Prova 5

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Ca´lculo Prova 5 06/10/2011
Nome: RA:
1. Siga os passos abaixo para calcular
∫
tg−1
√
x dx
a. Use integrac¸a˜o por partes para mostrar que
∫
tg−1
√
x dx = x tg−1
√
x− 1
2
∫ √
x
1 + x
dx.
b. Fac¸a a substituic¸a˜o x = u2 e mostre que
1
2
∫ √
x
1 + x
dx =
∫
u2
1 + u2
du.
c. Mostre que tg2θ + 1 = sec2 θ e que d
dθ
tg θ = sec2 θ.
d. Fac¸a a substituic¸a˜o u = tgθ e mostre que
∫
u2
1 + u2
du =
∫
tg2θ dθ = tgθ − θ + C.
e. Conclua a partir dos itens acima que
∫
tg−1
√
x dx = (x+ 1)tg−1
√
x−√x+ C.
2. Calcule as integrais abaixo. Obs: Se for usar alguma fo´rmula da sua tabela de integrais, fac¸a
a refereˆncia no desenvolvimento do exerc´ıcio.
a.
∫ pi
−pi
sen3(2x) dx b.
∫
x+ 4
x(x2 + 4)
dx c.
∫ ∞
0
e−xdx .
3. Calcule os limites abaixo.
a. lim
t→0
71t3 + 31t2 + 82t+ 27
17t3 + 23t2 + 1
b. lim
x→0
x
tg x
c. limx→∞(1 + ax)1/x
4. Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas no ponto (0, 0).
a. f(x, y) =
{ xy
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
b. f(x, y) =
{
x2(y+1)+y2
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
5. Uma formiga caminha sobre uma placa plana cuja temperatura num ponto (x, y) e´ dada por
T (x, y) = e−x
2−y2 . Com relac¸a˜o a essa func¸a˜o responda os itens abaixos.
a. Calcule ∂T
∂x
e ∂T
∂y
.
b. Qual a taxa de variac¸a˜o da temperatura quando a formiga passa pelo ponto (1, 0) caminhando
paralelamente ao eixo x?
c. Mostre que se a formiga caminhar ao longo de um c´ırculo de raio r centrado na origem enta˜o
sua temperatura permanece constante igual a e−r
2
.
BOA PROVA!!!