Caderno de Exercícios - ALGA - Universidade de Coimbra

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Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra LIC. EM FÍSICA E ENG. FÍSICA
Caderno de Exercícios ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
Números Complexos
1. (a) Calcule z + z′ , zz′ e z/z′ , onde z = a+ ib e z′ = 3− 2i com a, b ∈ R .
(b) Determine a e b de modo que z + z′ seja um número real e z z′ seja um imaginário puro.
2. Escreva na forma algébrica: (a) (1+ i)− (1− i) ; (b) (2− i)(4+3i)(5+2i) ; (c) (2+3i)(3− 2i) ; (d) i4−
3i3+4i2+2i−6 ; (e) (3− 2i)/(4i) ; (f) (3 + 2i)/((2 + i)(3− 2i)) ; (g) (4 + i)/(4− i)+(4− i)/(4 + i) ;
(h)
(3 + 2i)2(1− 3i)
(3 + i)(1 + 2i)
+
1 + i
1− i ; (i)
(3− i)(4 + 2i)
1 + i2007
; (j) (2i/(1 + i))4 ; (k) (1− 3i)−2 ; (l)
100∑
k=0
ik .
3. Determine os números reais k e m que verificam 3 + (2− k)i = 5 +m+ 3i .
4. Determine a e b ∈ R de modo que (a− 2bi)(3 + i) = 5 .
5. Determine z ∈ C que torna (6− i)z num número real e 6− i+ z num imaginário puro.
6. Determine α ∈ R tal que: (a) (α + i)/(1 + αi) seja real; (b) (2 + αi)(1− i) seja um imaginário puro.
7. Demonstre as seguintes propriedades dos números complexos: (a) z = z ; (b) |z| = |z| ; (c) z + z =
2<e (z) ; (d) z−z = 2i=m (z) ; (e) zz = |z|2 ; (f) z−1 = z/(|z|2) ; (g)−z = −z ; (h) z1 + z2 = z1+z2 ;
(i) z1z2 = z1 z2 .
8. Mostre que (3 + 7i)2/(8 + 6i) = (3− 7i)2/(8− 6i) .
9. Prove as seguintes propriedades de módulos de números complexos: (a) |<e (z)| ≤ |z| ; (b) |=m (z)| ≤
|z| ; (c) |z1.z2| = |z1|.|z2| ; (d) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| ; (e) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2| .
10. Represente na forma trigonométrica os seguintes números complexos: (a) 1/2 ; (b) −2 ; (c) −2i ;
(d) −1 + i ; (e) pii ; (f) −3 +
√
3 i ; (g)
√
3− i ; (h) −
√
2 +
√
2 i ; (i) sin θ + i cos θ ; (j) −2eipi/4 .
11. Sejam z = 2 (cos θ + i sin θ) e w = (cosα + i sinα)/3 com θ, α ∈ R . Determine w, zw e zw na forma
trigonométrica.
12. Escreva
(
(1 +
√
3 i)(1−√3 i))20 na forma algébrica.
13. Mostre que, para todo o n ∈ N , se tem ((1 + i)/(1− i))n = cos (npi/2) + i sin (npi/2) .
14. Calculando de duas maneiras diferentes as raízes quadradas do número complexo 1 + i , determine os
valores exactos de cos (pi/8) e de sin (pi/8) .
15. (a) Sendo z1 = −
√
2+
√
2 i e z2 =
√
3−i , calcule z1/z2 na forma algébrica e na forma trigonométrica.
(b) Utilizando o resultado anterior, determine sin (11pi/12) e cos (11pi/12) .
(c) Determine o menor valor natural de n que torna imaginário puro o número (z1/z2)
n .
16. Determine e represente geometricamente: (a) as raízes cúbicas de 1 ; (b) as raízes cúbicas de − 1 ; (c) as
raízes quadradas de i ; (c) as raízes quartas de −1 ; (d) as raízes quartas de 2i ; (e) as raízes de índice
n de 1 .
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17. Resolva, emC , as seguintes equações: (a) z2+1 = 0 ; (b) z3 = 1+i ; (c) z6 = i+1 ; (d) z4−
√
3/2−i/2 =
0 ; (e) z4−1 = 0 ; (f) (z+3i)6 = i+1 ; (g) z2+2z+2 = 0 ; (h) 4z3+13z+17 = 0 ; (i) z2+ iz+2 = 0 .
18. Os números complexos−4i e −2√2−2√2 i são duas raízes consecutivas de índice n ∈ N de um número
complexo z : (a) Calcule o valor de n ; (b) Determine o módulo e o argumento positivo mínimo de z20 .
19. Considere a circunferência de centro na origem das coordenadas e raio 1. Determine os vértices do hexá-
gono regular inscrito nessa circunferência e que contém como vértice o ponto (1, 0) .
20. Identifique no plano complexo as regiões definidas pelas seguintes condições: (a) |z−1| = 1 e |z− i| ≤ 1 ;
(b) 2 < |z− 1+ i| ≤ 4 e Arg z ∈ (0, pi) ; (c) |z− 2| = |z− 3i| ≤ 2 ; (d) |z− 1| ≤ |z+1| e =mz ≥ 1 ;
(e) |z/(z + 1)| ≤ 2 ; (f) |1/z | ≤ 2 ; (g) <e (z − iz) ≥ 2 ; (h) |5z − 5 + 10i| < 5 e |4/z | < 2 ;
(i) |z + 1| ≤ 2 e |Arg z| ≤ pi/4 ; (j) Arg z = pi/3 e |<e (z + 2i)| ≤ 3 .
21. Represente no plano o conjunto dos pontos de coordenadas (x, y) tais que z + z = |z| , com z = x+ iy .
Matrizes Elementares
22. Escreva a matriz do tipo 3× 3 cujo elemento na posição (i, j) é i− 2j .
23. Escolha duas matrizes da lista seguinte de tal forma que a sua soma esteja definida e calcule a matriz soma:
A =
[
1 2
2 1
]
, B =
0 1 01 0 1
0 1 0
 , C = [1 0
0 0
]
, D =
01
0
 , E =
0 0 10 1 0
1 0 0
 e F =
12
3
 .
24. Considere as matrizes A =
1 2 32 3 1
3 1 2
 e B =
−1 0 −12 3 1
1 2 0
 . Calcule a matriz 2(A+B)− AB .
25. Calcule os produtos AB e BA : (a) A =
1 2 −12 0 2
3 1 3
 e B =
2 10 3
4 2
 ; (b) A = [1 0 −1] e
B =
32
1
 ; (c) A =
 1 2 −2−2 1 2
−2 −4 4
 e B =
6 3 22 1 2/3
5 5/2 5/3
 .
26. Verifique que AB = AC e BD = CD, sendo A,B,C,D as matrizes
A =
1 −3 22 1 −3
4 −3 −1
 , B =
1 4 1 02 1 1 1
1 −2 1 2
 , C =
2 1 −1 13 −2 −1 2
2 −5 −1 3
 e D = [2 1 0 1]T .
