REVISÃO MATEMÁTICA BÁSICA

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Razões e Proporções: Propriedades das Proporções, 
Grandezas Diretamente Proporcionais. 
 
TR - 01 
 
1 Prof. Orlando Frizanco, Dr. 
Proporções com números 
 
 Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, 
nessa ordem, formam uma proporção quando: 
 
 A / B = C / D 
 
Os números A, B, C e D são denominados termos 
Os números A e B são os dois primeiros termos 
Os números C e D são os dois últimos termos 
Os números A e C são os antecedentes 
Os números B e D são os consequentes 
A e D são os extremos 
B e C são os meios 
 
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Proporções com números 
 
 
 
 A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma 
constante K, denominada constante de 
proporcionalidade K dessa razão 
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K
D
C
B
A

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades das proporções 
 Para a proporção 
 
valem as seguintes propriedades: 
 
1) O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é: 
 A · D = B · C 
2) A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro 
termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o 
terceiro termo, isto é: 
 
 
 
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D
C
B
A

C
DC
A
BA 


C
DC
A
BA 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades das proporções 
3) A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo 
termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o 
quarto termo, isto é: 
 
 
 e 
 
 
 
 
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D
DC
B
BA 


D
DC
B
BA 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades das proporções 
4) A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) 
dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu 
consequente, isto é: 
 
 
 e 
 
 
 
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DB
CA
B
A
DB
CA





D
C
DB
CA
DB
CA






 
 
 
 
 
 
 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
 Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, 
aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma 
proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na 
mesma proporção. 
 
 Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os 
números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, 
isto é, existe uma constante K tal que: 
 
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K
Y
X

 
 
 
 
 
 
 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
 Exemplos: 
 Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água azul. A 
cada 15 minutos é medida a altura do nível de água. 
(cm=centímetros e min=minutos) 
 
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Construímos uma tabela 
para mostrar a evolução 
da ocorrência: 
 
 
 
 
 
 
 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
 Observamos que quando duplica o intervalo 
de tempo, a altura do nível da água também 
duplica e quando o intervalo de tempo é 
triplicado, a altura do nível da água também 
é triplicada. 
 Observações: Usando razões, podemos 
descrever essa situação de outro modo. 
 (a) Quando o intervalo de tempo passa de 
15 min para 30 min, dizemos que o tempo 
varia na razão 15/30, enquanto que a altura 
da água varia de 50 cm para 100 cm, ou 
seja, a altura varia na razão 50/100. 
Observamos que estas duas razões são 
iguais: 
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Grandezas Diretamente Proporcionais 
 (b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 min 
para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. 
Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a 
altura na razão 50/150. 
 
 Então, notamos que essas razões são iguais: 
 
 
 
 
 Concluímos que a razão entre o valor numérico do 
tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico 
da altura atingida pela água é sempre igual, assim 
dizemos então que a altura do nível da água é 
diretamente proporcional ao tempo que a torneira 
ficou aberta. 
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Grandezas Diretamente Proporcionais 
 (b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 min 
para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. 
Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a 
altura na razão 50/150. 
 
 Então, notamos que essas razões são iguais: 
 
 
 
 
 Concluímos que a razão entre o valor numérico do 
tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico 
da altura atingida pela água é sempre igual, assim 
dizemos então que a altura do nível da água é 
diretamente proporcional ao tempo que a torneira 
ficou aberta. 
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Grandezas Diretamente Proporcionais 
 Em média, um SATÉLITE percorre 24.000 Km em 1 hora, 48.000 Km em 2 horas 
e 72.000 Km em 3 horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela da 
situação: 
 
 
 
 
 
 Notamos que quando duplica o intervalo de tempo, duplica também a 
distância percorrida e quando o intervalo de tempo é triplicado, a 
distância também é triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo 
aumenta, a distância percorrida também aumenta na mesma 
proporção. 
 
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Grandezas Diretamente Proporcionais 
 Observações: Usando razões e proporções, podemos descrever essa 
situação de outro modo. 
 (a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância 
percorrida varia de 24000 Km para 48000 Km, ou seja, o tempo varia na 
razão de 1/2 enquanto a distância percorrida varia na razão 
24000/48000. Assim temos que tais razões são iguais, isto é: 
 
 
 
 Quando o intervalo de tempo varia de 1 h para 3 h, a distância percorrida varia 
de 24000 Km para 72000 Km. Nesse caso, o tempo varia na razão 1/3 e a 
distância percorrida na razão 24000/72000 e observamos que essas razões são 
iguais, isto é: 
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48000
24000
2
1

72000
24000
3
1

 
 
 
 
 
 
 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
Concluímos que o tempo gasto e a distância 
percorrida, variam sempre na mesma razão e 
isto significa que a distância percorrida é 
diretamente proporcional ao tempo gasto 
para percorrê-la, se a velocidade média do 
SATÉLITE se mantiver constante. 
 
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Grandezas Diretamente Proporcionais 
Concluímos que o tempo gasto e a distância 
percorrida, variam sempre na mesma razão e 
isto significa que a distância percorrida é 
diretamente proporcional ao tempo gasto 
para percorrê-la, se a velocidade média do 
SATÉLITE se mantiver constante. 
 
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Grandezas Diretamente Proporcionais 
Exercícios 
1) Verificar se os números 4, 6, 2, 3, nesta ordem, forma ou 
não uma proporção. 
Solução: 
 
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 
 
 A.D = B.C substituindo vem: 
 4 x 3 = 6 x 2 donde 12 = 12 
 (são iguais logo é uma proporção) 
 
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3
2
6
4

 
 
 
 
 
 
 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
Exercícios 
1) Verificar se os números 15, 50, 30, 100, nesta ordem, forma 
ou não uma proporção. 
 
2) Verifique se os números 3, 4, 12, 15 nesta ordem forma uma 
proporção. 
 
3) Qual é o valor numérico da razão entre os números 
 
4) Através da Propriedade Fundamental calculeX na 
proporção: 
 
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64
8
40
5
e
x
e
12
32
8