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Universidade Federal da Bahia - Instituto de Matema´tica - DMAT
MAT A01 - Geometria Anal´ıtica - Turma 10 - 2016/2
Classificac¸a˜o de Coˆnicas - Professora Simone Moraes
Uma secc¸a˜o coˆnica e´ o lugar geome´trico de uma equac¸a˜o geral do segundo grau, nas duas
varia´veis x e y, do tipo:
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, (∗)
com A 6= 0 ou B 6= 0 ou C 6= 0.
1o Caso: B = 0
Neste caso a equac¸a˜o (∗) se reduz a` equac¸a˜o:
Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0, (∗∗)
com A 6= 0 ou C 6= 0.
Agora vamos analisar os subcasos:
A 6= 0 e C 6= 0: Podemos reescrever a equac¸a˜o Ax2 +Cy2 +Dx+Ey+ F = 0 da seguinte maneira:
A
(
x+
D
2A
)2
+ C
(
y +
E
2C
)2
=
D2
4A
+
E2
4C
− F = AE
2 + CD2 − 4ACF
4AC
.
Fazendo: x0 = − D
2A
, y0 = − E
2C
e R =
AE2 + CD2 − 4ACF
4AC
podemos ainda reescreve-la
como:
A(x− xo)2 + C(y − y0)2 = R.
E temos as seguintes situac¸o˜es:
A C R Coˆnica C
> 0 > 0 > 0 Elipse:
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1, com a =
√
R
A
e b =
√
R
C
< 0 < 0 < 0
> 0 > 0 = 0 Ponto: P = (x0, y0)
< 0 < 0 = 0
> 0 > 0 < 0 Vazio
< 0 < 0 > 0
> 0 < 0 6= 0 Hipe´rbole: ±(x− x0)
2
a2
∓ (y − y0)
2
b2
= 1, com a =
√
|R|
|A| e b =
√
|R|
|C|
< 0 > 0 6= 0
> 0 < 0 = 0 Par de retas concorrentes:
√|A|(x− x0) =√|C|(y − y0)
< 0 > 0 = 0 ou
√|A|(x− x0) = −√|C|(y − y0)
1
A 6= 0 e C = 0: A equac¸a˜o (∗∗) fica na forma Ax2+Dx+Ey+F = 0 que pode ser reescrita como:
A
(
x+
D
2A
)2
+ Ey =
D2
4A
− F = D
2 − 4AF
4A
.
Fazendo: x0 = − D
2A
e R =
D2 − 4AF
4A
podemos ainda reescreve-la como:
A(x− xo)2 = −Ey +R.
Assim temos as seguintes possibilidades:
A E R Coˆnica C
6= 0 6= 0 qualquer Para´bola: (x− x0)2 = −4 p(y − y0), com
p =
E
A
, se A e E teˆm mesmo sinal e y0 =
R
E
ou (x− x0)2 = 4 p(y − y0), com p = −E
A
,
se A e E teˆm sinais opostos e y0 =
R
E
6= 0 = 0 = 0 Reta: x = x0 paralela ao eixo y
6= 0 = 0 6= 0 e mesmo Par de retas paralelas: x = x0 +
√
R
A
sinal que A e x = x0 −
√
R
A
paralelas ao eixo y
6= 0 = 0 6= 0 e sinal Vazio
oposto ao de A
A = 0 e C 6= 0: A equac¸a˜o (∗∗) agora fica na forma Cy2 +Dx+Ey + F = 0 que pode ser reescrita
como:
C
(
y +
E
2C
)2
+Dx =
E2
4C
− F = E
2 − 4CF
4C
.
Fazendo: y0 = − E