27. Escolha uma maneira de ordenar as seguintes matrizes de modo que o produto das quatro matrizes esteja
definido e calcule esse produto: A =
[
1 0 1
−1 1 1
]
, B =
[
−1 1
1 −1
]
, C =
[
1
2
]
e D =
1 00 1
1 1
 .
28. Mostre que se os produtos AB e BA estão ambos definidos e A é do tipo m× n, então B é do tipo n×m.
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29. Sendo A =
[
aij
]
i=1,...,n;j=1,...,n
e B =
[
bij
]
i=1,...,n;j=1,...,n
duas matrizes do tipo n× n . Escreva o elemento
da matriz: (a) A2+B situado na linha i e na coluna j ; (b) A−BA+2In situado na linha i e na coluna j .
30. Sejam α e β números reais, calcule o produto
[
cosα − sinα
sinα cosα
][
cos β − sin β
sin β cos β
]
.
31. Calcule: (a)
2 1 13 1 0
0 1 2

2
; (b)
[
2 1
1 3
]3
; (c)
[
3 2
−4 −2
]5
; (d)
[
1 1
0 1
]k
(k ∈ N) ; (e)
[
2 −1
3 −2
]k
(k ∈ N) ;
(f)
[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
]k
(θ ∈ R, k ∈ N) ; (g)
0 1 00 0 1
0 0 0

3
.
32. Calcule A2 e A3 sendo A = diag {µ1, µ2, . . . , µn} . Que matriz será Ak?
33. (a) Verifique que as identidades algébricas (A+B)2 = A2 + 2AB +B2, (A−B)2 = A2 − 2AB +B2,
(A+B)(A−B) = A2−B2 e (AB)2 = A2B2 nem sempre são verdadeiras quandoA eB são matrizes.
Por exemplo, para: i. A =
[
1 −1
0 2
]
, B =
[
1 0
1 2
]
; ii. A =
[
i 1 + i
−i 1− i
]
, B =
[
−i 2 + i
3i 1− i
]
.
(b) Transforme os segundos membros daquelas identidades de forma a obter identidades sempre válidas
para A e B matrizes quadradas quaisquer da mesma ordem.
(c) Mostre que se duas matrizes A e B verificam a primeira identidade algébrica referida em (a) então A
e B também verificam as outras três identidades.
34. Prove que o produto de duas matrizes triangulares superiores (respectivamente, inferiores) da mesma ordem
é ainda uma matriz triangular superior (respectivamente, inferior). A que são iguais os elementos diagonais
neste caso?
35. Prove que multiplicar uma matriz A m × n à esquerda por uma matriz diagonal de elementos diagonais
α1, α2, . . . , αm equivale a multiplicar a primeira linha por α1 , a segunda linha por α2 , etc. Prove a seguir
que multiplicar A à direita por uma matriz diagonal de elementos diagonais α1, α2, . . . , αn equivale a
multiplicar a primeira coluna por α1 , a segunda coluna por α2 , etc.
36. Ache todas as matrizes permutáveis com A , sendo:
(a) A =
[
2 0
0 3
]
; (b) A =
[
1 2
−1 −1
]
; (c) A =
[
1 1
0 1
]
; (d) A =
1 0 00 1 0
3 1 2
 .
37. Sejam A e B matrizes m× n. Prove que, se Av = Bv para todo o vector-coluna v n× 1 , então A = B.
38. Prove que uma matriz que comute com uma matriz diagonal de elementos diagonais todos distintos tem de
ser ela própria uma matriz diagonal.
Inversa de uma matriz. Propriedades.
39. Em cada uma das alíneas dê exemplos de matrizes reais 2× 2 com a propriedade indicada.
(a) A2 = −I ; (b) A2 = 0, sendo A não nula; (c) AB = 0, nãotendo A nem B nenhum elemento nulo.
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40. Designe-se por vj a coluna j deAm×n , j = 1, . . . , n . Dada a matriz-coluna x =
[
x1 · · · xn
]T
, verifique
que Ax = x1v1 + x2v2 + · · ·+ xnvn .
41. Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n . Prove que
(a) se A é invertível, então a sua inversa é única;
(b) se A e B são ambas invertíveis, então a matriz produto AB também é invertível e
(AB)−1 = B−1A−1;
(c) se A é invertível e a sua inversa é A−1 , então Ak (k ∈ N) é invertível e (Ak)−1 = (A−1)k;
(d) se A é invertível e C é uma matriz n×p tal que AC = 0n×p (0n×p a matriz nula n×p), então C = 0n×p;
(e) se A é invertível e D é uma matriz m× n tal que DA = 0m×n, então D = 0m×n;
(f) se A é invertível e AC = AD (C e D matrizes n× p), então C = D;
(g) se A é invertível e EA = FA (E e F matrizes m× n), então E = F ;
(h) se A é invertível e α é um número não nulo, então a matriz αA é invertível e (αA)−1 = (1/α)A−1 .
42. Calcule os produtos AB e BA nos seguintes casos: (a) A =
[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
]
, B =
[
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
]
;
(b) A =
[
i 1
0 i
]
, B =
[
−i 1
0 −i
]
; (c) A =
[
0 i
i 0
]
, B =
[
0 −i
−i 0
]
.
43. (a) Mostre que a inversa da matriz
[
2 3
5 7
]
é a matriz
[
−7 3
5 −2
]
.
(b) Calcule
[
17 −6
35 −12
]5
usando a igualdade
[
17 −6
35 −12
]
=
[
2 3
5 7
][
2 0
0 3
][
−7 3
5 −2
]
.
44. Dê exemplos não triviais (isto é, 6= I e 6= −I) de matrizes 2× 2 que sejam inversas de si próprias.
45. Prove que, se A comuta com B e esta é invertível, então A também comuta com B−1.
46. Se A e B são matrizes n× n invertíveis, mostre que A−1 +B−1 = A−1(A+B)B−1 . Que igualdade é esta
no caso n = 1?
47. Seja A uma matriz quadrada qualquer. Suponhamos que existe um número natural k tal que Ak = 0 (matriz
nula). Mostre que, então I − A é invertível tendo-se (I − A)−1 = I + A+ A2 + · · ·+ Ak−1 .
48. Usando o exercício anterior, calcule
1 −1 00 1 −1
0 0 1

−1
.
49. Sendo A quadrada, mostre que A+ AT é simétrica. E A− AT ?
50. Seja A uma matriz m× n. Prove que as matrizes ATA e AAT são simétricas. Dê um exemplo que mostre
que estes dois produtos podem ser diferentes, mesmo que A seja quadrada.
51. Sejam A n× n e S n×m, com A simétrica. Mostre que STAS é simétrica.
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52. Mostre que a inversa de uma matriz simétrica invertível é também simétrica.
53. Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invertível e a sua inversa coincidir com a sua transposta.
Verifique que as seguintes matrizes reais são ortogonais:
[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
]
e
[
cos θ sin θ
sin θ − cos θ
]
(θ ∈ R) .
54. Escreva todas as matrizes de permutação 3× 3, incluindo P = I, e para cada uma identifique a sua inversa
(que também é uma matriz de permutação).
55. Mostre que toda a matriz de permutação é ortogonal.
56. Considere as matrizes E21(2) =
1 0 02 1 0
0 0 1
 e A =
a b cd e f
g h i
 .
