06 Permeabilidade e Percolacao 2009 10 Parte II

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Permeabilidade e Percolação
Objectivos da aula
� Noção dos valores mais usuais do coeficiente de
permeabilidade (k) para cada tipo de solo;
� Conhecer diferentes formas de estimar k;
� Potencialidades dos métodos de avaliação de k;
� Noção de coef. de permeabilidade equivalente e
efeitos de camadas com permeabilidade extremas
na percolação através de maciços estratificados.
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Introdução
� O coeficiente de permeabilidade de um solo é
um dos parâmetros geotécnicos mais variável,
tendo importância fundamental nas características
do escoamento;
� O tipo de solo fornece uma ideia qualitativa do
intervalo de valores possíveis de k, mas uma
estimativa precisa requer avaliação experimental
(camadas finas podem ter efeitos significativos na
permeabilidade de um depósito!)
Estimativa do Coeficiente de 
Permeabilidade
� O coeficiente de permeabilidade de um solo
pode ser estimado, qualitativamente com base em:
- intervalos qualitativos definidos em função
do tipo de solo;
- expressões semiempíricas, as quais são
aplicáveis essencialmente a solos granulares
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� k tem os seguintes intervalos mais comuns:
Tipo de solo
K (m/s) para
solos 
sedimentares
Grau de permeabilidade 
(Terzaghi & Peck, 1967)
Cascalho 
limpo > 10
-2
Alto
Areia Grossa 10-2 a 10-3
Areia Média 10-3 a 10-4 MédioAreia Fina 10-4 a 10-5
Areia Siltosa 10-5 a 10-6 Baixo
Siltes 10-6 a 10-8
Muito baixo
Argilas 10-8 a 10-10 Quase Impermeável
� Existem algumas expressões semiempíricas que
permitem estimar o coef. de permeabilidade,
sobretudo em solos granulares. Hazen (1930)
propôs uma das mais conhecidas:
Outros autores sugerem valores de C mais baixos
e bastante variáveis: 100 a 4200, com média de
1600 (Lambe & Whitman, 1979)
10000;,)/( 10210 ≈×= CmemDcomDCsmk
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� Esta incerteza é típica de expressões
semiempíricas, sendo agravada neste caso pela
variabilidade inerente ao coef. de permeabilidade
(a ordem de grandeza varia imenso…);
� A expressão apresentada não é válida para solos
argilosos! (recorde-se que nestes as propriedades
dependem mais da composição química das
partículas menores do que da sua dimensão!).
Avaliação experimental de k- ensaios 
de campo (in situ)
� Os ensaios de bombagem em poços, indicados
para maciços de permeabilidade média a alta, são
os mais conhecidos;
� Tais ensaios consistem em bombear um Q ≈ c.te
de um poço aberto na camada a caracterizar e
medir a altura piezométrica em tubos instalados na
envolvente do furo após ser instalada um
escoamento ≈ permanente.
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� A avaliação de k baseia-se nas seguintes
hipóteses (hipóteses de Dupuit):
- o gradiente hidráulico é igual à inclinação
da superfície livre do escoamento;
- o gradiente hidráulico é constante em
profundidade.
� As soluções variam consoante exista ou não uma
camada superficial de baixa permeabilidade.
� Se o escoamento ocorrer numa camada
homogénea, sendo dito não confinado:
Q
hh
r
r
k ×
−×






= )(
ln
2
1
2
2
1
2
pi
6
� Se o escoamento ocorrer num estrato confinado:
Q
hhd
r
r
k ×
−×






= )(2
ln
12
1
2
pi
Avaliação experimental de k- ensaios 
laboratoriais
� 3 tipos de ensaios são utilizados em laboratório
para avaliar o coef. de permebilidade:
- ensaio c/ permeâmetro de carga constante;
- ensaio c/ permeâmetro de carga variável;
- ensaio edométrico.
� O ensaio c/ permeâmetro de carga c.te aplica-se
a qq solo, usando directamente a lei de Darcy;
7
� O permeâmetro de
carga variável é usado
para solos com valores
de k intermédios (siltes e
areais finas), sendo k
obtido por:








