Torção

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
ENGENHARIA CIVIL
Prof. Sandro Kakuda
Itajaí, 17 de abril de 2017.
AULA 5
SUMÁRIO
- TORÇÃO
- Introdução;
- Análise Preliminar das Tensões em um Eixo;
- Deformação nos Eixos Circulares;
- Tensões no Regime Elástico;
- Corpo de Prova;
- Ângulo de Torção;
- Eixos Maciços não Circulares;
- Tubos de Parede Fina com Seções Transversais Fechadas;
- Exercícios.
TORÇÃO
Introdução
- Especificamente, estudaremos as tensões e deformações produzidas em peças
de seção transversal circular, sujeitas à ação de conjugados que tendem a
torcer essas peças.
- Tais conjugados são chamados momentos de torção, momento torcionais ou
torque, T e T’. Esses conjugados têm a mesma intensidade T e sentidos
opostos. São então grandezas vetoriais e podem ser representados de duas
maneiras: setas curvas ou vetores conjugados.
TORÇÃO
Análise Preliminar das Tensões em um Eixo
- Consideremos o eixo AB sujeito à ação dos momentos de torção T e T’, iguais e
de sentidos opostos, nos pontos A e B. Cortamos o eixo por uma seção
perpendicular ao eixo longitudinal em um ponto qualquer C.
- O diagrama de corpo livre da parte BC deve incluir as forças elementares de
cisalhamento , perpendiculares ao raio do eixo, que a parte AC exerce sobre
a parte BC quando o eixo é torcido.
- Vamos denominar de a distância de cada
força elementar ao centro da seção
circular. Para expressar que a soma dos
momentos das forças em relação ao
centro tem a mesma intensidade do torque
T, escrevemos:
Lembrando que 
TORÇÃO
Análise Preliminar das Tensões em um Eixo
- A existência dessas tensões pode ser demonstrada ao analisarmos um “eixo”
constituído de lâminas finas, ligadas à extremidades do eixo por pinos presos a
discos. Podemos fazer várias marcas em duas lâminas contíguas, e aplicar
momentos de torção de mesma intensidade e sentidos contrários nas
extremidades da peça.
- Tomemos um pequeno elemento da barra
circular. Sabemos que o momento de
torção produz tensões de cisalhamento
nas faces perpendiculares ao eixo da
barra circular.
TORÇÃO
Deformação nos Eixos Circulares
- Devemos mostrar uma propriedade importante dos eixos circulares: quando
um eixo circular fica submetido à torção, todas as seções transversais se
mantêm planas e conservam sua forma.
- Em outras palavras, enquanto as várias
seções transversais, ao longo do eixo,
apresentam ângulos de torção diferentes,
cada seção gira como uma placa rígida.
- Essa propriedade é característica de
eixos circulares, maciços ou vazados; ela
não se apresenta em peças que têm
seção transversal diferente da circular.
Por exemplo, quando uma barra
quadrada é submetida a momento de
torção, suas várias seções transversais
não se mantêm planas, perdendo a
forma inicial.
TORÇÃO
Deformação nos Eixos Circulares
- Tomando agora um eixo circular de comprimento L e raio c, que foi torcido em
um ângulo de torção , passamos à determinação da distribuição de tensões
de cisalhamento na seção transversal.
- Após a aplicação de um momento de torção o
elemento se transforma em um losango. Sabendo que
a deformação de cisalhamento em um certo
elemento é medida pela variação do ângulo formado
pelos lados do elemento.
- Dessas observações concluímos que a
deformação de cisalhamento em uma
barra circular varia linearmente com a
distância ao eixo da barra.
- A deformação de cisalhamento
máxima na superfície da barra circular,
onde , pode ser expressa:
௠௔௫
௠௔௫
TORÇÃO
Tensões no Regime Elástico
- Vamos considerar agora o caso em que o momento de torção T tem um valor
tal que as tensões no material se mantêm abaixo da tensão de cisalhamento de
escoamento ௘. Nesse caso, as tensões no material permanecem abaixo do
limite de proporcionalidade e do limite de elasticidade. Podemos aplicar a Lei
de Hooke e sabemos que não haverá deformação permanente.
Onde é o módulo de elasticidade transversal do material
௠௔௫ ௠௔௫ ௠௔௫
- A tensão de cisalhamento na barra circular varia
linearmente com a distância do eixo da barra.
