LOGARITMOS

Prévia do material em texto

Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
Orlando Frizanco 
1 
 
10 LOGARITMOS 
 
Definição: Chama-se logaritmo de um número real e positivo N, em uma 
base a, positiva e diferente da unidade, ao expoente real x que se deve elevar 
essa base a para obter o número N. 
 
E escreve-se: 
 
xNa log
 
 
Lê-se: “Logaritmo de N na base a é igual a x”. 
 
10.1 LOGARITMO COMO EXPOENTE 
 
O conceito de logaritmo está associado à operação de potenciação: 
mais precisamente à determinação do expoente. 
 
Exemplo: 
 
382  xx
 
 
No caso, se diz que o logaritmo de 8, na base 2, é igual ao 
expoente 3. Em símbolos: 
 
38log2 
, porque 
823 
 
 
Logo, calcular o log2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve 
elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8. 
 
Então, por definição: 
 
NaxN xa log
 
 
Onde: 
a = base; 
N = logaritmando ou antilogaritmo; 
x = logaritmo. 
 
A partir dessa definição as seguintes propriedades gerais podem 
ser consideradas e que podem auxiliar no desenvolvimento de situações 
que envolvem logaritmos 
 
loga1 = 0, o logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será 
igual a 0, pois a0 = 1. 
 
logaa = 1, o logaritmo de qualquer número a na própria base a será 
igual a 1, pois a1 = a. 
 
logaa
m = m, o logaritmo de uma potência da base é o expoente, em 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
Orlando Frizanco 
2 
 
qualquer base, pois m * logaa = m * 1 = m. 
 
aloga
b = b, a potência de base a e expoente logab é igual a b, pois 
logab = x → a
x = b. 
 
logab = logac ↔ b = c, dois logaritmos são iguais, quando seus 
logaritmandos forem iguais. 
 
Exemplos: 
 
a) log2 64 = 6, porque 2
6 = 64 
 
b) log3 81 = 4, porque 3
4 = 81 
 
c) log10 0,001 = –3, porque 0,001 = 1 / 10
3 = 10-3 
 
d) log10 0,01 = –2, porque 0,01 = 1 / 10
2 = 10-2 
 
e) log5 √25 = 2/3, porque 5
2/3 = √52 
 
f) Log5 1 = 0 porque 5
0 = 1 
 
g) log7 7 = 1 porque 7
1 = 7. 
 
h) log5 5
3 = 3, porque 3 * log5 5 = 3 * 1 = 3. 
 
Exercícios: 
 
Calcular os logaritmos. 
 
a) log2 32 = 
 
b) log3 243 = 
 
c) log2 64 = 
 
d) log10 0,00001 = 
 
e) log10 0,000001 = 
 
f) log2 √4 = 
 
g) log3 √9 = 
 
h) log8 √64 = 
 
i) log7 1 = 
 
j) log12 12 = 
 
k) log7 7
5 = 
 
10.2 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 
 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
Orlando Frizanco 
3 
 
O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele transforma 
operações mais complicadas em operações mais simples. Com as 
propriedades operatórias dos logaritmos pode-se transformar: 
 multiplicações em adições; 
 divisões em subtrações; 
 potenciações em multiplicações; 
 radiciações em divisões. 
As propriedades operatórias dos logaritmos estão apresentadas a 
seguir. 
 
1ª Propriedade: Logaritmo do produto. 
 
  yxyx aaa loglog.log 
 
 
“O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores”. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0,477, log 5 = 
0,699 e log 7 = 0,845. 
 
322,1845,0477,07log3log)7.3log(21log 
 
 
2) A partir de log 2 = 0,301; log 3 = 0,477, log 5 = 0,699 e log 13 = 1,114, 
calcular: 
 
a) log 60 
 
Solução: Fatorando o 60 vem: 
 
60 2 
30 2 
15 3 
 5 5 
 1 60 = 2
2 
*3*5 
 
Logo: 
 
778,160log
699,0477,0602,060log
699,0477,0301,0*260log
5log3log2log260log
5log3log2log60log
)5*3*2log(60log
2
2






 
 
b) log 130 
 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
Orlando Frizanco 
4 
 
Fatorando o 130, vem: 
 
130 2 
 65 5 
 13 13 
 1 130 = 2
 
*5*13 
 
Logo: 
 
114,2130log
114,1699,0301,0130log
13log5log2log130log
13log5log2log130log
)13*5*2log(130log





 
 
A seguir está mostrado como calcular os exemplos utilizando o SCILAB. 
 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
-->log10(21) 
 ans = 
 1.3222193 
 
-->log10(60) 
 ans = 
 1.7781513 
 
-->log10(130) 
 ans = 
 2.1139434 
--> 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
2ª Propriedade: Logaritmo do quociente. 
 
yx
y
x
aaa logloglog 




 
 
“O logaritmo de um quociente é igual o logaritmo do numerador menos o 
logaritmo do denominador”. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular o valor do log 5/3, a partir dos valores de log 3 = 0,477, log 5 = 
0,699. 
 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
Orlando Frizanco 
5 
 
222,0
3
5
log
477,0699,0
3
5
log
3log5log
3
5
log


















 
 
A seguir está mostrado como calcular o exemplo, utilizando o SCILAB. 
 