−
×=
final
inicial
inicialfinal h
h
tt
L
S
sk ln
� O ensaio edométrico (a analisar no próximo
Capítulo), é um dos ensaios mais populares para
avaliar (de forma indirecta…) a permeabilidade de
solos com muito baixa permeabilidade (argilas,
p.ex.).
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Avaliação experimental de k-
Comentários gerais
� A caracterização rigorosa da permeabilidade de
um maciço é uma tarefa difícil, dadas as incertezas
envolvidas e a variabilidade de k…;
� Os ensaios de campo têm como maior vantagem
estimar k em condições próximas das reais
(envolvem grandes volumes de solo capazes de
recrear a estratificação e macrofábrica dos solos!)
� Os ensaios de campo tendem a caracterizar
sobretudo a permeabilidade horizontal do maciço
(esta tende a ser maior, mas pode não ser a mais
relevante nalguns casos..)
� Os ensaios de laboratório trabalham com
amostras pequenas e em geral alteradas (baixa
representatividade!)… mas o controle sobre as
condições de ensaio permite por vezes avaliar o
efeito da anisotropia e da tensão efectiva...
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Anisotropia de permeabilidade de 
maciços
� Os solos exibem em geral anisotropia de
permeabilidade, devido sobretudo à disposição
preferencial das partículas quando sujeitos ao
peso dos sedimentos superiores…;
� A anisotropia de permeabilidade de maciços
estratificados tende a superar a do solo presente
em cada camada, devido à própria estratificação!
� A anisotropia de um maciço entende-se facil/
com base no conceito de coef. de permeabilidade
equivalente.
� O k equivalente (khe ou kve, consoante direcção!)
é o coef. de permeabilidade que teria um maciço
homogéneo de espessura igual à soma das
espessuras dos vários estratos que, para o mesmo
gradiente hidráulico, deixaria passar igual caudal
nessa direcção.
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� Conforme soluções anterior/ seguidas, obtém-se:
∑
∑
=
=
=
n
j
j
n
j
jhj
e
h
d
dk
k
1
1
∑
∑
=
=
=
n
j vj
j
n
j
j
e
v
k
d
d
k
1
1
Exercício de Aplicação
� Considere um maciço constituído por 3 camadas
isotrópicas com 1 m de espessura, tendo a
camada intermédia um coef. de permeabilidade de
1×10-10 m/s e as restantes um coef. de
permeabilidade de 1×10-2 m/s . Determine:
a) o coeficiente de permeabilidade vertical
equivalente relativo a um maciço homogéneo;
11
Exercício de Aplicação (cont.)
b) o coeficiente de permeabilidade horizontal
equivalente relativo a um maciço homogéneo;
c) conclua sobre a importância de cada camada no
que se refere à permeabilidade do maciço relativa/
a percolação nas direcções vertical e horizontal;
d) quais as implicações para a avaliação do
coeficiente de permeabilidade de maciços
naturais?
Objectivos da aula
� Mostrar casos reais de percolação bidimensional;
� Apresentar formulação matemática de problemas
de escoamento bidimensional em meios porosos;
� Ilustrar o traçado de redes de percolação para
resolução do problemas de percolação 2-D ;
� Introduzir o uso das redes de percolação para
caracterizar o problema de percolação 2-D.
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Introdução
� Várias construções humanas induzem uma
percolação bidimensional em maciços terrosos.
� Em escoamentos bidimensionais (i varia de
ponto para ponto no mesmo solo), as caracte-
rísticas da percolação repetem-se em planos
sucessivos paralelos ao plano do escoamento.
� A solução de escoamentos 2-D (mais complexos
que os 1-D) pode ser obtida num único plano.
� Exemplos de escoamentos aprox. bidimensionais
determinados por construções humanas:
- barragens- percolação pode ocorrer só pela
fundação, em barragens de betão, mas também
pelo corpo da barragem, se esta for de terra);
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� Exemplos de escoamentos aprox. bidimensionais
determinados por construções humanas:
- escavações de grande desenvolvimento- a
percolação dá-se do exterior para o interior, pela
base da escavação (mantida seca por bombagem).
NF NF
NF
Q Q
Formulação Matemática do Problema
� Considere-se um elemento de solo, de volume
dx×dy×dz sujeito a um escoamento bidimensional:
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� O caudal de água que entrano elemento é
enquanto o que sai vale
e como estes têm de ser iguais, pois as partículas
de solo e o fluido são ambos ≈ incompressíveis:
dydx vdy dzv zx ××+××
dydx
z
v
v dy dz
x
v
v zz
x
x ××





++××





+ dzdx δ
δ
δ
δ
0
z
v
 
x
v0dzdydx
z
v
 dzdydx
x
v zxzx
=+⇒=×××+××× δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
� A lei de Darcy, por seu lado, estabelece que, se o
solo exibir isotropia de permeabilidade (k=kh=kv):
PS- o sinal negativo introduzido torna a expressão
matematicamente correcta, pois a carga hidráulica
(h) diminui no sentido da velocidade.







−=
−=
z
h
v
x
h
v
z
x
δ
δ
δ
δ
k
k
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� Considere-se uma função φ, a designar por
função de potencial hidráulico, dada por:
em que C é uma constante dependente das
condições particulares do problema (condições de
fronteira). Derivando a função relativa/ a x e a z, as
velocidades podem ser escritas como:
Czxhkzx +×−= ),(),(φ







=
=
z
v
x
v
z
x
δ
δφ
δ
δφ
� Assim, a equação de continuidade pode ser
reescrita como:
cuja forma é a da Equação de Laplace. Esta
equação rege o escoamento 2-D de um fluido
incompressível através de um meio poroso
incompressível com isotropia de permeabilidade.
Esta equação rege outros fenómenos físicos
(condução de calor, potencial eléctrico, etc)
0
z
 
x
0
z
v
 
x
v
2
2
2
2
zx
=+=>=+
δ
φδ
δ
φδ
δ
δ
δ
δ
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� Para um valor constante de φ, φ1 por exemplo:
define-se uma curva no plano (x,z) que contém
pontos de igual carga hidráulica.
Este tipo de curvas designa-se por equipotencial
(pois apresentam valor constante para a função
potencial)
( ) teckCzxhCzxhk .),(),( 11 =−=⇒+×−= φφ
� Se for agora considerada uma função ψ tal que:
pode concluir-se que:
o que assume também a forma da eq. de Laplace.







