremos: 
dC
 
 
23 5(0 (2) 13; 2
4 4
C k k x km= ∴ = ) ;C=
Deve-se, portanto, estender o cabo diretamente 
de A até C. 
o: 
 
 
Exemplo 2 - Se R (m) for o alcance de um 
projétil, entã
2 2v sen θ0( ) 0 2R
g
θ = ⇔ ≤ θ ≤ π . 
v0: velo
2. θ é a medida do ângulo que a arma 
zontal. Ache o valor de θ para q o 
 tanque a uma taxa de 2m3/min. 
om que vel
 relação ao dique 
 razão d
cidade inicial em m/s e g é a aceleração da 
gravidade em m/s
faz com a hori ue 
alcance seja máximo. 
 
 Exemplo 3 - Um tanque tem a forma de um 
cone invertido com 16 m de altura e uma base de 4 m 
de raio. A água flui no
C ocidade o nível da água estará se elevando 
quando sua profundidade for de 5m? 
 
Exemplo 4 - Uma escada de 20m de altura 
apoia-se em uma parede vertical. Se a base da escada 
está sendo movida horizontalmente em
à e 1 dm/seg, com que rapidez move-se a parte 
superior da escada quando a base estiver a 4m do 
dique? 
 
Fórmulas de Derivação 
 
x
xfxxfxf
xfxfxf
x ∆
−∆+=′
−
xx ∆
x ∆+′
−→∆−
+
)()(lim)( e
 )()((
11
0
1
1 = +→∆lim)
1
0
1
x
xfxxfxfxfxf
x ∆
−∆+=′=′=′ →∆−+
)()(lim)()()(
011
 
 
0
0
0
)()(
lim)(
0 xx
xfxf
xf
xx −
−=′ → 
 
uxf nn ′=′⇒= −1)()( unuxf 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )h x f x g x h x f x g x(= ± ⇒ ′ = ′ ± ′ 
 
f x u x v x f x u v v u( ) ( ). ( ) ( )= ⇒ ′ = ′ + ′ 
 
f x u x
v x
f x u v v u
v
( ) ( )
( )
( )= ⇒ ′ = ′ − ′2 
 
f x a f x a a f x a f x a a du
dx
x x u( ) ( ) ln ( ) ( ) u)= ⇒ ′ = = ⇒ ′ = ; (ln 
 
f x x f x
x
f x u f x
u
du
dx
( ) ln ( ) ( ) ln ( )= ⇒ ′ = = ⇒ ′ =1 1 ; 
 
dx
du
ua
xf
uxf
xa
xfxxf aa
1
ln
1)(
log)( ; 1
ln
1)(log)(
=′
⇒==′⇒=
 
 
dx
duuxf
usenxfxxfsenxxf
cos)(
)()( ; cos)()(
=′⇒
==′⇒=
 
 
dx
dusenuxf
uxfsenxxfxxf
−=′⇒
=−=′⇒=
)(
)cos()( ; )(cos)(
 
 
 
 
 
])(ln)([)()( )()( ′=′⇒= xfxgxfyxfy xgxg 
 
21 u
uyarcsenuy
−
′=′⇒= 
 
 
 
21
arccos
u
uyuy
−
′−=′⇒= 
 
21 u
uyarctguy +
′=′⇒= 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 13 
 13
13 
 
21 u
uyarcctguy +
′−=′⇒= 
 
12
sec
−
′=′⇒=
uu
uyuarcy 
 
12
sec
−
′−=′⇒=
uu
uyuarccy 
 
 
Apêndice III
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algumas demonstrações 
 
 Derivadas 
a) Função exponencial de base e: 
dx
duexfexf uu =′⇒= )()( 
 
b) Função exponencial de base qualquer b 
 
dx
duaaxfaxf uu )(ln)()( =′⇒= 
 
Demonstração 1) 
 
x
aa
x
xfxxfxf
xxx
xx ∆
−=∆
−∆+=′
∆+
→∆→∆ 00 lim
)()(lim)( 
xx ∆→∆ 0
Chamando de: 
aaxf
x
x −=′
∆ 1lim)( (*) 
Então: 
1−= ∆xau 
an
uxua x
l
)1ln(1 +=∆⇒+=∆ 
Note que: 
0 →⇒→ 0u∆x 
Substituindo em os: (*) terem
 
