Definições Básicas de probabilidade

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MAT02020 – Introdução à Probabilidade 
 
 
 
Prof. Álvaro Vigo 
Alvaro.Vigo@ufrgs.br 
Conceitos Básicos 
 Fenômenos 
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑙𝑒𝑖𝑠 𝑓í𝑠𝑖𝑐𝑎𝑠 
𝐴𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜𝑠 (𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠) 
 
 
 
 Fenômeno aleatório  é a situação ou acontecimento cujo 
resultado não pode ser previsto com certeza 
 
Eventos Aleatórios 
 Evento aleatório  consiste em um ou mais resultados do 
experimento aleatório, ou seja, é qualquer subconjunto do 
espaço amostral Ω. 
 Evento simples (ou elementar): é cada um dos resultados 
(indivisíveis) do experimento aleatório (ou seja, cada 
elemento de Ω). 
 Evento composto: é uma coleção de um ou mais 
elementos de Ω. 
 
 Definição: um evento A ao qual pode ser atribuída uma 
probabilidade, é chamado de evento aleatório. 
Combinações de Eventos Aleatórios 
Combinações de Eventos Aleatórios 
Combinações de Eventos Aleatórios 
Combinações de Eventos Aleatórios 
Combinações de Eventos Aleatórios 
Experimento Aleatório 
 Processo de observar (por meio de estudo observacional ou 
experimental) resultados de um fenômeno aleatório (uma ou 
mais vezes) sob condições idênticas. 
 Características 
 O experimento pode ser repetido sob as mesmas 
condições 
 O resultado do experimento não pode ser conhecido (com 
certeza) antes da sua realização 
 A coleção dos possíveis resultados do experimento é 
conhecida 
Experimentos de Aleatórios e Eventos 
 Exemplo 1 – Um experimento aleatório consiste no lançamento 
(único) de uma moeda honesta, sendo observado o resultado da 
face superior. 
 Espaço amostral:  = {C, K} 
 Sejam os eventos: A = O resultado é cara (C) 
 B = O resultado é coroa (K) 
 Então 
 
 
   
disjuntos eventos são )
)
 )
 )
BeAAABAd
BAc
BAb
KCBAa
c
c




Experimentos de Aleatórios e Eventos 
 Exemplo 1 – Um experimento aleatório consiste no lançamento 
(único) de uma moeda honesta, sendo observado o resultado da 
face superior. 
 Espaço amostral:  = {C, K} 
 Sejam os eventos: A = O resultado é cara (C) 
 B = O resultado é coroa (K) 
 Então 
 
 
   
disjuntos são )
)
 )
 )
BeAAABAd
BAc
BAb
KCBAa
c
c




Experimentos de Aleatórios e Eventos 
 Exemplo 2 – Um experimento aleatório consiste no lançamento 
(único) de um dado honesto, sendo observado o resultado da 
face superior. 
 Espaço amostral:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 Sejam os eventos: 
A = O resultado é par  A = {2, 4, 6} 
 B = O resultado é ímpar  B = {1, 3, 5} 
 C = O resultado é maior do que 2  C = {3, 4, 5, 6} 
 
 
Experimentos de Aleatórios e Eventos 
Sejam os eventos: 
A = O resultado é par  A = {2, 4, 6} 
 B = O resultado é ímpar  B = {1, 3, 5} 
 C = O resultado é maior do que 2  C = {3, 4, 5, 6} 
Então 
 
 
 
 
 2,1 )
6,4 )
6,5,4,3,2
disjuntos são )
 )





c
c
Ce
CAd
Cc) A 
BeAAABAb
BAa
Experimentos de Aleatórios e Eventos 
 Observar o número de pessoas acidentadas que chegam em 
um pronto socorro de um determinado hospital durante uma 
madrugada 
 Espaço amostral:  = {0,1,2,3,4,...} 
 
 Observar o peso ao nascer de um recém nascido (kg) 
 Espaço amostral:  = (0, +∞) 
 Eventos: 
 Peso < 2,5 kg 
 Peso ≥ 2,5 kg 
 Peso ≥ 4,0 kg 
Probabilidade 
 Uma probabilidade é uma função P(.) que atribui valores 
numéricos aos eventos do espaço amostral associado a um 
experimento aleatório. 
 
