Prova 3

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Ca´lculo Prova 3 21/07/2011
Nome: RA:
1. Seguindo os itens abaixo trace um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o
f(x) =
4x2
3x2 + 1
.
a. Encontre o dom´ınio da func¸a˜o;
b. Encontre as ass´ıntotas verticais e horizontais (caso existam);
c. Encontre a derivada e em seguida os pontos cr´ıticos;
d. A partir da derivada analise o crescimento;
e. Encontre a segunda derivada e em seguida os pontos de inflexa˜o;
f. A partir da segunda derivada analise a concavidade;
g. Diga se os pontos cr´ıticos encontrados no item c sa˜o de ma´ximo, m´ınimo ou nenhum dos
dois.
h. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico;
2. Encontre as seguintes antiderivadas:
a.
∫ √
x− 1√
x
dx b.
∫
4 sinx
(1 + cos x)2
dx
3. Defina o que e´ a integral de uma func¸a˜o e fac¸a uma relac¸a˜o com a a´rea da regia˜o limitada pelo
gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua. Utilizando essa ide´ia de a´rea, calcule a integral
∫ 3
2
2x+ 5dx.
4. Enuncie o teorema fundamental do ca´lculo que relaciona a integral de uma func¸a˜o cont´ınua
com a sua antiderivada. Em seguida utilize-o para calcular as integrais abaixo.
a.
∫ 2
0
2x2
√
x3 + 1dx b.
∫ pi/2
0
sin3 x cosxdx
5. Um objeto se move horizontalmente com acelerac¸a˜o dada por a(t) = 6t − 1. Denote por
v(t) a velocidade do objeto no instante t. Se no instante t = 0 o objeto tem velocidade v(0) = 1,
encontre:
a. O deslocamento do objeto entre os instantes t = 0 e t = 1;
b. A velocidade me´dia do objeto entre os instantes t = 0 e t = 1;.
c. A velocidade ma´xima e m´ınima do objeto entre os instantes t = 0 e t = 1.
BOA PROVA!!!