(a) Efectue os produtos E21(2)A e AE21(2) .
(b) O que observa relativamente às linhas de E21(2)A e às colunas de AE21(2)?
(c) O que observa relativamente às linhas de E32(2)A e às colunas de AE32(2)?
(d) Generalize as observações efectuadas.
57. Para cada um dos seguintes pares de matrizes, encontre uma matriz elementar E tal que EA = B .
(a) A =
[
2 −1
5 3
]
, B =
[
2 −1
1 5
]
; (b) A =
 4 −2 31 0 2
−2 3 1
 , B =
4 −2 31 0 2
0 3 5
 .
58. Para cada um dos seguintes pares de matrizes, encontre uma matriz elementar E tal que AE = B .
(a) A =
[
2 4
1 6
]
, B =
[
2 −2
1 3
]
; (b) A =
 4 −2 31 0 2
−2 3 1
 , B =
 4 −2 −11 0 2
−2 3 7
 .
Discussão de sistemas
59. Determine os valores de α para os quais o sistema αx+ y = 1 , x+ αy = 1 :
(a) não tem solução; (b) tem uma solução; (c) tem uma infinidade de soluções.
60. Efectue os seguintes produtos de matrizes
(a)
1 2 43 −1 −2
1 −5 3

11
1
 ; (b)
 1 3 1−2 2 6
1 1 1

−21
−1
 ; (c)
1 12 3
1 1
[1
2
]
; (d)
[
1 2 3
−1 4 1
] 1−1
0
 .
61. Usando o exercício anterior indique um sistema de equações lineares
(a) com três equações e três incógnitas que tenha
[
−2 1 −1
]T
como solução;
(b) com duas equações e três incógnitas que tenha
[
1 −1 0
]T
como solução;
(c) com três equações e três incógnitas que tenha
[
1 1 1
]T
como solução;
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(d) com três equações e duas incógnitas que tenha
[
1 2
]T
como solução.
62. Resolva pelo método de eliminação de Gauss o sistema de equações x− y = 0 x+ 2y = 6 . e desenhe no
plano XOY as duas rectas cujas equações são as indicadas. Desenhe também as rectas que aparecem no
final da eliminação.
63. Resolva os seguintes sistemas, quando possíveis, usando o método de eliminação. Registe os pivots utiliza-
dos e as operações que efectuou com as equações:
(a) 2x1 − x2 + 3x3 = 8 , −3x1 + 2x2 + x3 = −7 , −2x1 + x2 + 2x3 = −3 ;
(b) x1 + x2 + x3 = 0 , x1 + 2x2 + 3x3 = 0 , 3x1 + 5x2 + 7x3 = 1 ;
(c) x1 + x2 + x3 = 10 , x1 + x2 + 3x3 = 23 , 3x1 + 5x2 + 7x3 = 30 ;
(d) 2x1+x2−x3+x4 = 1 , 3x1−2x2+2x3−3x4 = 2 , 5x1+x2−x3+2x4 = −1 , 2x1−x2+x3−3x4 = 4 ;
(e) x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 2x5 = −2 , x1 + 2x2 − x3 − x5 = −3 , x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = 10 , x2 −
x3 + x4 − 2x5 = −5 ;
(f) x1 + x2 + x3 = 0 , x1 + x2 + 3x3 = 0 , 3x1 + 5x2 + 7x3 = 0 ;
(g) x1 + x2 + x3 + x4 = 1 , x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 3 , 3x1 + 5x2 + 7x3 + 3x4 = 0 ;
(h) x1 + x2 + x3 = 11 , x1 + x2 + 3x3 = 23 , 3x1 + 5x2 + 7x3 = 30 ;
(i) x1−x2−3x3+4x4 = 1 , x1+x2+x3+2x4 = −1 , −x2−2x3+x4 = 1 , x1+2x2+3x3+x4 = −2 ;
(j) x1 + x2 = 1 , x1 + x2 + x3 = 4 , x2 + x3 + x4 = −3 , x3 + x4 = 2 , x3 + 2x4 = 1 .
(k) Acrescente uma equação ao sistema da alínea (h) da questão anterior de modo a que o novo sistema
seja possível e determinado ou impossível.
64. Determine os números complexos z e w que satisfazem iz + (1 + i)w = 3 + i , (1− i)z − (6− i)w = 4 .
65. Discuta em função de β ∈ R o sistema x+ βy + βz = 0 , βx+ y + z = 0 , x+ y + βz = β2 . Determine
a solução do sistema homogéneo associado a β = 0 .
66. Determine a relação entre a, b, c ∈ R de forma que ax1 + bx2 = c , bx2 − x3 = 1 , x1 + x3 = 2 , só tenha
uma incógnita livre.
67. Determine a, b ∈ R de forma que 2x1+4x2 = 16 , 5x1− 2x2 = 4 , 3x1+ ax2 = 9 , 4x1+ bx2 = −7 , seja
possível e determine a solução nesse caso.
68. Seja A uma matriz qualquer. Mostre que, se b for uma coluna de A , então o sistema Ax = b é possível e
indique uma solução.
Decomposição LU
69. Sendo E21(α) =
1 0 0α 1 0
0 0 1
 , E31(β) =
1 0 00 1 0
β 0 1
 , E32(γ) =
1 0 00 1 0
0 γ 1
 , calcule os produtos
E21(α)E31(β) , E31(β)E21(α) , E21(α)E32(γ) , E32(γ)E21(α) , E31(β)E32(γ) , E32(γ)E31(β) ,
E21(α)E31(β)E32(γ) e E32(γ)E31(β)E21(α) . O que é que observa em cada um deles? Procure ge-
neralizar essa observação para matrizes n× n .
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70. Seja E a matriz elementar 4 × 4 cujo efeito, quando multiplicada por uma matriz, é adicionar a primeira
linha à terceira. (a) Qual é o efeito de E50? (b) Escreva explicitamente as matrizes E, E50 e 50E .
71. Verifique que A =
 1 0 0−α 1 0
−β 0 1
 é a inversa de B =
1 0 0α 1 0
β 0 1
 .
72. Verifique que A =
 1 0 0−α 1 0
−β −γ 1
 não é a inversa de B =
1 0 0α 1 0
β γ 1
 .
73. Sendo A =
1 0 00 1 0
0 −2 1

1 0 00 1 0
3 0 1

 1 0 0−1 1 0
0 0 1 , calcule A−1.
74. Ache as decomposições LU das seguintes matrizes:
(a)
[
1 0
8 1
]
; (b)
[
2 1
8 7
]
; (c)
2 −3 04 5 1
2 0 4
; (d)
1 3 53 12 18
5 18 30
; (e)

1 −1 0 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −1
0 0 −1 2
; (f)

2 4 0 2
0 3 3 1
2 7 9 7
0 0 6 5
.
