Provar usando integrais triplas que o volume V da esfera de raio r é dado por V= 4/3 pi r²

1º Passo: Você tem que saber qual a equação dessa esfera de raio r, após isso há varias maneiras de resolver, dependendo das coordenadas que você utilizar pode sair mais direto ou um pouco mais trabalhoso.

2º Passo:Mudar as coordenadas caso precise, a equação da esfera foi escrita na forma cartesiana, eu utilizei coordenadas cilindricas, na qual:

x=Rcos(Θ)

y=Rsen(Θ)

z=z

R^2 = (x^2) + (y^2)

3º Passo: Determinar o quanto cada parametro varia como mostrado na imagem.

4° Passo: Resolver a integral tripla.

Para determinarmos o volume da esfera, vamos calcular a integral tripla do diferencial de volume em coordenadas esféricas:

\(V=\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{\pi}\int\limits_0^r \rho^2sen\theta\ d\rho d\theta d\varphi\)

Fazendo a integral mais interna na variável \(\rho\), temos:

\(\begin{align} V&=\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{\pi}\int\limits_0^r \rho^2sen\theta\ d\rho d\theta d\varphi\\ &=\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{\pi}sen\theta\int\limits_0^r \rho^2\ d\rho d\theta d\varphi\\ &=\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{\pi}sen\theta\left[{\rho^3\over3}\right]_0^r d\theta d\varphi\\ &={r^3\over3}\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{\pi}sen\theta d\theta d\varphi\\ &={r^3\over3}\int\limits_0^{2\pi}\left[-cos\theta\right]_0^{\pi} d\varphi\\ &={r^3\over3}\int\limits_0^{2\pi}\left[1-(-1)\right] d\varphi\\ &={2r^3\over3}\int\limits_0^{2\pi} d\varphi\\ &={2r^3\over3} \left[\varphi\right]_0^{2\pi}\\ &={2r^3\over3} \cdot2\pi\\ \end{align}\)

Chegamos então à conhecida fórmula para o cálculo do volume da esfera:

\(\boxed{V={4\over3}\pi r^3}\)