------------------------------------------------------------------------------ 
-->log10(5/3) 
 ans = 
 0.2218487 
--> 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
2) A partir de log 2 = 0,301 obter log 5. 
 
699,05log
301,015log
2log10log5log
2
10
log5log










 
 
3) Se x e y são reais positivos, decompor em parcelas log2 (x/2y). 
 
1loglog
2
log
log1log
2
log
log2loglog
2
log
)log2(loglog
2
log
)2(loglog
2
log
222
222
2222
2222
222






























yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
 
 
3ª Propriedade: Logaritmo da potência. 
 
xkx a
k
a log.log 
 
 
“Generalizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do 
expoente da potência pelo logaritmo da base”. 
 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
Orlando Frizanco 
6 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular o valor do log 53, a partir do valor de log 5 = 0,699. 
 
097,25log
699,0.35log
5log.35log
3
3
3



 
 
2) Calcular o valor do log 0,081, a partir do valor de log 3 = 0,477. 
 
-1,092081,0log
31,908081,0log
1*3477,0*4081,0log
10log*33log*4081,0log
10log3log081,0log
10
3
log081,0log
1000
81
log081,0log
34
3
4







 
 
A seguir está mostrado como calcular os exemplos 1 e 2, acima, 
utilizando o SCILAB. 
 
------------------------------------------------------------------------------ 
-->log10(5^3) 
 ans = 
 2.09691 
 
-->log10(0.081) 
 ans = 
 - 1.091515 
--> 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
4ª Propriedade: Logaritmo da Raiz. 
 
m
x
x ama
log
log 
 
 
“O logaritmo de uma raiz, é igual a razão entre o logaritmo do radicando e 
o índice da raiz”. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular o valor do 
4 27log
, sabendo que log 3 = 0,477. 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
Orlando Frizanco 
7 
 
358,027log
4
431,1
27log
4
477,0477,0477,0
27log
4
)3log3log3log
27log
4
)3*3*3log(
27log
4
27log
27log
4
4
4
4
4
4








 
 
A seguir está mostrado como calcular o exemplo acima, utilizando o SCILAB. 
 
------------------------------------------------------------------------------ 
-->log10(sqrt(sqrt(27))) 
 ans = 
 0.3578409 
--> 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
2) Calcular o valor do4
3 27log
. 
750,027log
4
3
27log
4
111
27log
4
)3log3log3log
27log
4
)3*3*3(log
27log
4
27log
27log
4
3
4
3
4
3
3334
3
34
3
34
3








 
 
Exercícios 
 
1) Calcular log 
4
313
, a partir dos valores de log 2 = 0,301, log 3 = 
0,477 e log 13 = 1,114 
 
2) A partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009. 
 
3) Vamos calcular o valor do log 34, a partir do valor de log 3 = 0,477. 
 
4) Se x e y são reais positivos, usando as propriedades decompor em 
parcelas log2 (x/4y). 
 
5) Calcular o valor do log (27/2), a partir dos valores de log 2 = 0,301 e 
log 3 = 0,477. 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
Orlando Frizanco 
8 
 
 
6) A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 52 e log 
2000. 
 
7) Calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0,477 e 
log 7 = 0,845. 
 
9.3 APLICAÇÕES DE LOGARITMOS 
 
Os logaritmos são aplicados em várias áreas de conhecimento; 
Matemática, Física, Biologia, Química, Medicina, e Geografia entre outras. 
A seguir estão apresentados alguns exemplos de utilização das técnicas de 
logaritmos para resolver problemas para variadas situações. 
 
Exemplo 1 – Matemática Financeira 
 
Uma pessoa aplicou a importância de R$ 1.500,00 em um banco que 
paga juros mensais de 3,2%, no regime de juros compostos. Em quanto tempo 
após a aplicação o montante será de R$ 4.500,00? 
 
Solução: Neste caso, o uso de logaritmos é necessário. A fórmula para o 
cálculo dos juros compostos é M = C * (1 + i)n. 
 
De acordo com o enunciado do problema, vem: 
 
M (montante) = 4500 
C (capital) = 1500 
i (taxa) = 3,2% = 0,032 
n = ? 
 
