Capítulo 04

Prévia do material em texto

Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-1
Estatística
Teoria e Aplicações
5a. Edição
Capítulo 4
Probabilidade Básica
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-2
Objetivos do Aprendizado
Neste capítulo, você irá aprender:
 Conceitos de probabilidade básica
 Probabilidade condicional
 A utilizar o Teorema de Bayes para analisar
probabilidades
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-3
Definições
 Probabilidade: a chance que um evento
incerto irá ocorrer (sempre entre 0 e 1)
 Evento: Cada tipo possível de ocorrência ou 
resultado
 Evento Simples: um evento que pode ser 
descrito por uma única característica
 Espaço Amostral: a coletânea de todos os
eventos possíveis
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-4
Tipos de Probabilidade
Existem três abordagens para se avaliar a probabilidade de um 
evento incerto:
1. probabilidade clássica a priori: a probabilidade de um evento é 
baseado no conhecimento prévio do processo envolvido
2. probabilidade clássica empírica: a probabilidade de um evento é 
baseado em dados observados.
3. probabilidade subjetiva: a probabilidade de um evento é 
determinada por um indivíduo, com base na experiência do passado 
dessa pessoa, opinião pessoal, e/ou análise de uma situação particular.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-5
Calculando a Probabilidade
1. probabilidade clássica a priori
2. probabilidade clássica empírica
Estas equações assumem que todos os resultados são igualmente prováveis.
observados resultados de totalnúmero
observados favoráveis resultados de número
 Ocorrência de adeProbabilid 
possíveis resultados de totalnúmero
ocorrer podem que maneiras de número
 Ocorrência de adeProbabilid 
T
X
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-6
Exemplo de uma
probabilidade clássica a priori
Determine a probabilidade de selecionar uma carta com 
figura (Valete, Dama, ou Rei) a partir de um baralho de 
52 cartas.
cartas de totalnúmero
figura com cartas de número
 Figura com Carta de adeProbabilid 
T
X
13
3
cartas de total52
figura com cartas 12
 
T
X
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-7
Exemplo de probabilidade
clássica empírica
Estudam
Estatística
Não Estudam
Estatística
Total
Homem 84 145 229
Mulher 76 134 210
Total 160 279 439
Determine a probabilidade de selecionar homem que estuda
estatística a partir da população descrita na tabela seguinte:
191,0
439
84
pesquisada população da totalnúmero
aestatístic estudam que homens de número
aEstatístic Estudam que Homens de Probab. 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-8
Exemplos de Espaço Amostral
O Espaço Amostral é a coleção de todos os eventos
possíveis.
ex. As 6 faces de um dado:
ex. As 52 cartas de um baralho
ex. Todos os resultados possíveis quando se tem uma
criança: Menino ou Menina
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-9
Eventos no Espaço Amostral
 Evento simples
 Um resultado de um espaço amostral com uma
característica
 ex. Uma carta vermelha de um baralho
 Complemento de um evento A (representado por A/)
 Todos os resultados que não fazem parte do evento A
 ex. Todos os cartões que não são diamantes
 Evento combinado
 Envolve duas ou mais características simultaneamente
 ex. Um ás que é ao mesmo tempo uma carta vermelha
de um baralho
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-10
Visualizando Eventos no 
Espaço Amostral
 Tabela de Contingência: 
 Diagrama de Árvore:
Ás Diferente
do Ás
Total
Preto 2 24 26
Vermelho 2 24 26
Total 4 48 52
Baralho com
52 Cartas
Espaço
Amostral
2
24
2
24
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-11
Definições
Probabilidade Simples vs. 
Probabilidade Combinada
 Probabilidade Simples (Marginal) refere-se a 
probabilidade de um evento simples.
 ex. P(Rei)
 Probabilidade Combinada refere-se a 
probabilidade da ocorrência de dois oi mais
eventos.
 ex. P(Rei e Espada)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-12
Definições
Eventos Mutualmente Excludentes
 Eventos mutualmente excludentes são eventos que não
podem ocorrer juntos (simultaneamente).
 exemplo:
 A = dama de ouro; B = dama de paus
 Eventos A e B são mutualmente excludentes se somente uma
carta for selecionada
 exemplo:
 B = ter um menino; G = ter uma menina
 Eventos B e G são mutualmente excludentes se somente
nasceu uma criança
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-13
Definições
Eventos Coletivamente Exaustivos
 Eventos coletivamente exaustivos
 Um dos eventos deve ocorrer
 O conjunto de eventos abrange o espaço amostral inteiro
 exemplo: 
 A = ás; B = cartas pretas; C = ouro; D = copas
 Eventos A, B, C e D são coletivamente exaustivos (mas, não
mutualmente exclusivos – um ás selecionado pode ser de copas)
 Eventos B, C e D são colectivamente exaustivos e também
podem ser mutualmente excludentes
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-14
Calculando as Probabilidades
Combinada e Marginal
 A probabilidade combinada do evento, A e B:
 Calculando a probabilidade marginal (ou simples):
 onde B1, B2, …, Bk são k eventos mutualmente
excludentes e coletivamente exaustivos
resultadosdetotalnúmero
BeAsatisfazemqueresultadosdenúmero
BeAP )(
)BeP(A)BeP(A)BeP(AP(A) k21  
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-15
Exemplo:
Probabilidade Combinada
P(Vermelho e Ás)
52
2
cartas de totalnúmero 
ás e vermelhasão que cartas de número