 Uauuu.... o que isto significa? 
 Queremos quantificar (medir) a probabilidade de ocorrência 
de eventos 
 Cada evento do espaço amostral tem uma probabilidade de 
ocorrer 
 
 Mas como atribuir probabilidades aos eventos? 
 
Probabilidade 
 Definição: Uma função P(.) é chamada de probabilidade se satisfaz as 
condições: 
 
 
 
 
 Explicando 
 Uma probabilidade (SEMPRE) é um número entre 0 e 1 
 O resultado do experimento está SEMPRE no espaço amostral 
(pois,  contém todos os resultados possíveis do experimento) 
 A probabilidade da união de eventos disjuntos é a soma das 
probabilidades individuais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 disjuntos, com os AAAiii)P
;Ωii)P
Ω;A, APi) 
j
k
j
j
k
j
j 











11
1
10

Probabilidade 
 
 Mas como atribuir probabilidades aos eventos? 
 
Probabilidade 
 Existem diferentes abordagens 
 
 Usando o conhecimento das (ou suposições sobre) 
características teóricas da realização do de fenômeno 
 
 Por meio da frequência de ocorrências do evento em um 
grade número de repetições do experimento 
 
Probabilidade 
 Usando o conhecimento das (ou suposições sobre) 
características teóricas da realização do de fenômeno 
 
 No experimento de lançar um dado e observar o 
resultado da face superior,  = {1,2,3,4,5,6} 
 
 
   621
6
1
,...,,j; jFaceP 
Probabilidade 
 No experimento de lançar um dado e observar o resultado 
da face superior,  = {1,2,3,4,5,6} 
 
 
se assumirmos um modelo teórico que especifica que os 
resultados são equiprováveis. 
 
 Há garantia de que este modelo é verdadeiro? 
 Como verificar? 
 
 
  621
6
1
,...,,j; jFaceP 
Probabilidade 
 Definição clássica (exige resultados equiprováveis) 
Seja Ω o espaço amostral de um experimento aleatório que 
contém n diferentes elementos indivisíveis e equiprováveis. 
Então, se o evento A pode ocorrer de k maneiras dentre as n, 
então a probabilidade do evento A ocorrer é 
 
𝑃 𝐴 =
𝑁º 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠 𝐴 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟
𝑁º 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑚 Ω
= 
𝑘
𝑛
 
 
Probabilidade 
 Exemplo: Considere o experimento de lançar um dado honesto e 
observar o resultado da face superior. Assim, 
 Ω = 1,2,3,4,5,6 contém 𝑛 = 6 eventos simples e 
 
 
 
Seja o evento “A = O resultado é par”. Então, pela definição 
clássica, 
𝑃 𝐴 =
3
6
 
 
 
  621
6
1
,...,,j; jFaceP 
Probabilidade 
 Definição frequentista 
Repetir (ou observar) o experimento um grande número 𝑛 
de vezes sob condições idêntica e contar o número de vezes 
que o evento A ocorre. Assim, a probabilidade do evento A 
ocorrer (aproximação da probabilidade pela frequência) é 
 
𝑃 𝐴 = 
𝑁º 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐴 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒
𝑁º 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
 
Probabilidade 
 No experimento do lançamento de um dado, a abordagem da 
frequência relativa pode ser usada para analisar a suposição de 
que as faces são equiprováveis 
𝑃 𝐹𝑎𝑐𝑒 = 𝑗 = 
𝑁º 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝐹𝑎𝑐𝑒 𝑗
𝑁º 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
=
# 𝐹𝑎𝑐𝑒 𝑗
𝑛
 
 𝑃(𝐹𝑎𝑐𝑒 = 𝑗) é a proporção de resultados 𝐹𝑎𝑐𝑒 = 𝑗 nas n 
realizações do experimento 
 Para n grande (“?”), se o dado é honesto, espera-se 
𝑃 𝐹𝑎𝑐𝑒 = 𝑗 ≅
1
6
; ∀𝑗 = 1,2,3,4,5,6. 
Probabilidade 
 Definição subjetiva 
A probabilidade de um evento A ocorrer, 𝑃(𝐴), é estimada 
utilizando o conhecimento de circunstâncias relevantes para o 
problema. 
 
