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Universidade Federal de Pernambuco Terceira Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear Profa. Joelma Azevedo de Moura 1) Considere o espac¸o vetorial real R3, munido do produto interno usual. Seja T : R3 → R3 tal que T (1, 1, 1) = (3, 4, 1), T (−1, 0, 0) = (−1,−2, 0) e T (0, 0, 1) = (0,−1, 2). Mostre que T e´ um operador auto-adjunto. 2) Sejam V um espac¸o vetorial real munido de produto interno, W um subespac¸o de V e T : W → V um operador linear. Dizemos que T e´ um operador sime´trico em W se 〈T (u), v〉 = 〈u, T (v)〉 para todos u, v ∈ W . Com base nisto, considere o espac¸o vetorial V = P2(R) munido do produto interno 〈p, q〉 = ∫ 1 0 p(t)q(t) dt. Seja W subespac¸o de P2 definido da seguinte forma W = {p(t) ∈ P2; p(0) = p(1) = 0}. O operador linear T : W → P2, definido por T (p(t)) = −p′′(t) + p(t), e´ um operador sime´trico? 3) Dados os vetores u = (4, 4,−2), v = (4,−2, 4) e w = (1,−2,−2), seja T : R3 → R3 o operador linear tal que T (u) = (10,−2,−2), T (v) = (−2, 10,−2) e T (w) = (1, 1,−5). Prove que T e´ auto-adjunto. 4) Sejam V = R3, munido do produto interno usual, α = {(1, 0, 1), (−1, 0, 1), (0, 1, 0)} base de R3 e T : R3 → R3 um operador linear. Responda: a) Sabendo que [T ]αα = 1 2 02 3 −1 0 −1 2 , podemos afirmar que T e´ auto-adjunto? b) Mesma pergunta do item anterior agora para [T ]αα = −2 0 00 1 3 0 0 0 5 . 5) Considere o espac¸o vetorial real R3 munido do seguinte produto interno 〈u, v〉 = 3x1x2 + y1y2 + z1z2 O operador linear T : R3 → R3 definido por T (x, y, z) = (x + 2y, 2x + 3y − z,−y + 2z) e´ auto adjunto? 6) Considere o espac¸o vetorial real R3 munido do produto interno usual. O operador linear T : R3 → R3 definido por T (x, y, z) = (x + 2y, 2x + 3y − z,−y + 2z) e´ auto adjunto? Se sim, exiba uma base ortonormal de autovetores de T que diagonaliza este operador. 7) Considere o espac¸o vetorial real R3 munido do produto interno usual e seja o operador linear T : R3 → R3 definido por: T (x, y, z) = (x cos(θ)− y sin(θ), x sin(θ) + y cos(θ), z) onde θ e´ um aˆngulo fixo. Mostre que T e´ um operador ortogonal. 8) Seja V = R3 munido de produto interno usual. O operador T : R3 → R3 definido por T (x, y, z) = 1 7 (3x+ 2y + 6z,−6x+ 3y + 2z, 2x+ 2y− 3z) e´ ortogonal? Podemos dizer que T e´ uma rotac¸a˜o espacial? 9) Seja V = R3 munido de produto interno usual. O operador T : R3 → R3 definido por T (x, y, z) = 1 7 (3x+ 2y + 6z, 2x+ 6y − 3z,−6x+ 3y + 2z) e´ rotac¸a˜o de algum aˆngulo em torno de algum eixo? Se sim, determine o aˆngulo da rotac¸a˜o e o vetor unita´rio gerador do eixo. 10) Considere o espac¸o vetorial real R3 munido do produto interno usual. Seja T : R3 → R3 o operador linear definido por T (x, y, z) = (x+ 2y, x+ 3y, z). T e´ rotac¸a˜o de algum aˆngulo em torno de algum eixo? 11) Seja R2 com produto interno 〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 + 3y1y2. Considere a base β = {(1, 0), (0, 1√ 3 )}. Seja T : R2 → R2 o operador linear tal que T (x, y) = √ 2 2 ( x− √ 3 · y, x√ 3 + y ) . Em relac¸a˜o a este produto interno T e´ auto-adjunto e/ou ortogonal? 12) Considere a matriz [R]αα = 2/3 1/3 2/32/3 −2/3 −1/3 1/3 2/3 −2/3 que representa a rotac¸a˜o R por algum aˆngulo em torno de algum eixo em R3 (α e´ a base canoˆnica de R3). 2 a) O operador R e´ diagonaliza´vel? b) Obtenha o vetor unita´rio u que determina o eixo em torno do qual a rotac¸a˜o e´ realizada. c) Construa uma base ortonormal β = {u, u1, u2} de R3, tal que [R]ββ = 1 0 00 cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ em que θ e´ o aˆngulo de rotac¸a˜o imposto por R, em torno do eixo gerado por u. 3
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