Ás Dif. de 
Ás
Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-16
Exemplo:
Probabilidade Marginal (Simples)
P(Ás)
52
4
52
2
52
2
)Pr()(  etaeÁsPVermelhaeÁsP
Ás Dif. de Ás Total
Preta 2 24 26
Vermelha 2 24 26
Total 4 48 52
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-17
Probabilidade Combinada Usando
a Tabela de Contingência
P(A1 e B2) P(A1)
TotalEvento
P(A2 e B1)
P(A1 e B1)
Evento
Total 1
Probabilidade
Combinada
Probabilidade Marginal (Simples)
A1
A2
B1 B2
P(B1) P(B2)
P(A2 e B2) P(A2)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-18
Probabilidade
Sumário
 A probabilidade é uma medida numérica
da possibilidade que um evento irá ocorrer.
 A probabilidade de um evento deve ser 
entre 0 e 1, inclusive
 0 ≤ P(A) ≤ 1 para qualquer evento A.
 A soma das probabilidades de todos os
eventos mutualmente excludentes e 
coletivamente exaustivos é 1.
 P(A) + P(B) + P(C) = 1
 A, B, e C são eventos mutual 
excludentes e coletivamente exaustivo.
Certeza
Impossível
0,5
1
0
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-19
Regra Geral de Adição
P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)
Regra Geral de Adição:
Se A e B são eventos mutualmente excludentes, então
P(A e B) = 0, portanto a regra pode ser simplificada:
P(A ou B) = P(A) + P(B) 
para os eventos A e B mutualmente excludentes
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-20
Regra Geral de Adição
Exemplo
Estudam
Estatística (S)
Não Estudam
Estatística (NS)
Total
Homem(H) 84 145 229
Mulher (M) 76 134 210
Total 160 279 439
Determine a probabilidade de selecionar um homem ou um 
estudante de estatística da populaçãodescrita na tabela seguinte:
P(Homem ou Estudam Est.) = P(H) + P(S) – P(M ou S)
= 229/439 + 160/439 – 84/439 = 305/439
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-21
Probabilidade Condicional
 Probabilidade condicional refere-se à probabilidade do evento A, 
sendo conhecido informações sobre a ocorrência de um outro
evento B:
P(B)
B)eP(A
B)|P(A 
P(A)
B)eP(A
A)|P(B 
onde P(A e B) = probabilidade combinada de A e B
P(A) = probabilidade marginal de A
P(B) = probabilidade marginal de B
A probabilidade
condicional de A, dado 
que B ocurreu
A probabilidade
condicional de B, dado 
que A ocurreu
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-22
Calculando a Probabilidade
Condicional
 Considere um lote de carros usados, 70% 
têm ar condicionado (AC) e 40% têm leitor
de CD (CD). 20% dos carros têm ambos.
 Qual é a probabilidade de achar um carro
que tem um leitor de CD, e ar condicionado
AC ?
 Deseja-se encontrar a P(CD | AC).
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-23
Calculando a Probabilidade
Condicional
Leitor de 
CD
Sem leitor de 
CD
Total
AC 0,2 0,5 0,7
Sem
AC
0,2 0,1 0,3
Total 0,4 0,6 1,0
2857,0
0,7
0,2
P(AC)
AC)eP(CD
AC)|P(CD 
Considere AC, ou seja somente a linha superior (70% dos carros). Destes 20% 
têm leitor de CD. Logo, 20% de 70% equivale a 28,57% do total.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-24
Calculando a Probabilidade
Condicional: Árvore de Decisão
P(CD e AC) = 0,2
P(CD e AC/) = 0,2
P(CD/ e AC/) = 0,1
P(CD/ e AC) = 0,5
4,0
2,0
6,0
5,0
6,0
1,0
Todos
os
Carros
4,0
2,0
Dado CD ou
sem CD:
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-25
Calculando a Probabilidade
Condicional: Árvore de Decisão
P(AC e CD) = 0,2
P(AC e CD/) = 0,5
P(AC/ e CD/) = 0,1
P(AC/ e CD) = 0,2
7,0
5,0
3,0
2,0
3,0
1,0
Todos
os
Carros
7,0
2,0
Dado AC ou
sem AC:
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-26
Independência Estatística
 Dois eventos são independentes se e somente se:
 Eventos A e B são independentes quando a 
probabilidade de um evento não é afetada pela
probabilidade do outro evento.
P(A)B)|P(A 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-27
Regra de Multiplicação
 Regra de multiplicação para dois eventos A 
e B:
 Se A e B são eventos independentes, então
a regra de multiplicação é simplificada para:
P(B)B)|P(AB)eP(A 
P(B)P(A)B)eP(A 
P(A)B)|P(A 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-28
Regra de Multiplicação
 Suponha que um conselho municipal é composto por 5 
democratas, 4 republicanos e 3 independentes. Determine 
a probabilidade de selecionar aleatoriamente um 
democrata seguido por um independente.
 Note que após o democrata ser selecionado (12 pessoas), 
exsitem apenas 11 pessoas no espaço amostral.
114,05/442)(3/11)(5/1 P(D)D)|P(ID)e P(I 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-29
Probabilidade Marginal Usando
Regra da Multiplicação
)P(B)B|P(A)P(B)B|P(A)P(B)B|P(A P(A) kk2211  
 Probabilidade marginal para o evento A:
 onde B1, B2, …, Bk são k eventos mutualmente
excludentes e coletivamente exaustivos
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-30
Teorema de Bayes
 O Teorema de Bayes é usado para rever
probabilidades previamente calculadas com 
base em novas informações.
 Foi desenvolvido por Thomas Bayes no 
Século18.
 É uma extensão da probabilidade condicional.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-31
Teorema de Bayes
))P(BB|P(A))P(BB|P(A))P(BB|P(A
))P(BB|P(A
A)|P(B
kk2211
ii
i



