1Integral de linha de funcao escalar (1)

Prévia do material em texto

INTEGRAL DE LINHA -1/ Função Escalar
	Sabemos que integrais definidas (ou integrais duplas) de funções escalares cujas imagens são não negativas em todos os pontos do domínio D, são números também não negativos e que representam a área da região do plano acima de D e abaixo da curva gráfico da função de uma variável (ou o volume do sólido no espaço acima de D e abaixo da superfície gráfico da função de duas variáveis).
	Existem situações não contempladas nos casos acima descritos. Por exemplo, se quisermos calcular a área de um muro construído sobre uma curva e cuja altura é variável não é possível fazê-lo através de integral definida conhecida nem de integral dupla. Porém, o cálculo dessa área segue o mesmo princípio, dando origem a um novo tipo de integrais, as integrais de linha ou integrais curvilíneas.
Problema:
Consideremos uma curva C unindo dois pontos no plano XOY e uma função z = f(x, y) contínua em D onde D é uma região do plano contendo a curva C. Um muro é construído ao longo de C e tem altura igual a f(x, y) (supondo que f seja não negativa em D) em cada ponto (x,y) de C. Qual é a área deste muro?
Para resolver o problema, tomamos um partição da curva C obtendo n arcos.
Traçando retas verticais por esses pontos (inclusive os extremos) dividimos o muro em n “tiras”. Denotando por 
Ai a área da i-ésima tira, a área do muro é dada por 
A = 
A1 + 
A2 + ... + 
An = 
�� EMBED Equation.3 Ai
Vejamos uma aproximação para a área da i -ésima tira, 
Ai. Para isso, tomemos no i-ésimo arco, Pi-1 Pi, um ponto Qi(x*i, y*i) e consideremos a altura f(x*i, y*i) do muro neste ponto.
O comprimento do arco Pi-1 Pi denotaremos
por 
si. Como f é uma função contínua e 
a i-ésima tira é estreita podemos aproximar
 o valor de f para f(x*i, y*i) em todo (x, y) do 
arco Pi-1 Pi. Assim, a área da i-ésima tira é 
aproximada por
Ai 
 f(x*i, y*i) 
si 
enquanto a área do muro tem aproximação 
A 
 f(x*i, y*i) 
si
Como podemos intuir, se aumentarmos indefinidamente o número de arcos na partição, em cada arco o comprimento tende a zero e a função f tende a assumir o valor constante f(x*i, y*i) . Desta forma a área do muro é 
A = 
�� EMBED Equation.3 f(x*i, y*i) 
si 
 que sabemos tratar-se de uma integral e que é chamada integral de linha ou integral curvilínea da função f ao longo da curva C e denotaremos 
. Assim, 
A = 
	Obs: Podemos calcular a integral de linha de uma função ao longo de uma curva, mesmo que ela assuma também valores negativos em pontos desta curva. Como nas integrais definidas o resultado será a diferença entre a área onde a f é não negativa e a área onde a f é negativa. Desta forma, não há restrição para o resultado da integral de linha, podendo ser positivo, negativo ou nulo.
Assim, se C é uma curva suave e limitada no plano XOY e f é uma função (escalar) contínua em uma região D do plano e que contém C. A integral de linha ou integral curvilínea de f ao longo da curva C é denotada e dada por 
Analogamente, o acima exposto estendemos para a curva C no espaço-3D e a função f de três variáveis. Ou seja,
 
 
Naturalmente o cálculo da expressão que acima envolvendo limite, não é viável na maioria dos casos. Vejamos um modo simplificado para esses cálculos.
Consideremos uma parametrização para a curva suave e limitada C dada pela função vetorial
r (t) = (x(t), y(t) ) com t
[a, b],
de onde,
 = 
f(x(t), y(t) ) ds.
	Como S é o comprimento da curva, s = 
logo
ou
	Assim, 
 = 
f(x(t), y(t) ) 
e analogamente 
 = 
f(x(t), y(t), z(t) ) 
 = 
f(r(t)) | r’(t) |dt
	Lembramos que 
 ou 
As propriedades da integral de linha são as mesmas da Integral Definida.
Exemplo 1
Calcule a integral de linha 
(xy + 3x) ds, sendo C o segmento que une o ponto A(-1, 0) ao ponto B(2,3).
Solução: 
	