−=
=
⇒







−==
==
2
22
2
22
z
x
xxz
zzx
xz
v
zx
v
δ
ψδ
δδ
φδ
δ
ψδ
δδ
φδ
δ
δψ
δ
δφ
δ
δψ
δ
δφ
0
zxxz 2
2
2
2
2
2
2
2
=+⇒−=
δ
ψδ
δ
ψδ
δ
ψδ
δ
ψδ
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� Para um valor constante de ψ, ψ1 por exemplo, a
derivada de ψ será nula, ou seja:
a qual define uma curva no plano (x,z) tal que a
sua tangente tem a direcção da velocidade. Ou
seja, os pontos para os quais ψ é constante
definem uma linha de corrente.
( )
x
z
v
v
dx
dzdzdxd =−=⇒=×+×=
=
z
x0
zx1
δ
δψ
δ
δψ
δ
δψ
δ
δψψ ψψ
� Se raciocínio idêntico for aplicado à função
potencial, φ, considerando que tem um valor
constante φ1 por exemplo, obtêm-se:
=> a tangente a uma linha equipotencial tem
direcção perpendicular às linhas de corrente, dada
pela direcção da velocidade de escoamento (em
solos com isotropia de permeabilidade: kh=kv=k)
z
x
v
v
dx
dzdzdxd −=−=⇒=×+×=
z
x0
zx
δ
δφ
δ
δφ
δ
δφ
δ
δφφ
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Traçado de redes de percolação (kh=kv)
� Uma rede de percolação é um conjunto de linhas
de corrente e de linhas equipotenciais que formam
uma solução gráfica adequada para o problema de
percolação bidimensional;
� Uma rede de percolação tem de respeitar:
- a regra da ortogonalidade entre LC e LE;
- condições de fronteira do problema.
� As condições de fronteira permitem a integração
da equação de Laplace nas condições particulares
relativas ao problema em questão.
� Numa rede de percolação, que é a solução
gráfica aproximada para o problema, as condições
de fronteira definem a sua forma correcta.
� A solução da Eq. de Laplace pode ser obtida por
qualquer uma das formas (funções φ ou ψ), já que
basta obter uma família de curvas para ter a outra.
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� Tipos de condições-fronteira possíveis:
- fronteira impermeável: é nulo o caudal que
atravessa a fronteira, pelo que esta é uma linha de
corrente;
- fronteira de entrada e saída de água no maciço,
ao longo das quais é constante a carga hidráulica,
i.e., são linhas equipotenciais;
- superfície livre de escoamentos não confinados
(linha de saturação)- linha de corrente especial.
� A linha de saturação, ou superfície livre, é uma
linha de corrente (ψ é constante) que separa a
zona saturada da não saturada do maciço e tal
que:
- a pressão em cada ponto é igual à pressão
atmosférica (hw= 0).
� Assim, a função potencial na superfície livre vale:
teSL
SL
SL
SL czkCzk .)0( =×+⇒++×−= φφ
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ou seja, o potencial varia linearmente com a cota
geométrica=> na sup. livre, a distância na vertical
(∆z) entre equipotenciais relativas a igual queda de
potencial (∆φ) é c.te (soluções para as traçar…)
- Ex: quais as condições de fronteira neste caso?
� Regras gerais para traçar redes de percolação:
a) identificar as fronteiras definidas por linhas
equipotenciais e de corrente; prever a superfície livre
em escoamentos não confinados (mét. analíticos,
programas de cálculo…);
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� Regras gerais para traçar redes de percolação:
b) traçar algumas linhas de corrente, iniciando pela
região onde a velocidade é máxima (requer alguma
sensibilidade prévia…):
Nota- respeitar regra
da ortogonalidade: ex.
na entrada e na saída
(Porquê?)
� Regras gerais para traçar redes de percolação:
c) acrescentar novas linhas equipotenciais, as quais
têm de ser perpendiculares às linhas de corrente em
qualquer ponto:
22
� Regras gerais para traçar redes de percolação:
d) repetir os passos anteriores até atingir uma rede
“adequada”. Como se verá na próxima aula, o uso
da rede de percolação é muito facilitado se os
elementos forem todos
equidimensionais:
Uso da rede de percolação
� A rede de percolação permite caracterizar total/ o
escoamento, permitindo calcular (próxima aula):
- o caudal total percolado pelo maciço;
- o gradiente hidráulico em cada ponto;
- a perda de carga entre dois pontos;
- a tensão neutra num ponto (e a tensão
efectiva, sendo trivial o cálculo da tensão total).