AP2 _ME_II_2010_2_GAB

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
2a Prova Presencial - 2o. semestre de 2010
Profa. Ana Maria Farias
1. (1,5 ponto) A cada ano, uma companhia telefônica inspeciona os postes telefônicos e substitui
aqueles que apresentam defeitos. Para alocar recursos de maneira eficiente, a companhia deseja
estimar a proporção p de postes defeituosos. Para isso, é necessário construir um intervalo de
confiança para p com 95% de confiança e erro máximo de 2%. Qual é o tamanho necessário
da amostra em cada um dos seguintes casos?
(a) A experiência passada sugere que p ≈ 0, 1.
Solução
0, 02 = 1, 96 ·
r
0, 1× 0, 9
n
⇒ n =
µ
1, 96
0, 02
¶2
× 0, 1× 0, 9⇒ n ≥ 865
: 864. 36
(b) Não há qualquer informação sobre a proporçãod e psotes defeituosos.
Solução
0, 02 = 1, 96 ·
r
0, 5× 0, 5
n
⇒ n =
µ
1, 96
0, 02
¶2
× 0, 25⇒ n ≥ 2401
2. (2,5 pontos) Joalheiros estão preocupados com o possível aumento da produção de ouro,
uma vez que um aumento na produção pode levar a uma queda no preço. Dados históricos
apontam uma produção média de 18 quilos no terceiro trimestrede cada ano. Suponha que
a qauntidade produzida possa ser bem aproximada por uma distribuição normal com desvio
padrão de 3 kg. Uma amostra aleatória de minas de ouro foi selecionada e a produção no
terceiro trimestre de cada uma delas levantada, resultando nos seguintes valores:
55 36 35 23 9 1 16 14 7 5 9
(a) (0,5 ponto) Formule o problema em termos de um teste de hipóteses, especificando as
hipóteses nula e alternativa.
Solução
H0 : μ = 18
Ha : μ > 18
(b) (1,0 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 5%.
Solução
RC : Z0 > 1, 64 Z0 =
√
11
X − 18
3
(c) (0,5 ponto) Com base na amostra colhida, determine a conclusão sobre a produção de
ouro no terceiro trimestre.
1
Solução
x =
55 + 36 + 35 + 23 + 9 + 1 + 16 + 14 + 7 + 5 + 9
11
= 19, 091
z0 =
√
11
19, 091− 18
3
= 1, 206
Como o valor observado da estatística de teste não está na região crítica, não rejeitamos
a hipótese nula, ou seja, os dados não fornecem evidência de que a produção de ouro
tenha aumentado.
(d) (0,5 ponto) Calcule o valor P.
Solução
P = Pr(Z > 1, 206) = 0, 5− tab(1, 21) = 0, 5− 0, 3869 = 0, 1131
3. (3,5 pontos) Um distribuidor de pães e bolos faz entregas diárias em oito delicatessens e
quatro lojas de conveniência. A média histórica do tempo gasto pelo motorista para fazer
as entregas e retornar ao ponto de abastecimento é de 6,5 horas. Um novo motorista foi
contratado para fazer esse percurso e ele alega que conseguiu melhorar o tempo de entrega.
Uma amostra dos seus tempos de entrega é dada a seguir:
5,61 6,25 5,40 6,57 5,35 5,95 6,53 6,29
Obs.:
P
xi = 47, 95;
P
x2i = 289, 0895
(a) (0,5 ponto) Formule o problema em termos de um teste de hipóteses, especificando as
hipóteses nula e alternativa.
Solução
H0 : μ = 6, 5
Ha : μ < 6, 5
(b) (1,0 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 2,5%.
Solução
RC : T0 < −2, 365 T0 =
√
8
X − 6.5
S
(c) (1,0 ponto) Com base na amostra colhida, estabeleça a conclusão.
Solução
x =
47, 95
8
= 5, 99375
s2 =
1
7
µ
289, 0895− 47, 95
2
8
¶
= 0, 24131
t0 =
√
8
5.99375− 6.5√
0.24131
= −2, 9149
Como o valor observado da estatística de teste está na região de rejeição, conclui-se que
o novo motorista diminuiu o tempo de entrega.
2
(d) (1,0 ponto) Construa um intervalo de confiança para o tempo de entrega do novo mo-
torista, com nível de confiança de 95%.
SoluçãoÃ
5, 99375− 2, 365×
r
0, 24131
8
; 5, 99375 + 2, 365×
r
0, 24131
8
!
= (5, 583; 6, 405)
4. (2,5 pontos) Em 2007, uma pesquisa realizada pela Brookfield Research/American Express
revelou que 35% dos proprietários de cartão de crédito American Express no Canadá usavam
apenas esse cartão regularmente. Uma campanha publicitária promocional foi feita com o
objetivo de aumentar o número de proprietários e usuários do cartão American Express. Depois
dessa campanha, realizou-se uma nova pesquisa com 2500 proprietários de cartão de crédito
e 902 indicaram que só usavam o American Express. Teste se a campanha publicitária teve
sucesso, ao nível de significância de 1%, .Certifique-se de especificar todas as etapas da solução
do problema.
Solução
H0 : p = 0, 35
H1 : p > 0, 35
Estatística de teste e região crítica
Z0 =
bP − p0r
p0(1− p0)
n
RC : Z0 > 2, 33
Valor observado da estatística de teste
Z0 =
bp− p0r
p0(1− p0)
n
=
902
2500
− 0, 35r
0, 35× 0, 65
2500
= 1, 1321
Como o valor observado da estatística de teste não está na região crítica, os dados sugerem que
a campanha não teve o efeito desejado, ou seja, não houve aumento do número de proprietários
do cartão American Express.
Resultados importantes e fórmulas
X ∼ N
¡
μ;σ2
¢
=⇒
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
X − μ
σ√
n
∼ N(0; 1)
X − μ
S√
n
∼ t(n− 1)
3
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = bP ≈ N µp; p(1− p)
n
¶
(amostra grande)
S2 =
1
n− 1
nP
i=1
¡
Xi −X
¢2
=
1
n− 1
∙
nP
i=1
X2i − nX
2
¸
=
1
n− 1
"
nP
i=1
X2i −
(
P
Xi)2
n
#
4