Apostila 4 - Medidas de Posição

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
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4 - MEDIDAS DE POSICÃO E DE DISPERSÃO 
 
4.1 – Média 
 
4.1.1 – Definição 
 
A Média de uma série de valores Xi = X1, X2,...,Xn, é a razão entre a soma de todos os 
valores e o número de termos da série. É um valor representativo de um conjunto de da-
dos. 
 
4.1.2 – Determinação 
 
n
X
X
i

  para dados não tabulados 
n
fX
X
ii

  para dados tabulados ou ponderados 
 
EXEMPLO 
1) Determinar a média para os dados abaixo: 
1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30 
2) Determinar a média para as distribuições abaixo: 
Xi fi 
2 1 
5 4 
6 3 
8 2 
 
 Xi fi 
2 |— 5 1 
5 |— 8 10 
8 |— 11 8 
11 |— 14 1 
 
 
 
 
 
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4.1.3 – Propriedades 
 
1
ª
 - A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números, em relação à média, é 
zero. 
  0XX
i

 
 
2
ª
 - Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada valor do conjunto, a nova 
média será a original aumentada ou diminuída do valor dessa constante. 
3
ª
 - Multiplicando-se ou dividindo-se cada valor do conjunto por uma constante, a nova 
média será a original multiplicada ou dividida do valor dessa constante. 
 
4
ª
 - A média de um conjunto de números pode ser sempre calculada. 
5
ª
 - Para um dado conjunto de números, a média é única. 
6
ª
 - A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto. 
 
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4.2 – Mediana 
 
4.2.1 – Definição 
 
A Mediana de uma série de “n” termos Xi = X1, X2. ... Xn, ordenados, é o elemento que 
separa a série em dois subconjuntos, de modo que seja precedido e seguido pelo mesmo 
número de ocorrências. É o valor central de um conjunto de números organizados em 
ordem de grandeza. Sua característica principal é dividir esse conjunto de números em 
duas partes iguais. 
 
!-------------------!-------------------! 
 Md 
 
4.2.2 – Determinação 
 
 Dados não tabulados: 
1
º
 - Ordenar os valores; 
2
º
 - Verificar se n é impar ou par: 
 - Se o rol apresenta um número ímpar de elementos, teremos apenas uma posição 
central, Elemento Mediano  EMd = 
2
1n
 
 - Se o rol apresenta um número par de elementos, teremos duas posições centrais, 
Elemento Mediano  EMd = 
2
n
 e EMd = 
2
2n
 
3
º
 - Localizar, nos dados ordenados o valor da variável que ocupa a posição determi-
nada pelo Elemento Mediano. Para n ímpar, a mediana é o valor do meio; para n par, 
a mediana é a média dos dois valores do meio. 
 
EXEMPLO 
1) Determinar a mediana para os dados abaixo: 
X = 5, 6, 10, 6, 11, 20, 11 
Y = 3,4 ; 7,8 ; 9,23 ; 12,15 
2) Determinar a mediana para os dados abaixo: 
X = 1, 2, 4, 7, 16, 81, 26, 10, 3, 1, 1 
Y = 5, 10, 15, 20, 2, 7, 4, 13 
 
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 Dados tabulados não agrupados em classes: 
1
º
 - Verificar se a coluna de Xi está ordenada; 
2
º
 - Verificar se n é impar ou par: 
 - Se o rol apresenta um número ímpar de elementos, teremos apenas uma posição 
central, Elemento Mediano  EMd = 
2
1n
 
 - Se o rol apresenta um número par de elementos, teremos duas posições centrais, 
Elemento Mediano  EMd = 
2
n
 e EMd = 
2
2n
 
3
º
 - Localizar o Elemento Mediano através da Fa . A mediana será o valor da variável 
correspondente ao ponto central. 
 
