EP10 GP 2013 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – EP10 – Tutor
Prezado(a) aluno(a),
o conteu´do desta semana voceˆ encontra no seguinte cap´ıtulo do livro de Geometria Ba´sica - Mo´dulo
1 - Volume 1,(Autores:Dirce Uesu Pesco/Roberto Geraldo Tavares Arnaut),
Aula 8: Segmentos Proporcionais;
Exerc´ıcio 1: Seja um ponto N situado sobre o prolongamento do segmento AB, tal que
NB
NA
=
7
13
e sua distaˆncia ao ponto O, ponto me´dio de AB, e´ igual a 30 cm. Calcule AB, NA e NB.
Soluc¸a˜o:
Seja N um ponto situado sobre o prolongamento do segmento AB, tal que
NB
NA
=
7
13
, ou seja,
NB < NA, enta˜o temos a seguinte representac¸a˜o :
Temos que
NO =
NA+NB
2
= 30 ⇒ NA+NB = 60
NB
NA
=
7
13
⇒ NB
NA+NB
=
7
13 + 7
⇒ NB
60
=
7
20
⇒ NB = 21 cm
NA+NB = 60 ⇒ NA+ 21 = 60 ⇒ NA = 39 cm e AB = 39− 21 = 18 cm.
Exerc´ıcio 2: No triaˆngulo ABC da figura, os lados medem AC = 2 cm e AB = 8 cm. A bissetriz
externa corta o lado BC em um ponto N , tal que CN =
7
3
cm. Calcule os segmentos MB e MC
determinados pela bissetriz interna sobre o lado BC.
Geometria Plana – EP10 Tutor 2
Soluc¸a˜o: Seja ABC o triaˆngulo, cujos lados AC = 2 cm e AB = 8 cm e CN =
7
3
cm.
Denote MB = p,MC = q,NB = p′ e NC = q′ =
7
3
.
Temos pelo T.B.E.
p′
q′
=
AB
AC
⇒ p
′
7
3
=
8
2
⇒ p′ = 28
3
Enta˜o
BC = p′ − q′ = 28
3
− 7
3
= 7 cm
Pelo T.B.I.
p
8
=
q
2
e p+ q = 7 ⇒ p = 28
5
= 5, 6 cm e q =
7
5
= 1, 4 cm
Exerc´ıcio 3: O segmento AB esta´ dividido harmonicamente pelos pontos M e N . Calcule a medida
dos treˆs segmentos da divisa˜o e a raza˜o , quando conhecidos AB = 21 cm e a medida do segmento
total NB = 84 cm.
Definic¸a˜o: Dizemos que um segmento AB esta´ dividido harmonicamente por dois pontos M e N
quando estas o dividem internamente e externamente em igual raza˜o, ou seja,
MA
MB
=
NA
NB
neste caso A, B,M, e N formam uma divisa˜o harmoˆnica.
Soluc¸a˜o: Pela hipo´tese NA = 84− 21 = 63 cm.
MA
MB
=
NA
NB
⇒ MA+MB
MB
=
NA+NB
NB
⇒ 21
MB
=
84 + 63
84
⇒ MB = 12 cm
MA = 21− 12 = 9 cm. Assim a raza˜o vale MA
MB
=
9
12
=
3
4
.
Exerc´ıcio 4: Um trape´zio qualquer ABCD tem como base maior AB = b e para base menor
CD = b′. Denote AD = a e BC = c. Considere o ponto de concurso O dos lados AD e BC, os
pontos me´dios M e M ′ das bases AB e CD e o ponto de concurso I das diagonais.
a) Calcule os lados do triaˆngulo AOB
b) Determine o valor das relac¸o˜es
OM
OM ′
e
IM
IM ′
e mostre que sa˜o iguais.
c) Por que os pontos O, M, M ′ e I sa˜o colineares?
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana – EP10 Tutor 3
Soluc¸a˜o:
a) Como AB//CD, temos que
OA
OD
=
AB
DC
, enta˜o
AB
AB −DC =
OA
OA−OD ⇒
b
b− b′ =
OA
a
⇒ OA = ab
b− b′
Analogamente,
OB
OC
=
AB
DC
⇒ AB
AB −DC =
OB
OB −OC ⇒
b
b− b′ =
OB
c
⇒ OB = bc
b− b′
b) Temos
OM
OM ′
=
AB
DC
=
b
b′
=
IM
IM ′
.
c) Observe que AC, BD e MM ′ dividem em segmentos proporcionais, as paralelas AB e CD
concorrem em um mesmo ponto. O mesmo ocorre para o ponto O.
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