AP2 2010.2

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
2a Prova Presencial - 2o. semestre de 2010
Profa. Ana Maria Farias
1. (1,0 ponto) O reitor de uma universidade deseja estimar a proporção de funcionários fa-
voráveis a um determinado projeto. Sendo esse projeto fundamental para o sucesso da sua
administração, ele define, com seus assessores, um nível de confiança de 90% para uma margem
de erro máxima de 3%. Quantos funcionários deverão ser entrevistados?
Solução
Trabalhando no pior cenário (p = 0, 5) :
� = zα/2
r
0, 5× 0, 5
n
1, 64× 0, 5√
n
≤ 0, 03⇒
√
n ≥ 1.64× 0.5
0.03
⇒ n ≥
µ
1.64× 0.5
0.03
¶2
Logo, devem ser pesquisados pelo menos 748 funcionários.
2. (1,5 pontos) Uma amostra de tamanho 20 de uma população Normal forneceu os seguintes
resultados: x = 1, 1875 e s2 = 6, 1798. Construa um intervalo de confiança para média
populacional com nível de confiança de 95%.
Solução
Dos dados do problema resulta
x = 1, 1875
s2 = 6, 1798
e
X ∼ N(μ;σ2) =⇒ X − μS√
n
∼ t(n− 1)
95% de confiança =⇒ t19;0,025 = 2, 093 e o intervalo de confiança é"
1.1875− 2.093×
r
6.1798
20
; 1.1875 + 2.093×
r
6.1798
20
#
= [0, 024067; 2, 350933]
3. Num escritório de administração, o tempo de execução de determinada tarefa segue uma
distribuição normal com desvio padrão de 2 minutos. O tempo médio de execução dessa
tarefa deve ser no máximo 8 minutos para que não haja atraso nas tarefas subsequentes. O
gerente geral, preocupado com os funcionários, precisa saber se eles estão realizando a tarefa
a contento. Caso não estejam, ele proporá um treinamento. Você ajudará o gerente a tomar
a decisão com base em uma amostra de 25 tempos que acusou tempo médio de 8,4 minutos.
(a) (0,5 ponto) Formule o problema em termos de um teste de hipóteses, especificando as
hipóteses nula e alternativa.
Solução
1
Seja X a variável aleatória que representa o tempo de execução da tarefa, em minutos..
Então, X ∼ N(μ; 4).
As suposições de interesse para o problema são
μ ≤ 8
μ > 8
Logo,
H0 : μ = 8
H1 : μ > 8
(b) (1,0 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 5%.
Solução
α = 5%, teste unilateral: z0,05 = 1, 64 e a regra de decisão é rejeitar H0 se
X − 8
2√
25
> 1, 64⇐⇒ X > 8 + 1.64× 2
5
= 8, 656
(c) (0,5 ponto) Com base na amostra colhida, determine a decisão a ser tomada pela
diretoria.
Solução
Como o tempo médio amostral não está na região crítica (8, 4 < 8, 656), conclui-se que
os funcionários estão trabalhando a contento e não será necessário treinamento.
(d) (0,5 ponto) Calcule o valor P.
Solução
Como o valor observado da estatística é z0 =
8.4− 8
2√
25
= 1.0 e o teste é unilateral, o valor
P é
Pr(Z > 1, 0) = 0, 5− tab(1, 0) = 0.5− 0.34134 = 0, 15866
Em termos da média amostral:
Pr(X > 8, 4 |H0) = Pr
Ã
Z >
8.4− 8
2
5
!
= Pr(Z > 1) = 0, 15866
4. Contestanto a uma acusação de um cliente, o gerente de Recursos Humanos de um escritório
de contabilidade afirma que o tempo médio de espera para atendimento é de, no máximo, 23
minutos. Para comprovar sua observação, ele analisa uma amostra aleatória de 6 clientes, que
acusa os seguintes tempos de espera (em minutos): 27, 24, 21, 25, 26, 22. Com base na sua
experiência, ele sabe que os tempos de espera são aproximadamente normais.
Obs.:
P
xi = 145;
P
x2i = 3531
(a) (0,5 ponto) Formule o problema em termos de um teste de hipóteses, especificando as
hipóteses nula e alternativa.
Solução
Se X representa o tempo de espera, então X ∼ N(μ;σ2) e X − μS√
n
∼ t(n− 1)
2
As suposições do problema são:
μ ≤ 23
μ > 23
Logo,
H0 : μ = 23
H1 : μ > 23
(b) (1,0 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 10%.
Solução
α = 10%; 5 graus de liberdade: t20;0,10 = 1, 476. A regra de decisão é rejeitar H0 se
X − 23
S√
n
> 1, 476⇐⇒ X > 23 + 1.476×
r
5.35
6
= 24, 394
(c) (1,0 ponto) Com base na amostra colhida, estabeleça a conclusão do gerente. Certifique-
se de estabelecer sua conclusão em termos não-técnicos.
Solução
Para a amostra obtida temos:
X =
6P
i=1
Xi
6
=
145
6
= 24, 167
S2 =
1
5
³
272 + 242 + 212 + 252 + 262 + 222 − 6× (24.167)2
´
=
=
1
5
[3531− 3504.263] ≈ 5, 35
e o valor observado da estatística de teste é
t0 =
24.167− 23q
5.35
6
= 1, 2359
Como o valor observado da estatística de teste ou da média amostral não pertence à
região crítica (1, 2359 < 1, 476 e 24, 167 < 24, 394) não rejeitamos a hipótese nula, ou
seja, as evidências amostrais indicam que o tempo médio de espera é de, no máximo, 23
minutos.
5. (2,5 pontos) Uma pesquisa revelou que, dos 500 estudantes consultados numa grande uni-
versidade, 68 ainda não sabiam em quem iriam votar para senador. Teste a hipótese de que
a proporção populacional dos estudantes dessa universidade que não sabem em quem votarão
para senador é menor que 15%, usando o nível de 4% de significância. Certifique-se de especi-
ficar as hipósteses nula e alternativa.
Solução
As suposições do problema são:
p < 0, 15
p ≥ 0, 15
3
Logo,
H0 : p = 0, 15
H1 : p < 0, 15
Aproximação normal e teste unilateral: z0,04 = −1, 75
Sob H0,o valor da estatística de teste é:
z0 =
68
500
− 0.15r
0.15× 0.85
500
= −0, 87671
Como o valor observado da estatística de teste encontra-se na região crítica, rejeitamos a
hipótese nula, ou seja, esses dados indicam que a proporção de alunos que não sabem em
quem votarão para senador é menor que 15%.
Resultados importantes e fórmulas
X ∼ N
¡
μ;σ2
¢
=⇒
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
X − μ
σ√
n
∼ N(0; 1)
X − μ
S√
n
∼ t(n− 1)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = bP ≈ N µp; p(1− p)
n
¶
(amostra grande)
S2 =
1
n− 1
nP
i=1
¡
Xi −X
¢2
=
1
n− 1
∙
nP
i=1
X2i − nX
2
¸
=
1
n− 1
"
nP
i=1
X2i −
(
P
Xi)2
n
#
4