Exemplo: Para estimar a probabilidade de um astronautasobreviver a uma missão do ônibus espacial, a NASA considerou 
informações de eventos passados, junto com mudanças nas 
tecnologias e outras condições, chegando a estimativa de 0,99. 
Probabilidade 
 Definição geométrica 
Considere o experimento aleatório que consiste em selecionar, ao 
acaso, um ponto no círculo de raio 1. Então 
Ω = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 
Seja A o evento tal que “a distância entre o ponto escolhido e a 
origem é ≤
1
2
”. Então, se 𝑤 = 𝑥, 𝑦 é o resultado do experimento, 𝑤 
será favorável ao evento 𝐴 se, e somente se, 
𝑥2 + 𝑦2 ≤
1
4
 e 𝐴 = 𝑥, 𝑦 ∈ Ω: 𝑥2 + 𝑦2 ≤
1
2
 
Assim, a probabilidade (geométrica) do evento A é 
𝑃 𝐴 =
Á𝑟𝑒𝑎 𝐴
Á𝑟𝑒𝑎 Ω
 
Objetivo: estimar as probabilidades dos genótipos AA, Aa e 
aa, associadas aos tipos de manchas em mariposas da 
espécie Callimorpha dominula (Scarlet tiger moth) 
Brancas (AA) 
 Intermediárias (Aa) 
Pequenas (aa) 
 
Exemplo - Aplicação em Genética† 
† Adaptado de https://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Weinberg_principle 
Equilíbrio de Hardy-Weinberg (1908) - Em uma população 
mendeliana, sob certas condições, as frequências alélicas 
permanecerão constantes com o passar das gerações. 
 
 
 Godfrey Harold Hardy (Inglaterra) 
 Wilhelm Weinberg (Alemanha) 
 
Exemplo - Aplicação em Genética† 
Considere o caso de um único locus com dois alelos “A” e ”a” com 
probabilidades p e q, respectivamente. Utilizando a lei de H-W é 
possível predizer as frequências genotípicas AA, Aa e aa: 
 
Machos 
Fêmeas 
A a 
A AA Aa 
a Aa aa 
   
     
121
 ;2 ;
 ;
22
22



qpqpqp
qaaPpqAaPpAAP
qaPpAP
Exemplo - Aplicação em Genética† 
 
   
 
 
  2
2
2
 
qaaP
pqAaP
pAAP
qAPaP
pAP
c




Exemplo - Aplicação em Genética
† 
Hardy–Weinberg proportions for two alleles: the 
horizontal axis shows the two allele frequencies 
p and q and the vertical axis shows the expected 
genotype frequencies. Each line shows one of 
the three possible genotypes. 
Considere uma amostra de 1612 mariposas da espécie Callimorpha 
dominula observada por E.B. Ford (1971), as quais foram 
classificadas quanto ao tipo de manchas(fenótipo). 
Exemplo - Aplicação em Genética† 
† Adaptado de https://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Weinberg_principle 
* Assumindo que diferenças genotípicas x fenotípicas são negligíveis. 
Fenótipo 
Tipo de Manchas 
Total Brancas 
(AA) 
Intermediárias 
(Aa) 
Pequenas 
(aa) 
Nº Observado 1469 (nAA) 138 (nAa) 5 (naa) 1612 
 
   
      0459,09541,0111
9541,0
3224
3076
513814692
13814692
2
2








pAPAPaPq
nnn
nn
APp
c
aaAaAA
AaAA
Pelo princípio de H-W, sob a hipótese de a população está em 
equilíbrio, as frequências alélicas em cada geração são estimadas 
por 
Fenótipo 
Tipo de Manchas 
Total Brancas 
(AA) 
Intermediárias 
(Aa) 
Pequenas 
(aa) 
Nº Observado 1469 (nAA) 138 (nAa) 5 (naa) 1612 
Exemplo - Aplicação em Genética† 
† Adaptado de https://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Weinberg_principle 
* Assumindo que diferenças genotípicas x fenotípicas são negligíveis. 
   