75. Mediante a resolução de sistemas triangulares resolva os sistemas Ax = b1 e Ax = b2 onde,
(a) A é a matriz da alínea (c) do exercício anterior e com b1 =
[
8 5 1
]T
e b2 =
[
1 0 0
]T
;
(b) A é a matriz da alínea (e) do exercício anterior e com b1 =
[
1 1 1 1
]T
e b2 =
[
1 2 3 4
]T
;
(c) A é a matriz da alínea (f) do exercício anterior e com b1 =
[
6 4 8− 4
]T
e b2 =
[
1 2 4 7
]T
.
76. (a) Determine a decomposição LU de A =
1 −1 01 0 −2
0 −2 0
 .
(b) Determine a matriz inversa de L e a matriz inversa de U .
(c) Usando os resultados obtidos na alínea anterior calcule A−1 .
77. Seja A =
1 3 22 6 9
1 8 8
 . Determine uma matriz de permutação P para a qual exista a decomposição LU de
PA, e determine os factores dessa decomposição. Resolva o sistema Ax =
[
1 2 3
]T
.
78. Para cada uma das seguintes matrizes A , determine a factorização PA = LU , registe os pivots usados
na eliminação, determine relativamente ao sistema Ax = 0 , as incógnitas básicas e as incógnitas livres e
escreva a solução geral:
(a)
1 2 0 10 1 1 0
1 2 0 1
 ; (b)
0 1 00 0 1
0 0 0
 ; (c) [0 1 4 0
0 2 8 0
]
; (d) a transposta da matriz da alínea anterior.
Caderno de Exercícios p. 7
Álgebra Linear e Geometria Analítica Lic. em Física e Eng. Física
79. Para as matrizes do exercício anterior, diga quais os vectores coluna b para os quais o sistema Ax = b é
possível e para esses escreva a solução geral do sistema.
80. Para cada um dos seguintes sistemas, escreva a solução geral como soma de uma solução particular, caso
exista, com a solução geral do sistema homogéneo correspondente:
(a) x1 + x2 + x3 = 1 , x1 − x3 = 2 ; (b) x1 + x2 + x3 = 2 , 2x1 + x2 + x3 = 3 , 3x1 + x2 + x3 = 4 .
81. Ache a decomposição A = LU com A =
2 1 01 2 1
0 1 2
 e resolva o sistema Ax = b com b dado por:
(a)
[
1 0 0
]T
; (b)
[
0 1 0
]T
; (c)
[
0 0 1
]T
.
82. Ache as inversas das seguintes matrizes:
(a)
[
3 4
5 7
]
; (b)
1 1 10 1 1
0 0 1
 ; (c)
 0 2 −11 1 −1
−2 −5 4
 ; (d)

2 3 4 5
3 3 4 5
4 4 4 5
5 5 5 5
 .
Determinantes
83. Calcule os seguintes determinantes: (a)
∣∣∣∣∣ 1 3−2 4
∣∣∣∣∣ ; (b)
∣∣∣∣∣1 30 −5
∣∣∣∣∣ ; (c)
∣∣∣∣∣−1 −3−2 0
∣∣∣∣∣ ; (d)
∣∣∣∣∣−2 −1−2 5
∣∣∣∣∣ ;
(e)
∣∣∣∣∣ 1 −1−2 2
∣∣∣∣∣ ; (f)
∣∣∣∣∣∣∣
2 1 3
1 0 2
1 4 2
∣∣∣∣∣∣∣ ; (g)
∣∣∣∣∣∣∣
3 1 3
−3 2 −2
−2 1 2
∣∣∣∣∣∣∣ ; (h)
∣∣∣∣∣∣∣
1 2 4
1 1 0
1 4 2
∣∣∣∣∣∣∣ ; (i)
∣∣∣∣∣∣∣
−2 0 4
1 −1 0
1 0 2
∣∣∣∣∣∣∣ ; (j)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 1
1 1 1 2
1 1 3 1
1 4 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ;
(k)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a 0 0 0
0 0 0 b
0 c 0 0
0 0 d 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (l)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (m)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 −2 0
2 3 −4 1
−1 −2 0 2
0 2 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ; (n)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 i 1 0
i 0 0 1
1 + i 0 0 −i
0 1 i 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ;
(o)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x y 1 x+ y
y x+ y 0 x
x+ y x 0 y
0 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
84. Calcule o determinante de cada uma das matrizes do exercício 53, usando as respectivas factorizações LU .
85. Sabendo que
∣∣∣∣∣∣∣
1 2 4
1 3 9
1 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 12 , calcule: (a)
∣∣∣∣∣∣∣
10 20 40
1 3 9
1 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣ ; (b)
∣∣∣∣∣∣∣
2 4 8
2 6 18
2 −2 2
∣∣∣∣∣∣∣ ; (c)
∣∣∣∣∣∣∣
1 2 4
1 3 9
2 2 10
∣∣∣∣∣∣∣ .
86. Utilize propriedades dos determinantes para provar que: (a)
∣∣∣∣∣∣∣
1 1 2
2 −1 1
3 0 3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ; (b)
∣∣∣∣∣∣∣
a2 ab ac
ab b2 bc
ac bc c2
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 .
87. SendoA uma matriz n×n , determine em termos do det(A): det(2A) , det(−A) , det(A2) , det(Ek`(α)A),
det(Pk`A) .
Caderno de Exercícios p. 8
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88. Calcule os determinantes das matrizes do exercício 61, bem como os das respectivas matrizes inversas. Que
relação existe entre o determinante de cada matriz e o determinante da sua matriz inversa?
89. Calcule os determinantes das matrizes ortogonais referidas no exercício 32.
90. Mostre que se a matriz quadrada A é ortogonal, então | det(A)| = 1 .
91. Calcule os valores de λ que anulam cada um dos seguintes determinantes:∣∣∣∣∣∣∣
λ 0 0
0 −1 −1
1 1 λ
∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 λ
λ 1 1 1
1 λ 2 1
−1 1 λ 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣2− λ 43 3− λ
∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣
1− λ 3 1
0 2− λ 0
0 5 −λ
∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣
2− λ 1 1
1 −λ 1
1 0 1− λ
∣∣∣∣∣∣∣ .
92. Determine os valores de µ ∈ R para os quais a matriz C =

1 0 −1 0
2 µ 0 1
−1 0 µ −1
0 1 2 1
 tem característica quatro.
93. Diga para que valores do parâmetro real α a matriz A =
1 1 α1 α 1
α 1 1
 é invertível, e determine, nesses
casos, a sua inversa.
94. Dê exemplos de matrizes A e B que verificam det(A+B) 6= det(A) + det(B) .
95. Seja A uma matriz de ordem n tal que A = −AT . Mostre que se n for ímpar, então det(A) = 0 . O que se
passa se n for par?
96. Duas matrizes A e B dizem-se semelhantes se existir T invertível tal que A = TBT−1 . Prove que se A e
B forem semelhantes então det(A) = det(B) .
97. Calcule os seguintes determinantes usando o Teorema de Laplace:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
7 7 7 7
1 2 0 2
2 0 1 2
1 1 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
98. Usando a Regra de Cramer resolva os seguintes sistemas de equações: (a) x+ y = 2 , 2x− y = 1 ;
(b) x+ 2y + z = 4 , 3x− y − 2z = 0 , −x− y + 3z = 1 ;
(c) 3x+ y + z + t = 0 , 2x− y + 2t = 1 , x+ y − 2z − t = −3 , 3x− y + 5z = 5 .