TORÇÃO
Tensões no Regime Elástico
- Tensões de cisalhamento em um eixo circular vazado, de raio interno ଵ, e raio
externo ଶ, temos:
௠௜௡
ଵ
ଶ
௠௔௫
Lembrando que 
௠௔௫ ଶ ௠௔௫
Onde é o momento de inércia polar da seção transversal.
௠௔௫
para uma distância qualquer
do eixo da barra circular,
temos:
TORÇÃO
Corpo de Prova
- Os materiais dúcteis geralmente se rompem por cisalhamento. Desse modo,
um corpo de prova feito de material dúctil, quando sujeito a torção, se quebra
em um plano perpendicular ao eixo longitudinal.
- O aspecto da fratura dos corpos de prova submetidos
ao ensaio de torção é o inverso do aspecto observado
no ensaio de tração.
TORÇÃO
Exercício 1
Um eixo circular vazado de aço tem comprimento L = 1,5 m e diâmetro interno e
externo respectivamente de 40 a 60 mm. Qual o maior momento de torção que
pode ser aplicado ao eixo, para que as tensões de cisalhamento não excedam
120 MPa? Qual é o valor mínimo da tensão de cisalhamento para esse caso?
O maior momento de torção que pode ser aplicado no eixo é de 4,08 kNm.
O valor mínimo da tensão de cisalhamento no diâmetro interno é de 80 MPa.
TORÇÃO
Exercício 2
O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço galvanizado interligadas
por uma redução em B. O tubo menor tem diâmetro externo de 18,75 mm e
diâmetro interno de 17 mm, enquanto o tubo maior tem diâmetro externo de 25
mm e diâmetro interno de 21,5 mm. Se o tubo estiver firmemente preso à parede
em C, determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em cada seção
do tubo quando o conjugado for aplicado ao cabo da chave.
150 ݉݉
200 ݉݉
75 ܰ
75 ܰ
A tensão de cisalhamento máxima da seção AB é de 62,55 MPa e na seção BC é de 18,89 MPa
TORÇÃO
Ângulo de Torção
- Às vezes, o projeto de um eixo depende de restrições à quantidade de rotação
ou torção que pode ocorrer quando o eixo é submetido a um torque. Além do
mais, saber calcular o ângulo de torção para um eixo é importante quando
analisamos as reações em eixos estaticamente indeterminados.
- O resultado é que um elemento de material
localizado em um raio arbitrário no
interior do disco sofrerá uma deformação
por cisalhamento . Os valores de e
são relacionados por:
- Visto que a lei de Hooke se aplica e que a tensão de cisalhamento pode
ser expressa em termos do torque:
௅
଴
TORÇÃO
Ângulo de Torção
- Na prática de engenharia, normalmente, o material é homogêneo, de modo
que G é constante e o resultado é expresso por:
é o ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra 
extremidade, medidos em radianos;
T é o torque interno na posição arbitrária x, determinado pelo método 
das seções e pela equação de equilíbrio;
G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento do material;
J é o momento polar de inércia do eixo;
L é o comprimento de referência.
TORÇÃO
Ângulo de Torção
- O ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra é
determinado pela soma vetorial dos ângulos de torção de cada segmento. Para
esse caso, temos:
Convenção de Sinais
- Para aplicar a equação acima, temos de desenvolver uma convenção de sinal
para o torque interno e para o ângulo de torção de uma extremidade do eixo
em relação à outra extremidade.
- Para tal, usaremos a regra da mão
direita, pela qual o torque e o
ângulo serão positivos desde que
o polegar esteja direcionado para
fora do eixo quando os dedos o
envolverem para dar a tendência
da rotação.
TORÇÃO
Exercício 3
Para o exercício anterior, se o módulo de elasticidade ao cisalhamento for de
determinar o ângulo de torção no ponto A.
150 ݉݉
200 ݉݉
75 ܰ
75 ܰ
O ângulo de torção no ponto A é de 6,40°.
TORÇÃO
Exercício 4
As engrenagens acopladas à extremidade fixa do eixo de aço estão sujeitas aostorques mostrados. Se o módulo de elasticidade ao cisalhamento for 80 GPa e o
eixo tiver diâmetro de 14 mm, determine o deslocamento do dente P na
engrenagem A. O eixo gira livremente dentro do mancal em B.