 
 
  3970,30459,01612
2060,1410459,09541,021612
3970,14679541,01612
0459,09541,011
9541,0
3224
3076
513814692
13814692
2
2
2
2











aaE
AaE
AAE
pq
nnn
nn
p
aaAaAA
AaAA
Exemplo - Aplicação em Genética† 
Mas como saber se a população está em equilíbrio? 
† Adaptado de https://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Weinberg_principle 
* Assumindo que diferenças genotípicas x fenotípicas são negligíveis. 
H0: A população estudada de mariposas Callimorpha 
dominula está em equilíbrio de Hardy-Weinberg 
H1: Não há equilíbrio H-W na população  
 
estimados parâmetrosNº
categorias deNº
~ 2 1
.
1
2
2



 


k
C
E
EO
kC
C
i i
ii
calc 
Exemplo - Aplicação em Genética† 
Teste de Aderência 
† Adaptado de https://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Weinberg_principle 
* Assumindo que diferenças genotípicas x fenotípicas são negligíveis. 
Genótipo O E (0 - E)2/E 
AA 1469 1467,3970 0,0018 
Aa 138 141,2060 0,0728 
aa 5 3,3970 0,7564 
Total 1612 1612 0,8310 
 
 
  )
 A, alelo do adeprobabilid a estimada (foi 1 e 3 pois
~ 21
.3
1
2
2
pAP
kC
E
EO
i i
ii
calc



 


Exemplo - Aplicação em Genética† 
Teste de Aderência 
† Adaptado de https://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Weinberg_principle 
* Assumindo que diferenças genotípicas x fenotípicas são negligíveis. 
Genótipo O E (0 - E)2/E 
AA 1469 1467,3970 0,0018 
Aa 138 141,2060 0,0728 
aa 5 3,3970 0,7564 
Total 1612 1612 0,8310 
3620,0 8310,02  pValorcalc
Há evidências de que a população estudada de mariposas 
Callimorpha dominula está em equilíbrio de Hardy-Weinberg 
(p=0,3620). 
Exemplo - Aplicação em Genética† 
Teste de Aderência 
† Adaptado de https://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Weinberg_principle 
* Assumindo que diferenças genotípicas x fenotípicas são negligíveis. 
 Definição: Seja Ω um conjunto não vazio. Uma classe 𝒜 de 
subconjuntos de Ω satisfazendo as propriedades A1– A5, 
abaixo, é chamada de álgebra de eventos: 
 A1. Ω ∈ 𝒜 (assim, 𝑃 Ω = 1) 
 A2. Se 𝐴 ∈ 𝒜, então 𝐴𝑐 ∈ 𝒜 e 𝑃 𝐴𝑐 = 1 − 𝑃 𝐴 
 A3. Se 𝐴 ∈ 𝒜 e 𝐵 ∈ 𝒜, então 𝐴 ∪ 𝐵 ∈ 𝒜 (se atribuirmos 
uma probabilidade para A e outra para a B, então 
atribuiremos uma probabilidade pra “A ou B”) 
 A4. ∅ ∈ 𝒜 
 A5. ∀𝑛, ∀ 𝐴1, 𝐴2 , … , 𝐴𝑛, temos 𝐴𝑗 ∈ 𝒜
𝑛
𝑗=1 e 𝐴𝑗𝜖𝒜
𝑛
𝑗=1 
Álgebra e 𝜎-Álgebra de Eventos 𝒜 
Álgebra e 𝜎-Álgebra de Eventos 𝒜 
 A3’. Se 𝐴𝑛 ∈ 𝒜, 𝑛 = 1,2,3…, então 𝐴𝑛 ∈ 𝒜
∞
𝑛=1 
 
 Definição: Uma classe 𝒜 de subconjuntos de um conjunto não vazio 
Ω satisfazendo as propriedades A1, A2 e A3’ é chamada de 𝝈-álgebra 
de subconjuntos de Ω. 
 
 Proposição: Seja 𝒜 uma 𝝈-álgebra de subconjuntos de Ω. Se 
𝐴1, 𝐴2 , … ∈ 𝒜, então 𝐴𝑛 ∈ 𝒜
∞
𝑛=1 . 
 
 No caso discreto, se Ω é finito ou enumerável, então 𝒜 é (usualmente) 
a 𝜎-álgebra de todas as partes de Ω. 
 