Primeiro temos de parametrizar a curva C para depois efetuar a integral
Observe que quando parametrizamos uma função,
poderemos atribuir a variável independente o papel do parâmetro.
y – 0 = 
(x + 1) 
 y = f(x) = x + 1
r(t) = (t, t + 1), t
[-1, 2]
r’(t) = (1, 1) 
 | r’(t) | = 
 = 
(xy + 3x) ds = 
[x(t) y(t) + 3x(t)] | r’(t) | dt = 
[t(t + 1) + 3t] 
 dt =
= 
(t2 + 4t) dt = 
�� EMBED Equation.3 = 
(8/3 + 8 + 1/3 - 2) = 9
	Calcule:
1)
 onde C: x = cos(t); y=sen(t) t no intervalo [0, Pi/2]
2) 
onde C é a curva y = 2x com x no intervalo [-1; 1].
3) 
 ao longo de C dada por 
Obs: Se a curva C é limitada mas parcialmente suave, então a integral de linha de uma função pode ser calculada desde que C seja a união de uma seqüência finita de curvas suaves C1, C2, ..., Cn , unidas pelas extremidades.
	Para calcular a integral ao longo de C, calculamos a integral ao longo de cada uma das curvas que são suaves e somamos. Ou seja,
 = 
 +
 + ... + 
Exemplo:
	Calcule 
3xy ds, onde C é a curva dada pelo
gráfico ao lado.
Como vemos no gráfico, C é uma curva parcialmente
suave, formada pela união de três curvas C1, C2 e C3,Essas curvas são, respectivamente, 
os segmentos de reta RS, ST e TR (orientados), onde R(0, 0), S(1, 0) e T(1, 2).
	Calculando a integral ao longo da curva 
 temos
3xy ds = 
3xy ds + 
3xy ds + 
3xy ds = 0 + 6 + 2
 = 6 + 2
Calcule:4) 
, C é a fronteira da região limitada por Y = x2 e y = x.
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA 
 Curso de Engenharia - Cálculo IV 
								 
P0
P1
P2
P3
Pn-1
Pn
C
f
C
 f(x*i, y*i)
Pi-1
Pi
Qi
� EMBED Equation.3 ��� = � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� f(x*i, y*i) � EMBED Equation.3 ���si 
� EMBED Equation.3 ��� = � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� f(x*i, y*i, z*i) � EMBED Equation.3 ���si 
-1 0 2 X
Y
3
A
B
C1
C2
C3
R
S
T
C
0 1 X
Y
2
_1142157337.unknown
_1145276536.unknown
_1145277036.unknown
_1278836618.unknown
_1278836626.unknown
_1278836631.unknown
_1278836621.unknown
_1278836576.unknown
_1145277418.unknown
_1145276900.unknown
_1145277007.unknown
_1145276779.unknown
_1142160218.unknown
_1142330949.unknown
_1142333452.unknown
_1142334473.unknown
_1142334958.unknown
_1142333948.unknown
_1142330983.unknown
_1142160361.unknown
_1142322172.unknown
_1142160254.unknown
_1142158151.unknown
_1142160157.unknown
_1142157423.unknown
_1111389591.unknown
_1111394579.unknown
_1142110777.unknown
_1142156305.unknown
_1142156516.unknown
_1142110842.unknown
_1142110642.unknown
_1111394890.unknown
_1111395011.unknown
_1111394695.unknown
_1111393656.unknown
_1111394563.unknown
_1111393255.unknown
_1111393488.unknown
_1111389783.unknown
_1111388808.unknown
_1111388870.unknown
_1111389502.unknown
_1111384707.unknown
_1111388133.unknown
_1111384492.unknown