Aplicando na fórmula M = C * (1 + i)n , vem: 
 
4500 = 1500 * (1 + 0,032)n 
 
4500/1500 = 1,032n 
 
1,032n = 3 
 
Aplicando logaritmo em ambos os membros da equação, vem: 
 
log 1,032n = log 3 
 
n * log 1,032 = log 3 
 
Utilizando a tecla log da calculadora científica, para obter os valores dos 
logaritmos. 
 
n * 0,0137 = 0,4771 
 
n = 0,4771 / 0,0137 
 
n = 34,8 
 
Resposta: O montante de R$ 4.500,00 será obtido após 34,8 meses de 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
Orlando Frizanco 
9 
 
aplicação. 
 
Exemplo 2 – Geografia 
 
A taxa de crescimento populacional de uma pequena cidade é de 5% ao 
ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se 
a taxa de crescimento continuar a mesma? 
 
Solução: Primeiro devem ser estabelecidas as grandezas paramétricas a 
serem utilizadas no modelo para o caso problema, ou seja: 
 
População do ano-base = P0 
 
População após 1 ano = P0 * (1,05) = P1 
 
População após 2 anos = P0 * (1,05)*(1,05) 
 = P2 
 
 = P0 * (1,05)
2 = P2 
 
População após x anos = P0 * (1,05)
x = Px 
 
Supondo que a população dobrará em relação ao ano-base (P0) após x 
anos, vem: 
 
Px = 2 * P0 
 
P0 * (1,05)
x = 2 * P0 
 
Simplificando o P0 em ambos os membros, vem: 
 
1,05x = 2 
 
Aplicando logaritmo em ambos os membros, vem: 
 
log 1,05x = log 2 
 
Aplicando a propriedade do logaritmo da potência: 
 
x * log 1,05 = log 2 
 
Usando a calculadora científica para calcular os logaritmos, vem: 
 
x * 0,0211 = 0,3010 
 
x = 0,3010 / 0,0211 
 
x = 14,3 
 
Resposta: A população dobrará em aproximadamente 14,3 anos. 
 
Exemplo 3 – Química 
 
Calcular o tempo que leva para que 500 g de certa substância radioativa, 
que se desintegra a taxa de 1,5% ao ano, se reduza a 50 g. Utilize a seguinte 
expressão: 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
Orlando Frizanco 
10 
 
 
Q = Q0 * e
–rt 
 
em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. 
 
Solução: Aplicando os valores diretamente na fórmula dada, vem: 
 
Q = Q0 * e
–rt 
 
Onde: 
 
Q (Quantidade final da substância) = 50 g; 
Q0 (Quantidade inicial da substância) = 500 g; 
e (Número e – Constante de Euler) = 2,7183… 
r (taxa de desintegração) = 1,5% 
t (tempo em anos) = ? 
 
50 = 500 * e–0,015t 
 
50 / 500 = e–0,015t 
 
1 / 10 = e–0,015t 
 
Aplicando a definição de logaritmo, vem: 
 
–0,015 t = loge (1 / 10) 
 
–0,015 t = loge (10
–1) 
 
–0,015 t = –1 * loge (10) 
 
–0,015 t = – loge (10) multiplicando por (–1) 
 
Como logaritmo na base e é logaritmo neperiano (ln) 
 
0,015 t = ln 10 
 
t = ln 10 / 0,015 
 
t = 2,3025 / 0,015 
 
t = 153,5 
 
Resposta: A substância radioativa levará 153,5 anos para se reduzir a 50 
g. 
 
Exercícios 
 
1) Um investidor aplicou a importância de R$ 18.500,00 em um banco que 
paga juros mensais de 3,8%, no regime de juros compostos. Em quanto tempo 
após a aplicação o montante será de R$ 50.000,00? 
 
2) A quantidade de erros de transmissão em uma determinada rede de 
computadores vem crescendo a uma taxa de 15% ao mês, aproximadamente. Em 
Matemática Básica Aplicada a Cursos de Graduação 
 
Orlando Frizanco 
11 
 
quantos meses a quantidade de erros de transmissão desta rede irá dobrar, se a 
taxa de crescimento continuar a mesma? 
 
3) A ocupação da área em disco, em um computador mainframe vem 
crescendo a uma taxa de 28% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a 
ocupação da área em disco deste computador irá dobrar, se a taxa de crescimento 
continuar a mesma? 
 
4) A quantidade de alunos de uma escola cresce a uma taxa de 20% ao 
semestre, aproximadamente. Em quantos semestres a quantidade de alunos desta 
escola irá duplicar, se a taxa de crescimento continuar a mesma? 
 
5) O faturamento de uma empresa cresce a uma taxa de 35% ao ano, 
aproximadamente. Em quantos anos o faturamento da empresa irá duplicar, se a 
taxa de crescimento continuar a mesma? 
 
6) Calcular o tempo que leva para que 1500 g de uma substância 
radioativa, que se desintegra a taxa de 3,5% ao ano, se reduzir a 400 g. Utilize a 
seguinte expressão: Q = Q0 * e
–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e 
t é o tempo em anos.