Revisão

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CAMPUS DE JOINVILLE
CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE
Prof. Jeferson Zappelini Petry
REVISA˜O 2a PROVA DE A´LGEBRA LINEAR
1) Verifique se as transformac¸o˜es abaixo sa˜o lineares.
a) T : R4 → R3 T (x, y, z, t) = (x− y, x+ y, x+ y + z + t);
b) T : M(2, 2)→ R2 T (A) = (detA, detA2)
2) Seja T : R2 → R2 uma transformac¸a˜o linear que admite autovalores λ1 = 2 e λ2 = 0
associados, respectivamente, aos autovetores v1 = (1, 1) e v2 = (1,−1). Determine T . Verifique
se T e´ injetora.
3) Considere:
[I]AB =
(
1 −2
−4 3
)
e B = {(1, 1), (2,−3)}
determine a base A.
4) Dado o operador T : R3 → R3 definido por
T (x, y, z) = (x+ 2y + z, 2x+ 3z, z + x+ 3y)
Determine:
a) T e´ ortogonal ou sime´trica?
b) Matriz transformac¸a˜o da base canonica para a base A = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}
5) Determine o nu´cleo e a imagem da transformac¸a˜o a seguir, uma base para o nu´cleo e para
a imagem, e verifique se e´ injetora, sobrejetora ou isomorfismo.
T : R3 → R4 T (x, y, z) = (x+ y, x+ y
2
, z + 2x+ 2y, x)
6) Determine a matriz diagonalizadora P e a matriz diagonal D = P−1AP .
a) A =
(
cosθ senθ
senθ −cosθ
)
b) A =
3 0 11 1 0
0 0 6