2C
e R =
E2 − 4CF
4C
podemos ainda reescreve-la como:
C(y − y0)2 = −Dx+R.
Assim temos as seguintes possibilidades:
2
C D R Coˆnica C
6= 0 6= 0 qualquer Para´bola: (y − y0)2 = −4 p(x− x0), com
p =
D
C
, se C e D teˆm mesmo sinal e y0 =
R
D
ou (y − y0)2 = 4 p(x− x0), com p = −D
C
,
se C e D teˆm sinais opostos e y0 =
R
D
6= 0 = 0 = 0 Reta: y = y0 paralela ao eixo x
6= 0 = 0 6= 0 e mesmo Par de retas paralelas: y = y0 +
√
R
C
sinal que C e y = y0 −
√
R
C
paralelas ao eixo x
6= 0 = 0 6= 0 e sinal Vazio
oposto ao de C
Observac¸a˜o: O nu´mero ∆ = 4AC −B2 e´ chamado indicador da coˆnica, nos casos acima temos:
• ∆ > 0, enta˜o a coˆnica C e´ uma elipse, ou uma reta ou o vazio.
• ∆ < 0, enta˜o a coˆnica C e´ uma hipe´rbole, ou um par de retas concorrentes.
• ∆ = 0, enta˜o a coˆnica C e´ uma para´bola, ou uma reta, ou um par de retas paralelas ou o vazio.
2o Caso: B 6= 0
Neste caso vamos utilizar uma rotac¸a˜o Rθ para transformar o sistema de coordenadas (x, y) em
um sistema de coordenadas (x¯, y¯) de maneira que a equac¸a˜o
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (∗)
neste novo sistema de coordenadas se escreva da seguinte maneira:
Ax¯2 + Cy¯2 +Dx¯+ Ey¯ + F = 0,
ou seja, com B = 0.
Seja Rθ a tal rotac¸a˜o, enta˜o:
x = x¯ cos θ − y¯ sen θ
y = x¯ sen θ + y¯ cos θ
substituindo em (∗) obtemos:
A(x¯ cos θ − y¯ sen θ)2 +B(x¯ cos θ − y¯ sen θ)(x¯ sen θ + y¯ cos θ)+
C(x¯ sen θ + y¯ cos θ)2 +D(x¯ cos θ − y¯ sen θ) + E(x¯ sen θ + y¯ cos θ) + F = 0⇐⇒
A(x¯2 cos2 θ + y¯2 sen2θ − 2x¯y¯ cos θ sen θ) +B((x¯2 − y¯2)cos θ sen θ + x¯y¯(cos2 θ − sen2θ))
3
+C(x¯2 sen2θ + y¯2 cos2 θ + 2x¯y¯ cos θ sen θ) +D(x¯ cos θ − y¯ sen θ) + E(x¯ sen θ + y¯ cos θ) + F = 0
⇐⇒ (A cos2 θ +B cos θ sen θ + C sen2︸ ︷︷ ︸
A
)x¯2 +
(
2(C − A) cos θ sen θ +B(cos2 θ − sen2θ)︸ ︷︷ ︸
B
)
x¯y¯
+(A sen2 −B cos θ sen θ + C cos2 θ︸ ︷︷ ︸
C
)y¯2 + (D cos θ + E sen θ︸ ︷︷ ︸
D
)x¯+ (E cos θ −D sen θ︸ ︷︷ ︸
E
)y¯ + F︸︷︷︸
F
= 0.
Assim,
B = 0 ⇐⇒ 2(C − A) cos θ sen θ +B(cos2 θ − sen2θ) = 0
⇐⇒ (C − A) sen (2θ) +B cos(2θ) = 0.
Se A = C, enta˜o B = 0⇐⇒ B cos(2θ) = 0 B 6=0, 0<θ<pi/2⇐⇒ 2θ = pi
2
⇐⇒ θ = pi
4
.
Se A 6= C, enta˜o B
A− C =
sen (2θ)
cos(2θ)
= tan(2θ).
Observemos que 1 + tan2(2θ) = sec2(2θ).
Logo, temos:

sec(2θ) =
√
1 + tan2(2θ) se
B
A− C > 0
sec(2θ) = −
√
1 + tan2(2θ) se
B
A− C < 0
Consequentemente,

cos(2θ) =
1√
1 + tan2(2θ)
se
B
A− C > 0
cos(2θ) = − 1√
1 + tan2(2θ)
se
B
A− C < 0
Das relac¸o˜es cos θ =
√
1 + cos(2θ)
2
e sen θ =
√
1− cos(2θ)
2
, pois 0 < θ <
pi
2
, obtemos cos θ e
sen θ e portanto A, C, D e E.
No entanto podemos utilizar a forma matricial, pois:
A
B
2
B
2
C
 =
[
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
]
A
B
2
B
2
C

[
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
]
=
[
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
]
A cos θ +
B
2
sen θ −A sen θ + B
2
cos θ
B
2
cos θ + C sen θ −B
2
sen θ + C cos θ

=
 A cos
2 θ +B cos θ sen θ + C sen2θ (C −A) cos θ sen θ + B
2
(cos2 θ − sen2θ)
(C −A) cos θ sen θ + B
2
(cos2 θ − sen2θ) A sen2θ −B cos θ sen θ + C cos2 θ
.
E [
D
E
]
=
[
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
] [
D
E
]
=
[
D cos θ + E sen θ
−D sen θ + cos θ
]
.
4
Observemos tambe´m que:
A = A
(
1 + cos(2θ)
2
)
+B
sen (2θ)
2
+ C
(
1− cos(2θ)
2
)
C = A
(
1− cos(2θ)
2
)
−B sen (2θ)
2
+ C
(
1 + cos(2θ)
2
)
B = (C − A) sen (2θ) +B cos(2θ)
.
Logo,
4AC −B2 = 4
[
A2
(
1− cos2(2θ)
4
)
− AB cos(2θ) sen (2θ)
2
+ AC
(
1 + cos2(2θ)
2
)
−B2 sen
2θ
4
+
BC
cos(2θ) sen (2θ)
2
+ C2
(
1− cos2(2θ)
4
)]
− (A2 − 2AC + C2)θ sen2(2θ)
−B2 cos2(2θ)− 2(BC − AB) sen (2θ) cos(2θ)
= (A2 + C2)
(
1− cos2(2θ)− sen2(2θ))+ (A− C)B(2cos(2θ) sen (2θ)− 2cos(2θ) sen (2θ))
+AC
(
2 + 2cos2(2θ) + 2 sen2(2θ)
)
+B2
(− cos2(2θ)− sen2(2θ))
= 4AC −B2.
A consequeˆncia da observac¸a˜o acima e´ que o indicador da coˆnica, ∆ = 4AC −B2, e´ invariante
por rotac¸a˜o de sistemas de coordenadas, assim temos o seguinte teorema:
Teorema (Teorema de Classificac¸a˜o das Coˆnicas)
O lugar geome´trico dos pontos (x, y) que satisfazem a equac¸a˜o do segundo grau
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0,
com A 6= 0 ou B 6= 0 ou C 6= 0, e´:
(i) Uma elipse, ou um ponto ou o vazio se ∆ = 4AC −B2 > 0.
(ii) Uma hipe´rbole, ou um par de retas concorrentes se ∆ = 4AC −B2 < 0.
(iii) Uma para´bola, ou uma reta, ou par de retas paralelas ou o vazio se ∆ = 4AC −B2 = 0.
Finalizamos apresentando um resultado que classifica as coˆnicas degeneradas (um ponto, uma
reta, par de retas paralelas, par de retas concorrentes e o vazio) e as coˆnicas na˜o-degeneradas
(elipse, hipe´rbole e para´bola).
Se na equac¸a˜o (∗) da coˆnica C tivermos A 6= 0 ou C 6= 0, enta˜o o nu´mero:
δ = 4det

A
B
2
D
2
B
2
C
E
2
D
2
E
2
F

= 4ACF +BDE − AE2 −B2F − CD2
5
e´ chamado discriminante da coˆnica C.
Teorema (Segundo Teorema de Classificac¸a˜o das Coˆnicas)
Seja C a coˆnica, lugar geome´trico dos pontos (x, y) que satisfazem a equac¸a˜o do segundo grau
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0,
com A 6= 0 ou C 6= 0, enta˜o:
(i) Se δ = 0 e ∆ > 0, enta˜o C e´ um ponto ou o vazio.
(ii) δ 6= 0 e ∆ > 0 se, e somente se, C e´ uma elipse.
(iii) δ = 0 e ∆< 0 se, e somente se, C e´ um par de retas concorrentes.
(iv) δ 6= 0 e ∆ < 0 se, e somente se, C e´ ua hipe´rbole.
(v) Se δ = 0 e ∆ = 0, enta˜o C e´ uma reta, ou par de retas paralelas ou o vazio.
(vi) δ 6= 0 e ∆ = 0 se, e somente se, C e´ uma para´bola.
Exerc´ıcios:
Em cada um dos casos abaixo, encontre a forma reduzida da coˆnica C, determine os elementos
da coˆnica (focos, ve´rtices, diretriz, ass´ıntotas) nas coordenadas (x, y) e fac¸a um esboc¸o da mesma:
1. C : 2x2 + y2 + 4x+ 3y + 4 = 0. 2. C : 3x2 + xy − 2y2 − 12x− 2y + 12 = 0.
3. C : 4x2 − 9y2 − 16x+ 18y − 11 = 0. 4. C : x2 + 2xy + y2 − 2x− 2y + 1 = 0.
5. C : 19x2 + 6xy + 11y2 + 38x+ 6y + 29 = 0. 6. C : 2x2 + 2xy + y2 + 8x+ 6y + 10 = 0.
7. .C : 5x2 − 4xy + y2 − 16x+ 4y + 20 = 0 8. C : 25x2 − 30xy + 9y2 + 10x− 6y + 1 = 0.
9. C : y2 − 4y − 12x− 8 = 0. 10. C : 9x2 + 24xy + 16y2 − 74x− 68y + 41 = 0
11. C : 13x2 − 6√3xy + 7y2 − 4x− 4√3y − 12 = 0 12. C : x2 + 2xy + y2 + x− y + 1 = 0.
13. C : 2x2 + 4xy + 5y2 + 20x+ 20y + 44 = 0. 14. C : x2 + 2xy + y2 − 8x+ 8y + 16 = 0.
15. C : 24xy − 7y2 + 36 = 0. 16. C : 3x2 − 10xy + 3y2 + 12√2x− 4√2y + 8 = 0.
17. C : 8x2 + 4xy + 5y2 − 20x− 14y − 19 = 0. 18. C : 16x2 − 24xy + 9y2 + 110x− 20y − 50 = 0.
19. C : x2 + 10√3xy + 11y2 − (2 + 10√3)x− (22 + 10√3)y − (4− 10√3) = 0.
6