Espaços e Sub-espaços vectoriais
99. Diga quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de R4 : (a) {(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 = 0 e x3 =
x4} ; (b) {(x1, x2, x3, x4) : x1+x2+x3 = 0 e x4 é um inteiro não nulo} ; (c) {(x1, x2, x3, x4) : x2 = 0} ;
(d) {(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 + x3 + x4 = 1} ; (e) {(x1, x2, x3, x4) : x1x2 = 0 e x3 = x4 = 0} ;
(f) {(x1, x2, x3, x4) : x21 = x23} .
Caderno de Exercícios p. 9
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100. Diga quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de Rn :
(a) {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 ≥ 0} ; (b) {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1x2 = 0} .
101. Considere os subconjuntos de R2 M = {(α, α) : α ∈ R} e N = {(α, 2α) : α ∈ R} .
(a) Descreva-os geometricamente.
(b) Prove que M e N são subespaços de R2 .
(c) Determine M ∪N e M ∩N .
(d) Para cada um desses conjuntos, diga se é subespaço de R2 .
102. (a) Prove que a intersecção de dois (ou mais) subespaços de Rn é ainda um subespaço de Rn .
(b) Prove que a reunião de dois subespaços de Rn só é um subespaço se um deles contiver o outro.
103. Sendo F e G subespaços de Rn , define-se a sua soma como sendo o conjunto
F +G = {v + w : v ∈ F, w ∈ G} . Prove que:
(a) F +G é um subespaço de Rn .
(b) F +G contém F e G (ou seja, contém F ∪G).
(c) F + G é o menor subespaço de Rn que contém F ∪ G , isto é, para todo o subespaço H que contém
F ∪G tem-se F +G ⊆ H .
104. Sejam Am×n e Bp×m duas matrizes reais quaisquer. Prove que:
(a) O espaço nulo de A está contido no espaço nulo de BA.
(b) O espaço nulo de A coincide com o de ATA . Sugestão: dado y ∈ Rn , se yTy = 0 , então y = 0 .
105. Escreva o vector (2,−3) deR2 como combinação linear dos vectores: (a) (1, 0) e (0, 1) ; (b) (1, 1) e (1, 2) ;
(c) (0, 1) e (2,−3) .
106. Diga se o vector (1, 3) pertence ao subespaço de R2 gerado pelos vectores (0, 1) e (1, 1) . Visualize geome-
tricamente.
107. Diga se o vector (2, 5,−3) pertence ao subespaço de R3 gerado pelos vectores (1, 4,−2)e (−2, 1, 3) .
108. Considere os seguintes vectores: v1 = (1, 0, 2), v2 = (1,−1, 1), v3 = (0,−1,−1), v4 = (1,−1/2, 3/2) .
Prove que o subespaço gerado por v1 e v2 coincide com o subespaço gerado por v3 e v4 .
109. Descreva geometricamente o subespaço de R3 gerado por: (a) (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 2, 0) ; (b) (0, 0, 1),
(0, 1, 1), (0, 2, 1) ; (c) os seis vectores indicados em (a) e (b).
110. Considere os seguintes vectores: a = (1,−1, 1,−1), b = (1, 2, 3, 4), c = (2, 1, 0, 3), d = (0,−3,−2,−5) .
Seja F o subespaço de R4 gerado por a e b . Diga se c e d são elementos de F .
111. Determine α e β de modo que o vector (1, 1, α, β) pertença ao subespaço de R4 gerado pelos vectores
(1, 0, 2, 1) e (1,−1, 2, 2) .
112. Sendo A uma matriz m× n , mostre que o espaço das colunas de A é o conjunto {Av : v vector n× 1} .
Caderno de Exercícios p. 10
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113. Prove que o espaço das colunas de BA está contido no de B .
114. Indique um conjunto gerador para cada um dos subespaços de R4 encontrados no exercício 99.
115. Indique um conjunto gerador para o subespaço de R3, ger((2, 3,−1), (1,−1,−2)) ∩ ger((0, 0, 1),
(1,−1,−2)) .
Dependência e independência linear
116. (a) Escreva o vector nulo deR2 como combinação linear dos vectores (2,−3) e (−4, 6) de várias maneiras
diferentes.
(b) Pode o vector nulo de R2 escrever-se como combinação linear dos vectores (2,−3) e (4, 6) de mais
que uma maneira?
117. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores de R3 são linearmente independentes (e no caso de de-
pendência escreva um dos vectores como combinação linear dos outros): (a) {(1,−2, 3), (3,−6, 9)} ;
(b) {(1,−2,−3), (3, 2, 1)} ; (c) {(0, 1,−2), (1,−1, 1), (1, 2, 1)} ; (d) {(0, 2,−4), (1,−2,−1), (1,−4, 3)} ;
(e) {(1,−1,−1), (2, 3, 1), (−1, 4,−2), (3, 1, 2)} .
118. Considere os seguintes vectores de R4: v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (1,−1, 1,−1), v3 = (−2, 0, 1, 2) e v4 =
(3,−1, 3,−1) . (a) Mostre que v1 , v2 , v3 são linearmente independentes. (b) Mostre que v1 , v2 , v4 são
linearmente dependentes.
119. Discuta, segundo os valores de µ , a dependência ou independência linear dos vectores de R4: v1 =
(1,−2,−5, 8), v2 = (−1, 1, 1, 5) e v3 = (1, 2, 11, µ) .
120. Diga para que valores de α, β e γ os vectores (0, γ,−β), (−γ, 0, α), (β,−α, 0) são linearmente indepen-
dentes.
121. Sejam v1 , v2 , v3 vectores linearmente independentes de Rn . Diga se é linearmente independente cada um
dos seguintes conjuntos de vectores: (a) {v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3} ; (b) {v1 + v2, v2 + v3, v3 + v1} ;
(c) {v1 − v2, v2 − v3, v3 − v1} .
122. Prove que a dependência ou independência linear de um conjunto de vectores não se altera se:
(a) multiplicarmos um dos vectores do conjunto por um escalar não nulo;
(b) somarmos a um dos vectores outro do conjunto multiplicado por um escalar; mais geralmente, se
somarmos a um vector uma combinação linear de outros vectores do conjunto
123. Seja F = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ 2y + z = 0} .
(a) Prove que F é subespaço de R3 .
(b) Determine um conjunto gerador de F .
(c) Diga se o conjunto encontrado na alínea (b) é linearmente independente.
(d) Indique a dimensão e uma base de F .
124. Indique uma base de R2 que contenha o vector v1 = (1, 2) .
Caderno de Exercícios p. 11
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125. Indique uma base de R4 que contenha os vectores v1 = (1, 0, 1, 0) e v2 = (0,−1, 2, 1) .
126. Considere os vectores v1 = (2,−3, 1) , v2 = (0, 1, 2) e v3 = (1, 1,−2) de R3 .
(a) Mostre que os vectores v1, v2 e v3 constituem uma base de R3 .
(b) Determine as coordenadas do vector (3, 2, 1) relativamente à base {v1, v2, v3} .