)1ln(
limln
ln
)1ln(
lim)(
00 +=+=′ →→ u
uaa
a
u
uaxf
u
x
u
x 
u
x
uuu
axf 10
)1ln(
1
)ln(
ln)(
+
=′
u
x
u
aaa
0
limln
1
1lim = →→
1+
})1(limln{
1ln)( 1
0
u
u
x
u
aaxf
+
=′
→
 
 
Como: eu u
u
=+→
1
0
)1(lim 
aa
e
aaxf xx ln
ln
1ln)( ==′ 
Veja que se a=e⇔ xexf =′ )( 
 
 
c) Função logarítmica neperiana 
 
dx
duexfexf uu =′⇒= )()( 
 
f x x f x
x
f x u f x
u
du
dx
( ) ln ( ) ( ) ln ( )= ⇒ ′ = = ⇒ ′ =1 1 ; 
 
 
d) Função logarítmica de base a: 
dxualn
duxf
uxf
xa
xfxxf aa
11)(
log)( ; 11)(log)(
=′
⇒==′⇒=
ln 
Demonstração 2) 
x
xLogxxLog
x
xfxxfxf aa
xx ∆
−∆+=∆
−∆+=′ →∆→∆
)(
lim)()(lim)(
00
 
 
 
 
 Capítulo 2 - O Limite de uma função Sartori, C. S - 14 
 14
14 
x
x
xxLog
xf
a
x ∆
∆+
=′ →∆
)(
lim)(
0
 
x
x
xLog
xf
a ⎢⎣= lim)
x ∆
⎥⎦
⎤⎡
∆+′
→∆
1
(
0
 
 Chamando de: 
∞→∆⇒→⇒∆= xu
x
xu 0 
 
⎥⎤⎦⎢⎣
⎡ ∆+∆=′ →∆ x
xLog
x
xf ax 1
1lim)(
0
 
x
ax x
xLogxf
∆
→∆ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∆+=′
1
0
1lim)( 
Substituindo em termos de u teremos: 
[ ]uxau uLogxf
1
1lim)( +=′ ∞→ 
[ ] xuau uLogxf
1
1
1lim)( ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=′ ∞→ 
Aplicando a propriedade do logaritmo temos: 
[ ]uau uLogxxf
1
1lim1)( +=′ ∞→ 
 
[ ] ⎥⎦⎤⎡
11
⎢⎣ +=′ ∞→ uua uLogxxf 1lim)( 
eLog
x
xf a
1)( =′ 
 
Demonstração 3
 
) 
Derivada de f(x) = senx 
x
xfxxfxf
x ∆
−∆+=′ →∆
)()lim)(
0
(
x
senxxxsenxf
x ∆
−∆+=′ →∆
)(lim)(
0
 
enxsenxxxsen coscos)( ∆+ xxs∆=∆+ 
Substituindo e colocando em evidência teremos: 
x
xxsenxsenxxf
x
∆+
∆
−∆=′ →∆
cos)1(coslim)(
0
 
x
xsenx
x
xsenxxf
xx ∆
∆+∆′ →∆→∆ 00 limcos)( 
Multiplicando e dividindo o primeiro termo por 
cos∆x+1 
−∆= 1coslim
( )
( ) )1cos1cos
1cos1coslim)(
0
x
x
x
x
xsenxxf
x
++∆
+∆
∆
−∆=′ →∆ (
( ) )cos1cos
11coslim)(
2
0
x
xx
xsenxxf
x
++∆∆
−∆=′ →∆ 1(
( ) xxx
xsensenxxf
x
cos
1cos
1lim)(
2
0
++∆∆
∆−=′ →∆ 
( ) xx
xsen
x
xsensenxxf
xx
cos
1cos
limlim)(
00
++∆
∆
∆
∆−=′ →∆→∆ 
( ) xsenxxf cos10cos
0)1()( ++−=′ 
( ) xsenxxf cos11
0)1()( ++−=′ 
xxf cos)( +=′ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Derivada de f(x) = senx