 Exemplo: Considere o experimento de lançar um dado honesto e 
observar o resultado da face superior, em que Ω = 1,2,3,4,5,6 . Então, 
a 𝜎-álgebra 𝒜 contém 26 = 64 elementos: 
 
 
Exemplos 
1
6
6
 6
5
6
 15
4
6
 
20
3
6
 15
2
6
 6
1
6
 1





































 Exemplo: Considere o experimento de lançar um dado honesto e 
observar o resultado da face superior, em que Ω = 1,2,3,4,5,6 . Então, 
a 𝜎-álgebra 𝒜 contém 26 = 64 elementos: 
 
Exemplos 





















 

}6,5,4,3,2,1{},6,5,4,3,2{},6,5,4,3,1{},6,5,4,2,1{},6,5,3,2,1{},6,4,3,2,1{},5,4,3,2,1{
},6,5,4,3{},6,5,4,2{},6,5,3,2{},6,4,3,2{},5,4,3,2{},6,5,4,1{},6,5,3,1{
},6,4,3,1{},5,4,3,1{},6,5,2,1{},6,4,2,1{},5,4,2,1{},6,3,2,1{},5,3,2,1{},4,3,2,1{
},6,5,4{},6,5,3{},6,4,3{},5,4,3{},6,5,2{},6,4,2{},5,4,2{},6,3,2{},5,3,2{},4,3,2{
},6,5,1{},6,4,1{},5,4,1{},6,3,1{},5,3,1{},4,3,1{},6,2,1{},5,2,1{},4,2,1{},3,2,1{
},6,5{},6,4{},5,4{},6,3{},5,3{},4,3{},6,2{},5,2{},4,2}{3,2{},6,1{},5,1{},4,1}{3,1}{2,1{},6{},5{},4{},3{},2{},1{},{
A
Andrei Nikolaevich Kolmogorov 
Principal responsável pela construção axiomática da 
probabilidade. Em 1933 publicou o trabalho 
“Grundbegrife der Warscheinlichkeitrechnung", traduzido 
para o Inglês em 1950 sob o título "Foundations of 
Probability“. 
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Kolmogorov.html 
https://en.wikipedia.org/wiki/Andrey_Kolmogorov 
(1903-1987) 
Definição Axiomática de Probabilidade 
 Vamos admitir que existem probabilidades em uma -álgebra e 
que para todo A  𝒜 esteja associado um real 𝑃 𝐴 , chamado 
de probabilidade de A, de modo que os axiomas a seguir estão 
satisfeitos 
 
 
 












n
j
j
n
j
j
n
APAP
AAA
P
AP
11
21
 
então 2), a (2 disjuntos 
 são ,...,, Se finita). de(Adidivida :3 Axioma
.1:2 Axioma
.0 :1 Axioma

A
Dois eventos são disjuntos se 
jiAA ji  ,
 Definição: Uma função P definida em uma -álgebra A e 
satisfazendo os Axiomas 1, 2 e 3’ é chamada de medida de 
probabilidade em 𝒜. 
 













11
21
 
então disjuntos, são ,..., Se e).adidividad-( :3' Axioma
j
j
j
j APAP
AA

A
Observação: o Axioma 3’ implica o Axioma 3, isto é, uma probabilidade -aditiva também é 
finitamente aditiva. 
Definição Axiomática de Probabilidade 
 Os sistemas de axiomas abaixo são equivalentes: 
 Sistema I: Axiomas 1, 2 e 3’. 
 Sistema II: Axiomas 1, 2, 3 e 4. 
 
  .0 
então vazio,o paradecrescer , que em 
, sequencia a Se vazio).no ade(Continuid :4 Axioma
1
 



nn
n
nn
AP
nA
A
A
Definição Axiomática de Probabilidade 
Exercícios 
1) Uma moeda honesta é lançada duas vezes e observam-se as 
faces obtidas. Escreva o espaço amostral. 
2) Um médico observa o diagnóstico de dois pacientes 
selecionados ao acaso, registrando os respectivos resultados 
(D=Doente, Dc=Não doente). Escreva o espaço amostral. 
3) Um dado honesto é lançado duas vezes e a ocorrência de face 
par ou ímpar é observada. Escreva o espaço amostral. 
4) Dois dados honestos são lançados simultaneamente, sendo 
observada a soma das faces superiores. Escreva o espaço 
amostral. 
Exercícios 
5) Na primeira visita de um novo paciente adulto, um dentista 
observa o número de dentes com cárie. Escreva o espaço 
amostral. 
6) Na primeira visita de um novo paciente adulto, um dentista 
observa o número de cáries. Escreva o espaço amostral. 
7) Uma moeda honesta é lançada até o aparecimento da primeira 
cara. Escreva o espaço amostral. 
8) Em uma linha de produção, um engenheiro de qualidade 
inspeciona peças até encontrar a primeira defeituosa. Escreva 
o espaço amostral. 
Exercícios 
1) Uma moeda honesta é lançada duas vezes e observam-se as faces 
obtidas. Escreva o espaço amostral. 
 Vamos representar os resultados por C=Cara e K=Coroa. Então, 
 