127. Determine a dimensão e indique duas bases diferentes para o subespaço de R3 gerado pelos vectores
(1, 2, 3), (4, 5, 6) e (7, 8, 9) .
128. Para cada um dos seguintes subconjuntos de Rn , prove que se trata de um subespaço, determine a sua
dimensão e indique uma base:
(a) o conjunto dos vectores com a primeira e a última coordenadas iguais;
(b) o conjunto dos vectores cujas coordenadas de índice par são nulas;
(c) o conjunto dos vectores cujas coordenadas de índice par são todas iguais;
(d) o conjunto dos vectores da forma (α, β, α, β, α, β, . . .).
129. Sendo a1, a2, . . . , an números reais não todos nulos, determine a dimensão e indique uma base do subespaço
de Rn definido pela equação a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = 0 .
130. Determine a característica e uma base do espaço nulo das matrizes
0 0 10 0 1
1 1 1
 e
0 0 1 20 0 1 2
1 1 1 0
 .
131. Determine para que valores de αR a característica de A =
1 −α 2α −1 3α− 1
1 −1 3
 , é, respectivamente, 1, 2, 3.
Em cada caso, determine bases para o espaço das colunas, das linhas e para o espaço nulo de A.
132. O mesmo que no exercício anterior para a matriz A =
1 2α 1α 1 α
0 1 α
 .
133. Diga para que valores de α ∈ R o espaço das colunas de A =
 α −1 1 α−α α −1 0
α2 −1 1 α2
 , coincide com R3 .
134. Determine os valores de α ∈ R para os quais o subespaço gerado pelos vectores, (1, α, 1) , (1, α−1, 1) , (1,
α + 1, 1) e (α, 1, 1) de R3 , tem dimensão 2.
135. Construa uma matriz cujo espaço nulo seja gerado pelo vector (1, 0, 1) .
136. Existirá uma matriz cujo espaço das linhas contenha o vector (1, 1, 1) e cujo espaço nulo contenha o vector
(1, 0, 0)?
137. Se A for uma matriz 64× 17 com característica 11, quantos vectores linearmente independentes satisfazem
Ax = 0? E quantos vectores linearmente independentes satisfazem ATy = 0?
Caderno de Exercícios p. 12
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138. (a) Sendo A uma matriz qualquer, prove que car(A) = car(AT ) .
(b) Será sempre verdade que nul(A) = nul(AT )?
139. Determine a dimensão e indique uma base para F = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 = x3 e x4 = 2x2},
G = ger{(1, 0, 1, 0), (0, 2, 0, 1), (−1, 2,−1, 1)} e F ∩G .
140. Seja A n× n . Prove que, se A2 = A e car(A) = n , então A = I .
141. Prove que, se uma matriz quadrada A satisfizer A2 = A, então N(A) ∩ C(A) = {0}.
142. Sendo A, m× n e B, p×m , prove que:
(a) car(BA) ≤ car(B) ; (b) nul(A) ≤ nul(BA) ; (c) car(BA) ≤ car(A) .
Transformações lineares
143. Em cada uma das alíneas seguintes, analise se a aplicação indicada é linear: (a) T : R2 −→ R2 com
(x, y) 7→ (x+1, y) ; (b) T : R2 −→ R2 com (x, y) 7→ (x, y2) ; (c) T : R3 −→ R2 com (x, y, z) 7→ (2x, y+
z) ; (d) T : R2 −→ R3 com (x, y) 7→ (x− y, 1, x) ; (e) T : R3 −→ R3 com (x, y, z) 7→ (x, 3x− y + z, 0) .
144. Sejam T e P as aplicações de R2 em R2 definidas por T (x, y) = (y, x) e P (x, y) = (x, 0) :
(a) Prove que T e P são lineares; (b) Descreva T e P geometricamente.
145. Seja T : R3 −→ R2 a transformação linear definida por T (1, 0, 0) = (1, 3) , T (0, 1, 0) = (3, 1) e T (0, 0, 1)
= (1,−1) . (a) Determine T (1, 2, 3) . (b) Determine os vectores (x, y, z) deR3 tais que T (x, y, z) = (1, 2) .
146. Seja T : R3 −→ R2 definida por T (1, 1, 1) = (1, 2) , T (1, 1, 0) = (2, 1) e T (1, 0, 0) = (1,−1) . Determine
T (1,−1, 1) e T (−1, 1,−1) .
147. Diga, justificando, se existe alguma transformação linear T : R2 −→ R2 tal que T (1,−1) = (1, 0) ,
T (2,−1) = (0, 1) e T (8,−5) = (4, 7) .
148. Determine a matriz da aplicação linear T de R3 em R3 definida por T (x, y, z) = (2x − y − z, 2y − x −
z, 2z − x− y) na base canónica de R3 . Use a matriz encontrada para achar T (v) sendo: (a) v = (1, 1, 1) ;
(b) v = (2, 1, 1) ; (c) v = (−5, 3, 2) .
149. Determine a matriz que representa cada uma das aplicações lineares estudadas no exercício 143, em relação
às bases canónicas dos subespaços considerados.
150. Fixadas em R2 e R3 as respectivas bases canónicas, determine a matriz que representa as seguintes apli-
cações lineares, em relação a estas bases: (a) g : R2 −→ R3 definida por g(x, y) = (x + y, 0, 0) ; (b)f :
R3 −→ R2 definida por f(x, y, z) = (−y, x) ; (c) gλ : R3 −→ R3 definida por gλ(x, y, z) = (λx, λy, λz) .
151. Calcule a imagem do vector (1,−2, 1) pela aplicação linear representada, em relação à base canónica de
R3 , pela matriz A =
1 2 32 3 4
0 1 2
 .
152. Em cada uma das alíneas seguintes escreva a matriz da transformação linear T nas bases indicadas:
Caderno de Exercícios p. 13
Álgebra Linear e Geometria Analítica Lic. em Física e Eng. Física
(a) T : R3 −→ R2 , T (x, y, z) = (x + y, z) ; {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} base de R3 e a base canónica
de R2 ;
(b) T : R2 −→ R4 , T (x, y) = (x+ y, x− y, x, y) ; {(1, 1), (1,−1)} base de R2 e {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1),
(0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} base de R4 ;
(c) T : R2 −→ R4 , T (αv1 + βv2) = (α + β)w1 + (α − β)w2 + αw3 + βw4 ; {v1, v2} base de R2 e
{w1, w2, w3, w4} base de R4 ;
(d) T : R2 −→ R3 , T (αv1 + βv2) = (α+ β)w1 + (α− β)w2 + αw3 + βw4 ; {v1 + v2, v1 − v2} base de
R2 e {w1 + w2 + w3 + w4, w2 + w3 + w4, w3 + w4, w4} base de R3 .
153. Considere a base de R3 constituída pelos vectores a = (2, 2, 0) , b = (2, 0, 6) , c = (1, 1, 1) . Seja T :
R3 −→ R2 a aplicação linear definida por T (a) = (4, 6) , T (b) = (8, 6) , T (c) = (3, 3) .
