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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da AP2 – Me´todos Determin´ısticos II – 28/05/2017 Questa˜o 1 [1,5pts] Considere a func¸a˜o f(x) = x3 x2−1 . Calcule o dom´ınio, verifique que f(x) =−f(−x) para todo x no dom´ınio e calcule as suas assintotas. Soluc¸a˜o: Como f(x) e´ uma func¸a˜o racional, ela estara´ bem definida desde que o denominador seja diferente de zero, isto e´, x2 − 1 ̸= 0⇔ x ̸= −1 ou x ̸= 1. Portanto o dom´ınio de f(x) e´ {x ∈ R : x ̸= ±1}. f(−x) = (−x) 3 (−x)2 − 1 = −x3 x2 − 1 = − x3 x2 − 1 = −f(x). Para fazer o estudo das assintotas precisamos calcular os seguintes limites: x → ±∞, x → −1−, x→ −1+, x→ 1−, x→ 1+. lim x→±∞ x3 x2 − 1 = limx→±∞ x2 x2 x 1− 1/x2 = limx→±∞ x 1− 1/x2 = ±∞. Para o limite quando x→ −1−. Considere o valor x = −1, 1 o numerador e´ negativo e o denominador e´ 0, 21 > 0, logo enquanto o numerador tende para -1 o denominador tende a zero com valores positivos. Portanto, podemos concluir que limites tende a −∞. Com o mesmo tipo de racioc´ınio podemos concluir que: x → −1− e x → 1− ambos os limites tendem a −∞. E quando x→ −1+ e x→ −1+ o limite tende para +∞. Questa˜o 2[1,5pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Calcule e fac¸a a analise do sinal de f ′(x) e f ′′(x). Soluc¸a˜o: Derivando f ′(x) = 3x 2 × (x2 − 1)− x3 × 2x (x2 − 1)2 = x2 (x2 − 3) (x2 − 1)2 , observe que esta parte x 2 (x2−1)2 esta elevado ao quadrado e portanto que determina o sinal e´ x 2 − 3, portanto, se −√3 ≤ x ≤ √3 a f ′(x) ≤ 0 e fora deste intervalo f ′(x) > 0. Derivando mais uma vez obtemos f ′′(x) = (4x 3 − 6x)× (x2 − 1)2 − (x4 − 3x2)× 2× (x2 − 1)× 2x (x2 − 1)4 = 2x (x2 + 3) (x2 − 1)3 . Observe que x2+3 > 0 para todo x ∈ R, e (x2− 1)3 tem o mesmo sinal que x2− 1. Da´ı que f ′′(x) tem o mesmo sinal que 2x x2−1 , fazendo o estudo obtemos Nome da Disciplina AP1 2 Questa˜o 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Explique o comportamento de f(x) e fac¸a um esboc¸o do gra´fico. Soluc¸a˜o: Iniciemos marcando as retas x = −1 e x = 1 e os pontos (−√3, 0) e (√3, 0). Vamos comec¸ar vendo o que deve acontecer ao gra´fico da esquerda para a direita, no intervalo (−∞,−1). A func¸a˜o vem de menos infinito e e´ crescente ate´ −√3, depois disso ela se torna decrescente ate´ −1, em x = −1 ela vai para o −∞. f(−√3) = −3 √ 3 2 ≈ −2, 6. Veja que neste intervalo a concavidade e´ sempre para baixo. Refletindo na origem podemos desenhar o que acontece quando x ≥ 1. No intervalo −1 < x < 1 sabemos que a func¸a˜o vem de +∞ e se vai para −∞. E´ sempre decrescente neste intervalo. Passa por 0 = f(0), e tem concavidade para cima em (−1, 0) e para baixo (0, 1). Figura 1: Esboc¸o do gra´fico de f(x) = x x2−9 Questa˜o 4[2,0pts] Suponha que C(x) e´ a quantidade em reais do custo total para produzir x re´plicas de uma pintura (x ≥ 10) e C(x) = 15 + 8x+ 50 x . Determine: (a) a func¸a˜o do custo marginal; (b) o custo marginal quando x = 50; (c) o custo de produc¸a˜o para fazer o 51a quadro. Soluc¸a˜o: (a) C ′(x) = 8− 50 x2 (b) C ′(50) = 8− 50502 = 8− 0, 02 = 7, 98. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Nome da Disciplina AP1 3 (c) A quantidade de reais gasto para produzir o quinquage´simo primeiro quadro e´ C(51)−C(50) = 423, 9804− 416 = 7, 9804. Questa˜o 5 [1,8pt] Resolva as seguintes integrais: a) ∫ (3x− 2)√x dx b) ∫ 1 1+e−x dx Soluc¸a˜o: a)∫ (3x− 2)√x dx = ∫ (3x− 2)x1/2 dx = ∫ 3x3/2 − 2x1/2 dx = 215x 3/2(9x− 10) + C. b) Observe que 1 + e−x = 1 + 1 ex = ex+1 ex e enta˜o ∫ 1 1+e−x dx = ∫ ex ex+1 dx e fazendo u = 1 + e x ⇒ du = exdx e da´ı ∫ 1 1 + e−x dx = ∫ du u = ln(u) + C = ln (ex + 1) + C. Questa˜o 6 [1,5pt] Fac¸a o esboc¸o da regia˜o compreendida pelas retas x = −1, x = 2, y = 0 e pelo gra´fico de y = x2 + 2x+ 5 e calcule a sua a´rea. Soluc¸a˜o: Veja que y(x) = x2+2x+5 e´ a equac¸a˜o de uma para´bola com a boca voltada para cima e y(−1) = 4 e y(1) = 8, Ale´m disso, esta para´bola na˜o tem raiz real, pois ∆ = 4−4×5 = −16 < 0. Com isso, temos como fazer o gra´fico abaixo. Logo a a´rea e´ dada por ∫ 2 −1 x2 + 2x+ 5 dx = [ x3 3 + x 2 + 5x ]2 −1 = 21. Questa˜o 7 [1,0pt] Calcule a derivada de h(t) = t ln ( t2−1 t2+1 ) . Soluc¸a˜o: Iniciemos derivando ( t2−1 t2+1 )′ = 2t(t 2+1)−(t2−1)2t (t2+1)2 = 4t (t2+1)2 enta˜o, Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Nome da Disciplina AP1 4 h′(t) = 1× ln ( t2 − 1 t2 + 1 ) + t× [ ln ( t2 − 1 t2 + 1 )]′ = ln ( t2 − 1 t2 + 1 ) + t× 1( t2−1 t2+1 ) × [t2 − 1 t2 + 1 ]′ = ln ( t2 − 1 t2 + 1 ) + t× ( t2 + 1 t2 − 1 ) 4t (t2 + 1)2 = ln ( t2 − 1 t2 + 1 ) + 1(t2 − 1) 4t2 (t2 + 1) = (t4 − 1) ln ( t2−1 t2+1 ) + 4t2 t4 − 1 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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