Ω = 𝐶, 𝐶 , 𝐶, 𝐾 , 𝐾, 𝐶 , (𝐾, 𝐾) 
 
2) Um médico observa o diagnóstico de dois pacientes selecionados ao 
acaso, registrando os respectivos resultados (D=Doente, Dc=Não 
doente). Escreva o espaço amostral. 
        cccc DDDDDDDD ,,,,,,,
Exercícios 
3) Um dado honesto é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou 
ímpar é observada. Sejam os eventos 
P = O resultado é face par, e, 
I = O resultado é face impar 
Então, 
 
 
4) Dois dados honestos são lançados simultaneamente, sendo observada 
a soma das faces superiores.  12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2        IIPIIPPP ,,,,,,,
Exercícios 
5) Na primeira visita de um novo paciente adulto, um dentista 
observa o número de dentes com cárie. 
 Considerando a dentição convencional completa, um adulto possui 32 
dentes, incluindo os terceiros molares (sisos). Assim, 
 
Ω = {0,1,2,...,32} 
Exercícios 
6) Na primeira visita de um novo paciente, um dentista observa o 
número de cáries. 
Ω = {0,1,2,3,...} 
7) Uma moeda honesta é lançada até o aparecimento da primeira 
cara. Sejam os eventos C=Cara e K=Coroa. Então 
Ω = {C, KC, KKC, KKKC, KKKKC,...} 
8) Em uma linha de produção, um engenheiro de qualidade 
inspeciona peças até encontrar a primeira defeituosa. Sejam os 
eventos D=Defeituosa e Dc=Não defeituosa. Então 
Ω = {D, DcD, DcDcD, DcDcDcD, ...} 
Um modelo probabilístico para um experimento aleatório é 
composto por: 
a) Um conjunto não vazio Ω, o espaço amostral. 
b) Uma -algebra 𝒜 de eventos aleatórios. 
c) Uma probabilidade P definida em 𝒜. 
 
Definição: Um espaço de probabilidade é um trio (Ω, 𝒜, P), em que: 
a) Ω é um conjunto não vazio. 
b) 𝒜 é uma -algebra de subconjuntos Ω . 
c) P é uma probabilidade em 𝒜. 
Modelo Probabilístico e Espaço de Probabilidade 
Princípio Fundamental da Contagem1: Se um primeiro evento 
pode ocorrer de 𝑚1 maneiras diferentes, um segundo evento pode 
ocorrer de 𝑚2 maneiras diferentes, e assim por diante, um k-ésimo 
evento pode ocorrer de 𝑚𝑘 maneiras diferentes, então o número de 
maneiras diferentes em que os 𝑘 eventos podem ocorrer 
simultaneamente é 𝑚1 ×𝑚2 ×⋯×𝑚𝑘. 
 
Exemplo: Um restaurante tem três tipos de macarrão 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3 e 
dois tipos de molho 𝑀1, 𝑀2 . Quantos tipos de macarronada podem 
ser preparados? 
Análise Combinatória 
Boulos, P. & Watanabe, R. Matemática. Vol. 2. (1976). 
Exemplos: 
1) Quantos subconjuntos tem um conjunto com três elementos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ? E um 
conjunto com 30 elementos? 
2) Considere o lançamento de um dado honesto, sendo observado o resultado 
da face superior. Assim, Ω = 1,2,3,4,5,6 . Quantos elementos possui a -
álgebra 𝒜 de subconjuntos de Ω? 
3) Considere o lançamento de dois dados honestos, sendo observados os 
resultados da face superior. Quantos elementos possui o espaço amostral 
Ω? 
4) O número do Cadastro de Pessoa Física (CPF) é composto por 11 dígitos, 
sendo que os dois finais são de controle. Cada um dos 9 dígitos iniciais 
tem 10 resultados possíveis (0,1,2,...,9). Quantos números de CPF podem 
existir? 
Análise Combinatória 
Combinações: O número de maneiras pelas quais 𝑘 elementos podem ser 
selecionados de um conjunto com 𝑛 elementos é dado por 
 
 
 
Exemplo: Um juri é composto por 11 jurados, os quais devem ser 
escolhidos entre 20 cidadãos pré-selecionados. Quantas combinações (de 
pessoas diferentes) existem para a composição do juri? 
 