(a) Determine a matriz que representa T em relação às bases {a, b, c} de R3 e canónica {e1, e2} de R2 e
utilizando este resultado determine a imagem do vector (4, 4, 0) .
(b) Considere a′ = a+ b, b′ = b+ c, c′ = c+ a, e′1 = e1 + 2e2, e
′
2 = e2 . Mostre que B1 = {a′, b′, c′} e
B2 = {e′1, e′2} constituem bases de R3 e de R2 , respectivamente, e determine a matriz que representa
T relativamente a estas bases.
Produto interno
154. Mostre que: (a) 〈0, v〉 = 0 , para todo o v ∈ Rn . (b) Se 〈u, v〉 = 0 , para todo o v ∈ Rn , então u = 0 .
(c) Se 〈u, v〉 = 〈u′, v〉 , para todo o v ∈ Rn , então u = u′ .
155. Se os vectores v1, v2, . . . , vk forem ortogonais dois a dois, mostre que, quaisquer que sejam os números
reais α1, α2, . . . , αk , os vectores α1v1, α2v2, . . . , αkvk são também ortogonais dois a dois.
156. Demonstre por indução que em Rn vale a seguinte propriedade:
〈
n∑
i=1
αixi, y
〉
=
n∑
i=1
αi〈xi, y〉.
157. Prove que, se um vector w for ortogonal a cada um dos vectores v1, v2, . . . , vk também é ortogonal a
qualquer combinação linear deles.
158. No espaço R3 , considere os vectores u = (1, 2, 3) e v = (−3, 0, 1) . Verifique que u e v são ortogonais.
Calcule as normas de u e de v . Escreva os vectores u/‖u‖ e v/‖v‖ e verifique que têm norma 1. Generalize
esta observação.
159. Verifique se entre os vectores de R4, x = (1, 2, 3, 5) , y = (0,−2, 4, 1) e z = (3, 7, 3, 2) , há ou não dois
que sejam ortogonais. Calcule as normas de x , y e z . Calcule a distância entre x e y .
160. Sejam x = (1,−1, 1,−1) e y = (1, 0, 0, 0) . Calcule o ângulo entre x e y . Calcule a projecção ortogonal
de x sobre y .
161. Que mudança se dá no ângulo entre os vectores não nulos x e y se: (a) se multiplicar x por um número
positivo? (b) se multiplicar x por um número negativo? (c) se multiplicar x e y por números negativos?
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162. Mostre que o triângulo em R3 cujos vértices são u = (
√
2, 0,−√2), v = (1,−√2, 1) e w = (−1,√2,−1)
é rectângulo e isósceles.
163. Calcule o ângulo que o vector (1, 1, . . . , 1) ∈ Rn faz com os vectores da base canónica.
164. Prove que a norma da projecção ortogonal de y sobre x é |〈x, y〉|/‖x‖ .
165. Prove que uma base {u1, u2, . . . , un} de Rn é ortonormada se e só se a matriz cujas colunas são u1, u2, . . .,
un for ortogonal.
166. Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormada de Rn . Seja x ∈ Rn um vector qualquer.
(a) Mostre que as coordenadas de x na base {u1, u2, . . . , un} são 〈x, u1〉, 〈x, u2〉, . . . , 〈x, un〉.
Sugestão: escreva x = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun e calcule 〈x, uj〉 .
(b) Use a alínea (a) para concluir que, se x tiver norma 1, então as suas coordenadas na base {u1, u2, . . .,
un} são os cosenos dos ângulos θ1, θ2, . . . , θn de x com os vectores da base considerada. Conclua que
n∑
i=1
cos2 θi = 1 .
Nota: Aos valores cos θ1, cos θ2, . . . , cos θn chamamos cosenos directores do vector x .
167. A desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser aplicada em várias situações. Use-a, por exemplo, para
demonstrar o seguinte facto: Sendo α, β e µ números reais arbitrários, tem-se αβ+βµ+µα ≤ α2+β2+µ2 .
Supondo que αβµ 6= 0 , conseguirá dizer exactamente em que casos é que nesta desigualdade ocorre
igualdade?
168. Deduza da desigualdade triangular que, sendo x, y e z quaisquer em Rn , se tem ‖x − y‖ ≤ ‖x − z‖ +
‖z − y‖ . O que é que isto significa geometricamente em R2 e R3?
169. Sejam x, y ∈ Rn. Demonstre que:
(a) Se ‖x− y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2, então x e y são ortogonais.
(b) Se ‖x‖ = ‖y‖, então os vectores x+ y e x− y são ortogonais.
(c) Se x e y forem ortogonais então ‖x+ y‖ = ‖x− y‖.
Interprete geometricamente, para R2 e R3, as alíneas (b) e (c).
170. Sejam x, y ∈ Rn. Prove que x e y são ortogonais se e só se ‖x‖ ≤ ‖x+ αy‖ para todo o α ∈ R.
171. Sendo x, y ∈ Rn , não nulos, e sendo θ o ângulo entre eles, mostre que ‖x − y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 −
2 ‖x‖ ‖y‖ cos θ. Note que este enunciado generaliza o Teorema de Pitágoras.
172. (a) Mostre que, se Q n× n for ortogonal, então 〈Qx,Qy〉 = 〈x, y〉 para quaisquer vectores x, y ∈ Rn.
(b) Conclua que uma matriz n× n ortogonal não altera os ângulos entre vectores de Rn.
173. Que múltiplo de v1 = (1, 1) devemos subtrair de v2 = (4, 0) para que o resultado seja ortogonal a v1?
Represente geometricamente.
174. Utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, obtenha uma base ortonormada para R3 a
partir dos vectores (1, 0, 1) , (1, 0,−1) , (0, 3, 4) .
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175. Seja F o subespaço de R4 gerado pelos vectores (1, 1,−1,−2) , (−2, 1, 5, 11) , (0, 3, 3, 7) e
(3,−3,−3,−9) . Determine a dimensão de F e encontre uma base ortonormada para F .
176. Projecte o vector b = (1, 3, 2) sobre os vectores (não ortogonais) v1 = (1, 0, 0) e v2 = (1, 1, 0) . Mostre
que, ao contrário do caso ortogonal, a soma das duas projecções não dá a projecção ortogonal de b sobre o
subespaço gerado por v1 e v2 .
177. Calcule a projecção ortogonal do vector (2,−2, 1) sobre o plano gerado por (1, 1, 1) e (0, 1, 3) .
178. Sendo A =
1 00 −1
1 2
 e b =
−20
2
 determine a solução no sentido dos mínimos quadrados de Ax = b por
dois processos distintos.
179. (a) Determine a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema x1 = 1 , x2 = 1 , x1 + x2 = 0 .
(b) Designando por A a matriz do sistema, por b o vector dos segundos membros, e por x a solução
encontrada, determine a projecção p = Ax de b sobre C(A) .
(c) Determine o resíduo mínimo, r(x) = b− Ax , e a sua norma.
(d) Comprove que r(x) é perpendicular às colunas de A .
180. Mesmo exercício para o sistema x1 + 2x2 = 1 , 2x1 + 5x2 = 0 , 3x1 + 7x2 = 2 .
181. Considere a matriz A =
 0 1 21 −1 −4
−1 0 2
 .