O deslocamento do dente P na engrenagem A é de 21,2 mm.
TORÇÃO
Exercício 5
O eixo de aço A-36 é composto pelos tubos AB e CD e uma seção
maciça BC. Está apoiado em mancais lisos que permitem que ele gire livremente.
Se as engrenagens, presas às extremidades do eixo, forem submetidas a torques
de 85 Nm, determine o ângulo de torção da engrenagem A em relação à
engrenagem D. Os tubos têm diâmetro externo de 30 mm e diâmetro interno de
20 mm. A seção maciça tem diâmetro de 40 mm.
O ângulo de torção da engrenagem A é de 0,879°
TORÇÃO
Eixos Maciços não Circulares
- Eixos cujas seções transversais não são circulares, não são simétricos em
relação às respectivas linhas centrais e, como a tensão de cisalhamento é
distribuída de um modo muito complexo nas seções transversais, elas ficarão
abauladas ou entortarão quando o eixo sofrer torção.
TORÇÃO
Eixos Maciços não Circulares
- Os resultados da análise para seções transversais quadradas, juntamente com
outros resultados da teoria da elasticidade para eixos com seções transversais
triangulares e elípticas são representados na tabela abaixo:
- Em todos os casos, a tensão de cisalhamento
máxima ocorre em um ponto na borda da
seção transversal mais próxima da linha
central do eixo.
- Esses pontos mais
próximos da linha
central do eixo são
indicados pelos
pontos em negrito
da tabela.
ܮ
TORÇÃO
Exercício 6
O eixo de alumínio 6061-T6 mostrado na figura tem área de seção
transversal na forma de um triângulo equilátero. Determine o maior torque T que
pode ser aplicado à extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível
for ௔ௗ௠ e o ângulo de torção na extremidade estiver restrito a
௔ௗ௠
O torque máximo está limitado ao ângulo de torção, portanto o torque máximo é de 24,12 Nm.
TORÇÃO
Tubos de Parede Fina com Seções Transversais Fechadas
- Tubos de parede fina de forma não circular são usados frequentemente para
construir estruturas leves como as utilizadas em aviões. Em algumas aplicações,
elas podem ser submetidas a um carregamento de torção.
- Como as paredes são finas, poderemos obter uma solução aproximada para a
tensão de cisalhamento considerando que essa tensão é uniformemente
distribuída pela espessura do tubo.
- Em outras palavras, poderemos determinar a tensão de cisalhamento média
no tubo em qualquer ponto dado.
- A tensão de cisalhamento média é dada pela expressão: ௠௘ௗ
௠
௠௘ௗୀ tensão de cisalhamento média que age sobre a espessura do tubo;
torque interno resultante na seção transversal;
espessura do tubo no local onde ௠௘ௗ deve ser determinada;
௠ área média contida no contorno da linha
central da espessura do tubo.
TORÇÃO
Tubos de Parede Fina com Seções Transversais Fechadas
- O ângulo de torção de um tubo de parede fina de comprimento L pode ser
determinado pelos métodos de energia. Se o material se comporta de modo
linear elástico e G for o módulo de cisalhamento, então esse ângulo , dado
em radianos, pode ser expresso como:
௠
ଶ
Nessa expressão, a integração deve ser executada em torno da área de 
seção transversal do tubo.
TORÇÃO
Exercício 7
Um tubo quadrado de alumínio tem as dimensões mostradas na figura. Determine
a tensão de cisalhamento médio no tubo no ponto A se ele for submetido a um
torque de . Calcule também o ângulo de torção devido a esse
carregamento. Considere ௔௟
50 ݉݉
50 ݉݉
10 ݉݉
85 ܰ݉
1,5 ݉
A tensão de cisalhamento média no ponto A é de 1,7 MPa e o ângulo de torção de ૜, ૢ૛࢞૚૙ି૜࢘ࢇࢊ.
TORÇÃO
Exercício 8
Um tubo fino é composto por três chapas de aço A-36 de 5 mm de
espessura, de tal modo que sua seção transversal é triangular. Determine o torque
máximo T ao qual ele pode ser submetido se a tensão de cisalhamento admissível
for ௔ௗ௠ e a torção no tubo estiver restrita a não mais do que
O torque máximo admissível é de 499 Nm devido à restrição do ângulo de torção.