EXEMPLO 
1) Determinar a mediana: 
Xi fi 
2 1 
3 4 
4 4 
5 2 
 
2) Determinar a mediana: 
Xi fi 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
 
 Dados tabulados agrupados em classes: 
1
º
 - Verificar se a coluna de Xi está ordenada; 
2
º
 - Calcular a posição da mediana por: 
 
2
n
EMd 
 
3
º
 - Identificar o intervalo que contém a mediana localizando o Elemento Mediano na 
Fa ; 
 
 
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4
º
 - Aplicar a fórmula da interpolação para o cálculo da mediana: 
 
h.
f
FE
lMd
MdE
i
aaMd
i


 
Onde: 
li => limite inferior da classe mediana 
EMd => posição da mediana 
Faa => frequência acumulada anterior à classe mediana 
f iEMd => frequência simples da classe mediana 
h => intervalo da classe mediana 
 
EXEMPLO 
1) Determinar a mediana: 
 Xi fi 
400 |— 500 12 
500 |— 600 15 
600 |— 700 8 
700 |— 800 3 
800 |— 900 1 
900 |— 1000 1 
 
4.3 – Moda 
 
4.3.1 – Definição 
 
A moda é o valor que ocorre com a maior frequência em um conjunto de números. A mo-
da pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única. 
 
4.3.2 – Determinação 
 
 Dados não tabulados: 
A determinação é imediata. 
EXEMPLO 
1) Determinar a moda para os dados abaixo: 
X = 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 15, 18 
Y = 12, 12, 15, 16, 16, 16, 19, 20, 20, 20 
W = 22, 22, 22, 22, 25, 26, 26, 29, 29, 29, 29, 30, 30, 33 
Z = 32, 32, 35, 35, 36, 36, 39, 39, 40, 40 
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 Dados tabulados não agrupados em classes: 
A determinação é imediata. A moda será o valor de X i correspondente à maior fre-
quência. 
 
EXEMPLO 
1) Determinar a moda: 
Xi fi 
200 30 
400 52 
600 28 
800 7 
900 3 
2) Determinar a moda: 
Xi fi 
4 1 
8 5 
12 10 
16 8 
20 10 
 
 Dados tabulados agrupados em classes: 
1
º
 - Identificar a classe modal ( classe correspondente à maior frequência ); 
2
º
 - Aplicar a fórmula de Kzuber para o cálculo da moda: 
 
h.lMo
21
1
i



 
Onde: 
li => limite inferior da classe modal 
1 => diferença entre a frequência simples da classe modal e a imediatamente anterior 
2 => diferença entre a frequência simples da classe modal e a imediatamente posterior 
h => intervalo da classe modal 
EXEMPLO 
1) Determinar a moda: 
 Xi fi 
0 |— 1000 10 
1000 |— 2000 50 
2000 |— 3000 200 
3000 |— 4000 320 
4000 |— 5000 150 
5000 |— 6000 30 
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4.4 - Comparações entre as Medidas de Posição 
 
A média é influenciada por cada valor do conjunto, inclusive os extremos. Já a mediana 
é relativamente insensível aos valores extremos. 
         
 
 Mediana Média 
A ordenação dos dados para a determinação da mediana, por vezes, pode ser difícil. 
A moda, comparada à média e a mediana, é a medida menos útil por não ter nenhum tra-
tamento matemático mas, do ponto de vista descritivo, a moda indica o valor "típico" em 
termos de maior ocorrência. 
A utilidade da moda acontece quando um ou um grupo de valores ocorrem com uma fre-
quência muito maior que os demais. Quando todos, ou quase, todos os valores ocorrem 
aproximadamente com a mesma frequência, a moda nada acrescenta em termos de des-
crição dos dados. 
A pesar de a média situar-se entre o menor e o maior resultado, ela não tem, necessari-
amente, existência real. 
A média não pode ser calculada para distribuições com classes ou limites abertos. 
O cálculo da média é simples e como envolve todos os valores observados, quando ade-
quada, será preferível. 
A moda, por não depender de todos os valores, não se altera com a modificação de al-
guns deles: 
{ 6, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 5} Mo = 6 
{ 6, 6, 6, 6, 8, 7, 8, 9, 9, 5} Mo = 6 
A moda tem existência real (exceção para dados agrupados) e pode ser calculada, na 
maioria dos casos, para classes ou limites abertos.