(a) Determine, para a matriz A , a sua factorização PA = LU .
(b) Sem efectuar cálculos, diga, justificando, qual o valor de det(A) .
(c) Determine uma base para o espaço das colunas de A .
(d) Calcule a projecção ortogonal de b = (0, 1, 3) sobre C(A) .
(e) Usando a alínea anterior, determine a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema Ax = b .
182. Determine a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema (com m equações e uma incógnita)
x = β1, x = β2, . . . , x = βm. Comente.
183. Determine a solução no sentido dos mínimos quadrados de Ax = b onde A =
 1 22 4
−1 −2
 e b =
32
1
 .
184. Considere a matriz A =
[
1 1 0 1
1 0 1 1
]T
.
(a) Determine uma base ortonormada para o espaço das colunas de A.
(b) Calcule a projecçãoortogonal de b =
[
4 5 −1 4
]T
sobre esse espaço.
(c) O que pode concluir do resultado da alínea anterior sobre o sistema Ax = b? Não resolva o sistema.
Caderno de Exercícios p. 16
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185. (a) Determine uma base ortogonal para o subespaço de R3 gerado por (1, 1, 1) e (0, 3, 6).
(b) Calcule a projecção ortogonal do vector (1, 4, 5) sobre o subespaço da alínea (a).
(c) Usando o resultado da alínea anterior, determine a linha recta que melhor se ajusta, no sentido dos
mínimos quadrados, aos pontos (0, 1), (3, 4), (6, 5). Represente geometricamente.
186. Determine a linha recta que melhor se ajusta, no sentido dos mínimos quadrados, aos seguintes pontos (e
represente geometricamente): (a) (0, 0), (1, 0), (3, 12) ; (b) (−1, 2), (1,−3), (2,−5), (0, 0) .
187. Dado um conjunto de pontos deR2 podemos procurar, em vez de uma recta, outras curvas para se ajustarem
a esses pontos. Por exemplo, dado os pontos (0,3), (1,2), (2,4), (3,4), determine o polinómio do segundo
grau cujo gráfico melhor se ajusta, no sentido dos mínimos quadrados, a esses pontos. Represente geome-
tricamente, e compare a curva obtida com a recta de melhor ajuste.
Valores e vectores próprios
188. Calcule os valores próprios e os respectivos subespaços próprios de cada uma das seguintes matrizes (indi-
cando uma base para os subespaços próprios): (a)
[
4 −5
2 −3
]
; (b)
[
2 1
−1 0
]
; (c)
[
0 1
−1 0
]
; (d)
[
1 1
0 1
]
;
(e)
 1 −1 0−1 2 −1
0 −1 1
 ; (f)
3 2 42 0 2
4 2 3
 ; (g)
−3 1 −1−7 5 −1
−6 6 −2
 ; (h)
2 1 12 3 2
3 3 4
 .
189. (a) Prove que matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios.
(b) Verifique que o recíproco da alínea anterior é falso através das matrizes
[
2 0
0 2
]
e
[
2 1
0 2
]
.
190. Determine os valores e os vectores próprios da matriz
3 0 00 −1 0
0 0 2
 . Generalize para uma matriz diagonal.
191. Quais são os valores próprios de uma matriz triangular (superior ou inferior)?
192. Determine os vectores próprios de: (a)
4 1 00 3 1
0 0 2
 ; (b)
α 1 00 α 1
0 0 β
 (estude os casos α = β e α 6= β).
193. Prove que uma matriz quadrada é singular se e só se 0 for valor próprio dela.
194. Dê exemplos que mostrem que os valores próprios de uma matriz podem mudar
(a) quando se subtrai a uma linha um múltiplo de outra linha;
(b) quando se trocam entre si duas linhas da matriz.
Observação: Deste exercício conclui-se que para calcular os valores próprios de uma matriz A não se pode
aplicar o método de eliminação à matriz A .
195. Sendo A uma matriz quadrada, prove que A e AT têm o mesmo polinómio característico, e portanto os
mesmos valores próprios (incluindo as respectivas multiplicidades).
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196. Diga se cada uma das matrizes do exercício 188 é ou não diagonalizável e, em caso afirmativo, determine
uma matriz diagonalizante.
197. Determine os valores próprios das matrizes A =
1 1 20 1 0
0 1 3
 e B =
1 1 20 2 1
0 0 1
 . Analise se são diagonal-
izáveis e, em caso afirmativo, indique duas matrizes diagonalizantes diferentes.
198. Calcule os valores próprios de A =
[
7 −4
9 −5
]
. Sem calcular os vectores próprios de A , mostre que A não
é diagonalizável.
199. Uma matriz quadrada de ordem 2 real A tem valores próprios 3 e 5, e a eles estão associados, respectiva-
mente, os vectores próprios
[
1 2
]T
e
[
2 −1
]T
. Prove que A é simétrica.
200. Seja A uma matriz real de ordem três tal que A
11
1
 =
11
1
 , A
01
2
 =
01
2
 e A
00
1
 =
00
2
 .
(a) Indique os valores próprios de A . (b) Indique, se existir, uma matriz diagonal semelhante a A .
(c) Determine, explicitamente, uma matriz A nas condições do enunciado.
201. Calcule
[
4 −2
1 1
]1000
.
202. Para cada uma das seguintes matrizes simétricas reais A , determine uma matriz ortogonal Q tal que QTAQ
seja diagonal:
(a)
[
6 2
2 3
]
; (b)
1 0 10 1 0
1 0 1
 ; (c)
2 1 11 2 1
1 1 2
 ; (d)
 1 −1 1−1 1 −1
1 −1 1
 ; (e)
1 2 12 4 2
1 2 1
 .
203. Utilizando os resultados obtidos no exercício anterior, determine a solução geral dos seguintes sistemas de
equações diferenciais lineares.
(a) y′1 = 6y1 + 2y2 , y
′
2 = 2y1 + 3y2 ;
(b) y′1 = y1 + y3 , y
′
2 = y2 , y
′
3 = y1 + y3 ;
(c) y′1 = 2y1 + y2 + y3 , y
′
2 = y1 + 2y2 + y3 , y
′
3 = y1 + y2 + 2y3 ;
(d) y′1 = y1 − y2 + y3 , y′2 = −y1 + y2 − y3 , y′3 = y1 − y2 + y3 .
204. Determine equações reduzidas das cónicas de equação:
(a) x2+2xy+y2 = 1 ; (b) x2−4xy−2y2 = 1 ; (c) 3xy = 1 ; (d) xy+x+y = 0 ; (e) x2+y2−3x−3y+xy =
0 ; (f) 6x2 + 4xy + 3y2 + 2x− y = 1 .
205. Determine equações reduzidas das quádricas de equação:
(a) x2−2xy+y2−2yz+z2+2xz = 1 ; (b) x2+y2+2xz+z2+y = 1 ; (c) 2x2+2xy+2y2+2xz+2z2+2yz =
3 ; (d) x2 + 4xy + 4y2 + 2xz + z2 + 4yz + x− z = 4 .
Caderno de Exercícios p. 18