Função de Transferência

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EGCAS, EGMS e EGPS | Análise, Modelagem e Controle | 2017_1 
Função de Transferência 
MODELAGEM NA FREQUÊNCIA, EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS 
Foto: Engenharia de Software na Prática 
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2. Modelagem no Domínio da Frequência 
Objetivos da Modelagem no domínio da frequência: 
Rever a transformada de Laplace; Função de transferência; 
Próximo passo no curso: desenvolver modelos a partir de diagramas de sistemas físicos. 
Dois métodos: (1) funções de transferência no domínio da freqüência e (2) equações de estado no domínio 
do tempo. 
Queremos encontrar o que colocar dentro das caixas marcadas “sistema” e “subsistema” na figura a seguir. 
 
Figura 1 - a. Representação em diagrama de blocos de um sistema; b. representação em diagrama de blocos 
de uma interconexão de subsistemas (NISE, 2002). 
2.1. Transformadas de Laplace 
Como já vimos anteriormente. Definição: 
 
 
em que s é uma variável complexa. F(s) é chamada de transformada de Laplace de f (t). 
A Tabela 2.1 mostra alguns exemplos de transformadas obtidas a partir da definição. A Tabela 2.2 mostra 
uma série de propriedades bastante importantes. 
Exercícios 
1. (NISE, 2002; p. 29) Obter a transformada de Laplace de 
 
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2. (NISE, 2002; p. 30) Obter a transformada de Laplace inversa de: 
 
Ou seja, encontre f(t)1 cuja transformada de Laplace seja F(s)1 . 
 
2.2. Expansão em frações parciais 
 
Para obter a transformada inversa de uma função complicada, podemos converter a função em uma soma 
de parcelas mais simples para cada uma das quais se conhece a transformada de Laplace. 
O resultado é chamado de expansão em frações parciais. 
Caso 1: Raízes do denominador de F(s) reais e distintas 
Por exemplo, 
 
Neste caso, o denominador tem duas raízes reais e distintas (-1 e -2). Para obtermos a transformada 
inversa, o procedimento é o seguinte: 
Decompomos F(s) numa soma de frações com tantas parcelas quantas forem as raízes do denominador: 
 
As constantes 1 K e 2 K são usualmente chamas de resíduos. Para obter 1 K , substitui-se a raiz 
correspondente ( s = −1) em F(s) sem o termo (s +1). Assim, 
 
De forma análoga, 
 
Assim, 
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Agora usando a tabela de Transformada de Laplace: 
 
 
Observação: na aplicação deste processo, caso o grau do numerador seja maior ou igual ao do 
denominador, é necessário efetuar a divisão primeiro. 
3. Função de transferência 
Vamos empregar na aula de hoje os conceitos relacionados à Transformada de Laplace para simplificar a 
representação de sistemas dinâmicos. 
Um sistema pode ser representado pela equação diferencial genérica: 
 
Em que c(t) é a saída, r(t) é a entrada e os i a , os i b e a forma da equação diferencial representa o sistema. 
Aplicando a Transformada de Laplace a ambos os lados da equação e supondo condições iniciais nulas: 
 
A partir da expressão acima, chegamos a: 
 
 
 
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Esta expressão: 
 
 
 
é chamada de função de transferência do sistema. Relaciona, de forma algébrica, a entrada e a saída de 
um sistema. Dado G(s) e a transformada da entrada R(s) podemos calcular a saída: 
 
 
A função de transferência é representada pelo diagrama de blocos a seguir: 
 
 
Figura 1 - Diagrama de Blocos de uma Função de Transferência (NISE, 2012). 
 
Nas próximas aulas, aprenderemos a representar, através de funções de transferência, circuitos elétricos, 
sistemas mecânicos de translação, sistemas mecânicos em rotação e sistemas eletromecânicos. 
 
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EXERCÍCIO: 
 
 
 
Bibliografia: NISE, NORMAN S.,Engenharia de Sistemas de Controle, LTC, 6ªEd., 2012, Rio de Janeiro; 
EISENCRAFT, MARCIO., Automação e Controle I, Universidade Presbiteriana Mackenzie, 2006;