20
11
=
20! 
11! 20−11 !
= 167.960 
Análise Combinatória  !!
!
knk
n
k
n
C nk








Permutações : O número de maneiras pelas quais 𝑘 elementos podem ser 
selecionados de um conjunto com 𝑛 (diferentes) elementos, de modo que 
a ordem de seleção seja importante, é 
 
 
 
 
Permutações Simples: Um conjunto com 𝑛 elementos distintos pode ser 
organizado de 𝑛! maneiras diferentes. 
Análise Combinatória  !
!
kn
n
Pnk


Exemplo: Em uma corrida de cavalos, um apostador vence uma 
“Aposta Exata” se acertar os cavalos na primeira e segunda 
posições, respectivamente. Em uma prova com 10 cavalos, de 
quantas formas possíveis pode ser feita uma “Aposta Exata”? 
Análise Combinatória  
190
!210
!1010
2 

P
Partições: Alguns problemas combinatórios envolvem amostras sem 
reposição e desordenadas. Considere o exemplo a seguir: 
 
Uma urna contem N bolas, das quais 𝑏 são brancas e 𝑣vermelhas. Uma 
amostra de 𝑛 é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de que a 
amostra tenha 𝑘 ≤ 𝑏 bolas brancas? 
 
A urna pode ser dividida em duas classes: 
 Classe 1 = 𝑏 bolas brancas 
 Classe 3 = 𝑁 − 𝑏 = 𝑣 bolas vermelhas 
O espaço amostral contém 
𝑁
𝑛
 combinações possíveis, as quais são 
equiprováveis. 
Análise Combinatória 
Existem 
𝑏
𝑘
 maneiras de observar exatamente 𝑘 bolas brancas em uma 
amostra de tamanho 𝑛. 
 
As outras 𝑛 − 𝑘 bolas devem ser vermelhas, de modo que existem 
𝑣
𝑛 − 𝑘
 
maneiras de isto ocorrer. Assim, se 𝑋 representa o número de bolas 
brancas na amostra, então 
Análise Combinatória 
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝑏
𝑘
𝑁 − 𝑏
𝑛 − 𝑘
𝑁
𝑛
=
𝑏
𝑘
𝑣
𝑛 − 𝑘
𝑁
𝑛
 
Mega-Sena 
(Distribuição Hipergeométrica) 
N = Quantidade de números no volante (N=60) 
n = Quantidade de números sorteados (n=6) 
k = Número de apostas 
x = Número de acertos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  610; ,...,,x
n
N
xn
kN
x
k
xXP 





















Com uma aposta mínima (6 números) a probabilidade de 6 acertos é 
calculada como: 
 N= Quantidade de números no volante (N=60) 
 n = Quantidade de números sorteados (n=6) 
 k = Número de apostas (k=6) 
 x = Número de acertos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
860.063.50
1
6
60
66
660
6
6
6 










































n
N
xn
kN
x
k
XP
Mega-Sena 
(Distribuição Hipergeométrica) 
Com uma aposta de 8 números, a probabilidade de 6 acertos é calculada 
como: 
 N= Quantidade de números no volante (N=60) 
 n = Quantidade de números sorteados (n=6) 
 k = Número de apostas (k=8) 
 x = Número de acertos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
995.787.1
1
6
60
66
860
6
8
6 










































n
N
xn
kN
x
k
XP
Mega-Sena 
(Distribuição Hipergeométrica) 
Com uma aposta mínima (6 números) a probabilidade de 5 acertos é 
calculada como: 
 N= Quantidade de números no volante (N=60) 
 n = Quantidade de números sorteados (n=6) 
 k = Número de apostas (k=6) 
 x = Número de acertos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
860.063.50
324
860.063.50
546
6
60
56
660
5
6
5 












































n
N
xn
kN
x
k
XP
Mega-Sena 
(Distribuição Hipergeométrica)