onde:
Bi = i
ésimo evento dentre os k eventos mutualmente
excludentes e coletivamente exaustivos
A = novo evento que pode impactar P(Bi)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-32
Teorema de Bayes
Exemplo
 A empresa de perfuração estimou em 40% como a 
chance de encontrar óleo no novo poço. 
 Um teste detalhado foi agendado para se obter mais 
informações. Historicamente, 60% dos poços de 
sucesso tiveram testes detalhados, e 20% dos poços 
sem sucesso também tiveram testes detalhados.
 Tendo em conta que para este poço foi programado 
um teste detalhado, qual é a probabilidade de que o 
poço perfurado será bem sucedido?
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-33
Teorema de Bayes
Exemplo
 Seja S = poço com sucesso
U = poço sem sucesso
 P(S) = 0,4 e P(U) = 0,6 (probabilidade anterior)
 Defina o evento do teste detalhado como D
 Probabilidades Condicionais:
 P(D|S) = 0,6 P(D|U) = 0,2
 Objetivo: Determinar P(S|D)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-34
Teorema de Bayes
Exemplo
667,0
12,024,0
24,0
)6,0)(2,0()4,0)(6,0(
)4,0)(6,0(
U)P(U)|P(DS)P(S)|P(D
S)P(S)|P(D
D)|P(S






Aplicando o Teorema de Bayes:
Assim, a probabilidade de revista de sucesso, dado que este 
poço foi programado para um teste detalhado, é 0,667
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-35
Teorema de Bayes
Exemplo
 Dado o teste detalhado, a probabilidade revista de sucesso
do poço aumentou para 0,667 a partir de uma estimada
original de 0,4.
Evento
Probab. 
Anterior
Probab. 
Condicional
Probab. 
Combinada
Probab.
Revisada
S (successo) 0,4 0,6 0,4*0,6 = 
0,24
0,24/0,36 = 
0,667
U (insuccesso) 0,6 0,2 0,6*0,2 = 
0,12
0,12/0,36 = 
0,333
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 4-36
Sumário do Capítulo
Neste capítulo, temos
Discussão dos conceitos de probabilidade básica. 
Espaço amostral e eventos, tabelas de contingência, 
probabilidade simples (marginal) e probabilidade combinada
Examinada as regras de probabilidade básica.
Regra geral de adição, regra de adição para eventos
mutualmente excludentes, regra para eventos coletivamente
exaustivos.
Definido probabilidade condicional.
Independência estatística, probabilidade marginal, árvore de 
decisão e regra de multiplicação.
Discussão do teorema Bayes.